2014年浙江省高中数学竞赛模拟试题2与参考答案
浙江省高中数学竞赛模拟试题(1)及参考答案
浙江省高中数学竞赛模拟试题(1)及参考答案第一试（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分. 1．已知函数()()221,0a f x x ax b x R x x x=++++∈≠，若实数,a b 使方程()0f x =有实根，则22a b +的最小值是2．在正三棱台111ABC A B C -中，上底面积11112A B C S =△，下底面积27ABC S =△．若底边BC 到截面11AB C 的距离等于三棱台的高，则11AB C S =△ 3．从1,2,3,,100中取出三个不同的数，使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有 种4．已知22122cos cos ,,,22sin sin x y x y z i y x ππ⎡∈=+⎢⎣，且12z =若2z x yi =+，则21z z -的取值范围是 ． 5． 函数()442222,2233222f x y x y x y xy x y x y =++-++-++的最小值为6．设()()111313,20n n n n n n n x x x x x x --+=+=+>-，则数列{}n x 的通项公式为7．如图，设,P Q 分别是两个同心圆（半径分别为6,4）上的动点．当,P Q 分别在圆上运动时，线段PQ 的中点M 所形成的区域面积为8．设[]122010,,,2,2a a a ∈-且1220100a a a +++=，则333122010a a a +++的最大值为二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）. 设复数z 满足12z +>．证明：311z +>．10.（本小题满分20分）给定整数a ，设()32f x ax bx cx =++，其中,b c Z ∈,满足()()()11,22f ff =-=求出所有满足条件的函数()f x ．11.（本小题满分20分）给定椭圆22221135x y +=及点()10,0D ．（1）求r 的值使得对于椭圆的左顶点A ，存在椭圆上的另两点12,M M ，满足以D 为圆心、r 为半径的圆是12AM M △的内切圆；（2）证明：对于椭圆的下顶点，也存在椭圆上的另两点12,N N ，使得D 是12AN N △的内切圆，并确定此时直线12N N 的方程．浙江省高中数学竞赛模拟试题(1)及参考答案加试（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分） 已知ABC △的内心为I ，ABC △的内切圆I 切边BC 于点D ，,ABD ACD △△的内心分别是,b c J J ，b c AJ J △的外心为O ．求证：,,A O I 三点共线．二、（本小题满分40分）设,,,0,a b c d >且4a b c d +++=．求证：222222221111a b c d a b c d+++≥+++三、（本小题满分50分）已知正整数n 满足()2014,,20141n n >=．令(){}1,,1,n A k N k n n k =∈≤≤={}{}1,1,n n n n n n B k A k A C k A k A =∈+∉=∈-∉对任意n k A ∈，记nA k k S n⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，A 表示集合A 中元素的个数． 证明：（1）()()nnk n k k n k k B k C S S S S --∈∈-=--∏∏；（2）()()mod nnB k n k nk C S S A n -∈-≡∏四、（本小题满分50分）某国建了一座时间机器，形似一条圆形地铁轨道，其上均匀设置了个站台（依次编号为1,2，…，）分别对应一个年份，起始站及终点站均为第一站（对应）．为节约成本，机器每次运行一圈，只在其中一半的站台停靠．出于技术原因，每次至多行驶三站必须停靠依次，且所停靠的任两个站台不能是圆形轨道的对径点．试求不同停靠方式的种数．浙江省高中数学竞赛模拟试题(1)及参考答案第一试参考解答（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分. 1．已知函数()()221,0a f x x ax b x R x x x=++++∈≠，若实数,a b 使方程()0f x =有实根，则22a b +的最小值是2．在正三棱台111ABC A B C -中，上底面积11112A B C S =△，下底面积27ABC S =△．若底边BC 到截面11AB C 的距离等于三棱台的高，则11AB C S =△3．从1,2,3,,100中取出三个不同的数，使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有 种4．已知22122cos cos ,,,22sin sin x y x y z i y x ππ⎡⎤∈-=+⎢⎥⎣⎦，且12z =，若2z x yi =+，则21z z -的取值范围是 ．5． 函数()442222,2233222f x y x y x y xy x y x y =++-++-++的最小值为6．设()()111313,20n n n n n n n x x x x x x --+=+=+>-，则数列{}n x 的通项公式为7．如图，设,P Q 分别是两个同心圆（半径分别为6,4）上的动点．当,P Q 分别在圆上运动时，线段PQ 的中点M 所形成的区域面积为8．设[]122010,,,2,2a a a ∈-且1220100a a a +++=，则333122010a a a +++的最大值为二、解答题：本大题共3小题，共56分. 9．设复数z 满足12z +>．证明：311z +>．10．给定整数a ，设()32f x ax bx cx =++，其中,b c Z ∈,满足()()()11,22f f f =-=求出所有满足条件的函数()f x ．11．给定椭圆22221135x y +=及点()10,0D ．（1）求r 的值使得对于椭圆的左顶点A ，存在椭圆上的另两点12,M M ，满足以D 为圆心、r 为半径的圆是12AM M △的内切圆；（2）证明：对于椭圆的下顶点，也存在椭圆上的另两点12,N N ，使得D 是12AN N △的内切圆，并确定此时直线12N N 的方程．浙江省高中数学竞赛模拟试题(1)及参考答案试参考解答（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）已知ABC △的内心为I ，ABC △的内切圆I 切边BC 于点D ，,ABD ACD △△的内心分别是,b c J J ，b c AJ J △的外心为O ．求证：,,A O I 三点共线． 证明：设I 分别切边,CA AB 于点,E F ，ABD △的内切圆切AD 于点X ，ACD △的内切圆切AD 于点Y ，则2DX DA DB AB DA DB BF AF DA AF =+-=+--=-， 同理22DY DA AF DX =-=．从而,X Y 重合，所以b c J J AD ⊥．因为b c AJ J △的外心为O ，所以1222b bc b c AOJ J AO AJ J XAJ DAC ππ-∠∠==-∠=∠=∠．从而111222b b BAO BAJ J AO BAD DAC BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以,,A O I 三点共线．二、（本小题满分40分）设,,,0,a b c d >且4a b c d +++=．求证：222222221111a b c d a b c d+++≥+++三、（本小题满分50分）已知正整数n 满足()2014,,20141n n >=．令(){}1,,1,n A k N k n n k =∈≤≤={}{}1,1,n n n n n n B k A k A C k A k A =∈+∉=∈-∉对任意n k A ∈，记n A k k S n⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，A 表示集合A 中元素的个数． 证明：（1）()()nnkn k k n k k B k C SS S S --∈∈-=--∏∏；（2）()()mod nnB k n k n kC S S A n -∈-≡∏四、（本小题满分50分）某国建了一座时间机器，形似一条圆形地铁轨道，其上均匀设置了个站台（依次编号为1,2，…，）分别对应一个年份，起始站及终点站均为第一站（对应）．为节约成本，机器每次运行一圈，只在其中一半的站台停靠．出于技术原因，每次至多行驶三站必须停靠依次，且所停靠的任两个站台不能是圆形轨道的对径点．试求不同停靠方式的种数．。
浙江省杭州市高三数学命题比赛(2)文 Word版 含答案
2014年高考模拟试卷 数学（文科）试卷考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题）本大题共10小题, 每小题5分,共50分 一、选择题：（在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的） 1、（改编）设全集U 为实数集R ，{}||2M x x =>，{}2|430N x x x =-+<，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A 、{}|2x x <B 、{}|22x x -≤≤ C 、{}|21x x -≤<D 、{}|12x x <≤2、（改编）已知复数z= -1+i(其中i 为虚数单位)，则z i 2=A 、1-iB 、1+iC 、-1-iD 、-1+i 3、已知数列}{n a 的前n 项和)2(+=n n S n ，则5a 的值为( )A 、10B 、12C 、11D 、13 4、（改编）已知a,b 是实数，则“a<0或b<0”是“a+b<0且ab<0” A 、 充分而不必要条件 B 、 必要而不充分条件 C 、 充分必要条件 D 、 既不充分也不必要条件5、（改编）设m ，n 是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平 面，则下列为假命题的是 A 、若,//m n αα⊥，则m n ⊥ B 、若//,//,,m m αββγαγ⊥⊥则 C 、若,,//m m αβαβ⊥⊥则 D 、若,,//αγβγαβ⊥⊥则 6 、（改编）阅读下图程序框图，该程序输出的结果是A、4B、81C、729D、21877、有男女学生各2名，将他们任意排成一排，2个女生在最左边的2个位置的概率是A、101B、121C、241D、618、（改编）若G为三角形ABC的重心，若60=∠A，2=∙ACAB，则||AG的最小值是（）A9、（改编）过双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C．若12AB BC=，则双曲线的离心率是A10、（改编）已知函数),20(4)(2<<++=aaxaxxf若axxxx-=+<1,2121则（）A、)()(21xfxf>B、)()(21xfxf<C、)()(21xfxf=D、)(1xf与)(2xf的大小不能确定第II卷（非选择题）在答卷规定的地方答题二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）4,1,(),1,x xf xx x⎧≤=⎨->⎩12、如图，是由若干个相同的小正方体堆成的几何体的三视图（各视图由小正方形拼接而成，现如图进行编号），则该几何体中含面⑥的小正方体也含面 （填写序号）;13、（改编）直线20x y -+=与曲线(1)(2)(3)(4)0x x y y --+--=的交点个数是 ． 14、（改编）数列{}n a 满足nn a a a ==+11,3，则)(log 63213a a a a =__________.15、（改编）已知实数a,b 满足122=+b a , 则4422+++b a 的最大值是 .16、（改编）若不等式组10,210,10x y x y kx y +-⎧⎪--⎨⎪++⎩≤≥≥表示的平面区域是三角形， 则实数k 的取值范围是 ．17、（改编）若函数)(x f 满足：存在,0T R T ∈≠，对定义域内的任意,()()()x f x T f x f T +=+恒成立，则称)(x f为T 函数. 现给出下列函数：①x y 1=； ②x y 2=；③nx y 1=；④x y sin =；⑤2x y =其中为T 函数的序号是 ．（把你认为正确的序号都填上）三、解答题（本大题共5小题, 共72分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤） 18、（改编）在ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边是a ,b ,c ，且C b B c a cos cos )2(∙=∙-. （Ⅰ）求B 的值；（Ⅱ）若3=b ，求ABC ∆面积的最大值.ABD1A1CE1BC19、（改编）在等差数列{}n a 中，105=a ，11010=S（Ⅰ）求1a 及n a ；（Ⅱ）求数列{}3n na ⋅的前n 项和n T .20、（改编）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， AC BC ⊥，，1A C B C B B ==，点D 是AB 的中点，（Ⅰ）求证：1BC ∥平面1DCA ；（Ⅱ）设点E 在线段11B C 上，111B E B C λ=⋅，且使直线BE 和平面11ABB A所成的角的正弦值为，求λ的值.121、（改编）已知函数32()2(2)2(1)()f x x a x a x a R =-++-∈. (Ⅰ) 若函数()y f x =在1x =-处的切线方程为450x y -+=，求实数a 的值. （Ⅱ）当]3,0(∈x 时，不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.22、（改编）已知抛物线C ：22(0)y px p =>与椭圆22143x y +=共焦点，（Ⅰ）求p 的值和抛物线C 的准线方程；（Ⅱ）若P 为抛物线C 上位于x 轴下方的一点，直线1l 是抛物线C 在点P 处的切线，问是否存在平行于1l的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，且使AP BP=？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.。
2014年浙江省高中数学竞赛模拟卷二
2014年浙江省高中数学竞赛模拟卷二1 ．（2013年高考陕西卷（理））设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是（ ）A ．若12||0z z -=, 则12z z =B ．若12z z =, 则12z z =C ．若||||21z z =, 则2112··z z z z =D ．若12||||z z =, 则2122z z =2 ．（2013年考试大纲版理）()()8411+x y +的展开式中22x y 的系数是（ ）A ．56B ．84C ．112D ．1683．（2013年高考湖南卷（理））函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为（ ）A.3B.2C.1D.04 ．（2013年山东理）将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为（ ） (A)34π (B) 4π (C)0 (D) 4π- 5 ．（2013年辽宁数学（理））下面是关于公差0d >的等差数列}{n a 的四个命题:{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为（ ）(A)12,p p (B)34,p p (C)23,p p (D)14,p p6．（2013年高考北京卷（理））设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0,y 0),满足x 0-2y 0=2,求得m 的取值范围是（ ） A ．4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭7 ．（2013年考试大纲版（理））椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ） A ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，8．（2013年新课标Ⅱ卷（理））设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则sin cos θθ+=________. 9．（2013年重庆（理））从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________(用数字答)10．（2013年高考新课标1（理））若函数()f x =22(1)()xx ax b -++的图像关于直线2x =-对称,则=+b a 11．（2013年福建理）如图ABC ∆中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,sin 3BAC AB AD ∠===则BD 的长为__________ 12．（2013年重庆数学（理））在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且222a b c +=.(1)求C ; (2)设()()2cos cos cos cos 5cos 5A B A B ααα++==,求tan α的值.13．（2013年高考江西卷（理））正项数列{a n }的前项和{a n }满足:222(1)()0n n s n n s n n -+--+=(1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令22)2(1nn a n n b ++=，数列{b n }的前n 项和为n T .证明:对于任意的*n N ∈,都有564n T <14．（2013年安徽数学（理））设椭圆2222:11x y E a a+=-的焦点在x 轴上 (Ⅰ)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线2F P 交y 轴与点Q ,并且11F P FQ ⊥,证明:当a 变化时,点P 在某定直线上.。
【2014嘉兴二模】浙江省嘉兴市2014届高三教学测试(二)数学理 扫描版含答案
理科数学参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）1．A ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．D ；7．A ；8．D ；9．B ；10．C ．第9题提示：考虑①：因为AD BC //，AD 与DF 相交不垂直，所以BC 与DF 不垂直，则①不成立； 考虑②：设点D 的在平面BCF 上的射 影为点P ，当CF BP ⊥时就有FC BD ⊥，而4:3:2::=AB BC AD 可使条件满足，所以②正确； 考虑③：当点P 落在BF 上时，⊂DP 平面BDF ，从而平面⊥BDF 平面BCF ，所以③正确．考虑④：因为点D 的射影不可能在FC 上，所以④不成立.第10题提示：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≤0120121y x y x y 表示的平面区域是由)1,0(),1,1(),1,1(--C B A 围成的三角形区域（包含边界）．因为直线1=+by ax 与⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≤0120121y x y x y 表示的平面区域无公共点, 所以b a ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+->-+010101b b a b a 或⎪⎩⎪⎨⎧<--<-+-<-+010101b b a b a ．),(b a 在如图所示的三角形区域（除边界且除原点）．所以b a 32+的取值范围是)3,7(-． 二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分） 11．10； 12．512；13．138+（或6562）； 14．38； AC DEFP15．]38,916[； 16．012=-±y x ； 17．14． 第17题提示：集合A 中的方程表示圆心在直线x y =上的六个圆, 由对称性只需考虑第一象限. 记3,2,1=a 对应的圆分别为⊙1C , ⊙2C ,⊙3C ,易知⊙1C 与⊙3C 外切,⊙2C 与⊙1C , ⊙3C 相交, 且经过⊙1C 的圆心.3,2,1=b 对应的三条直线321,,l l l ，1l 与⊙1C 外切，2l 与⊙2C 外切且与⊙1C 相交，3l 与⊙1C 与⊙3C 的外公切线且与⊙2C 相交，由图知在第一象限共有7个交点，故共有14个交点.三、解答题（本大题共5小题，共72分） 18．（本题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且ACa b sin 2sin =． （Ⅰ）若π125=C ，求角B 的大小； （Ⅱ）若2=b ，23ππ<≤C ，求△ABC 面积的最小值．18．（Ⅰ）（本小题7分）由正弦定理，得ACA B a b sin 2sin sin sin ==． ∴ 2165sin 2sin sin ===πC B ．∴ 6π=B （65π=B 舍）．（Ⅱ）（本小题7分）由（Ⅰ）中C B 2sin sin =可得C B 2=或π=+C B 2． 又 C B 2=时，23ππ<≤C ，π32≥B ，即π≥+C B ，矛盾．所以π=+C B 2，ππ=+--C C A 2，即C A =． 所以3tan 21≥==∆C hb S ABC ， 即当3π=C 时，ABC S ∆的最小值是3．19．（本题满分15分）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，BC AD //,22====BC AD AB PA ，θ=∠BAD ，E 是棱PD 的中点．（Ⅰ）若︒=60θ，求证：⊥AE 平面PCD ；（Ⅱ）求θ的值，使二面角A CD P --的平面角最小． 19．（Ⅰ）（本小题7分） 当︒=60θ时，∵BC AD //,22===BC AD AB ． ∴AD CD ⊥．又⊥PA 平面ABCD ，∴CD PA ⊥． ∴⊥CD 平面PAD ． 又⊂AE 平面PAD ， ∴AE CD ⊥．又AD PA =，E 是棱PD 的中点， ∴AE PD ⊥． ∴⊥AE 平面PCD ．（Ⅱ）（本小题8分）如图，建立空间直角坐标系xyz A -，则)2,0,0(P ，)0,cos 2,sin 2(θθB ， )0,1cos 2,sin 2(+θθC ，)0,2,0(D ．∴)2,2,0(-=DP 、)0,1cos 2,sin 2(-=θθDC ．（第19题）设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =， 则⎩⎨⎧=-+=+-⎪⎩⎪⎨⎧⇒⊥⊥0)1cos 2()sin 2(022y x z y DC n DP n θθ 取1=y ，得)1,1,sin 21cos 2(θθ-=n ．又易知平面ABCD 的法向量为)1,0,0(=m ． 设二面角A CD P --的平面角为α， 则2)sin 21cos 2(1||||cos 2+-=⋅=θθαn m要使α最小，则αcos 最大，即0sin 21cos 2=-θθ，∴ 21cos =θ，得3πθ=20．（本题满分14分）有A 、B 、C 三个盒子，每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别．（Ⅰ）从每个盒子中任意取出一个球，记事件S 为“取得红色的三个球”，事件T 为“取得颜色互不相同的三个球”，求)(S P 和)(T P ；（Ⅱ）先从A 盒中任取一球放入B 盒，再从B 盒中任取一球放入C 盒，最后从C 盒中任取一球放入A 盒，设此时A 盒中红球的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望ξE ．20．（Ⅰ）（本小题6分）271313131)(=⨯⨯=S P ，92)(131313111213==C C C C C C T P ． （Ⅱ）（本小题8分）ξ的可能值为2,1,0．①考虑0=ξ的情形，首先A 盒中必须取一个红球放入B 盒，相应概率为31，此时B 盒中有2红2非红；若从B 盒中取一红球放入C 盒，相应概率为21，则C 盒中有2红2非红，从C 盒中只能取一个非红球放入A 盒，相应概率为21；若从B 盒中取一非红球放入C 盒，相应概率为21，则C 盒中有1红3非红，从C 盒中只能取一个非红球放入A 盒，相应概率为43．故2454321212131)0(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯==ξP ． ②考虑2=ξ的情形，首先A 盒中必须取一个非红球放入B 盒，相应概率为32，此时B 盒中有1红3非红；若从B 盒中取一红球放入C 盒，相应概率为41，则C 盒中有2红2非红，从C 盒中只能取一个红球放入A 盒，相应概率为21；若从B 盒中取一非红球放入C 盒，相应概率为43，则C 盒中有1红3非红，从C 盒中只能取一个红球放入A 盒，相应概率为41．故2454143214132)2(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯==ξP ． ③1272452451)1(=--==ξP ． 所以ξ的分布列为ξ0 1 2P245127245ξ的数学期望1245212712450=⨯+⨯+⨯=ξE ．21．（本题满分15分）如图，设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 长轴的右端点为A ，短轴端点分别为B 、C ，另有抛物线b x y +=2．（Ⅰ）若抛物线上存在点D ，使四边形ABCD 为菱形，求椭圆的方程；（Ⅱ）若2=a ，过点B 作抛物线的切线，切点为P ，直线PB 与椭圆相交于另一点Q ，求||||QB PQ 的取值范围．21．（Ⅰ）（本小题6分） 由四边形ABCD 是菱形， 得),(2b a a D +，且⎩⎨⎧=+=+b b a b b a 22222，解得33=a ，31=b ， 所以椭圆方程为19322=+yx ．（Ⅱ）（本小题9分）不妨设),(2b t t P +（0≠t ）， 因为t x y t x t x 2|2|'====，所以PQ 的方程为b t t x t y ++-=2)(2，即b t tx y +-=22． 又因为直线PQ 过点B ，所以b b t -=+-2，即22t b =．所以PQ 的方程为222ttx y -=．联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=144224222t y x t tx y ，消去y ，得032)64(22=-+tx x t ． 所以点Q 的横坐标为64322+=t tx Q ，所以132||||22+=--=t x x x x QB PQ B Q Q P ．又)4,0(22∈=b t ，所以||||QB PQ 的取值范围为)89,1(．（第21题）22．（本题满分14分）已知R ∈a ，函数2)(x x m =，)2ln()(+=x a x n ．（Ⅰ）令⎩⎨⎧>≤=0,)(0,)()(x x n x x m x f ，若函数)(x f 的图象上存在两点A 、B 满足OB OA ⊥（O为坐标原点），且线段AB 的中点在y 轴上，求a 的取值集合；（Ⅱ）若函数)()()(x n x m x g +=存在两个极值点1x 、2x ，求)()(21x g x g +的取值范围．22．（Ⅰ）（本小题6分）由题意，不妨设))2ln(,(+t a t A ，),(2t t B -，且0>t ， ∴0=⋅OB OA ，即0)2ln(22=++-t at t ，∴)2ln(1+=t a ．∵),2(ln )2ln(+∞∈+t ，∴a 的取值集合是}2ln 10|{<<x x ． （Ⅱ）（本小题8分）)2ln()(2++=x a x x g ，242)('2+++=x ax x x g ． 要使)(x g 存在两个极值点，则0)('=x g 即0422=++a x x 在),2(+∞-上存在两不等的实根．令a x x x p ++=42)(2，∵)(x p 的图象的对称轴为1-，∴0816>-=∆a 且0)2(>-p ． ∴20<<a ．由上知⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=+222121a x x x x ． ∴)2ln()2ln()()(22212121+++++=+x a x x a x x g x g]4)(2ln[2)(212121221++++-+=x x x x a x x x x ]4)2(22ln[22)2(2+-⋅++⋅--=aa a 42ln+-=a aa ． 令42ln )(+-=x xx x q ，)2,0(∈x ， ∴02ln )('<=xx q ，)(x q 在)2,0(上单调递减， ∴ 442ln2<+-<a aa ． 故)()(21x g x g +的取值范围是)4,2(．。
2014年浙江省杭州市拱墅区各类高中招生文化考试全真模拟二模数学试题及答案
16．已知，如图双曲线 （x>0)与直线EF交于点A，点B，且AE=AB=BF，连结AO，BO，它们分别与双曲
线 （x>0)交于点C，点D，则：
（1）AB与CD的位置关系是__________；
（1）求过O，B，E三点的二次函数关系式；
（2）求直线DE的解析式和点M的坐标；
（3）若反比例函数 （x＞0）的图象经过点M，
求该反比例函数的解析式，并通过计算判断
点N是否在该函数的图四边形ABCD中，E为BC边上的一点，且AE与DE分别平分 和
（1）求证： ；
6．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，
使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，
扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（）
A．rB．2 rC． rD．3r
7．小兰画了一个函数 的图象如图，那么关于x的
分式方程 的解是（）
A．x=1B．x=2C．x=3D．x=4
8．在平面直角坐标系中，设点P到原点O的距离为 ，OP与
（1）用列表法或画树状图表示出（x，y）的所有可能出现的结果；
（2）求小强、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在一次函数 的图象上的概率；
（3）求小强、小华各取一次小球所确定的数x、y满足 的概率.
20．（本题满分10分）
如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．
现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形，使黑色部分成为轴对称图形，这样的白色小方格有：__________（填字母）．
年全国高中数学联赛浙江省预赛试题及答案（word版本）
年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷一、选择题 1、下列三数16273,log 82,log 1242的大小关系正确的是 （ ） A 、16273log 82log 1242<< B 、27163log 124log 822<<C 、27163log 124log 822<<D 、27163log 124log 822<<2、已知两点A （1,2），B （3,1）到直线L 252L 共有（ ）A 、1条B 、2条C 、 3条D 、 4条3、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如()22212312314f =++=。
记1()()f n f n =，1()(())k k f n f f n +=，1,2,3...k =，则2006(2006)f =（ ）A 、20B 、4C 、42D 、1454、设在xOy 平面上，20y x <≤，01x ≤≤所围成图形的面积为13，则集合 {}{}2(,)|||||1,(,)|||1M x y y x N x y y x =-≤=≥+的交集M N ⋂所表示的图形面积为（ ）A 、13 B 、23 C 、1 D 、435、在正边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（ ）。
A 、B 、21003 C 、210031003- D 、210031002- 6、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2x o π∈时的最小值为（ ）。
A 、2B 、4C 、6D 、8 二、填空题7、手表的表面在一平面上。
整点1,2,,12这12个数字等间隔地分布在半径为22的圆周上。
从整点i 到整点()1i +的向量记作1i i t t +，则1223233412112t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅++⋅＝ 。
2014届浙江数学(文)高考模拟卷二
是否开始S =1n =1n =n +1S =S +(-1)n +1n 2输出S 结束第（4）题2014届浙江高三数学（文）高考模拟卷二试卷来源：嘉兴一中、绍兴一中、慈溪实验高级中学 2014.1.27考生须知：1、全卷分试卷I 、II ，试卷共4页，有五大题，满分150分。
考试时间120分钟。
2、本卷答案必须做在答卷I 、II 的相应位置上，做在试卷上无效。
3、请用蓝、黑墨水笔或圆珠笔将姓名、准考证号分别填写在答卷I 、II 的相应位置上，用2B 铅笔将答卷I 的准考证号和学科名称所对应的方框内涂黑。
参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么 棱柱的体积公式P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =31Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 P n (k )=C kn p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n )球的表面积公式棱台的体积公式S = 4πR 2)2211(31S S S S h V ++=球的体积公式其中S 1, S 2分别表示棱台的上.下底面积, h 表示棱台 V =34πR 3的高 其中R 表示球的半径选择题部分(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M ＝{0，1，2，3}， N ＝{x |12＜2x ＜4}，则集合M ∩(C R N )等于（ ▲ ）A ．{0，1，2}B ．{2，3}C ．∅D ．{0，1，2，3}2．设i 是虚数单位，若复数10()3a a R i-∈-是纯虚数，则a 的值为（ ▲ ） A ．3-Ｂ． 1- Ｃ．1Ｄ．33．已知))(sin()(R x x f ∈+=ϕϕ，则“2πϕ=”是“)(x f 是偶函数”的（ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如右图所示的算法流程图中输出的最后一个数为10-，则判断框中的条件是（ ▲ ）A ． 4?n < Ｂ． 4?n ≥ Ｃ． 5?n ≥ Ｄ．5?n < 5．若函数()(01)xxf x ka a a a -=->≠且在（-∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数()log ()a g x x k =+的图象是（▲）第（6）题Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 6．函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ▲ ） Ａ．2,3π-Ｂ．2,6π-Ｃ．4,6π-Ｄ．4,3π7. 设a 是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则下列说法正确的是（ ▲ ）A ． 过a 一定存在平面β,使得αβ//B ． 过a 一定不存在平面β,使得αβ⊥C ． 在平面α内一定存在直线b ，使得b a ⊥D ． 在平面α内一定不存在直线b ，使得b a // 8． 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ▲ ） A ．13B ．12C ．23D ．349．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为e ，过2F 的直线与双曲线的右支交于B A ,两点，若AB F 1∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则=2e （ ▲ ）Ａ．221+ Ｂ．224- Ｃ．225- Ｄ．223+10．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时不等式()()'0f x xf x +<成立，若()0.30.333a f =⋅，)log (.log 33ππf b = 3311,log log 99c f ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则 , , a b c 大小关系是（ ▲ ）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．a c b >>非选择题部分(共100分)二.填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11．某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图(如图)，则这1000名学生在该次自主招生水平测试中不低于70分的学生数是 ▲ ． 12．一个多面体的直观图及三视图如图所示（其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点），则多面体F —MNB 的体积= ▲ ．13．若实数,x y 满足不等式组2,24,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则x y z 1+=的最小值是 ▲ ．14．从1到100的正整数中删去所有2的倍数及3的倍数后，剩下数有 ▲ 个．15．设1x 、2x 是关于x 的方程220x mx m m ++-=的两个不相等的实数根，那么过两点211(,)A x x ，222(,)B x x 的直线与圆22(1)(1)1x y -+-=的位置关系是 ▲ ．（相交、相离、相切 ）16．向量d c b a ,,,满足: 1=||a ,2=||b ,b 在a 上的投影为21,0=-⋅-)()(c b c a ,1=-||c d ，则||||d c +的最大值是 ▲ ．17．定义：关于x 的两个不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(,)a b 和11(,)b a ，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式2cos 220x θ-+<与不等式224s i n 210x x θ++<为对偶不等式，且(0,)θπ∈，则θ= ▲ ． 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A a C = （Ⅰ）求角C 的大小；cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．19．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比是正数的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知1122331,3,815a b a b T S ==+=-= （Ⅰ）求{},{}n n a b 的通项公式．（Ⅱ）若数列{}n c 满足112211(1)(2)1()n n n n a c a c a c a c n n n n N *--++++=+++∈ 求数列{}n c 的前n 项和n W ．20. （本题满分14分）如图，四棱锥P －ABCD ，P A ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝12CD ＝2，P A ＝2，E ，F 分别是PC ，PD 的中点． (Ⅰ) 证明：EF ∥平面P AB ；(Ⅱ) 求直线AC 与平面ABEF 所成角的正弦值．21．已知函数x xe x f =)(()x ∈R .（Ⅰ）求函数()x f 的单调区间； （Ⅱ）若()3f x kx k '≥-对一切[)1,x ∈-+∞恒成立，求正实数k 的取值范围.22．设动点(),P x y ()0x ≥到定点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到y 轴的距离大12．记点P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）设圆M 过()1,0A ，且圆心M 在P 的轨迹上，BD 是圆Ｍ在y 轴的截得的弦，当Ｍ运动时弦长BD 是否为定值？说明理由；（Ⅲ）过1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭作互相垂直的两直线交曲线C 于G 、H 、R 、S ，求四边形GRHS 面积的最小值．AB CD PEF(第20题图)2014届浙江数学（文）高考模拟卷二参考答案二、填空题11. 60012.三分之八13.1214.33 15. 无解 16. 23+ 17.三、解答题18.．（1）由正弦定理得：sin sin sin cos A C A C =，因为0A π<<故sin 0A >； 从而sin cos cosC 0C C =≠又，所以tan 1C =，则4C π= ----------4分（2）由（1）知34B A π=-，于是 cos()cos()4cos 2sin()6A B A A A A A πππ-+=--=+=+3110,46612A A ππππ<<∴<+<，从而62A ππ+=即3A π=时， 2sin()6A π+取最大值2cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,312A B ππ==19. ⑴ 设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q111,3a b == 由 228a b +=，得 138d q ++= ①由 3315T S -= 得 23(1)(33)15q q d ++-+= ②化简①② 23735q d q q d +=⎧∴⎨+-=⎩消去d 得24120q q +-= 2q ∴=或6q =-0q >2q ∴= 则 1d =n a n ∴= 132n n b -=⋅ （7分）⑵n a n =12323c c c ∴+++…(1)(2)1n nc n n n +=+++ ①当2n ≥时，12323c c c +++…1(1)(1)(1)1n n c n n n -+-=-++ ②由①-②得3(1)n nc n n =+33n c n ∴=+ (2)n ≥又由⑴得17c =337n n c +⎧∴=⎨⎩ (2)(1)n n ≥={}n a ∴的前n 项和7912n w =+++…33n ++2633391()122n n nn +++=+⋅=+ （14分）20．(Ⅰ) 因为E ，F 分别是PC ，PD 的中点，所以EF ∥CD ，———————————2分 又因为CD ∥AB ， 所以EF ∥AB ， ————————————4分又因为EF ⊄平面P AB所以EF ∥平面P AB ． ………… 6分(Ⅱ) 取线段P A 中点M ，连结EM ，则EM ∥AC ，故AC 与面ABEF 所成角的大小等于ME 与面ABEF 所成角的大小．——————— 8分作MH ⊥AF ，垂足为H ，连结EH ．—————9分 因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AB ， 又因为AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面P AD ， 又因为EF ∥AB ， 所以EF ⊥平面P AD ．因为MH ⊂平面P AD ，所以EF ⊥MH ， 所以MH ⊥平面ABEF ，所以∠MEH 是ME 与面ABEF 所成的角．—————12分在直角△EHM 中，EM ＝12ACMH，得sin ∠MEH．———13分所以AC 与平面ABEF． ………… 14分21.解：（Ⅰ）xe x xf )1()(+='， …………………2分当(),1x ∈-∞-时，()0f x '<；当()1,x ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 的单调递增区间为()1,-+∞，单调递减区间为(),1-∞-.………5分（Ⅱ）由已知条件可知，原不等式等价于(1)xx e +(31)k x ≥-，当113x -≤≤时，0k >，(31)0k x ∴-≤， 而(1)0xx e +≥，此时不等式显然成立；………………………7分A BCDP EF(第20题图)MH当13x >时，(1)31x x e k x +≤-. ………………8分设()g x =(1)1()(31)3x x e x x +>-，2'2(325)().(31)x x x e g x x +-=-………………9分 '()0g x =令得53x =-或1x =， …………………………10分当1,1)3x ∈(时，'()0g x <，()g x 单调递减，…………11分当,)x ∈+∞(1时，'()0g x >，()g x 单调递增，……………12分 故当1x =时，()g x 有最小值e ，………………………13分 即得0k e <≤. …………………15分 22.(Ⅰ) 由题意知，所求动点(),P x y 为以1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，直线1:2l x =-为准线的抛物线，方程为22y x =.（Ⅱ）因为圆心M 在抛物线22y x =上，可设圆心2(,)2a M a，半径r =，圆的方程为222222()()(1)22a a x y a a -+-=-+，令0x =，得(0,1)B a +，(0,1)D a -+，所以||2BD =，所以弦长||BD 为定值.（Ⅲ）设过F 的直线方程为1()2y k x =-，11(,)G x y ，22(,)H x y ，由21()22y k x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩得2222(2)04k k x k x -++=， 由韦达定理得12221x x k +=+，1214x x =，所以||GH =222k=+，同理2||22RS k =+. 所以四边形GRHS 的面积()22221212222282T k k k k ⎛⎫⎛⎫=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即四边形GRHS 面积的最小值为8.。
浙江省杭州市2014届高三命题比赛 数学理(13) Word版含答案
2014年高考模拟试卷数学卷（理科）注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ⋅B ）=P （A ）⋅P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是p,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为：()(1)k k n kn n P k C p p -=- 柱体体积公式：V=sh ，其中S 为底面面积，h 为高； 锥体体积公式：V=13sh ，其中S 为底面面积，h 为高； 球的体积公式：V=34R π，其中R 为球的半径。
第Ⅰ卷（共50分）一. 选择题 : 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1、【原创】设集合{},log(x 4),{y 2sin(x ),x R}4U R A x y B y π===-==+∈，{}C x x A x B=∈∉且, C= ( )A.{x 4}x >B.{x 2}x ≥C.{x 2}x <D.{x 22}x -≤≤2、【原创】已知复数1(1i)a bi i +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．23、【改编】已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中真命题是（ ）①若,,m m αβ⊥⊥则//αβ； ②若,,αγβα⊥⊥则//γβ； ③若,,//,m n m n αβ⊂⊂则//αβ；④若m 、n 是异面直线，,//,,//,m m n n αββα⊂⊂则//αβA ．①和②B ．①和③C ．③和④D ．①和④ 4、【原创】若n xx )1(2+)(*∈N n 的二项展开式中第5项和第7项的二项式系数相等，则常数项的值为（ ）A.9B.45C.120D.185、【改编】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222a b bc -=，sinB sinC =，则A =( )A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π6、【原创】D 是ABC ∆中边BC 上（不包括B 、C 点）的一动点，且满足AD AB AC αβ=+，则11αβ+的最小值为（ ）A. 3B.4C.5D.67、【改编】如图，已知过椭圆()222210x y a b a b +=>>的左顶点A 作直线交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形，且Q 为AP 的中点，则椭圆的离心率为 （ ）8、【改编】一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（ ）A 、B 、C 、D 、9、已知2a b >≥．现有下列不等式：①23b b a >-；②4221ab a b+<+；③ab a b >+;④log 3log 3a b >其中正确的是（ ） Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②④ Ｄ．③④10、【改编】定义在R 上的奇函数f(x)，当0≥x 时，[)[)21,0,1(x)31,1,xx f x x ⎧-∈⎪=⎨--∈+∞⎪⎩，则函数)10()()(<<-=a a x f x F 的所有零点之和为（ ）A ．12-a B.12--aC.2log (a 1)+D.2log (a 1)-二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11、【原创】设2(x)2sin3xf π=，则(1)(2)(3)(2014)f f f f ++++的值为 .12、【原创】某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样的的方法抽出样本容量的n 的样本，样本中A 型产品有16件，那么样本容量n 为 .13、【改编】已知某个多面体的三视图（单位cm ）如下图所示，则此多面体的体积是 3cm .14、【原创】某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的S= .（正视图）（侧视图）（俯视图）（第13题）15、某铁路货运站对6列货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有 种．16、【改编】圆221:(x 6)(y 4)1c -+-=，圆222:(x 3)(y 4)16c -+-=，M 、N 分别是圆1c ，2c 上的动点，P 为y 轴上的动点，则||||PM PN +的最小值为 17、【改编】下列给出的四个命题中：①已知数列{}n a ，那么对任意的*n N ∈，点(,)n n P n a 都在直线21y x =+上是{}n a 为等差数列的充分不必要条件；②“2m =-”是“直线(2)10m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的必要不充分条件；③设圆22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->与坐标轴有4个交点，分别为1(,0)A x ，2(,0)B x ，1(0,)C y ，(0,D 2)y ，则12120x x y y -=；④将函数cos 2y x =的图像向右平移3π个单位，得到函数sin(2)6y x π=-的图像．其中为真命题的是______________________（填序号）三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．）（第14题）18. 【原创】（本小题满分14分）已知向量a =(sin(2π+xx )，b =(sin x ,cos x ), f (x )= a b ⋅．⑴求f (x )的最小正周期和单调减区间； ⑵如果ABC ∆中，满足f (AA 的值．19．【改编】（本小题满分14分）等差数列{}n a （0>d ）中，12a =，且它的第1项，第3项，第11项分别是等比数列{}n b （0q >）的第1项，第3项，第5项。
2014浙江省高等数学竞赛试题(含答案)
工科类参考答案一计算题：（每小题1４分，满分７0分）1．求极限[][]sin limcos n na n x x n n→+∞++其中表示不大于 的最大整数。
解：[] 1na na na -<≤ []s i n 1s i n s i ncos cos cos na n na na n n n n n n n+-++∴<≤+++且sin 1sin limlim cos cos n n na n na na n n n n →+∞→+∞+-+==++ []s i n l i m c o s n na n a n n→+∞+=+∴2．求不定分2min{2,,43}x x x dx +-⎰。
解：22 2 1min{2,,43} [1,1]43 1x x x x x x x x x +<-⎧⎪+-=∈-⎨⎪->⎩所以2min{2,,43}x x x dx +-⎰23122/22 1/3 [1,1]43/2 1x x c x x c x x x c x ⎧++<-⎪=+∈-⎨⎪-+>⎩由积分的连续性2m i n {2,,43}xx x d x +-⎰232/22 1/37/6 [1,1]43/210/3 1x x c x x c x x x c x ⎧++<-⎪=+-∈-⎨⎪-+->⎩3．设(2014)()ln((0)f x x x f =+求。
解：记()ln(g x x =+则()g x '= 记0.5()(1)h t t -=+()0.5()(1)0.5(0.51)(0.51)(1)n n n h t n t --=-++-+0.5(1)(21)!!(1)/2n n n n t --=--+所以 ()0(0)()!n n n h h t t n +∞==∑0(1)(21)!!2!n n n n n t n +∞=--=∑22(1)(2)!2(!)n nn n n t n +∞=-=∑ 2220(1)(2)!()2(!)n n n n n g x x n +∞=-'⇒=∑21220(1)(2)!()2(!)(21)n n n n n g x x n n +∞+=-⇒=+∑工科类参考答案22220(1)(2)!()2(!)(21)n n n n n f x x n n +∞+=-⇒=+∑(2014)22201422(0)(1)(2)!(2014)!2(!)(21)n n nf n n n +=-⇒=+(2014)20122(2012)!(0)(2014)!2((1006)!)(2013)f ⇒=4．求极限220cos(1)lim xxx t dt t+→+⎰。
2014年浙江省高中数学竞赛模拟卷一
2014年浙江省高中数学竞赛模拟卷一1．（2013年高考上海卷（理））钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件2 ．（2013年高考新课标1（理））若复数z 满足(34)|43|i z i -=+,则z 的虚部为（ ）A ．4-B ．45-C ．4D ．453 ．（2013年高考新课标1（理））设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 4 ．（2013年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+5 ．（2013年辽宁（理））在ABC ∆内，角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则 B ∠=（ ）A.6π B.3π C.23π D.56π6 ．（2013年重庆）若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( )A.(),a b 和(),b c 内B.(),a -∞和(),a b 内C.(),b c 和(),c +∞内D.(),a -∞和(),c +∞内7．（2013年辽宁理）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值,{}min ,p q 表示,p q 中的较小值,记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（ ）(A)2216a a -- (B)2216a a +- (C)16- (D)168 ．（2013年高考湖南卷（理））已知,a b 是单位向量,0=⋅b a .若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是（ ）A ．⎤⎦B ．⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦9．（2013年高考新课标1（理））设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______10．（2013年广东省数学（理））在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.11．（2013年高考湖南卷（理））设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点,P是C 上一点,若a PF PF 6||||21=+且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为 .12．（2012年高考（浙江理））设a ∈R ,若x >0时均有[(a -1)x -1]( x 2-ax -1)≥0,则a =______________.13．（2013年高考新课标1（理））如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°(1) 若PB=12,求PA;(2) 若∠APB=150°,求tan ∠PBA14．（2013年安徽（理））设函数22()(1)f x ax a x =-+,其中0a >,区间}0)(|{>=x f x I(Ⅰ)求I 的长度(注:区间(,)αβ的长度定义为βα-);(Ⅱ)给定常数(0,1)k ∈,当k a k +≤≤-11时,求I 长度的最小值.15．（2013年新课标Ⅱ卷（理））平面直角坐标系xOy 中,过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的右焦点F 作直0x y +=交M 于,A B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12. (Ⅰ)求M 的方程;(Ⅱ),C D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.。
2014年浙江省高中数学竞赛模拟卷三
2014年浙江省高中数学竞赛模拟卷三1 ．（2013年高考湖北卷（理））在一次跳伞训练中,甲.乙两位学员各跳一次,设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）A ．()()p q ⌝∨⌝B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∨2．（2013年安徽（理））"0"a ≤是“函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3 ．（2013年高考四川卷（理））函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( ) (A)2,3π-(B)2,6π- (C)4,6π- (D)4,3π4．（2013年辽宁（理））已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为（ ）A B ． C ．132 D ．5．（2013年上海市春季高考）已知 A B 、为平面内两定点,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅,其中λ为常数,则动点M 的轨迹不可能是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线 6．（2013年重庆）已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为（ ）A ．4B 1C ．6-D7．（2013年重庆）已知复数512i z i=+(i 是虚数单位),则_________z = 8．（2013年高考湖南卷（理））设n S 为数列{}n a 的前n 项和,1(1),,2n n n n S a n N *=--∈则 3a = ，=2013a9．（2013年江苏卷）设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点,AB AD 21=,BC BE 32=,若21λλ+= (21λλ，为实数),则21λλ+的值为__________.10．（2013年高考上海卷（理））若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=,则sin()________x y +=11．（2013年高考上海卷（理））已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>;(1)若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增,求ω的取值范围;(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像,区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)满足:()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.12．（2013年上海市春季高考）已知真命题:“函数()y f x =的图像关于点( )P a b 、成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x a b =+- 是奇函数”.(1)将函数32()3g x x x =-的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数()g x 图像对称中心的坐标;(2)求函数22()log 4x h x x=- 图像对称中心的坐标; (3)已知命题:“函数 ()y f x =的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a 和b,使得函数()y f x a b =+- 是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).13．（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.。
2014年高考杭州二中数学模拟试卷(含答案)
绝密★考试结束前2014年普通高等学校招生适应性考试数 学（理科）姓名 准考证号 本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分 (共50分)注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式： 球的表面积公式 柱体的体积公式 S =4πR 2 V =Sh球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 V =34πR 3 台体的体积公式 其中R 表示球的半径 V =31h (S 1+21S S +S 2) 锥体的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积， V =31Sh h 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高如果事件A ，B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．（5分）设复数，其中a 为实数，若z 的实部为2，则z 的虚部为（ ）2．（5分）命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（ ），，α≠5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数4．（5分）设a=（3x2﹣2x）dx，则（ax2﹣）6的展开式中的第4项为（）B={y|框图中输出的y值}；当x=﹣1时，（∁uA）∩B=（）6．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，B7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）8．（5分）某工厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．若生产该产品900千克，则该工厂获得最大利润时的9．（5分）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，B10．（5分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若关于x的方程（a ．．．D．二、填空题（本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分）（一）必考题（11-14题）11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为_________．12．（5分）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为_________（结果用数值表示）．13．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则=_________．14．（5分）在圆中有如下结论：“如图1，AB是圆O的直径，直线AC，BD是圆O过A、B的切线，P是圆O上任意一点，CD是过P的切线，则有PC•PD=PO2”．类比到椭圆：“如图2，AB是椭圆的长轴（其中O为椭圆的中心，F1、F2为椭圆的两个焦点），直线AC，BD是椭圆过A、B的切线，P是椭圆上任意一点，CD是过P的切线，则有PC•PD=_________．选考题（在第15、16两题中任选一题作答）选修4-1：几何证明选讲15．（5分）如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF 的长为_________．选修4-4：坐标系与参数方程16．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=_________．三、解答题（本大题共6小题，共75分）17．（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．18．（12分）已知数列{a n}是正项数列，{b n}是等差数列，b n，，b n+2成等比数列，且a1=3，a3=15．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为S n，证明S n＜．19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，点A1在底面ABC 的投影是线段BC的中点O．（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的正弦值．20．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为x的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100，110））则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110）的频率，求T的数学期望．21．（13分）在直角坐标系xoy中，曲线C1上的点均在C2：（x﹣5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．（Ⅰ）求曲线C1的方程（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别于曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．22．（14分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=k•．（Ⅰ）求函数F（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，函数f（x）＞g（x）恒成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）设正实数a1，a2，a3，…，a n满足a1+a2+a3+…+a n=1，求证：ln（1+）+ln（1+）+…+ln （1+）＞．详细解答一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设复数，其中a为实数，若z的实部为2，则z的虚部为（）求解虚部．Z=Z===的虚部为=2．（5分）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（），，α≠α≠3．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数4．（5分）设a=（3x2﹣2x）dx，则（ax2﹣）6的展开式中的第4项为（）=4﹣的通项为﹣=5．（5分）已知全集U=Z，Z为整数集，如图程序框图所示，集合A={x|框图中输出的x值}，B={y|框图中输出的y值}；当x=﹣1时，（∁uA）∩B=（）6．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，BsinAsinBcosC+sinCsinBcosA==sinB=B=7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）=8．（5分）某工厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．若生产该产品900千克，则该工厂获得最大利润时的﹣）﹣））+5﹣9．（5分）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，B，即，＞同样地，当，即所以双曲线的离心率的范围是10．（5分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若关于x的方程（a为常数）有且仅有3个不等的实根，则a的取值范围是（）．．．D．的方程等价于有且仅有的方程=0故＜，且，则≥＜，且=＜＜，有，若综上所述，＜或≤．二、填空题（本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分）（一）必考题（11-14题）11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为．，解得，，故答案为：12．（5分）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）．人中只有男同学或只有女同学的概率为：，﹣．故答案为：．13．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则=18．代入向量的数量积=||||cos∴|OAP=2|OAP=2||=6由向量的数量积的定义可知，=||||cos14．（5分在圆中有如下结论：“如图1，AB是圆O的直径，直线AC，BD是圆O过A、B 的切线，P是圆O上任意一点，CD是过P的切线，则有PC•PD=PO2”．类比到椭圆：“如图2，AB是椭圆的长轴（其中O为椭圆的中心，F1、F2为椭圆的两个焦点），直线AC，BD 是椭圆过A、B的切线，P是椭圆上任意一点，CD是过P的切线，则有PC•PD=PF1•PF2．选考题（在第15、16两题中任选一题作答）选修4-1：几何证明选讲15．（5分如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF的长为．故答案为：．选修4-4：坐标系与参数方程16在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=16．化成直角坐标方程，再代入曲线三、解答题（本大题共6小题，共75分）17．（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．2=1），解不等式x+，sinx﹣cosx+sinx==）=2．sinxsinx+x+≥+x+，+18．（12分）已知数列{a n}是正项数列，{b n}是等差数列，b n，，b n+2成等比数列，且a1=3，a3=15．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为S n，证明S n＜．，并将其裂成，求出前，∴19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，点A1在底面ABC 的投影是线段BC的中点O．（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的正弦值．=1．得坐标是的法向量是得∴夹角的正弦值为20．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为x的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100，110））则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110）的频率，求T的数学期望．．21．（13分）在直角坐标系xoy中，曲线C1上的点均在C2：（x﹣5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．（Ⅰ）求曲线C1的方程（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别于曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．且圆利用直线与圆相切可得；同理可得，由此可得且圆∴∴，整理得∴由∴同理可得⑤==22．（14分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=k•．（Ⅰ）求函数F（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，函数f（x）＞g（x）恒成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）设正实数a1，a2，a3，…，a n满足a1+a2+a3+…+a n=1，求证：ln（1+）+ln（1+）+…+ln （1+）＞．（，对于分子）恒成立，令（，的两正根为）在单调递减，时，单调递增区间为．）在）在在（∴∴∴。
2014年浙江省杭州二中高考仿真考数学试卷(文科)
2014年浙江省杭州二中高考仿真考数学试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设i是虚数单位，（1+i）=3-i，则复数Z=（）A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i【答案】A【解析】解：由（1+i）=3-i，得（1+i）（1-i）=（3-i）（1-i），2=2-4i，∴=1-2i∴z=1+2i，故选：A．由（1+i）=3-i求出，再根据共轭复数的概念求解．本题考查了复数代数形式的基本运算，复数共轭复数的概念．属于基础题．2.设集合M={x∈Z|0≤x＜2}，P={x∈R|x2≤4}，则M∩P=（）A.{1}B.（0，1）C.MD.P【答案】C【解析】解：M={x∈Z|0≤x＜2}={0，1}，P={x∈R|x2≤4}={x|-2≤x≤2}，则M∩P={0，1}=M，故选：C先求出集合M，P的对应元素，根据集合关系和运算即可得到结论．本题主要考查集合的基本运算，利用不等式的解法求出集合M，P是解决本题的关键，比较基础．3.等差数列{a n}的前n项的和为S n，且S7-S4=4π，则tana6=（）A.1B.C.D.2【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n}的前n项的和为S n，且S7-S4=4π，∴（7a1+）-（4+）=3a1+15d=4π，∴a6=a1+5d=，∴tana6=tanπ=tan=．故选：C．由已知条件利用等差数列的前n项和公式求出3a1+15d=4π，从而得到a6=a1+5d=，由此能求出tana6．本题考查数列的第六项的正切值的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的灵活运用．4.在△ABC中，∠A＜30°是cos A＞的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：在△ABC中，若“cos A＞”成立，则有“A＜60°成立；反之在△ABC中，若“A ＜60°成立则“cos A=＞”成立，∴在△ABC中，∠A＜30°是cos A＞的充分不必要条件．故选：A．判断出若“cos A＞”成立，则有“A＜60°成立；反之在△ABC中，若“A＜60°成立则“cos A=＞”成立，利用充要条件的定义得到结论．判断一个命题是另一个命题的什么条件，应该先确定出条件，然后两边互推，利用充要条件的有关定义进行判断．5.已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC.若m∥α，m∥β，则α∥βD.若m⊥α，n⊥α，则m∥n【答案】D【解析】解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；B、α，β垂直于同一个平面γ，故α，β可能相交，可能平行，故B错误；C、α，β平行与同一条直线m，故α，β可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．故选D．通过举反例可得A、B、C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D正确，从而得出结论．本题考查两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，注意考虑特殊情况，属于中档题．6.当变量x，y满足约束条件时，的最大值为8，则实数m的值是（）A.-4B.-3C.-2D.-1【答案】A【解析】解：依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数z=x-3y，∴当变量x，y满足约束条件时，的最大值为8，由于得到A的坐标（-4，-4）∴当直线经过A（-4，-4）时，z取到最大值，Z max=8．则实数m的值是：-4故选A．先根据约束条件画出可行域，设z=x-3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x-3y过可行域内的点A时，从而得到z=x-3y的最大值即可求得实数m的值．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．7.执行如图所示的程序框图，输出的结果是15，则a的初始值m（m＞0）有多少种可能（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：若程序执行一次，由输出结果为15，故执行循环体前a的值为7，满足m＞0；若程序执行两次，由输出结果为15，故第二执行循环体前a的值为7，满足m＞0；故第一执行循环体前a的值为3，满足m＞0；若程序执行三次，由输出结果为15，故第三执行循环体前a的值为7，满足m＞0；故第二执行循环体前a的值为3，故第一执行循环体前a的值为1，满足m＞0；若程序执行四次或四次以上，则a的初始值m≤0；综上所述，a的初始值m（m＞0）有3种可能，故选：C根据已知中的输出的结果是15及程序框图，逆向分析程序的运行过程，分析出满足条件的a的初始值m，最后综合讨论结果，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，与一般程序题目不同，该题是逆向思维，知道输出结果，求输出的a值．8.函数y=图象上存在不同的三点到原点的距离成等比数列，则，，，，2这五个数中可以成为公比的数的个数是（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】解：∵y=，∴（x+2）2+y2=1，（y≥0），对应的图象为圆心（-2，0），半径r=1的上半圆．则圆上的点到原点的距离的最小值为OA=1，最大值为OB=3，若函数y=图象上存在不同的三点到原点的距离成等比数列，则不妨设a1=1，则由题意可知a n=3，n≥3，则a n=3=q n-1，则当n=3时，q2=3，解得q=，此时公比最大，若a1=3，则由题意可知a n=1，n≥3，则a n=3q n-1=1则当n=3时，q2=，解得q=，此时公比最小，即满足条件的公比的q满足，则则，，，，2这五个数中可以成为公比的数为，，共有三个，故选：B由题意可知，函数图象为上半圆，根据图象可得圆上点到原点的最短距离为1，最大距离为3．根据等比数列的性质建立方程，可计算出公比的范围，从而判断出结论．本题的考点是等比关系的确定，主要考查等比数列的定义，等比中项以及函数作图，属于中档题．9.若关于x的两个方程a1-x=x，a1+x=-x的解分别为m，n（其中a＞1的常数），则m+n 的值（）A.大于0B.小于0C.等于0D.以上值都不对，与a的值有关【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=a1-x的图象和函数f（x）=x的图象恒交于点（1，1），∴方程a1-x=x的解m=1，∵函数f（x）=a1+x的图象和函数f（x）=-x的图象恒交于点（-1，1），∴n=-1，∴m+n=0故选：C．根据指数函数的性质，可知两个方程a1-x=x，a1+x=-x恒经过点（1，1）和（-1，1），继而求出m，n的值，问题得以解决．本题主要考查了指数函数的性质和方程的解的问题，方程的解可以看作两个函数图象的交点的横坐标．10.如图，点P在双曲线-=1的右支上，F1，F2分别是双曲线的左右焦点，|PF2|=|F1F2|，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率e（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】解：设PF1与圆相切于点M，因为|PF2|=|F1F2|，所以△PF1F2为等腰三角形，所以|F1M|=|PF1|，又因为在直角△F1MO中，|F1M|2=|F1O|2-a2=c2-a2，所以|F1M|=b=|PF1|①又|PF1|=|PF2|+2a=2c+2a②，c2=a2+b2③由①②③解得=．故选：B．先设PF1与圆相切于点M，利用|PF2|=|F1F2|，及直线PF1与圆x2+y2=a2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值．本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，属于中档题．二、填空题(本大题共7小题，共28.0分)11.将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量=（m，n），=（3，6），则向量与共线的概率为______ ．【答案】【解析】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有6×6=36种结果，满足条件事件是向量=（m，n）与=（3，6）共线，即6m-3n=0，∴n=2m，满足这种条件的有（1，2）（2，4）（3，6），共有3种结果，∴向量与共线的概率P=，故答案为：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有6×6种结果，满足条件事件是向量共线，根据向量共线的条件得到6m-3n=0即n=2m，列举出所有的结果数，得到概率．本题考查古典概型及其概率公式，考查向量共线的充要条件，考查利用列举法得到所有的满足条件的事件数，本题是一个比较简单的综合题目．12.如图根据频率分布直方图估计该组数据的中位数是______ （精确到0.1）【答案】11.1【解析】解：由图知，又最左边的小矩形的面积是0.08，第二个小矩形的面积为：0.32，最高的小矩形的面积是0.36，故可设中位数是x则0.08+0.32+（x-10）0.09=0.5，解得x=11.1由此知，此组数据的中位数是11.1，故答案为：11.1．由频率分布直方图估计样本数据的中位数，中位数，出现在概率是0.5的地方．本题考查频率分布直方图，解题的关键是熟练掌握根据直方图求中位数的规律．13.已知，，，，，，则与夹角的正弦值为______ ．【答案】【解析】解：设=（x，y），则由=-=（x-2，y-2）=（2，1），可得，即=（4，3），∴cos＜，＞===，故sin＜，＞=，故答案为．设=（x，y），则由=-=（2，1），求得x、y的值，可得的坐标，再利用两个向量的夹角公式求得与夹角的余弦值，从而求得则与夹角的正弦值．本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量的夹角公式的应用，属于中档题．14.某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为______ ．【答案】【解析】解：设正视图正方形的边长为m，根据正视图与俯视图的长相等，得到俯视图中椭圆的短轴长2b=m，俯视图的宽就是圆锥底面圆的直径m，得到俯视图中椭圆的长轴长2a=m，则椭圆的焦距=m，根据离心率公式得，e==故答案为：．根据三视图的性质得到俯视图中椭圆的短轴长和长周长，再根据椭圆的性质a2-b2=c2，和离心率公式，计算即可．本题主要考查了椭圆的离心率公式，以及三视图的问题，属于基础题．15.定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（lgx）＞的解集为______ ．【答案】（0，10）【解析】解：设g（x）=f（x）-x，由f′（x）＜，得到g′（x）=f′（x）-＜0，∴g（x）为减函数．又f（1）=1，∵f（lgx）＞=lgx+，∴g（lgx）=f（lgx）-lgx＞=g（1）=f（1）-=g（lg10），∴lgx＜lg10，0＜x＜10，故不等式f（lgx）＞的解集为（0，10），故答案为：（0，10）．设g（x）=f（x）-x，由f′（x）＜，得到g′（x）小于0，得到g（x）为减函数，将所求不等式变形后，利用g（x）为减函数求出x的范围，即为所求不等式的解集．此题考查了其他不等式的解法，涉及的知识有：利用导数研究函数的增减性，对数函数的单调性及特殊点，以及对数的运算性质，是一道综合性较强的试题，属于中档题．16.已知x＞0，y＞0，且x+y++=10，则x+y的最大值为______ ．【答案】【解析】解：∵x＞0，y＞0，x+y++=10，∴+=10-（x+y），∵（x+y）（+）=2+=4∴（x+y）[10-（x+y）]=-（x+y）2+10（x+y）≥4即（x+y）2-10（x+y）+4≤0∴5-≤x+y≤5+即x+y的最大值为故答案为：由已知可得+=10-（x+y），代入（x+y）（+）=2+=4，可得关于x+y的不等式，解不等式可求x+y的范围，即可求解本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，二次不等式的求解，解题的关键是两者的灵活结合17.圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）．若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为______ ．【答案】【解析】解：以AB所在直线为x轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系，则A（-1，0，0），B（1，0，0），，，，，，，设P（x，y，0）．于是有=（1，0，），=（x，y，-）．由于AM⊥MP，所以（1，0，）•（x，y，-）=0，即x=，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为故答案为建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P的轨迹方程，得到P的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长．本题考查通过建立坐标系，将求轨迹问题转化为求轨迹方程、考查向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、圆的弦长的求法．三、解答题(本大题共5小题，共72.0分)18.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acos C-=b．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC的周长的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵acos C-=b，∴根据正弦定理，得sin A cos C-sin C=sin B．又∵△ABC中，sin B=sin（π-B）=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C，∴sin A cos C-sin C=sin A cos C+cos A sin C，化简得-sin C=cos A sin C，结合sin C＞0可得cos A=-∵A∈（0，π），∴A=；（Ⅱ）∵A=，a=1，∴根据正弦定理，可得b===sin B，同理可得c=sin C，因此，△ABC的周长l=a+b+c=1+sin B+sin C=1+[sin B+sin（-B）]=1+[sin B+（cos B-sin B）]=1+（sin B+cos B）=1+sin（B+）．∵B∈（0，），得B+∈（，）∴sin（B+）∈（，1]，可得l=a+b+c=1+sin（B+）∈（2，1+]即△ABC的周长的取值范围为（2，1+]．【解析】（1）根据正弦定理化简题中等式，得sin A cos C-sin C=sin B．由三角形的内角和定理与诱导公式，可得sin B=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C，代入前面的等式解出cos A=-，结合A∈（0，π）可得角A的大小；（2）根据A=且a=1利用正弦定理，算出b=sin B且c=sin C，结合C=-B代入△ABC的周长表达式，利用三角恒等变换化简得到△ABC的周长关于角B的三角函数表达式，再根据正弦函数的图象与性质加以计算，可得△ABC的周长的取值范围．本题已知三角形的边角关系式，求角A的大小，并在边a=1的情况下求三角形的周长的取值范围．着重考查了正弦定理、三角函数的图象与性质、三角恒等变换和函数的值域与最值等知识，属于中档题．19.若一个数列的奇数项与偶数项分别都成等比数列，则称该数列为“亚等比数列”，已知数列{a n}：a n=2，n∈N*其中[x]为x的整数部分，如[5.9]=5，[-1.3]=-2（1）求证：{a n}为“亚等比数列”，并写出通项公式；（2）求{a n}的前2014项和S2014．【答案】解：（1）若n为偶数，不妨设n=2k，k∈Z，则[]=[k]=k=，此时a n=2=．此时==2为常数，此时数列{a n}是公比为2，首项a2=2的等比数列．若n为奇数，不妨设n=2k-1，则[]=[]=k-1==，则a n==．此时==2为常数，此时数列{a n}是公比为2，首项a1=1的等比数列．即{a n}为“亚等比数列，且a n=，，，，．（2）∵a n=，，，，，奇数项是公比为2，首项a1=1的等比数列，偶数项是公比为2，首项a2=2的等比数列，∴{a n}的前2014项和S2014=S奇+S偶==3•21007-3．【解析】（1）根据条件求数列的通项公式，利用{a n}为“亚等比数列的条件分别证明奇数项和偶数项是等比数列即可得，（2）利用分组求和和将数列分为奇数项和偶数项，然后利用等比数列的求和公式即可求{a n}的前2014项和S2014．本题主要考查等比数列的通项公式以及数列求和，根据定义求出数列的通项公式是解决本题的关键．20.在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的正方形，点C在平面AA1B1B上的射影H恰好为A1B的中点，且CH=，设D为CC1中点，（Ⅰ）求证：CC1⊥平面A1B1D；（Ⅱ）求DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．【答案】证明：方法一：（Ⅰ）因为CC1∥AA1且正方形中AA1⊥A1B1，所以CC1⊥A1B1，取A1B1中点E，则HE∥BB1∥CC1且，又D为CC1的中点，所以，得平行四边形HEDC，因此CH∥DE，又CH⊥平面AA1B1B，得CH⊥HE，DE⊥HE，所以DE⊥CC1∴CC1⊥平面A1B1D（6分）解：（Ⅱ）取AA1中点F，连CF，作HK⊥CF于K因为CH∥DE，CF∥A1D，所以平面CFH∥平面A1B1D，由（Ⅰ）得CC1⊥平面A1B1D，所以CC1⊥平面CFH，又HK⊂平面CFH，所以HK⊥CC1，又HK⊥CF，得HK⊥平面AA1C1C，所以DH与平面AA1C1C所成角为∠HDK（10分）在R t△CFH中，，在R t△DHK中，由于DH=2，∠（14分）方法二：（向量法）证明：（Ⅰ）如图，以H为原点，建立空间直角坐标系，则C（0，0，），C1（，，），A1（，，），B1（0，，0），所以，，，，，，，，∴，，因此CC1⊥平面A1B1D；（6分）解：（Ⅱ）设平面AA1C1C的法向量，，，由于，，，，，则，得，，所以，，（10分）又，，，所以（14分）【解析】方法一：常规解法（I）由已知中，棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的正方形，易得CC1⊥A1B1，取A1B1中点E，可证出DE⊥CC1，结合线面垂直的判定定理可得CC1⊥平面A1B1D；（II）取AA1中点F，连CF，作HK⊥CF于K，结合（I）的结论，我们可得DH与平面AA1C1C所成角为∠HDK，解R t△CFH与R t△DHK，即可得到DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．方法二：向量法（I）以H为原点，建立空间直角坐标系，分别求出向量，，的坐标，根据坐标的数量积为0，易得到CC1⊥A1D，CC1⊥B1D，进而根据线面垂直的判定定理得到CC1⊥平面A1B1D；（II）求出直线DH的方向向量及平面AA1C1C的法向量，代入向量夹角公式，即可求出DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定，其中方法一的关键是熟练掌握空间直线与平面关系的判定、性质及定义，方法二的关键是建立空间坐标系，将线面夹角问题转化为向量夹角的问题．21.已知函数f（x）=x|x-a|-lnx，a∈R．（Ⅰ）若a=2，求函数f（x）在区间[1，e]上的最值；（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．（注：e是自然对数的底数，约等于2.71828）【答案】解：（Ⅰ）若a=2，则f（x）=x|x-2|-lnx．当x∈[2，e]时，f（x）=x2-2x-lnx，′＞，所以函数f（x）在[2，e]上单调递增；当x∈[1，2]时，f（x）=-x2+2x-lnx，′＜．所以函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，所以f（x）在区间[1，2]上有最小值f（2）=-ln2，又因为f（1）=1，f（e）=e（e-2）-1，而e（e-2）-1＜1，所以f（x）在区间[1，e]上有最大值f（1）=1．（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．由f（x）≥0，得．（*）（ⅰ）当x∈（0，1）时，|x-a|≥0，＜，不等式（*）恒成立，所以a∈R；（ⅱ）当x≥1时，①当a≤1时，由得，即，现令，则′，因为x≥1，所以h'（x）≥0，故h（x）在[1，+∞）上单调递增，从而h（x）的最小值为1，因为恒成立等价于a≤h（x）min，所以a≤1；②当a＞1时，|x-a|的最小值为0，而＞＞，显然不满足题意．综上可得，满足条件的a的取值范围是（-∞，1]．【解析】（Ⅰ）当a=2时判断f′（x）在[2，e]，[1，2]上的符号，从而得知函数的单调性，进而求极值，再与端点处函数值作比较，可得函数最值；（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．由f（x）≥0，得（*）．分0＜x＜1，x≥1两种情况进行讨论：当0＜x＜1时易判断；当x≥1时，再按a≤1，a ＞1两种情况讨论，分离出参数a后转化为函数最值可解；本题考查利用导数研究函数的单调性、闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生解决问题的能力．22.如图，已知抛物线y2=x，过原点O作两条相互垂直的直线，分别交抛物线于点P，Q（1）求证：直线PQ过定点，并求该定点的坐标．（2）若过点Q的直线与抛物线的另一交点为R，与x轴的交点为T，且Q为线段RT的中点，求△PQT面积最小时，点Q的横坐标．【答案】（1）证明：设OP：y=kx，与抛物线y2=x交于P（，），∵OQ⊥OP，∴以-代k，得Q（k2，-k），∴PQ的斜率k PQ===，∴PQ的方程：y+k=，整理得kx+（k2-1）y-k=0，∴PQ过定点M（1，0）．（2）设T（k2+h，0），R（k2-h，-2k），R在抛物线上，∴4k2k2-h，h=-3k2，∴T（-2k2，0），∴S△PQT=TM•|y P-y Q|=（1+2k2）|+k|，设f（k）=（1+2k2）•=2k3+3k+，k＞0，f'（k）=6k2+3-=（6k4+3k2-1）=6（k2-）（k2-）•，当k=土时，S△PQT取最小值，∵Q（k2，-k），∴△PQT面积最小时，点Q的横坐标．【解析】（1）设OP：y=kx，与抛物线y2=x交于P（，），由OQ⊥OP，得Q（k2，-k），由此能求出PQ的方程，从而能证明PQ过定点M（1，0）．（2）设T（k2+h，0），R（k2-h，-2k），R在抛物线上，从而培育出S△PQT=TM•|y P-y Q|=（1+2k2）|+k|，由此利用导数性质求出当k=土时，S△PQT取最小值，从而能求出点Q的横坐标．本题考查直线过定点坐标的证明，考查三角形面积最小时点的横坐标的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用．。
浙江省杭州市2014届高三命题比赛 数学理(3) Word版含答案
2014届高三年级高考模拟考试 数学（理）试卷注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答；2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅． 球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径．球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径． 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．台体的体积公式121()3V h S S =+，其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高．第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}0,1,3M =,{}|3,N x x a a M ==∈，则集合M N =I A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,3}D ．{1,3}2．函数()|3sin 4cos |f x x x =+的最小正周期为 A ．2πB ．πC ．2π D ．4π3．右图是一个程序框图，运行这个程序，则输出的结果为A ．23B ．32C ．35D ．534．函数()sin sin(60)f x x x =++的最大值是 ABC ．2D ．15．若02x π<<，则tan 1x x >是sin 1x x >的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知直线a ，平面βα,，且α⊄a ，①βα⊥②β⊥a ③α//a ；则以上面三个条件中的两个为条件，余下一个为结论的真命题有 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个7．用8个数字1,1,2,2,3,3,4,4可以组成不同的四位数个数是A ．168B ．180C ．204D ．4568．已知函数31221()(),()()021x xf x x x R f x f x -=+∈+>+，则下列不等式中正确的是 A ．12x x >B ．12x x <C ．120x x +>D ．120x x +<9．已知21,F F 分别是双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的左右焦点，P 为双曲线右支上一点，6021=∠PF F ，21PF F ∠的角平分线PA 交x 轴于A ，213AF A F =，则双曲线的离心率为A ．2B ．27C ．5D ．3 10．若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线x =2对称，则()f x 的最大值是A ．9B ．14C ．15D ．16第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
2014学年杭州二中高三年级仿真考 数学试卷(理科)及答案WORD
2014学年杭州二中高三年级仿真考数学试卷（理科） 第I 卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数()f x 不是奇函数，则下列命题一定为真命题的是（ ） A ．()()x R f x f x ∀∈-≠-， B ．()()x R f x f x ∀∈-=， C ．000()()x R f x f x ∃∈-≠-， D ．000,()()x f x f x ∃-=2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3813a a +=且735S =，则7a =（ ） A ．11 B ．10 C ．9 D ．8 3．函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中)2,0πϕ<>A ）的图象如图所示，为了得到()sin g x x ω=的图象，则只要将)(x f 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度4．设R b a ∈,，则“a b >”是“a a b b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．若变量,x y 满足210201x y x y x -+≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则点(2,)P x y x y -+所在区域的面积为（ ）A ．34 B. 43 C. 12D. 1 6．已知函数2|log |,02()sin(),2104x x f x x x π<<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则3412(2)(2)x x x x -⋅-⋅的取值范围是（ ）A ．(4,16)B ．(0,12)C ．(9,21)D ．(15,25)7．已知点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，且ab F F 221||=，I 为三角形21F PF 的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ∆∆∆=+成立， 则λ的值为（ ） A ．2221+ B ．132- C ．12+ D ．12-8．过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱DD 1的中点与直线BD 1所成角为40°，且与平面AC C 1A 1所成角为50°的直线条数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.无数第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共7小题，第9至12题每小题6分，第13至15题每题4分，共36分． 9．设全集为R ，集合2{|430},M x R x x =∈-+>集合{|24},x N x R =∈>则M N ⋃= ；M N ⋂= ；()R C M N ⋂= .10．已知02πα<<,02πβ-<<,3cos()5αβ-=，且3tan 4α=，则cos α=________,sin β=_______ . 11．在如图所示的空间直角坐标系O —xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(2，0，0)，(0，2，0)，(0，0，2)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图、侧视图和俯视图分别为（填写编号） ，此四面体的体积为 .12．已知圆22:(cos )(sin )9(R)C x y ααα-++=∈与直线:cos sin 10(R)l x y βββ--=∈，则圆C 的圆心轨迹方程为 ，直线l 与圆C 的位置关系是______．④③②①1A13．已知点)21,21(-A 在抛物线)0(2:2>=p px y C 的准线上，点M ，N 在抛物线C 上，且位于x 轴的两侧，O 是坐标原点，若3=⋅，则点A 到动直线MN 的最大距离为 ．14．在直径AB 为2的圆上有长度为1的动弦CD ，则AC BD ⋅的取值范围是 ．15．已知,,a b c 为非零实数，()ax b f x cx d +=+，且(2)2,(3)3f f ==.若当dx c≠-时，对于任意实数x ，均有(())f f x x =，则()f x 值域中取不到的唯一实数是 ．三、解答题：本大题共5小题，第16至19题每题15分，第20题14分，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．ABC ∆中，内角,A B C ,的对边分别是,,a b c ，已知,,a b c 成等比数列，且3cos 4B =. （Ⅰ）求11tan tan A B+的值； （Ⅱ）设32BA BC ⋅=，求a c +的值.17．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为23ABC π∠=的菱形，PA ⊥平面ABCD ，点Q 在直线PA 上.（Ⅰ）证明：直线QC ⊥直线BD ；（Ⅱ）若二面角B QC D --的大小为23π，点M 为BC 的中点，求直线QM 与AB 所成角的余弦值.CA18．已知数列{}n a 中，111,1,33,n n na n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数，（Ⅰ）求证：数列23{}2n a -是等比数列；（Ⅱ）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求满足0n S >的所有正整数n ．19．如图，中心在坐标原点，焦点分别在x 轴和y 轴上的椭圆1T ，2T 都过点(0,M ，且椭圆1T 与2T （Ⅰ）求椭圆1T 与椭圆2T 的标准方程；（Ⅱ）过点M 引两条斜率分别为,k k '的直线分别交1T ，2T 于点P ，Q ，当4k k '=时，问直线PQ 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.20．设1)(2+--=ax x x f ，22()ax x ag x x++=， （Ⅰ）若0)(=+b x f 在]2,1[上有两个不等实根，求(1)g b +的取值范围；（Ⅱ）若存在]2,1[1∈x ，使得对任意的21[,1]2x ∈，都有)()(21x g x f ≥成立，求实数a 的取值范围.参考答案二、填空题：9. (,1)(2,)-∞⋃+∞；(3,)+∞；(,3]-∞ 10.45；725- 11. ③ ② ② ；83；12. 221x y +=；相交; 13. 214. 31[,]22-; 15. 52三、解答题：16. 解：（Ⅰ）因为,,a b c 成等比数列，所以ac b =2,由余弦定理可知：)1(2122cos 22222-+=-+=-+=caa c ac ac c a acbc a B 又3cos 4B =，所以47sin =B ，且43)1(21=-+c a a c ，解得212或=a c . 于是772778sin sin sin sin sin cos sin cos tan 1tan 1或=⋅=⋅=+=+B a c B A C B B A A B A . （Ⅱ）因为32BA BC ⋅=,所以23cos =B ca ，所以2=ca ，又212或=a c ，于是3=+a c . 【另解】由32BA BC ⋅=得3cos 2ca B ⋅=，由3cos 4B =可得2ca =，即22b =由余弦定理 2222cos b a c ac B =+-⋅得2222cos 5a c b ac B +=+⋅=()2222549a c a c ac +=++=+= ∴ 3a c +=.17. （Ⅰ）证明：显然BD AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，则PA BD ⊥，故BD PAC ⊥平面,QC PAC ⊆平面,则直线QC ⊥直线BD ；（Ⅱ）由已知和对称性可知，二面角A B QC --的大小为3π，设底面ABCD 的棱长为单位长度2，AQ x = ，设AC ，BD 交于点E,则有点B 到平面AQC 的距离BE 为1，过点E 做QC 的垂线，垂足设为F ，则有tan tan3BE BFE EF π∠==，BE=1，则，点A 到QCx =⋅x =.过点M 作AB 的平行线交AD 的中点为G ，则GM=2，2QG ==，AM ==QM =，22234104cos 2QM GM QG QMG QM GM +-+-∠===⋅， 即所求的QM 与AB所成角的余弦值为34.18.（Ⅰ）证明：21222(1)22221313113(21)(6)(21)13232322333332222n n n n n n n n a n a n n a a a a a a ++++--++---====----， 所以数列23{}2n a -是以23126a -=-为首项，13为公比的等比数列。
2014浙江高考数学模拟试题附答案
俯视图侧视图正视图2014浙江高考数学模拟试题文科1. 本试题共4 页，三大题21小题。
满分150分，考试时间120分钟。
2. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填在试卷指定的位置上。
3. 选择题、填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
4. 考试结束，请将试卷上交。
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若集合{1,0,1},{cos ,},A B y y x x A =-==∈|则AB =（ ）A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．{1,01}-2． 2320121i i i i ++++=（ ）A ．iB ．i -C ．1D ．-13． 2a =是直线3(1)7x a y a +-=-和直线230ax y a ++=平行的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知12,F F 分别是双曲线1by a x 2222=- (0,0)a b >>的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若︒=∠9021PF F ，且21PF F ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55. 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）A ．B ． C． D ．6 6．二项式6)12(xx -，展开式中含2x 项的系数是（ ）A ．192-B ．192C ． -6D ．67．从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为( )A ．12513 B ．12516 C ．12518 D ．12519 8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值为 ( ) A ．1 B ．12C ．14 D ．189．下列函数中，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有零点的函数是( )A ．()sin f x x x =-B ．2()sin f x x x π=-C ．2()sin f x x x =- D ．22()sin f x x x π=-10．已知函数()log x a f x a x =+(0a >且1)a ≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为log 26a +，则a 的值为（ ） A ．12B ．14C ．2D ．4 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. 11．直线2310x y +-=的一个方向向量为（1， ） 12．过抛物线24yx =的焦点的弦的长为8，则该弦的斜率等与13. 已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则4()3f 的值为_______14．若将函数5s i n ()(0)6y x πωω=+>的图象向右平移3π个单位长度后，与函数sin()4y x πω=+的图象重合，则ω的最小值为 ．15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A ．（不等式选讲选做题）若关于x 的不等式1x x a +-<()a R ∈的解集为∅，则a 的取值范围是 ．B ．（几何证明选讲选做题）如图，⊙O 1与⊙O 2交于M 、N 两点，直线AE 与这两个圆及MN 依次交于A 、B 、C 、D 、E ．且AD ＝19，BE ＝16，BC ＝4，则AE ＝ ．（坐标系与参数方程选做题）(第8题)12乙图42443115207981011甲C ．若直线340x y m ++=与曲线 ⎩⎨⎧+-=+=θθsin 2cos 1y x （θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是____________.三、解答题：解答写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）。
浙江省杭州市高三数学命题比赛(14)文Word版含答案
11． ___1___ 12 ． 8 13
． ___ 65 14 ． 4
15．
1
5
2 16 ． 4 17
．
9
三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分，解答应写出文字说明，证明过程
18. 解（Ⅰ）由正弦定理， 可得 a＝ 2Rsin A ， b＝ 2Rsin B ， c＝ 2Rsin C ，
cos B
1 an n N 1 an
，则对 n
20 的正整
an an 1
数，
1 6 的概率为
（
）
1 A. 20
1 B. 4
1 C. 5
D ．0
9、 [ 改编 ] 在等差数列
a11 an 中，若 a10
1 ，且它的前 n 项和 Sn 有最小值，那么当
最小正值时， n （
）
A． 18
B
． 19
C
．20
D
． 21
C．若 l
，则必有
B
．若 l m ，则必有
D
．若
，则必有 m
4、 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积是 （）
3
2
A． 3 B ． 3 C ． 2 D ． 3
5、[ 改编 ] 已知函数 f (x)= ln x ，则函数 g(x)=f (x) f '(x) 的零点
所在的区间是（
2
2
已知椭圆
C1
:
x a2
y b2
1a
b
0
的右焦点与抛物线
C2 : y 2
4x 的焦点 F 重合 ,
5
椭圆 C1 与抛物线 C2 在第一象限的交点为
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2014年浙江省高中数学竞赛模拟试题(二)一、选择题（每小题5分，共50分） 1．方程26130x x ++=的一个根是 A ．32i -+ B ．32i +C ．23i -+D ．23i +2．若tan θ+1tan θ =4,则sin2θ=A ．15 B. 14 C. 13 D. 123．已知某几何体的三视图如图所示，则它的体积为 A ．8π3 B ．3π C ．10π3D ．6π 4．等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==，则100111i i i a a =+=∑ A ．100101 B ．99101C ．99100D ．101100 5．已知{ a n }为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=A ．7B ．5C ．-5D ．-76．对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆222=+y x 的位置关系一定是A ．相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心 7．设R ϕ∈，则“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A ．2B ．4C ．5D ．109．函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为A ．4B ．5C ．6D ．710．点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭，则A∩B 所表示的平面图形的面积为 A.34π B.35π C.47π D.2π 俯视图侧视图正视图第3题图48．在Rt △ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则222PA PB PC +=二、填空题（每小题7分，共49分）11. 已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为 . 12. 方程116sin cos 16x x x xππ=+的解集合为 . 13. 设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1a ，且长为a异面，则a 的取值范围是 .14．过椭圆2212x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45弦AB ，则15．直线MN 过△ABC 的重心G ，且,AM mAB AN nAC ==u u u r u u u r u u u r u u u r（其中0,0m n >>),则mn 的最小值是 __________．16. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在[11]-，有0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ． 17．不等式()338105011x x x x +-->++的解集是 . 三、解答题（每小题17分，共51分）18．三棱锥S-ABC 中，SA ⊥平面ABC ，1===SA BC AB ，2π=∠ABC ．（1）求SC 与平面ABC 所成夹角的正弦值； （2）求B 到平面ASC 的距离；（3）求平面SBC 与SAC 所成锐二面角的大小． 19．证明不等式：222111123+++ (21321)n n n +≥+． 20．设不过原点O 的直线l 与椭圆2214x y +=交于,P Q 两点，且直线OP 、PQ 、OQ 的 斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．2014年浙江省高中数学竞赛模拟试题(二)答案与解析一、选择题1．选A. 解析：设方程的根为x a bi =+，代入26130x x ++=解得3, 2.a b =-=2．选D. 解析：因为22sin cos sin cos 141cos sin cos sin sin 22θθθθθθθθθ++===，所以1sin 22θ=. 3．选B ．解析：考查三视图与体积的计算. 4．选A ．解析：由已知得n a n =，由裂项相消法得10011111111110011223100101101101i i i a a =+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑L 5．选A ．解析：考查等比数列的性质.6．选C ．解析：直线恒过点A （0,1），与圆必相交，且直线不与x 轴垂直，所以不过圆心． 7．选A ．解析：()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数⇒k ϕπ=．8．选D ．解析：本题主要考查数形结合的数学思想与解题方法（特例法）．取特殊的等腰直角三角形，不妨令4AC BC ==，则AB =，CD=12AB =1||2PC PD CD ===PA PB ====所以222||||101010||2PA PB PC ++==．9．选C ．解析：0)(=x f ，则0=x 或0cos 2=x ，Z k k x ∈+=,22ππ，又[]4,0∈x ，4,3,2,1,0=k ，所以共有6个解.10．选D . 解析：集合B 表示如图所示的圆面，集合A表示的图形为Ⅰ和Ⅱ区域，由对称性可知Ⅱ 和Ⅲ，Ⅰ和Ⅳ区域面积相等，所以A B I 表示的图形面积是2π.二、填空题（每小题7分，共49分）11．答案：10.解析：当x=5时，y=1,2,3,4;当x=4时，y=1,2,3; 当x=3时，y=1,2;当x=2时，y=1, 故集合B 中有10个元素. 12. 答案：11,44⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.解析：当0x >时，1168x x +≥，（当14x =时取到等号）. 而16sin cos 8sin 28x x x πππ=≤，（当1,4x k k =+∈Z 时取到等号）.因此，当0x >时，方程只有一个解14x =；由于奇函数的性质，可知14x =-是方程的另一解.故方程的解集合为11,44⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.13.答案：(.解析：考查立体图形的动态分析. 14. 解析：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB 为1,y x =-代入椭圆方程得：21243400,3x x x x AB -=⇒==⇒==15．答案：49. 解析：延长AG 交BC 于点O ，1AB AM m =uu u r uuu r ，1AC AN n =uuu r uuu r ，23AG AO =uuu r uuu r，代入2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r得：113AG AB AC m n=+uuu r uu u r uuu r .因为M ，N ，G 三点共线，则有：113m n =+，因为0,0m n >>，所以113m n =+≥49mn ≥. 16. 答案：－10.解析：因为f (x )是周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫12，且f (－1)＝f (1)， 从而 12b ＋212＋1 ＝ －12a ＋1，化简得3a ＋2b ＝－2……①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，化简得：b ＝－2a ……② 由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 17． 答案：()(),21,1-∞--U .解析：不等式整理得：33225511x x x x ⎛⎫+⋅>+ ⎪++⎝⎭，设函数3()5f t t t =+， 易知()f t 在R 上是增函数，由()21f f x x ⎛⎫> ⎪+⎝⎭得21x x >+. 解得()(),21,1x ∈-∞--U .三、解答题（每小题17分，共51分）18． 解答：在平面ABC 上，过A 作AD AB ⊥.以A 为原点，以向量AB ，AD ，AS 的方向分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系. 于是有(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,0,1)S . （1）因为SA ⊥平面ABC ，所以SC 与平面ABC 所成夹角就是ACS ∠。
在直角△SAC中，AC SC =sin SA ACS SC ∠==. （2）设平面ASC 的法向量为(,,)n x y z =r，则n AS ⊥r uu r 且n SC ⊥r uu r ，而(0,0,1),(1,1,1)AS SC ==-u u r u u r，所以 {00z x y z =+-=， 从而有(1,1,0)n =-r。
于是B 到平面ASC的距离为AB n d n⋅==uu u r r r （3） 设平面SBC 的法向量为(,,)m x y z =u r ，则m BC ⊥u r u u u r 且m SC ⊥u r uu r ，而(0,1,0)BC =u u u r，所以{00y x y z =+-=，从而有(1,0,1)m =u r .设平面SBC 与SAC 所成锐二面角为θ，则cos 12m n m n θ⋅==u r r u r r ，即3θπ=.19． 解答：设321n n S n =+. 当1n =时，11a =； 当2n ≥时，123333212141n n n n n a S S n n n --=-=-=+--； 综上得：2341n a n =-要证不等式222111123+++…21321nn n +≥+．只要证221341n n ≥-，即证22413n n -≥，即证21n ≥. 因为21n ≥显然成立，故命题得证.20． 解答：由题意可设椭圆方程为22221x y ab+= (0)a b >>，由2222112c a a b =+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 得 21a b ==⎧⎨⎩，所以椭圆方程为2214x y +=． 由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 为(0)y kx m m =+≠，1122(,),(,)P x y Q x y 满足22440y kx mx y =++-=⎧⎨⎩ ，消去y 得：222(14)84(1)0k x kmx m +++-=．2222226416(14)(1)16(41)0k m k m k m ∆=-+-=-+>，且122814km x x k -+=+，21224(1)14m x x k -=+．2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++．因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以，2221212121212()y y k x x km x x m x x x x k +++⋅==，即22228140k m km -++=，又0m ≠，所以214k =，即12k =±． 由于直线OQ 的斜率存在，且0∆>，得202m <<且21m ≠． 设d 为点O 到直线l 的距离，则1212OPQS d PQ x ∆==-12==1≤= 所以OPQ S ∆的取值范围为(0,1)．。