D44有理函数积分64643

3
1 2
u
2
uln1u
C
233(x2)233 x2 3ln13x2C
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例12. 求
dx x 3
x
.
解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的
最小公倍数 6 , 令 x t6, 则有
原式
6t 5 dt
t3 t 2
6(t2t11 1t)dt
613
t
2t ln
t 1 t 1
C
2 1x ln 2 x 2 xx 1 1 C x
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内容小结
1. 可积函数的特殊类型
有理函数
万能代换
分解
根式代换
多项式及部分分式之和
三角函数有理式
三角代换
简单无理函数
2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 简便 , 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .
x(x11)2xx (x( x1)12)
(x
1 1)2
1 x(x 1)
பைடு நூலகம்
1 ( x 1)2
x(x1) x(x 1)
(x
1 1)2
1 x 1
1 x
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(2) 用赋值法
x3 x2 5x6
x3 (x2)(x3)
x
A
2
x
B
3
A(x2)原式 x2
x3 x3
x2
5
B(x3)原式 x3 xx23
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思考与练习
如何求下列积分更简便 ?
1. a6x2x6dx (a0)
2.sin3dxxcoxs
解: 1. 原式 1 3 (a3)2d x3(x3)2 66a1a133llnnxxxx3333aaaa3333CC
2. 原式 ssi2nix3nxccoo2xssxdx
dx sinxcosx
scion3sxxdx
dtanx tanx
dsinx sin3 x
lntanx
12si1n2
C x
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作业
P218 3 , 6 , 8 , 9 , 13 , 15, 17 , 18 , 20 , 21
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备用题 1. 求不定积分
分解
其中部分分式的形式为
若干部分分式之和
(x A a)k;
M xN (x2pxq)k
(k N ,p 2 4 q 0 )
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例1. 将下列真分式分解为部分分式 :
(1)
1 x(x1)2
;
(2) x2x5x36; (3) (12x)11(x2).
解: (1) 用拼凑法
3
1 2
t
2
t
ln1t
C
2 x 3 3 x 6 6 x 6 l( 1 n 6 x ) C
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例13. 求 1x
1xdx. x
解: 令 t
1 x ,则 x
x t 211,
dx
2tdt (t2 1)2
原式
(t21)t
(t
2t 2 1)2
dt
2
t
t
2
2
dt 1
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四种典型部分分式的积分:
1. xAadx AlnxaC
2.
A (xa)n
dx A(xa)1nC(n1) 1n
3. x2MxpxN qdx
4. (x2M xp x Nq)ndx
(p24q0,n1 )
变分子为
M 2(2xp)NM2p
再分项积分
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令
t
n
axb c xd
R ( x ,n a b x ,m a b x )d x ,
令 tpaxb, p为m,n的最小公倍. 数
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例11. 求 13dxx2.
解: 令 u3x2, 则 xu32, dx3u2du
原式
3u 1
2
u
du
3(u211u)1du
3(u11 1u)du
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例10. 求 1cso3ix2 sn x 2csio4n xxsdx.
解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令 tsixn,
原式 (1cs2io x n2 xs2)scin4o x xdsx1(ssi2ninx2x1)sdisn4ixnx
11(ta2tr21c)dtttt4a1ntCt211t12t12
解: 令 t tanx, 则 2
sinxs2ins2i2xn2xccoo22xss2x
2 1
tan tan
x 2
2
x 2
1
2t t
2
coxsscion22s2x2xcsoin22s22xx
1 1
tan tan
2 2
x 2
x 2
1 1
t t
2 2
dx
1
2 t
2
dt
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解:
原式 a2tco1a s22 xx n d x b2a12
dtanx tan2x(ba)2
1arctaatna(nx)C ab b
说明: 通常求含 si2x n ,c2 o x及 ssixc no x的s 有理式 的积分时, 用代换 ttaxn 往往更方便 .
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x6(11x2)dx.
分母次数较高, 宜使用倒代换.
解：令
t
1 x
,
则
x
1 t
,
dx t12 dt
,
故
x6(11x2)dx
1 t6
1
(1
1 t2
)
(
1 t2
)
d
t
t6 1t2
dt
(t4t211 1t2)dt
1 t 5 1 t 3 tarct tC an 53
51 x531 x31 xarc1 x tC an
6 x3
故
原式 5 6
x2 x 3
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(3) 混合法
(12x)1(1x2)1
A 2
x
Bx C 1 x2
A(12x)原式 x 12
4 5
分别x令 0,1代入等式两端
1 4C 5
14BC 6 15 2
B 2 5
C 1 5
原式
=
1 5
4 1 2x
2x 1
1 x2
例2. 求 (12xd)x(1x2).
解: 已知
1 (12x)(1x2)
1 5
1
4 2x
1
2
x x
2
1 1 x2
原 式 5 2d(1 1 2 2xx)15d(11xx22)151dxx2
2ln12x 1ln(1x2)1arctaxnC
5
5
5
例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 求 x2x2x23dx.
解: 原式
1 2(2x2)3 x22x3
dx
1 2
dx(22x3) x22x3
3
dx(1) (x1)2( 2)2
1lnx22x33arcxt a1nC
2
2
2
思考: 如何求 (x2x2x23)2dx?
提示: 变形方法同例3, 并利用 P209 例9 .
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说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,
山米与白鹤
贝特西.贝尔斯
D44有理函数积分64643
一、 有理函数的积分
有理函数:
R(x) P(x) Q(x)
a 0 x n a 1 x n 1 a n b 0 x m b 1 x m 1 b m
mn时, R(x) 为假分式; m n时, R(x)为真分式
有理函数 相除 多项式 + 真分 式
例9. 求 (asix n 1 bco x)2sdx(ab0 ).
解法 1
原式
dx (ataxnb)2cos2 x
令 ttaxn
dt 1 C (at b)2 a(atb)
coxs C a(asixnbcox)s
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例9. 求 (asixn 1 bco x)2sdx(a b0)
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sin1x (1sicnxoxs)dx
1
2t 1t 2
2t 1 t 2
(1
1t 1t
2 2
)
2 1t
2
dt
1 2
t21t dt
1 2
1 t 2 2t lnt 2
C
1tan2 x tan x 1lntanx C 4 2 22 2
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例8. 求 a 2s2 ix n d x b 2c2 o x(s a b 0 ).
解:
原式
1
2
(x2 1) (x21) x41
dx
1 2
1
1 x2
x2
1 x2
dx
1 2
1
1 x2
x2
1 x2
dx
注意本题技巧 按常规方法较繁
12(xd(1xx)21x)212(xd(x1x)21x) 2 (见P348公式21)
221122aarrccttaaxxn2n221xx1 12 421122llnnxx22xx 11xx22xx 2211 C C (x0)
2
22
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例5. 求 (x22x2x2)2dx.
解:
原式
(x22x2)(2x2) (x22x2)2
dx
dx
(x1)2
1
d(x2 2x2) (x2 2x2)2
arctxan 1)( x2
1 2x2
C
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dx
例6. 求 x 4 1
dt
d(t 1t ) (t 1t)2 3
3
3
1arctcao2 nxsC
3
3sixn
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2. 简单无理函数的积分
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:
R (x,na x b)d x, 令 tnaxb
R(x,ncaxx d b)dx,
解法 2
令
a s i,n b c os
a 2 b 2
a 2 b 2
原式 a2 1b2
dx
co2(sx)
a2 1b2taxn()C
a sx i n b c arx o ctas ban sin
cos
a2 ba 22 1a b2 2 a tb a2x sn ia x ( n rc a b a 2 b )t a b C 2c no x s
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二 、可化为有理函数的积分举例
1. 三角函数有理式的积分
设 R(sx i,ncox)s表示三角函数有理式 , 则
R (sxi,c no x)d sx
令 t tan2x
万能代换
t 的有理函数的积分
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例7. 求 si1nx (1sicnxoxs)dx.
但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求
简便的方法.
例4. 求 I2x3 x 4 2x 52 x 2 5x 45dx.
解: I x42x35 x25 x4dx x42x52x254dx
1 2
dxx(4455xx2245)
(x (x22 1)1)((xx 22 44 ))dx
1lnx45x241arctanx arc x tC an