第3章 自由振动系统

机械振动基础第3章线性离散系统的自由振动
2011年5月25日12时27分第2章单自由度系统的振动
2011年5
月25日12时27分
第2章单自由度系统的振动
3.1 单自由度系统
3.2 二自由度系统
3.3 多自由度系统
机械振动基础
第3章
线性离散系统的自由振动
3.1.1单自由度系统的运动方程
图单自由度模型
运动微分方程()()()()mx
t cx t kx t F t ++=&&&上式是一个二阶常系数常微分方程。

常数m
，c ，k 是描述系统的系统参数。

方程的求解在振动理论中是十分重要的。

第3章线性离散系统的自由振动
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3.1 单自由度系统第3章线性离散系统的自由振动
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1、粘性阻尼
第3章线性离散系统的自由振动
2、材料阻尼
又称为结构阻尼。

在振动过程中物体结构材料本身的内摩擦而引起的阻力。

在粘弹性材料内，应变滞后于应力，在反复受力过程中形成滞后回线，因此要耗散能量，而成为振动的阻尼。

事实上材料阻尼是存在的，但我们在以后的讨论中忽略它。

3、干摩擦阻尼
这就是通常说的摩擦力，出现在干摩擦之间。

按库仑摩擦定律：R＝μN 其中μ——摩擦系数，由接触面的材料和粗糙程度决定。

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第3章线性离散系统的自由振动2()2()()0n n x t x
t x t ζωω++=&&&()st
x t Ae =2220
n n
s s ζωω++=3.1.3 有阻尼自由振动
当系统存在阻尼时，自由振动方程为如下形式的齐次方程:其中，
称为粘性阻尼比。

设上式的解有如下形式:n m c ωζ2/=代入齐次方程可得代数方程
有阻尼自由振动方程
3.1 单自由度系统
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2.1 单自由度系统的自由振动第3章线性离散系统的自由振动
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ζζ
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方程的解可简化成
)
cos()(φωζω−=−t Ae t x d t n 可见上式表示的运动为振动，频率为常值，相角
为，而幅值为，以指数形式衰减。

常数、
由初始条件决定。

称为弱阻尼或欠阻尼情况。

d ωφt n A
e ζω−A φ1
0<<ζ并设
φcos 21A A A =+φ
sin )(21A A A i =−
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线性离散系统的自由振动
弱阻尼情况的典型响应曲线如图所示，曲线为响应曲线的包络线。

很明显，当t →∞，x (t ) →0，因此响应最终趋于消失。

t
n Ae ζω−±图0＜ζ＜1时x (t ) 曲线
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有阻尼单自由度系统的自由振动
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x 第3章线性离散系统的自由振动
n 第3章线性离散系统的自由振动
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2011年5
月25日12时27分
第2章单自由度系统的振动
3.1 单自由度系统3.2 二自由度系统3.3 多自由度系统
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线性离散系统的自由振动
3.2 二自由度系统
下图是具有粘性阻尼的二自由度系统。

多自由度系统的基本概念都可以通过二自由度系统的问题说明。

图
二自由度系统模型
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1．无阻尼系统振动微分与方程组的解
两自由度系统无阻尼自由振动的微分方程组可以表示为：
+ =111221
22m m m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭&&
&&11122122k k k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭00⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
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第3章线性离散系统的自由振动
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¾其中A i 、B i (i=1,2)
等参数由系统初始条件确定。

对于二自由度系统，只有4个初始条件，而上式中却有6个未知数，因此必须找到其中某些参数之间的关系。

¾把上式表示的、分别代入方程组中的任何一个方程，可得到两个质量在按同一频率振动时的振幅比
i ϕ1ω2ω
第3章线性离散系统的自由振动
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把初始条件代入得到：A1、A2 、φ1 、φ2。

进而得到两自由度系统自由振动方程的解x 1和x 2。

110
110(0)(0)x x x
x =⎧⎨
=⎩&&2202
20(0)(0)x x x x =⎧⎨=⎩&&
3.2 二自由度系统 拍振现象
图拍振现象模型
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图4-2第3章线性离散系统的自由振动
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第3章
线性离散系统的自由振动
例考虑图3-1所示的系统，设
，，并设，，
，，
求系统的自然模态。

12
30
c
c c =
==12()()0F t F t ==1m m =22m m =12k k k ==32k k =图二自由度系统模型
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2
12
22
12
22
2
1
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线性离散系统的自由振动
将模态形状绘图如图所示
注意到第二阶模态有一个位移为零的点，此点称为节点。

图
模态振型图。