数列求和专项练习(含答案)

数列求和专项练习

1.在等差数列{}n a 中，已知34151296=+++a a a a ，求前20项之和。

2.已知等差数列{}n a 的公差是正数，且,4,126473-=+-=a a a a 求它的前20项之和。

3.等差数列{}n a 的前n 项和S n =m ,前m 项和S m =n (m>n )，求前m+n 项和S n+m

4.设y x ≠，且两数列y a a a x ，，，，321和4321b y b b x b ，，，，，均为等差数列，求

1

24

3a a b b --

5.在等差数列{}n a 中，前n 项和S n ,前m 项和为S m ，且S m =S n , n m ≠，求S n+m

6.在等差数列{}n a 中，已知1791,25S S a ==，问数列前多少项为最大，并求出最大值。

7.求数列的通项公式：

(1){}n a 中，23,211+==+n n a a a

(2){}n a 中，023,5,21221=+-==++n n n a a a a a

9.求证：对于等比数列前n 项和S n 有)(322

22

n n n n n S S S S S +=+

10. 已知数列{}n a 中，前n 项和为S n ，并且有1),(241*

1=∈+=+a N n a S n n (1)设),(2*

1N n a a b n n n ∈-=+求证{}n b 是等比数列；

(2)设),(2

*N n a c n

n ∈=求证{}n b 是等差数列；

11.设数列满足，（Ⅰ)求数列的通项公式：（Ⅱ）令，求数列的前n 项和.

【规范解答】（Ⅰ)由已知，当时，

而，满足上述公式，所以的通项公式为. （Ⅱ）由可知，

①

从而 ②

①②得

{}n a 12a ={}n a n n b na ={}n b n S 1n ≥[]111211()()()n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-+

+-+21232(1)13(222)22n n n --+-=++

++=12a ={}n a 212n n a -=212n n n b na n -==•35211222322n n n s -=•+•+•+

+•2

3572121222322n n n s +=•+•+•+

+•-3

5

21212

(12)22222n n n n s -+-=+++

+-•

即 12.已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n

n S n ，2

2. (1)求数列{}n a 的通项公式；

(2)设()n n

a

n a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.

【答案】(1) n a n = (2) 21

22

2n n T n +=+-

13.已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

211(31)229

n n S n +⎡⎤=

-+⎣

⎦

（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1

1

n n n n a b S S ++=

，求数列{}n b 的前n 项和n T .

（Ⅰ）由题设可知83241=⋅=⋅a a a a ，又941=+a a ， 可解的⎩⎨

⎧==8141a a 或⎩⎨⎧==1

8

41a a （舍去）

由3

14q a a =得公比2=q ，故11

12--==n n n q

a a . （Ⅰ）1221211)1(1-=--=--=n n n n q q a S 又11111

11

n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-

所以1113221211

111...1111...++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=n n n

n n S S S S S S S S b b b T

1

2111--

=+n .

14. 设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n

n S =+.

（I ）求{}n a 的通项公式；

（II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T . 【解析】

所以，13,1,

3,1,

n n n a n -=⎧=⎨>⎩

1363623n n +=

-⨯ ，又1T 适合此式.1363

1243n

n

n T +=-⨯ 15.知等差数列满足：，，的前n 项和为．

（1）求及；（2）令

(n N *)，求数列的前n 项和． 【命题立意】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,考查了考生的逻辑推理、等价变形和运算求解能力.

【思路点拨】(1)设出首项和公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差，进而求出求及；

(2)由(1)求出的通项公式，再根据通项的特点选择求和的方法.

【规范解答】（1）设等差数列的公差为d ，因为，，所以有

，解得， 所以；==. （2）由（1）知，所以b n =

==

， 所以=

=，

即数列的前n 项和=

.

{}n a 37a =5726a a +={}n a n S n a n S n b =2

11

n a -∈{}n b n T n a n

S n b {}n a 37a =5726a a +=1127

21026

a d a d +=⎧⎨

+=⎩13,2a d ==321)=2n+1n a n =+-（

n S n(n-1)

3n+22

⨯2n +2n 2n+1n a =211n a -21=2n+1)1-（11

4n(n+1)⋅111(-)4n n+1

⋅n T 111111(1-+++-)4223n n+1⋅-11(1-)=4n+1⋅n

4(n+1)

{}n b n T n

4(n+1)