什么是化归思想

浅谈化归思想
东莞中学数学科 刘瑞红
论文摘要：数学学科的全部内容，是由数学问题、数学知识、数学方法和数学思想组成的。

其中数学方法是数学活动的行为规则,而数学思想又是数学方法的灵魂。

在中学数学教学中,数学思想对于培养学生的创造思维能力和数学素养具用十分重要的作用,其中化归思想在中学数学中的应用广泛,本文将以举例子的形式,从定义、化归原则、化归策略介绍化归思想。

关键词：数学思想 ；化归思想；化规策略；代换
一 什么是化归思想
定义：把问题A 通过一定的手段进行转化，归结为问题B ，而问题B 是相对容易解决的问题或已有固定的解决程式的问题，且通过B 的解决，能够得到A 的解决。

转化（化归途径） 还原 二 化归的原则
（一）.划归目标简单化原则：主要表现为问题结构表示形式的简单。

如问题的方式、方法上的简单。

例1. 已知：22222(21)(12)4,0af x bf x x a b -+-=-≠,求)(x f 。

解：设t x =-122，则原式可变形为：22)()(+=-+t t bf t af ① 把t 换成t -，则 22)()(+-=+-t t bf t af ② ① ,② 式联立可得：b a t b a t f b a 22)22()()(22-++=-
∵ 022≠-b a
∴ 得 b
a b a t t f ++-=22)( ∵ 022≠-b a ∴ 得 b a b a t t f ++-=
22)( 即 b
a x
b a x f ++-=
22)( 即 b a x b a x f ++-=22)(
例2.已知：c b a ,,是三角形的三条边，求证：0)(22222=+-++c x a c b bx 无实根。

证明：
)0(0sin 4)1(cos 44)cos 2(4)(222222222222222≠<-=-=-=--+=∆A A c b A c b c b A bc c b a c b 所以，原方程无实根。

（二）和谐统一性原则：即化归的方向应朝着使待解决问题在表现形式能够趋于和谐,在量、形、关系方面趋于统一。

例3.在ABC ∆中，A=2C ，求证：3
b c a >-。

分析 ：在这道题中，出现了角和边，不和谐，我们要想法把它变为和谐统一，这时我们就要想到用正弦定理，由边向角转化，趋于形式上的和谐。

证明：应用正弦定理，原不等式3
b c a >-B C A sin 31sin sin >-⇔ 又∵C C A B 3)(-=+-=ππ
∴B C C sin 31sin 2sin >- 变形为 C C C 3sin 3
1sin 2sin >- )0(sin 0sin 4sin 6sin cos 63sin 3
1sin 2sin 3>>--⋅⇔>-C C C C C C C C 0sin 23cos 32>+-⇔C C 0cos 223cos 32>-+-⇔C C
01cos 3cos 22<+-⇔C C 0)1)(cos 1cos 2(<--⇔C C
21cos 01cos 2>
⇔>-⇔C C ︒<⇔60C ∵03180>-︒=C B ,∴︒<60C
（三）具体化归原则：由抽象的语言表示到具体的形式或具体的数。

例4.定义在R 上的奇函数)(x f 是增函数,偶函数)(x g 在[0,+∞]上的函数与)(x f 的图象重合,设0>>b a ,给出下列命题
①)()()()(b g a g a g b f -->-- ②)()()()(b g a g a g b f --<--
③)()()()(a g b g b f a f -->-- ④)()()()(a g b g b f a f --<--
分析：如果直接来解这道题，有点困难，因为这里的)(x f ,)(x g 都是比较抽象的，所以遇到这种情况时，我们要想到把抽象的转化为具体的。

解：不妨设 3)(x x f =,则 3)(x x g =
由此可看出这个正确命题为②③
（四）标准形式化原则
例如：抛物线24x y =的标准形式为y x 4
12=。

（五）低层次化归原则：主要体现在：多元→少元；高次→低次；高维→低维 ；即降元、降次、降维的原则。

三 化归策略
（一）RMI 原则：通过找适当的映射实现化归途径，被著名数学方法论专家徐利治称为关系映射板演原则，简称RMI 原则。

映射（ϕ）
反演 （1ϕ-） 步骤：关系→映射→定映→反演
常见的RMI 原则解题的方法有：解析法、复数法、函数法、换元法、初等变换法,数学模型法等。

1.复数法
例5.已知：0sin sin sin ,0cos cos cos =++=++z y x z y x ,
求证：0
2sin 2sin 2sin 02cos 2cos 2cos =++=++z y x z y x 证明： 设 x i x z sin cos 1+=,y i y z sin cos 2+=,z i z z sin cos 3+=
0,0sin sin sin ,0cos cos cos 321=++∴=++=++z z z z y x z y x
两边平方得：0)(23132212322
21=+++++z z z z z z z z z ()111(3213
21321z z z z z z z z z =++z y x cos cos cos ++0))sin sin (sin =+++z y x i 232221z z z ++0=即
02sin 2sin 2sin 02cos 2cos 2cos =++=++z y x z y x
2．换元法
面对一个数学问题，如果直接求解有困难，或不易下手，或由问题的条件难以直接得出结论，往往需要引入一个或几个新“元”代换问题中原来的“元”，以改变问题的
结构与面貌，使得以新元为基础的问题求解较容易，解决以后将结果倒回去恢复原来的元,即可得原问题的结果。

常见的换元法有：整体代换、增量代换、三角代换、常数代换、均值代换、比值代换等。

例6.计算44)2
2211()22211(+-+++ 解 ：=x 22211++,=y 2
2211+- 则22,1-==+xy y x
2212)21(2)2)((2)(222222222244+=-+=--+=-+=+y x xy y x y x y x y x
例7.已知：R c b a ∈,,,且1=++c b a ,求证：3
1222≥++c b a 证明：设,3
1,31,31γβα+=+=+=c b a 则0=++γβα 3
103231222222≥+++⨯+=++γβαc b a 则此题得证（运用了增量代换）
例8.已知：,,,a b c R *∈且1=+b a ，求：b
a 21+的最小值。

解 ：（法一）22323221))(21(21+≥++=+++=++=+b
a a
b b a a b b a b a b a （法二）设 22sin ,cos ,(0,)2
a b πααα==∈
222212121cot 22tan 3sin cos a b a ααα
+=+=+++≥+当且仅当ααcot tan =时,等号成立,则b
a 21+的最小值为223+。

以上几题均是运用了换元法，这样解起来比较简便，注意在换元的过程，要使“新元”和原来的“元”在范围上保持一致。

3．初等变换法
常见的变换法有：对称变换法，平移变换法，放缩变换法，旋转变换法。

4．数学模型法
指通过建立数学模型来解决现实问题.。

例9. 把一直径为mm d 400=的圆木，加工成矩形截面的柱子，问怎样锯法可使废弃的 木料最少？
解：圆木的横截面如图所示，只要使矩形截面的面积最大，则废弃木料就最少。

设矩形截面的面积为S ，其中一边为x ，则
294
22
2
22222104.64)2()(,
mm d d x d x S x d x S ⨯==≤-=-= 当且仅当 222x d x -=时，即d x 2
2=时，即矩形截面为正方形时，废弃木料最少。

（二）语义转换：同一个数学表示式可以作不同的语文解释，同一种数学语言也可以用不同的数学语言转换，可以使原问题变得形式上简单，解决起来比较方便，这就是“等价变换”。

例10.若锐角γβα,,满足.1cos cos cos 2cos cos cos 222=+++γβαγβα
求证：πγβα=++.
证明： 把αcos 看成未知数,则
2
)1cos (cos 4cos cos 4cos cos 2cos 2222-+-+-=γβγβγβα (α为锐角) )cos(sin sin cos cos βγβ
γβγ+-=+-=
)cos(βγπ--=
γβα,, 为锐角.πβαππβα<--<<+<∴0,0
βγπα--=∴
即πγβα=++。

例11.比较20012002-与20022003-的大小.
解 ：设n n n n n f ++=-+=11
1)(
)(n f 是单调递减的,)2002()2001(f f >∴ ,即20012002->20022003-。

我们直接解这两道题,有一定的难度,但是我们做了适当的转换,这样解决起来就简便了.在以后的解题过程中一定要注意语义转换的应用。

（三） 特殊化与一般化
例12.比较20031002与!2003的大小。

解：n n n n !21>+++ 即()21(!=+++<n n n n n n )2
1+ !2003)2
12003(2003>+∴ 即20031002!2003>
例13. 求证: n n n n n n
C C C C 2210=++++ 证明 =+n x )1( n n n n n n
x C x C x C C ++++ 2210 当 1=x 时.则有=+n x )1(n n n n n n
C C C C 2210=++++ ∴ 原式成立。

这两道题均是特殊化与一般化的应用,可以看出解决过程非常的简便。

化归思想是中学数学最为重要的数学思想之一，本文主要从定义，化归原则，化归策略介绍了化归思想。

其实,，在中学数学中还有几种较为常见的数学思想，如数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想，整体思想。

数学思想是数学的灵魂，但现在在数学教学过程中，一部分老师往往忽略渗透数学思想，从某种意义上讲，我们怎样学习，用什么样的数学思想远比我们学习什么更重要，所以在以后教育教学的过程中，我们要多多注意体现其中的数学思想。

参考文献
[1] 李明振. 数学方法与解题研究. 上海科技教育出版社 2003年5月
[2] 布鲁纳. 教育过程. 上海人民出版社 2005年3月
[3] 崔录等. 现代教育思想精粹. 光明日报出版社 2006年1月。