2010年考研数学二真题及答案

(a
+
b)
+
8
≠
0 , 舍去
⎧
⎪⎪ a
⎨ ⎪
b
⎪⎩
= =
− 2 ⎪⎧a
−
2
,
⎨ ⎪b
⎩
= =
− −
2 5, 2 5
故， a = −2 , b = − 2 或 a = − 2 , b = − 2.
5
5
20.
由题设知， I = ∫∫ r 2 sinθ ∫∫ 1− r 2 cos2 θ + r2 sin 2 θ drdθ = y 1− x2 + y2 dxdy
⎛ 0 −1 4 ⎞
23.设
A
=
⎜ ⎜−
1
3
a
⎟ ⎟
，正交矩阵
Q
使得
QT
AQ
为对角矩阵，若
Q
的第
⎜ ⎝
4
a
0
⎟ ⎠
一列为 1 (1,2,1)T ，求 a、Q.
6
答案：
BACD BDAD 9. C1e2x + C2 cos x + C3 sin x 12. 2(eπ −1) 三解答题
10.y=2x 13.3cm/s
∂u ∂y
=
a
∂u ∂ξ
+b
∂u ∂η
∂ 2u , ∂x 2
= a2
∂ 2u ∂ξ 2
+ 2 ab
∂ 2u ∂ξ ∂η
+ b2
∂ 2u ∂η 2
.
19 解： 将以上各式代入原等式 ，得
（5 a 2 + 12 a + 4 ) ∂ 2 u + [10 ab + 12 (a + b ) + 8] ∂ 2u + (5b 2 + 12 b + 4 ) ∂ 2u = 0 .
线性表示
s
，下列命题正确
的是：
A 若向量组 I 线性无关，则 r ≤ s B 若向量组 I 线性相关，则 r>s
C 若向量组 II 线性无关，则 r ≤ s D 若向量组 II 线性相关，则 r>s
8.设 A 为 4 阶 对 称 矩 阵 , 且 A2 + A = 0, 若 A 的 秩 为 3, 则 A 相 似 于
⎜⎛
3 ⎟⎞
⎜1
B
=
⎜ ⎜
0
⎜0
0 1 0
−1 0 0
2 1 − 2 0
⎟ ⎟⎟,
⎟
所以
Ax
=
b的通解为
x
=
1 2
⎜⎛ ⎜
⎜ ⎝
3 ⎟⎞
− 1⎟
∫ 由u t=1 = ψ ′(t) = 6, 知C1 = 0,于是 ψ ′(t) = 3t(1 + t).ψ (t) = 3
(t
+ t 2 )dt
=
3 t2 2
+t3
+ C2.
由ψ (1)
=
5 2
,知C2
=
0, 于是ψ
(t )
=
3 t2 2
+ t（3 t
>
−1).
18 解：
如下图建立坐标系，则
油罐底面椭圆方程为
当λ = -1时，对 Ax = b的增广矩阵施以初等行 变换
⎛
3⎞
⎜
⎟
⎛−1 ⎜
（A,b) = ⎜ 0
⎜ ⎝
1
1 −2 1
1 0 −1
a 1 1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
→
⎜ ⎜ ⎜
⎜ ⎜
1 0 0
0 1 0
−1 2 ⎟
0
−
1 2
⎟ ⎟
=
B
0 a +2⎟
⎟
⎝
⎠
∵ Ax = b有解，∴ a = −2.
(2)当λ = −1, a = −2时，
1 ln t [ln( 1 + t )] n dt ≤
0
1 t n ln t dt .
0
∫ ∫ ∫ ∵
1 t n ln t dt = −
0
1 t n ln tdt
0
1 =
n +1
1 t n dt =
0
1 (n + 1) 2
∫ ∴ lim n→ ∞
wenku.baidu.com
1 t n ln t dt
0
= 0 , 从而
lim
n→ ∞
dx 2 （4 1+ t )
4(1+ t )3
（4 1 + t)
从而， ψ ′′(t) − 1 ψ ′(t) = 3(1+ t). 1+ t
设u = ψ ′(t), 有u′ − 1 u = 3(1 + t), 1+ t
∫ u
=
e
∫
1 1+
t
dt
[
3(1
+
−
t)e
∫
1 1+ t
dt
dt
+
C1
]
= (1 + t)(3t + C1).
三解答题
∫ 15. 求函数f ( x) = x2 (x 2 − t)e−t2 dt的单调区间与极值。 1
16.(1)比较
1
∫0
ln
t
[ln(1 + t)]n
dt
与
∫1 t n 0
ln
t
dt(n
=1, 2,⋯)
的大小,说明理由.
∫ (2)记 un =
1 0
ln
t
[ln(1+
t)]n
dt(
n
= 1,
2,⋯),
2
2
即 f ′(ξ ) + f ′(η ) = ξ 2 + η 2 .
22.
(1)设η1
,η
为
2
Ax
=
b的2个不同的解，则
η1
-η
是
2
Ax
=
0的一个非零解，故
A = (λ −1)2 (λ +1) = 0,于是 λ = 1或λ = -1。
当λ = 1时，因为 r ( A) ≠ r ( A,b), 所以 Ax = b, 舍去。
∂ξ 2
∂ξ∂ η
∂η 2
由题意，令
⎧5a
⎨ ⎩
5b
2 2
+ +
12 12
a b
+ +
4 4
= =
0，解得 0
⎧ ⎪⎪ a = ⎨b = ⎪ ⎪⎩
−2 2
− 5
,
⎪⎧ ⎨
a
⎪⎩ b
2 =−
5 = −2
⎧
,
⎪⎪ ⎨ ⎪
a b
⎪⎩
= =
−2 −2
⎧ ⎪
a
,⎨
⎪b
⎩
= =
− −
2
5 2
5
由10 ab
+ 12
3
现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为 2 b 时，计算油的质量。
（长度单位为 m，质量单位为 kg，油的密度为 ρkg / m3 ）
19.
设函数u
=
f
(x,
y
)具有二阶连续偏导数，且满足等式4
∂2u ∂x2
∂ 2u + 12
∂x∂y
∂2u + 5 ∂y2
=
0.
确定a, b的值，使等式在变换ξ = x + ay,η = x + by下简化 ∂2u = 0 ∂ξ∂η
C 与 m, n 取值都有关 D 与 m, n 取值都无关
5.设函数
z
=
z(x,
y ) 由方程
F( y x
,
z ) x
=
0确定,其中
F
为可微函数,且
F2′
≠
0,
则
x ∂z + y ∂z =
∂x ∂y
Ax
Bz
C−x
D−z
∑ ∑ n n
6.(4) lim
n
=
x→∞ i=1 j=1 (n + i)(n2 + j2 )
二零一○年全国研究生入学考试试题（数学二）
一选择题
1.函数f ( x) = x2 − x 1+ 1 的无穷间断点的个数为
x2 −1
x2
A0 B1 C2 D3
2.设 y1, y2 是一阶线性非齐次微分方程 y′ + p(x)y = q(x) 的两个特解，若常
数 λ, µ 使 λy1 + µy2 是该方程的解， λy1 − µy2 是该方程对应的齐次方程的
x2 y2 + =1.
a2 b2
图中阴影部分为油面与 椭圆所围成的图形。
记S1为下半椭圆面积，则
S1
=
1 2
πab
.记
S
是位于
2
x轴上方阴影部分的面积
，则
∫b
S2
=
2
2a
0
1 − y 2 dy , 设y = b sin t, 则 dy = b cos tdt , b2
∫ ∫ π
S2
= 2ab
6 0
1 − sin 2 t cos tdt = 2ab
20.
计算二重积分I
=
∫∫
D
r2
sin
θ
1 − r 2 cos 2θ drdθ ,其中D =｛(r,θ ) 0 ≤ r ≤ secθ ,0 ≤ θ ≤ π }. 4
21.设 函 数 f(x) 在 闭 区 间 [0,1] 上 连 续 ， 在 开 区 间 (0,1) 内 可 导 ， 且
f(0)=0,f(1)=
解，则
Aλ =1,µ =1
22
Cλ = 2,µ = 1
33
Bλ =−1,µ =−1
2
2
Dλ = 2,µ = 2
33
3.曲线y = x2与曲线y = a ln x(a ≠ 0)相切，则a =
A4e B3e C2e De
4.设
m,
n
为正整数,则反常积分
1
∫0
m
ln
2 (1 − nx
x)
dx
的收敛性
A 仅与 m取值有关 B 仅与 n取值有关
1 3
,证明：存在ξ
∈
(0,
1 ),
η
∈
(
1
,1),
使得f
2
2
′(ξ ) +
f
′(η )
=ξ
2
+η 2.
22.
设
A
=
⎜⎛ λ ⎜0
⎜ ⎝
1
1 λ −1
1
1 0
⎟⎞ ⎟, b
=
⎜⎛ ⎜
a 1
⎟⎟⎞.已知线性方程组
λ
⎟ ⎠
⎜ ⎝
1
⎟ ⎠
（1）求 λ、 a .
(2 )求方程组 Ax = b的通解。
Ax = b存在 2个不同的解。
⎛1
⎞ ⎛1
⎞
⎜
A⎜
1
⎟⎜
⎟ B⎜
1
⎟ ⎟
⎜
1⎟ ⎜
−1 ⎟
⎜
⎟⎜
⎟
⎝
0⎠ ⎝
0⎠
二填空题
⎛1
⎞ ⎛ −1
⎞
⎜
C⎜
−1
⎟⎜
⎟ D⎜
−1
⎟ ⎟
⎜
−1 ⎟ ⎜
−1 ⎟
⎜
⎟⎜
⎟
⎝
0⎠ ⎝
0⎠
9.3 阶 常 系 数 线 性 齐 次 微 分 方 程 y′′′ −2y′′+ y′− 2y = 0 的 通 解
y=__________
11. − 2 n ⋅ (n −1)! 14. 3
15.
∫ ∫ 解：f (x)的定义域(−∞,+∞),由于f (x) = x2 x2 e−t 2 dt − x2 te−t2 dt,
1
1
∫ f ′(x) = 2x x2 e−t2 dt,所以驻点为x = 0,±1. 1
列表讨论如下：
x
(−∞,1) -1
1
x
1
∫ ∫ A dx
dy
0 0 (1+ x)(1+ y2 )
1
x
1
B ∫0 dx∫0 (1+ x)(1+ y) dy
1
1
1
C ∫0 dx ∫0 (1+ x)(1 + y) dy
1
1
1
D ∫0 dx∫0 (1+ x)(1+ y2) dy
7.设向量组
I
:
α1,α2
, …，α r可由向量组
II：β1，β2，…，β
(-1,0) 0
(0,1) 1
(1,+ ∞)
f ′( x) -
0
+
0
-
0
+
f (x)
极小
极大
极小
因此，f (x)的单调增加区间为（-1，0）及（1，+∞），单调递减区间为
∫ （- ∞，-1）及（0，1）；极小值为f (±1) = 0,极大值为f (0) =
1
te
−t 2
dt
=
1
(1
−
e −1
).
0
2
10.曲线
y
=
2x3 x2 +1
的渐近线方程为_______________
11.函数 y = ln( 1− 2x)在x = 0处的n阶导数y(n) (0) = __________
12. 当0 ≤ θ ≤ π时，对数螺线r = eθ的弧长为 ___________
13.已知一个长方形的长 l 以 2cm/s 的速率增加，宽 w 以 3cm/s 的速率 增加，则当 l=12cm,w=5cm 时，它的对角线增加的速率为___________ 14.设 A，B 为 3 阶矩阵，且 A = 3, B = 2, A−1 + B = 2,则 A + B −1 = __________
D
D
∫ ∫ ∫ = 1
1
dx
x
20 0
1− x2 + y2 d (1 − x2 + y2 ) = 1 3
3
1
(1 −
x2
+
y2
)2
0
x 0
dx
∫1
=
1
[1
−
(1
−
x
2
)
3 2
]dx.
30
∫ 设x = sin t, 则I = 1 − 1
π 2
cos( 4)
tdt
=
1
−
π
.
3 30
3 16
21.
证：设函数 F ( x) = f ( x ) − 1 x 3，由题意知 F (0) = 0, F (1) = 0 . 3
π 6
(1 +
cos
2t) dt
=
ab( π
+
0
6
3 ), 4
于是油的质量为
1
π
( S1
+ S2 )lp
=
( πab 2
+
6
ab
+
3 ab)lp = ( 2 π +
4
3
3 ) ablp . 4
y
S2
S1
x
∂u ∂u ∂u ∂ 2u ∂2u
∂ 2u ∂ 2u
=+, =
+2
+
,
∂x ∂ξ ∂η ∂x 2 ∂ξ 2 ∂ξ∂η ∂η 2
求极限
lim
x→∞
un.
17.设函数 y=f(x)由参数方程
⎧x ⎨
=
2t
+
t
2
,
(t
>
−1)所确定，其中
ψ
(t)具有2阶导数，且ψ
(1)
=
5
，
⎩ y =ψ (t),
2
ψ ′(1) = 6，已知 d 2 y = 3 , 求函数ψ (t)。 dx2 4(1+ t )
18.一个高为 l 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 2a,短轴为 2b 的椭圆。
16.
解：(1)当 0 ≤ t ≤ 1,∵ ln( 1 + t ) ≤ t ,∴ ln t [ln( 1 + t )] n ≤ t n ln t ,
∫ ∫ 因此， 1 ln t [ln( 1 + t )] n dt ≤ 1 t n ln t dt .
0
0
∫ ∫ ( 2 )由 (1) 知 0 ≤ u n =
在[0, 1 ]和[ 1 ,1]上分别应用拉格朗日中 值定理，有 22
1 F( )
−
F (0)
=
F ′(ξ
1 )(
−
0)
=
1
[
f
′(ξ )
−ξ
2 ].ξ
∈
(0,
1 ),
2
2
2
2
F (1)
−
F(1)
=
F ′(η )(1 −
1 )
=
1
[
f
′(η ) − η 2 ],η
∈
1 (
,1).
2
22
2
二式相加，得： F (1) − F (0 ) = 1 [ f ′(ξ ) − ξ 2 ] + 1 [ f ′(η ) − η 2 ] = 0
u
n
=
0
17
(2 + 2t)ψ ′′(t) − 2ψ ′(t)
∵ dy dx
=
ψ ′(t) 2 + 2t
d2y ,∴ dx 2
=
(2 + 2t )2 (2 + 2t)
(1 + t)ψ ′′(t) −ψ ′(t)
=
4(1 + t )3
由题设 d 2 y = 3 , 故 (1+ t)ψ ′′(t) −ψ ′(t) = 3 ，