2014年浙江省高中数学竞赛模拟试题2与参考答案

2014年浙江省高中数学竞赛模拟试题(二)

一、选择题（每小题5分，共50分） 1．方程26130x x ++=的一个根是 A ．32i -+ B ．32i +

C ．23i -+

D ．23i +

2．若tan θ+1

tan θ =4,则sin2θ=

A ．15 B. 14 C. 13 D. 12

3．已知某几何体的三视图如图所示，则它的体积为 A ．

8π3 B ．3π C ．10π3

D ．6π 4．等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==，则100

11

1

i i i a a =+=∑ A ．

100101 B ．99101

C ．99100

D ．101

100 5．已知{ a n }为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=

A ．7

B ．5

C ．-5

D ．-7

6．对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆22

2=+y x 的位置关系一定是

A ．相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心 7．设R ϕ∈，则“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的 A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

A ．2

B ．4

C ．5

D ．10

9．函数2

()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

10．点集{

}

22

1(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x

⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩

⎭

，则A∩B 所

表示的平面图形的面积为 A.

34π B.35π C.47π D.2

π 俯视图

侧视图

正视图

第3题图

4

8．在Rt △ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则22

2PA PB PC +=

二、填空题（每小题7分，共49分）

11. 已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素

的个数为 . 12. 方程1

16sin cos 16x x x x

ππ=+

的解集合为 . 13. 设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1

a ，且长为a

异面，则a 的取值范围是 .

14．过椭圆2

212

x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45弦AB ，则

15．直线MN 过△ABC 的重心G ，且,AM mAB AN nAC ==u u u r u u u r u u u r u u u r

（其中0,0m n >>),则mn 的最小值是 __________．

16. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在[11]-，有0111()201

x x ax f x bx x <+-⎧⎪

=+⎨⎪+⎩≤≤≤，

，，，，

其中a b ∈R ，

．若1322f f ⎛⎫⎛⎫

= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，则3a b +的值为 ． 17．不等式

()

33

8

10

501

1x x x x +

-->++的解集是 . 三、解答题（每小题17分，共51分）

18．三棱锥S-ABC 中，SA ⊥平面ABC ，1===SA BC AB ，2

π

=∠ABC ．

（1）求SC 与平面ABC 所成夹角的正弦值； （2）求B 到平面ASC 的距离；

（3）求平面SBC 与SAC 所成锐二面角的大小． 19．证明不等式：

222111123+++ (21321)

n n n +≥+． 20．设不过原点O 的直线l 与椭圆2

214

x y +=交于,P Q 两点，且直线OP 、PQ 、OQ 的 斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．

2014年浙江省高中数学竞赛模拟试题(二)

答案与解析

一、选择题

1．选A. 解析：设方程的根为x a bi =+，代入26130x x ++=解得3, 2.a b =-=

2．选D. 解析：因为

22sin cos sin cos 141cos sin cos sin sin 22

θθθθθθθθθ++===，所以1

sin 22θ=. 3．选B ．解析：考查三视图与体积的计算. 4．选A ．解析：由已知得n a n =，由裂项相消法得

100

11

11111

1110011223100101101101i i i a a =+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑L 5．选A ．解析：考查等比数列的性质.

6．选C ．解析：直线恒过点A （0,1），与圆必相交，且直线不与x 轴垂直，所以不过圆心． 7．选A ．解析：()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数⇒k ϕπ=．

8．选D ．解析：本题主要考查数形结合的数学思想与解题方法（特例法）．

取特殊的等腰直角三角形，不妨令4AC BC ==

，则AB =，

CD

=

12AB =

1

||2

PC PD CD ===

PA PB ===

=

所以222||||1010

10||2

PA PB PC ++==．

9．选C ．解析：0)(=x f ，则0=x 或0cos 2

=x ，Z k k x ∈+

=,2

2π

π，

又[]4,0∈x ，4,3,2,1,0=k ，所以共有6个解.

10．选D . 解析：集合B 表示如图所示的圆面，集合A

表示的图形为Ⅰ和Ⅱ区域，由对称性可知Ⅱ 和Ⅲ，Ⅰ和Ⅳ区域面积相等，所以A B I 表

示的图形面积是2

π

.