浙江大学2009年高等代数试题

浙江大学2009年高等代数试题

由mylinco 整理，浙江工业大学，数学与应用数学0501

考试科目 高等代数 编号 360 注意：答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。 说明：本试卷满分150分，每题均为15分

1. 设P 是数域，在n 个变元的多项式环1[,,]n P x x 中引入对第k 个变元的偏导子，由下

列式子定义：

1111111,,1,,1,,,,(

)k n k n n n n

n

i i

i i

i i i i k n k i i k n i i i i k

a x x x i a x x x x -∂=

∂∑

∑

，其中1,,n i i a

是数域P 中的任意数。 （1） 证明：在

k

x ∂∂下取零值的多项式的集合是1n -个变元的多项式环

111[,,,,]k k n P x x x x -+ ；

（2） 设1(,,)n f x x 是一个m 次齐次多项式，证明：11

(,,)n

k

n k k

f x m f x x x =∂=∂∑ ，该式

称为欧拉恒等式。反之，证明：对任意正整数m ，满足欧拉恒等式的多项式必为m 次齐次多项式。

2. 设11

1221

112112

2222

1122222n n n n n n n n

n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b A a b a b a b a b a b ++⎡⎤

⎢

⎥

++⎢

⎥=⎢⎥⎢

⎥

++⎣⎦

，计算A 的行列式。 3. 设110121

2136

011240

1

1

1

2A ---⎡⎤⎢⎥-⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦

，52

⨯ 表示实数域 上所有52⨯阶矩阵组成的线性空

间，52

{|0}W B AB ⨯=∈= ，证明W 是52

⨯

的子空间，并求出它在 上的维数。

4. 设,,,αβγδ是实数，给出存在一个次数不超过2的实系数多项式()f x 使得满足

(1)f α-=，(1)f β=，(3)f γ=，(0)f δ= 的充要条件。

5. 设,x y 是两个非零实数，,Φψ是实数域上某个n 维线性空间上的两个线性变换，满足

x y Φψ=Φ+ψ ，证明Φψ=ψΦ ，这里Φψ 表示Φ与ψ从右到左的线性变

换合成。

6. 设A 是一个n 阶实对称矩阵，证明存在某个充分大的实数a ，使得n

关于运算

(,)()T

A aE αβαβ=+构成一个欧氏空间，

其中T α表示列向量α的转置，E 是n 阶单位矩阵。

7. 设A 是n 阶复方阵，零是A 的k 重特征值，求证：秩（k A ）n k =-。 8. 用正交变换将矩阵1

333

133

3

5A --⎡⎤

⎢

⎥

=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦

化成对角矩阵，并求32346A A A E +++，其中E 是3阶单位矩阵。

9. 对n 维欧氏空间V 上的线性变换ψ，若存在固定的单位向量V η∈，使对V α∈，有

()2(,)ψαααηη=-，则称ψ是V 上的镜面反射，ψ在V 的标准正交基下的矩阵称为镜面反射矩阵。证明：n 阶实方阵A 是镜面反射矩阵当且仅当存在单位向量

1(,,)T

n

n w w w =∈ ，使得2T

n A E w w =-。

10. 设A 是n 阶复方阵，

（1） 证明A 的最小多项式等于A 的特征矩阵E A λ-的最高次不变因子； （2） 求1

261

031

1

4A --⎡⎤

⎢

⎥

=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦

的最小多项式。