电大初等数论复习资料
初等数论总复习题及知识点总结
初等数论总复习题及知识点总结最后，给大家提一点数论的学习方法，即一定不能忽略习题的作用，通过做习题来理解数论的方法和技巧，华罗庚教授曾经说过如果学习数论时只注意到它的内容而忽略习题的作用，则相当于只身来到宝库而空手返回而异。
数论有丰富的知识和悠久的历史，作为数论的学习者，应该懂得一点数论的常识，为此在辅导材料的最后给大家介绍数论中著名的“哥德巴赫猜想”和费马大定理的阅读材料。
初等数论自学安排第一章：整数的可除性（6学时）自学18学时整除的定义、带余数除法最大公因数和辗转相除法整除的进一步性质和最小公倍数素数、算术基本定理[x]和{x}的性质及其在数论中的应用习题要求：2，3 ；：4 ；：1；：1，2，5；：1。
第二章：不定方程（4学时）自学12学时二元一次不定方程多元一次不定方程勾股数费尔马大定理。
习题要求：1，2，4；：2，3。
第三章：同余（4学时）自学12学时同余的定义、性质剩余类和完全剩余系欧拉函数、简化剩余系欧拉定理、费尔马小定理及在循环小数中的应用习题要求：2，6；：1；：2，3；1，2。
第四章：同余式（方程）（4学时）自学12学时同余方程概念孙子定理高次同余方程的解数和解法素数模的同余方程威尔逊定理。
习题要求：1；：1，2；：1，2。
第五章：二次同余式和平方剩余（4学时）自学12学时二次同余式单素数的平方剩余与平方非剩余勒让德符号二次互反律雅可比符号、素数模同余方程的解法习题要求：2；：1，2，3；：1，2；：2；：1。
第一章：原根与指标（2学时）自学8学时指数的定义及基本性质原根存在的条件指标及n次乘余模2及合数模指标组、特征函数习题要求：3。
第一章整除一、主要内容整除的定义、带余除法定理、余数、最大公因数、最小公倍数、辗转相除法、互素、两两互素、素数、合数、算术基本定理、Eratosthesen筛法、[x]和{x}的性质、n！的标准分解式。
二、基本要求通过本章的学习，能了解引进整除概念的意义，熟练掌握整除整除的定义以及它的基本性质，并能应用这些性质，了解解决整除问题的若干方法，熟练掌握本章中二个著名的定理：带余除法定理和算术基本定理。
《初等数论基础》课程知识点汇总
《初等数论基础》课程知识点汇总第一章z本原勾股数组（三元组）的概念z本原勾股三元组的定理及其证明第二章z整除、公因数、最大公因数的概念z欧几里得辗转相除算法z线性方程的概念z掌握线性方程定理z掌握求解线性方程ax+by=gcd(a,b)的方法第三章z素数、合数的概念z素数整除性质及其证明z算术基本定理z掌握素数分解的几种方法及其各自的优缺点第四章z同余式的概念，及其性质z求解带未知数的同余式的通用方法z掌握线性同余式定理，以及求解形如ax ≡c(mod m)同余式的方法z掌握费马小定理，及其证明基本思想和应用z欧拉Φ函数的定义z欧拉公式及其证明z欧拉Φ函数公式及其计算z中国剩余定理第六章z无穷多素数定理，及其欧几里得证明基本思想z算术级数的素数狄利克雷定理z素数计数函数π(x)的定义z函数x/ln(x)逼近π(x)的素数定理第七章z梅森素数、完全数、σ函数的定义zσ函数公式定理及其证明和应用z欧拉φ函数求和公式及其证明第八章z a模p的次数(阶)的定义，以及求次数的方法z次数整除性质及其应用z原根概念、指标的概念和法则z掌握求解一个素数所有原根的方法z二次剩余(QR)和二次非剩余(NR)的定义z二次乘法法则定理（2种版本）z掌握判断一个整数是素数p的QR还是NR的方法z佩尔方程的定义z佩尔方程定理z狄利克雷丢番图逼近定理（2种版本）第十章z高斯整数的概念z高斯整数基本运算的封闭性z高斯整数的整除性定义及性质z单位和相伴的定义z高斯素数的定义，及其判断的基本方法z高斯整数的唯一分解定理，以及高斯整数的整除性质第十一章z连分数的基本概念。
《初等数论》复习资料
《初等数论》 考试复习资料一、叙述题1.完全剩余系2.二次反转定律3.雅可比符号4.费马小定理5.平方非剩余6.欧拉定理二、计算和证明题1.已知正整数a=35,b=21,求(a,b),并将其表成a,b 的线性组合。
2.求同余式)32(m od 172≡x 的解. 3.求同余式组1(mod 4)2(mod5)3(mod 7)x x x ≡⎧⎪≡⎨⎪≡⎩的解。
4.已知正整数,a b 满足(,)7,[,]105a b a b ==，求,.a b5.求不定方程9125200.x y z +-=的通解.6.证明： 176212535|(17631254).-7.若今天是星期天，证明：再过101010天是星期四。
参考答案一、叙述题1.完全剩余系从模n的每个剩余类中各取一个数，得到一个由n个数组成的集合，叫做模n的一个完全剩余系2.二次反转定律设a,b是两个非零整数，我们定义雅克比符号括号下a除b，若存在整数x，使得x的平方恒等于a，那么就记括号下a除b等于1；否则就记括号下a除b等于负13.雅可比符号4.费马小定理费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况：假如n和a的最大公约数是1的话，那么a^{\varphi (n)} \equiv 1 \pmod在这里φ(n)是欧拉商数。
欧拉商数的值是所有小于n的自然数中与n没有公约数的数的量。
假如n是一个质数，则φ(n) = n-1，即费马小定理。
5.平方非剩余设x为任意正整数，若p为4k+1型素数，且g是素数p的最小原根，设g^(2n-1) mod p = r（1<=n<=(p-1)/2）,则y^2=p*x+r 与y^2=p*x -r 都无整数解。
设x为任意正整数，若p为4k-1型素数，且g是素数p的最小原根，设g^(2n-1) mod p = r（1<=n<=(p-1)/2）则y^2=p*x+r 都无整数解，但y^2=p*x -r 都有整数解。
6.欧拉定理二、计算和证明题1.已知正整数a=35,b=21,求(a,b),并将其表成a,b 的线性组合。
初等数论期末复习
2015年5月8日9时1分
性质(9)
若 a ≡b (mod m1), a ≡b (mod m2), m=[ m1, m2 ], 则 a ≡ b (mod m) .
性质(10) 设d ≥1， d | m，若a ≡b (mod m) ，
则 a ≡ b (mod d ) .
性质(11) 若a ≡b (mod m)，则 (a，m) = (b，m).
则一次同余方程ax ≡ b ( mod m )恰有一个解 .
一次同余方程有解的判定
定理3.1.3 设m为正整数， a, b是整数， (a, m)=d，则同
余方程 ax≡b (mod m) 有解的充分必要条件为 d | b.
定理3. 1. 4 设m为正整数, a为整数, (a, m)=d，
d | b，则同余方程 ax ≡ b (mod m) 恰有 d 个解．
变形(1)：加上或减去模的倍数，推广的加减变形，
即 a≡b+mk (mod m); 变形(2)：移项变形， 由 a≡b+c(mod m) 可得 a－c≡b(mod m); 变形(3)：约去同余式两端的公约数，约简变形，
2015年5月8日9时1分
简化剩余系的充要条件
定理2.2 7 整数集合 {a1 , a2 , , a ( m) }为模m的 简化剩余系的充要条件是： ( i ) (ai, m) =1 ( 1≤i ≤ϕ (m) ); ( ii ) 各数关于模m两两不同余．
2015年5月8日9时1分
定理 2.2.8 若( a，m ) = 1 , x 通过模 m 的简化 剩余系，则 ax 也通过模 m 的简化剩余系。
2015年5月8日9时1分
பைடு நூலகம்
利用同余解答整除问题
初等数论知识点整理
初等数论知识点整理 1. 整数的基本性质：
- 整数的定义与整数集的基本运算
- 整数的大小与比较
- 整数的不同表示形式（十进制、二进制、八进制等） 2. 整除与约数：
- 整除的定义与性质
- 素数的定义与判定方法
- 约数的定义与性质
- 最大公约数与最小公倍数的概念与计算方法
3. 同余与模运算：
- 同余的定义与性质
- 同余的基本运算性质
- 模运算的基本性质
- 剩余类和完全剩余系的概念与性质
4. 质数与素数：
- 质数与素数的定义
- 质数与素数的性质和特性
- 素数的测试方法与算法
- 质因数分解的方法与应用
5. 数论基本定理：
- 唯一分解定理（素因数分解定理）
- 辗转相除法与欧几里得算法
- 欧拉函数与欧拉定理
- 费马小定理与扩展欧几里得算法
6. 数论问题的应用：
- 同余方程与线性同余方程
- 不定方程的整数解与应用
- 素数分布与素数定理
- 模重复性与周期性问题
注意：本整理的所有内容仅供参考，请勿将其作为官方教材或其他正式场合使用。
初等数论期末复习资料
§1整数的整除 带余除法1 整数的整除设a,b 是整数,且b ≠0,如果有整数q,使得a=bq,则称b 整除a,记为b|a,也称b 是a 的因数,a 是b 的倍数. 如果没有整数q,使得a=bq,则称b 不能整除a,记为b ∤a.例如 2|4,4|-12,-5|15;2∤3，-3∤22. 在中小学数学里,整除概念中的整数是正整数,今天讲的整除中的整数可正可负. 判断是否b|a ？当a,b 的数值较大时,可借助计算器判别.如果b 除a 的商数是整数,说明b|a;如果b 除a 的商不是整数,说明b ∤a.例1判断下列各题是否b|a ？(1) 7|127? (2)11|129? (3) 46|9529? (4) 29|5939? 整除的简单性质(1)如果c|b,b|a,那么c|a;(2)如果d|a,d|b,那么对任意整数m,n,都有d|ma+nb. (3)如果12,,,n a a a 都是m 的倍数,12,,,n q q q 是任意整数,那么1122n n q a q a q a +++是m 的倍数.(4)如果c|a,d|b,那么cd|ab 。
例如： 2|4,2|(-6),那么2|4+(-6),2|4-(-6). 2|4,3|(-6),那么2×3|4×(-6). 例2证明任意2个连续整数的乘积,一定可被2整除. 练习 证明任意3个连续整数的乘积,一定可被3整除.设a,b 是整数,且b>0,那么有唯一一对整数q,r 使得 a=bq+r,0≤r ＜b . (1) 这里q 称为b 除a 的商,r 称为b 除a 的余数.例如-5=3×(-2)+1 5=3×1+2 -5=(-3)×2+1 5=(-3)×(-1)+2 15=(-5)×(-3), -24=(-2)×12. 事实上,以b 除a 的余数也可以是负的.例如 -5=3×(-1)-2=3×(-2)+1.求b 除a 的余数,也称为模运算(取余):mod.可用计算器进行.具体操作:输入a-按mod(取余)键-输入b-按=键得出余数.如果b 除a 的余数=0,则b|a;如果b 除a 的余数≠0,则b ∤a.例3 利用计算器求余数:(1) 7除127;(2)11除-129 ;(3)46除-9529;(4)-29除5939 奇数、偶数及性质能被2整除的整数称为偶数.如,0,4,10,-6,-8都是偶数. 不能被2整除的整数称为奇数.如,-5,-3,1,7,11都是奇数. 偶数的形式为2n(n 是整数);奇数的形式为2n-1(n 是整数).奇数、偶数的性质:偶数±偶数=偶数,奇数±奇数=偶数,奇数±偶数=奇数,偶数×偶数=偶数,偶数×奇数=偶数,奇数×奇数=奇数.例如2+4,2-4,3+1,3-1,3+4,6+5设a,b 是任意两个整数,则a+b 与a-b 同奇同偶. 例如3+5,3-5,6+3,6-3,例4设a,b,n 是任意3个整数,而且222a b n -=,证明n 是偶数.例5设a 是任一奇数,试证明8|21a -. 例6设n 是正整数,证明形如3n-1整数不是完全平方数.证明 对任意整a,设a=3q 或a=3q ±1,于是2a =92q 或 2a =92q ±6q+1=3(32q ±2q)+1.即2a ≠3n-1,故3n-1不是完全平方数.练习 设n 是正整数,证明形如4n-1、4n+2的整数都不是完全平方数. 习题:P3-4:1t,2t.§2公因数、最大公因数 1.最大公因数、辗转相除法中小学里的公因数、最大公因数的概念：几个数的公有因数叫做这几个数的公因数.公因数中最大的整数称为这几个数的最大公因数. (1)几个数:不能确定;(2)因数、公因数:都是正整数;最大公因数:没有专门的符号. 定义设12,,,n a a a ,d 都是整数,d ≠0,如果i d a ,i=1,2,…,n,称d 是12,,,n a a a 的公因数,12,,,n a a a 12(,,,)n a a a .如果12(,,,)n a a a =1,则称12,,,n a a a 互质。
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共 2 道大题，满分 100 分一、单选题（共 25 道小题，共 50 分）1. 如果a≡b(modm),c是任意整数，则（）（2 分）A. ac≡cb(modm)B. a=bC. a=cD. a≡bc(modm)【答案】A【解析】2. 同余方程58x≡87(mod47)的解为（）.（2 分）A. x≡25(mod47)B. x≡29(mod47)C. x≡35(mod47)D. x≡37(mod47)【答案】A【解析】3. 如果n是一个自然数，那么n(n+1)是（）（2 分）A. 奇数B. 偶数C. 奇数或偶数D. 由n的奇偶性而定【答案】B【解析】4. 下列各组数哪一组是模8的完全剩余系（）.（2 分）A. 1,3,5,7,9,11,13,15B. 2,4,6,8,17,21,23C. -7,-12,-17,-22,-27,-32,-37,-42D. –2,–7,11,15,18,21,24,27【答案】C【解析】5. 157！的标准分解式中素数7的指数为（）.（2 分）A. 22B. 23C. 24D. 25【答案】D【解析】6. 同余方程7x≡1(mod31)解为（）.（2 分）A. x≡6(mod31)B. x≡7(mod31)C. x≡8(mod31)D. x≡9(mod31)【答案】D【解析】7. 1001！中末尾0的个数为（）（2 分）A. 200B. 238C. 248D. 249【答案】D【解析】8. 整数6的正约数的个数是（）（2 分）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】9. 20以内的正素数有哪些（）（2 分）A. 1，2，3，5，7，11，13，17，19B. 2，3，5，7，11，13，17，19C. 1，2，4，5，10，20D. 2，3，5，7，12，13，15，17【答案】B【解析】10. 所有不超过156的正整数中，7的倍数有（）个（2 分）A. 20B. 21C. 22D. 23【答案】C【解析】11. 设n，m为整数，如果3|n,3|m，则9（）nm（2 分）A. 整除B. 不整除C. 等于D. 小于【答案】A【解析】12. 47的50次方的个位数为（）.（2 分）A. 1B. 3C. 7D. 9【答案】D【解析】13. (221,391,136)=( ).（2 分）A. 13B. 17C. 19D. 23【答案】B【解析】14. 模4的最小非负完全剩余系是（）（2 分）A. -2,-1,0,1B. -4,-3,-2,-1C. 1,2,3,4D. 0,1,2,3【答案】D【解析】15. 同余方程5x≡10(mod15)解的个数为（）.（2 分）A. 2个解B. 3个解C. 4个解D. 5个解【答案】D【解析】16. 如果3|n，5|n，则15（）n（2 分）A. 整除B. 不整除C. 等于D. 不一定整除【答案】A【解析】17. 设a,b,c,d是模5的一个简化剩余系，则a+b+c+d对模5同余于（）（2 分）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】18. 取1元、2元、5元的硬币共10枚，付出18元，有（）种不同的付法（2 分）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】19. 如果a≡b(mod q)，c≡d(mod q)，则有（）（2 分）A. a+c≡bd(mod q)B. ac≡b+d(mod q)C. a+c≡b+d(mod q)D. ab≡cd(mod q)【答案】C【解析】20. （54,198）=（）（2 分）A. 3B. 6C. 9D. 18【答案】D【解析】21. 下列结论正确的是（）（2 分）A. 若a^2≡b^2(mod m)，则a≡b(mod m)B. 若a^2≡b^2(mod m)，则a≡b(mod m)或a≡-b(mod m)至少有一个成立C. 若a≡b(mod m)，则a^2≡b^2(mod m^2)D. 若a≡b(mod 2)，则a^2≡b^2(mod 4)【答案】D【解析】22. 不定方程525x+231y=210（）（2 分）A. 有解B. 无解C. 解都是正数D. 解都是负数【答案】A【解析】23.已知361a是一个4位数（其中a是个位数），它能被5整除，也能被3整除，则a的值是（）（2 分）A. 0B. 2C. 5D. 9【答案】C【解析】24. 1050与858的最大公因数是（）（2 分）A. 2B. 3C. 6D. 12【答案】C【解析】25. 如果（），则不定方程ax+by=c有解（2 分）A. (a,b)|cB. c|(a,b)C. a|cD. (a,b)|a【答案】A【解析】二、判断题（共 25 道小题，共 50 分）26. 对任给的正整数k,必有k个连续正整数都是合数.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】27. 欧拉函数ψ(700) =240.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】28. 11除123的余数是2.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】29. 若x通过模m的完全剩余系,则x+b(b是整数)通过模m的完全剩余系.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】30. 同余方程x^2≡11(mod 17)无解.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】31. x^4+1的奇素因数p满足p≡1(mod8) .（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】32. 存在无穷多个形如4n-1的素数.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】33. 若ac≡bc(mod m)，则a≡b(mod m).（2 分）A. 错误B. 正确【答案】A【解析】34. 模P的简化剩余系中，二次剩余和非二次剩余的个数都是(p-1)/2.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】35. 294与194的最大公因数是2.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】36. 素数写成两个平方数和的方法是唯一的.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】37. 若a^3|b^3，则a|b.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】A【解析】38. 模7的最小非负完全剩余系是0、1、2、3、4、5、6.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】39. 3,9,21,27,33,39,51,57是模20的一个简化剩余系.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】40. 如果两个整数互相整除，则这两个数仅相差一个符号.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】A【解析】41. 200到500的整数中7的倍数的个数为43（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】42. 模9的最小非负完全剩余系0,1,2,3,4,5,6,7,8.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】43. 如果p和p+2都是大于3的质数，则6|p+1.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】44. 存在数m，使ψ(m) =14.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】A【解析】45. 奇数一定能表示为两平方数之差.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】46. 16x-37y=7有整数解.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】47. 若3|n且7|n，则21|n.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】48. 若某个剩余类中有一个数与模m互素,则该剩余类中每个数均与模m互素.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】49. 7是模29的平方剩余.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】50. 形如4n-1的整数不能写成两个平方数的和.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】共 2 道大题，满分 100 分一、单选题（共 25 道小题，共 50 分）1. 7的7次方个位数是（）（2 分）A. 1B. 3C. 7D. 9【答案】B【解析】2. 如果b|a，a|c，则（）（2 分）A. b=cB. b=-cC. b|cD. c|b【答案】C【解析】3. 24871与3468的最大公因数是（）（2 分）A. 11B. 13C. 17D. 19【答案】C【解析】4. 下列表述中与n≡5 (mod7)不等价的是（）（2 分）A. n=5+7k,k是整数B. n被7整除余5C. n-5被7整除D. n-7被5整除【答案】D【解析】5. 因为（），所以不定方程12x+15y=7没有整数解。
初等数论第三版复习题解答
第一章 整数的可除性§1 整除的概念·带余除法 1．证明定理3定理3 若12n a a a L ，，，都是m 得倍数，12n q q q L ，，，是任意n 个整数，则1122n n q a q a q a +++L 是m 得倍数．证明：Q 12,,n a a a L 都是m 的倍数。
∴ 存在n 个整数12,,n p p p L 使 1122,,,n n a p m a p m a p m ===L又12,,,n q q q L 是任意n 个整数1122n nq a q a q a ∴+++L1122n n q p m q p m q p m =+++L1122()n n p q q p q p m =+++L即1122n n q a q a q a +++L 是m 的整数 2．证明 3|(1)(21)n n n ++证明 (1)(21)(1)(21)n n n n n n n ++=+++-Q (1)(2)(1)(1)n n n n n n =+++-+又(1)(2)n n n ++Q ，(1)(2)n n n -+是连续的三个整数 故3|(1)(2),3|(1)(1)n n n n n n ++-+3|(1)(2)(1)(1)n n n n n n ∴+++-+从而可知 3|(1)(21)n n n ++3．若00ax by +是形如ax by +（x ，y 是任意整数，a ，b 是两不全为零的整数）的数中最小整数，则00()|()ax by ax by ++．证： ,a b Q 不全为0∴在整数集合{}|,S ax by x y Z =+∈中存在正整数，因而有形如ax by +的最小整数00ax by +,x y Z ∀∈，由带余除法有0000(),0ax by ax by q r r ax by +=++≤<+则00()()r x x q a y y q b S =-+-∈，由00ax by +是S 中的最小整数知0r =00|ax by ax by ∴++00|ax by ax by ++Q （,x y 为任意整数） 0000|,|ax by a ax by b ∴++ 00|(,).ax by a b ∴+ 又有(,)|a b a ，(,)|a b b 00(,)|a b ax by ∴+ 故00(,)ax by a b +=4．若a ，b 是任意二整数，且0b ≠，证明：存在两个整数s ，t 使得||,||2b a bs t t =+≤成立，并且当b 是奇数时，s ，t 是唯一存在的．当b 是偶数时结果如何？ 证：作序列33,,,,0,,,,2222b b b bb b ---L L 则a 必在此序列的某两项之间 即存在一个整数q ，使122q q b a b +≤<成立 ()i 当q 为偶数时，若0.b >则令,22q qs t a bs a b ==-=-，则有 02222b q q qa bs t ab a b b t ≤-==-=-<∴<若0b < 则令,22q qs t a bs a b =-=-=+，则同样有2b t <()ii 当q 为奇数时，若0b >则令11,22q q s t a bs a b ++==-=-，则有1102222b b q q t a bs a b a b t ++-≤=-=-=-<∴≤ 若 0b <，则令11,22q q s t a bs a b ++=-=-=+，则同样有2b t ≤，综上所述，存在性得证．下证唯一性当b 为奇数时，设11a bs t bs t =+=+则11()t t b s s b -=-> 而111,22b bt t t t t t b ≤≤∴-≤+≤ 矛盾 故11,s s t t == 当b 为偶数时，,s t 不唯一，举例如下：此时2b为整数 11312(),,22222b b b b b b b t t ⋅=⋅+=⋅+-=≤§2 最大公因数与辗转相除法 1．证明推论4.1推论4.1 a ，b 的公因数与（a ，b ）的因数相同． 证：设d '是a ，b 的任一公因数，∴d '|a ，d '|b 由带余除法111222111111,,,,,0n n n n n n n n n n a bq r b r q r r r q r r r q r r r r b---++-=+=+=+==≤<<<<L L∴(,)n a b r =∴d '|1a bq -1r =， d '|122b r q r -=，┄, d '|21(,)n n n n r r q r a b --=+=,即d '是(,)a b 的因数。
初等数论试题库
初等数论试题库初等数论练习一、单项选择题1. 如果n是一个自然数，那么n(n+1)是（）。
A. 奇数 B. 偶数 C. 奇数或偶数 D. 由n奇偶性而定32. 1998除以9后的余数是（）。
A. 1B. 2C. 3D. 03. 模10的绝对值最小的完全剩余系是（）。
A. 0，1，2，3，…8，9 B. 1，2，3，…9，10 C. -5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 D. 11，12，13，…19，204. 1500的标准分解式是（）。
A. 2×2×5×5×5×3B. 3×532×223C. 2×3×5 D. 2×2×3×5×5×5 5. 有一批同样砖块，宽30cm，长45cm，至少需要这样的砖多少块，才能铺成一个正方形地面？（）A. 4B. 6C. 9D. 246. 边长为自然数，面积为30的长方形有多少个？（） A. 2 B. 3C. 4D. 无数 7. 一堆排球，3个3个数余2个，4个4个数余3个，问这堆排球至少有多少个?（）A. 23B. 35C. 24D. 118. 下列不定方程中是三元二次不定方程的有（）。
A. xyz=9 B.5x+6y+7z=5C. xy+5z=8D. 2x+3y=69. 若ac?bc(mod m)，则下列正确的是( )A. a?b(mod m)B. m|(a-b)cC. m|cD. m|(a+b)c10. 若a、b两数的和与积均为偶数，则a，b的奇偶性为( ) A. a奇b偶 B. a偶b奇C. 均为偶数D. 均为奇数11. 已知五位数能被11整除，则A是( ) 123A5A. 0B. 7C. 9D. 1812. 下列算式肯定错误的是( )A. 4569×91=415779B. 4569×92=420348C. 2376×156=370646D. 4569×29=13250113. 下列数中能表示成20和12的倍数之和的是( ) A. 2 B. 6C. 10D. 3614. 已知甲数除以11的余数是4，乙数除以11的余数是7，则甲、乙两数之和除以11的余数是( )A. 4B. 7C. 0D. 615. 下列答案中正确的是( )A. 〔x〕+〔y〕?〔x+y〕B. 〔x+y〕=〔x〕+〔y〕C. 〔x〕+〔y〕＜〔x+y〕D. 〔x〕+〔y〕＞〔x+y〕16.m，n为整数，下列式子一定不可能成立的是( ) 1 D.m+n=0 A.m－n=3B.m+2n=5 217.若a,b,c均为整数，且a+b被c整除，则下列一定成立的是( ) C.2m+n=A.c|aB.c|b22 C.c|a－b D.c|a－b 18.相邻两个整数之和与相邻两个整数之积分别是( )A.奇数奇数B.奇数偶数C.偶数奇数D.偶数偶数 19.m为奇数时，模m的绝对最小完全剩余系是( )A.1,2,3,…,m－1,mB.－m,－(m－1),…,－2,－1m,1mm1,m C.,1,,...,－1,0,1,... D.,,...,－1,0,1, (2222)20.下列不属于二元二次不定方程的是( )22 A.xy=5 B.x+y=161y22 C.2x4x，,+y=8 D. 3421.11与-10以下列( )数为模时同余?A.2B.7C.10D.522.已知(a,b,c)=1,则一定有( )A.(a,b)=1B.(b,c)=1C.(a,c)=1D.((a,b),c)=123.所有不超过152的自然数中，5的倍数有( )个。
初等数论复习题
初等数论复习题资料一、填空题1、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的_倍数_____2、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者- _与p 互素________3.π(120)-π(100)＝_______5_________。
4.同余方程15x ≡12(mod99)关于模99的解是___ x ≡14， 47， 80(mod99)_。
5.若2002!≡0(mod10k )，则k 的最大值是____ 499____________。
6、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为-----][b a ------7.σ(288)＝_______819________；ϕ(288)＝_______96_________。
8、如果b a ,是两个正整数,则存在__唯一___整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0. 9.不定方程28x-67y=141的通解是___ x=17+67t, y=5+28t, t ∈Z__。
10.分数35n 58n ++，35n 1321n ++中必为既约分数的是____35n 58n ++__。
二、计算题1.试求方程［53x 2+］=74-6x 的实数解。
解：.显然74-6x 是整数，设此数为k ，则 x=647k +， k ∈Z于是 ［1087k +］=k 故 ［1087k +-k ］=0 从而 0≤-3k+8＜10 解得32-＜k ≤38， 于是k=0，1，2， 2 、 x=32, 611, 3求[136,221,391]=?解 [136,221,391]=[[136,221],391] =[391,17221136⨯]=[1768,391] = 173911768⨯=104⨯391=40664.3.判断同余方程组是否有解，如有解则求出其解：⎪⎩⎪⎨⎧≡+≡≡(mod50) 083x (mod16)010-x (mod15)14x解：1.等价于⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)50(mod 14x )16(mod 10x )15(mod 4x 因(15，16)=1，(15，50)｜(14－4)，（16，50）｜（14－10）故方程组有解，且等价于⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)25(mod 14x )16(mod 10x )3(mod 1x 列表计算如下mi Ci Mi Mi ′ CiMiMi ′ 3 1 400 1 40016 10 75 3 225025 14 48 12 8064得解x ≡1114（mod1200）4、求解不定方程144219=+y x .解：因为（9，21）=3，1443，所以有解； -化简得4873=+yx ； 考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ，所以原方程的特解为48,96=-=y x ，因此，所求的解是Zt t y t x∈-=+-=,348,796。
初等数论——精选推荐
初等数论陈培东 2014.7一、基础知识 1．整除问题（1）整除的部分性质：①若c | b ，b | a ，则c | a ②若c | a ，d | b ，则cd | ab ③若c | a ，c | b ，则c |（ka ＋nb ）；若c | a ，c |﹨b ，则c |﹨（a ＋b ） ④若ma | mb ，则a | b ⑤若a ＞0，b ＞0，b | a ，则b ≢a ⑥任意n 个连续正整数的乘积必能被n ！整除。
当（a ，b ）＝1时，称a 、b 互素（互质）。
有：①已知（a ，c ）＝1，若a | bc ，则a | b ；若a | b ，c | b ，则ac | b ②p 为素数，若p | ab ，则p | a 或p | b ③[a ，b]·（a ，b ）＝ab ④（a ，b ）＝（a ，b －ac ）＝（a －bc ，b ）对任何整数c 成立 ⑤存在整数x 、y ，使ax ＋by ＝（a ，b ）（裴蜀定理）⑥m （a ，b ）＝（ma ，mb ） ⑦若（a ，b ）＝d ，则（a d ，bd ）＝1⑧若a | m ，b | m ，则[a ，b] | m ⑨m[a ，b]＝[ma ，mb] （2）奇偶性分析 （3）个位数定理：在n 4k ＋r （k ，r 为非负整数）中，0≢r ＜4，则当r ＝0（k ≠0）时，n 4k ＋r 的个位数字与n 4的个位数字相同；当r ≠0时，n 4k ＋r 的个位数字与n r 的个位数字相同。
（4）平方数性质：①个位数字只能是：0，1，4，5，6，9 ②末两位数字不可能同时为奇数。
③偶数的平方是偶数，且被4整除；奇数的平方是奇数，且被4除余1。
④在n 2与（n ＋1）2之间不存在平方数。
（5）算术基本定理：任何一个大于1的整数都可以分解成素数的乘积。
如果不考虑这些素因子的次序，则这种分解法是唯一的。
即对任一整数a ＞1，有a ＝p 1α1p 2α2…p nαn ，其中p 1＜p 2＜…＜p n 均为素数，α1、α2、…、αn 都是正整数。
第一讲(初等数论)资料
第一讲、初等数论与数学竞赛一、进位制知识要点：（1） 十进制自然数N 的表示方法：12110011101,...,2,1,09010101010a a a a a a N a n i a a a a a a N n n n n i ini i n n n n ⋅⋅⋅=≠-=≤≤⨯=+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=--=--∑，上式也可写作），（其中 （2） b 进制数b N 表示方法：)0,10(0≠-≤≤=∑=n i i ni i b a b a b a N（3） 十进制数与b 进制数的互相转换 例题分析：例1、 将十进制数2000转换成六进制数。
2......33362000=÷ 3......556333=÷ 1......9655=÷ 3......169=÷1......061=÷ 所以6)13132(2000=十进制整数转换为b 进制数方法：“除b 取余” 例2、 将十进制数0.315转换为八进制数。
520.28315.0=⨯ 整数部分为：2 160.48520.0=⨯ 整数部分为：4 280.18160.0=⨯ 整数部分为：1 240.28280.0=⨯ 整数部分为：2 所以，8)2412.0(315.0≈十进制小数转换为b 进制数方法：“乘b 取整”例3、2000263616361)13132(12346=+⨯+⨯+⨯+⨯=5625.354142434042)21.203(210124=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=--b 进制数转换为十进制数只需直接进行计算。
例4、把正整数中的所有数字都不大于7的数排成一列，求所形成的递增数列中的第2000项。
解：所形成的数列为1，2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15，16，17，20，21，22，23，......可以看出，数列中的每一项顺次构成全体八进制数，而8)3270(2000= 因此，数列中的第2000项为3720.例5、设十进制数1999在b 进制中写成三位数xyz ，且x+y+z=1+9+9+9，求b 的值。
初等数论复习题答案
初等数论复习题答案1. 试述质数与合数的定义。
答案：质数是指大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数的数。
合数则是指除了1和它本身之外，还有其他因数的自然数。
2. 请解释最大公约数和最小公倍数的概念。
答案：最大公约数（GCD）是指两个或多个整数共有约数中最大的一个。
最小公倍数（LCM）是指两个或多个整数的最小公共倍数。
3. 举例说明辗转相除法（欧几里得算法）的计算过程。
答案：设两个正整数为a和b（a > b），辗转相除法的过程是：用较大的数除以较小的数，得到余数r，然后用较小的数去除这个余数，再得到新的余数，如此反复，直到余数为0，最后的除数即为最大公约数。
4. 试证明费马小定理。
答案：费马小定理指出，如果p是一个质数，a是一个不被p整除的整数，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
证明过程通常涉及模运算和群论的基本概念。
5. 说明中国剩余定理的基本原理。
答案：中国剩余定理是数论中一个关于线性同余方程组的定理。
给定一组两两互质的模数和一组对应的余数，定理保证了存在一个唯一的解，这个解在模数乘积的模下是唯一的。
6. 什么是素数定理？请简要说明。
答案：素数定理描述了素数在自然数中的分布情况。
它指出，小于或等于给定数x的素数数量大约是x除以x的自然对数，即π(x) ≈ x / ln(x)。
7. 描述同余的概念及其性质。
答案：同余是指两个整数a和b，若它们除以正整数n后余数相同，则称a和b同余模n，记作a ≡ b (mod n)。
同余具有自反性、对称性和传递性等性质。
8. 简述模运算的性质。
答案：模运算的性质包括加法和乘法的封闭性、结合律、交换律、分配律以及模逆元的存在性等。
9. 试解释什么是完全数。
答案：完全数是指一个正整数，它等于其所有真因数（即除了自身以外的因数）之和。
10. 请解释什么是亲和数。
答案：亲和数是一对或一组数，其中每个数的所有真因数之和等于另一个数。
例如，220和284就是一对亲和数，因为220的真因数之和为1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284，而284的真因数之和也为220。
初等数论知识点汇总
第一节 整数的p 进位制及其应用正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。
进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。
在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。
基础知识给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m --，则此数可以简记为：021a a a A m m --=（其中01≠-m a ）。
由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1-m 次多项式，即012211101010a a a a A m m m m +⨯++⨯+⨯=---- ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{-=∈m i a i 且01≠-m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m --=。
在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m --=，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。
但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。
特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。
为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示：012211a p a p a p a A m m m m +⨯++⨯+⨯=---- ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{-=-∈m i p a i 且01≠-m a 。
而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 --=。
电大初等数论复习资料
初等数论第一次作业（第1章）一、单项选择题1、=),0(b （ ）.A bB b -C bD 02、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=3、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）.A aB bC 1D b a +4、小于30的素数的个数（ ）.A 10B 9C 8D 75、大于10且小于30的素数有（ ）.A 4个B 5个C 6个D 7个6、如果n 3，n 5，则15（ ）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定7、在整数中正素数的个数（ ）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定二、计算题1、求24871与3468的最大公因数?2、求[24871,3468]=?3、求[136,221,391]=?三、证明题1、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.2、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数. 3、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.4、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.第一次作业参考答案1、=),0(b （C ）.Ab B b - D 02、如果a b ，b a ，则(D ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=3、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（C ）.A aB bC 1D b a +4、小于30的素数的个数（A ）.A 10B 9C 8D 75、大于10且小于30的素数有（ C ）.A 4个B 5个C 6个D 7个6、如果n 3，n 5，则15（A ）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定7、在整数中正素数的个数（C ）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定二、计算题1、 求24871与3468的最大公因数?解： 24871=3468⨯7+5953468=595⨯5+493595=493⨯1+102493=102⨯4+85102=85⨯1+1785=17⨯5,所以,(24871,3468)=17.2、 求[24871,3468]=?解：因为（24871,3468）=17所以[24871,3468]= 17346824871⨯ =5073684所以24871与3468的最小公倍数是5073684。
初等数论知识点
初等数论知识点数论是数学的一个重要分支，而初等数论则是数论中较为基础的部分，它主要研究整数的性质和相互关系。
下面让我们一起来了解一些初等数论的重要知识点。
一、整除整除是初等数论中的一个核心概念。
如果整数 a 除以整数 b（b≠0），商是整数且没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，记作 b ｜ a。
例如，15÷3 ＝ 5，没有余数，所以 3 ｜ 15。
整除具有一些基本的性质：1、如果 a ｜ b 且 b ｜ c，那么 a ｜ c。
2、如果 a ｜ b 且 a ｜ c，那么对于任意整数 m、n，有 a ｜（mb＋ nc)。
二、素数与合数素数（质数）是指一个大于 1 的整数，除了 1 和它自身外，不能被其他正整数整除。
例如 2、3、5、7 等都是素数。
合数则是指除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的自然数。
比如 4、6、8、9 等。
素数具有重要的地位，有一个著名的定理叫做“算术基本定理”，它指出任何一个大于 1 的整数都可以唯一地分解成素数的乘积。
三、最大公因数与最小公倍数两个或多个整数共有的因数中最大的一个，称为它们的最大公因数，记作（a, b)。
例如，12 和 18 的公因数有 1、2、3、6，其中最大的是 6，所以（12, 18) ＝ 6。
两个或多个整数共有的倍数中最小的一个，称为它们的最小公倍数，记作 a, b。
对于 12 和 18，它们的公倍数有 36、72 等，其中最小的是 36，所以 12, 18 ＝ 36。
求最大公因数和最小公倍数可以使用质因数分解法或辗转相除法。
四、同余同余是指两个整数 a 和 b 除以正整数 m 所得的余数相同，就说 a 和b 对模 m 同余，记作a ≡ b （mod m)。
同余有很多性质，比如如果a ≡ b （mod m)，c ≡ d （mod m)，那么a ＋c ≡b ＋ d （mod m)，ac ≡ bd （mod m)，ac ≡ bd （mod m)等。
初等数论 期末复习
题目：一、求同余式的解：111x 75(mod321)≡二、求高次同余式的解：)105(m od 0201132≡-+x x 。
三、求高次同余式的解: 27100x x ++≡(mod 13). 四、计算下列勒让德符号的值:105223-⎛⎫⎪⎝⎭, 91563⎛⎫⎪⎝⎭五、计算下列勒让德符号的值：)593438(，)1847365(六、韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人。
求兵数。
七、设 b a ,是两个正整数，证明: b a ,的最大公因子00(,)a b ax by =+,其中00ax by +是形如ax by +(,x y 是任意整数)的整数里的最小正数. 八、证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为p a +2（a > 0是整数，p 为素数）的形式。
九、证明: 若方程 11...0n n n x a x a -+++= (0,i n a > 是整数,1,...,i n =)有有理数解,则此解必为整数.十、证明: 若(,)1a b =， 则(,)12a b a b +-=或十一、证明：设N ∈c b a ,,，c 无平方因子，c b a 22，证明：b a 。
十二、设p 是奇素数,1),(=p n , 证明: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≡-p n np 21 (mod p ). 十三、设m > 1，模m 有原根，d 是)(m ϕ的任一个正因数，证明：在模m 的缩系中，恰有)(d ϕ 个指数为d 的整数，并由此推出模m 的缩系中恰有))((m ϕϕ个原根。
十四、设g 是模m 的一个原根，证明：若γ通过模()m ϕ的最小非负完全剩余系, 则g γ通过模m 的一个缩系。
第一题：求同余式的解：111x 75(mod321)≡ 解答：(111,321)3,375=∴同余式有三个解11175321x (m o d )333≡ 即 37x 25(mod107)≡ 4x 75(m o d 10≡ 又x 2775(mod107)99(mod107)≡⨯≡因此同余式的解为x 99,206,313(mod321)≡。
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初等数论第一次作业（第1章）一、单项选择题1、=),0(b （ ）.A bB b -C bD 02、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=3、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）.A aB bC 1D b a +4、小于30的素数的个数（ ）.A 10B 9C 8D 75、大于10且小于30的素数有（ ）.A 4个B 5个C 6个D 7个6、如果n 3，n 5，则15（ ）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定7、在整数中正素数的个数（ ）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定二、计算题1、求24871与3468的最大公因数?2、求[24871,3468]=?3、求[136,221,391]=?三、证明题1、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.2、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数. 3、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.4、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.第一次作业参考答案1、=),0(b （C ）.Ab B b - D 02、如果a b ，b a ，则(D ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=3、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（C ）.A aB bC 1D b a +4、小于30的素数的个数（A ）.A 10B 9C 8D 75、大于10且小于30的素数有（ C ）.A 4个B 5个C 6个D 7个6、如果n 3，n 5，则15（A ）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定7、在整数中正素数的个数（C ）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定二、计算题1、 求24871与3468的最大公因数?解： 24871=3468⨯7+5953468=595⨯5+493595=493⨯1+102493=102⨯4+85102=85⨯1+1785=17⨯5,所以,(24871,3468)=17.2、 求[24871,3468]=?解：因为（24871,3468）=17所以[24871,3468]= 17346824871⨯ =5073684所以24871与3468的最小公倍数是5073684。
3、求[136,221,391]=?解： [136,221,391]=[[136,221],391] =[391,17221136⨯]=[1768,391] =173911768⨯=104⨯391=40664. 三、证明题 1、 如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.证明 ：首先证明唯一性.设q ',r '是满足条件的另外整数对,即r q b a '+'=,b r '≤0.所以r bq r q b +='+',即()r r q q b '-=-',r r q q b '-=-'.又由于b r ≤0,b r '≤0,所以b r r '-.如果q q '≠,则等式r r q q b '-=-'不可能成立.因此q q '=,r r '=.其次证明存在性.我们考虑整数的有序列……,,3,2,,0,,2,3b b b b b b ---……则整数a 应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数q 使()b q a qb 1+≤ .我们设qb a r -=,则有r bq a +=,b r ≤0.2、 证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数. 证明： 因为62332n n n ++=)32(62n n n ++=)2)(1(61++n n n , 而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,并且(2,3)=1, 所以从)2)(1(2++n n n 和)2)(1(3++n n n 有)2)(1(6++n n n , 即62332n n n ++是整数.3、 任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.证明： 因为=-121a a a a n n 12211101010a a a a n n n n +⨯++⨯+⨯--- ,n n a a a a 121- =n n n n a a a a +⨯++⨯+⨯---10101012211 ,所以,121a a a a n n --n n a a a a 121- =).101()101(10)110(10)110(1132311------+-⨯++-⨯+-⨯n n n n n n a a a a而上面等式右边的每一项均是9的倍数,于是所证明的结论成立.4、 证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.证明: 设相邻两个偶数分别为)22(,2+n n所以)22(2+n n =)1(4+n n而且两个连续整数的乘积是2的倍数即)1(4+n n 是8的倍数.第二次作业（第2章）一、单项选择题1、如果( ),则不定方程有解。
A B C D2、不定方程210+yx ( )。
525=231A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解二、求解不定方程1、。
2、。
3、。
4.求不定方程的整数解。
5.求不定方程的整数解。
第二次作业参考答案一、单项选择题1、如果( A ),则不定方程c+有解.byax=A cba,(a)c C c a D aa)b(b,( B ),2、不定方程210x（A ）.+y525=231A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解二、求解不定方程1、144x.21+y9=解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；化简得48+yx；3=7考虑1-x，,2==yx，有1+y73=所以原方程的特解为48x，=y,96=-因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。
2、18176=-y x .解：因为 18)17,6(,所以有解;考虑1176=-y x ,1,3==y x ;所以18,54==y x 是特解,即原方程的解是t y t x 618,1754-=-=3、2537107=+y x .解：因为（107，37）=125，所以有解；考虑137107=+y x ，有26,9-==y x ，所以，原方程特解为259⨯=x =225，2526⨯-=y =-650，所以通解为t y t x 107650,37225--=+=4.求不定方程471325=++z y x 的整数解.解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解25x+13y=t, t+7z=4.利用求二元一次不定方程的方法,因为25(-t)+13(2t)= t, 32+7⨯(-4)=4,所以,上面两个方程的解分别为⎩⎨⎧-=+-=1125213k t y k t x , ⎩⎨⎧--=+=224732k z k t . 消去t 就得到所求的解⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=-+-=22121414256471332k z k k y k k x ,这里21,k k 是任意整数.5.求不定方程8594=+-z y x 的整数解.解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解4x-9y=t, t+5z=8.利用求二元一次不定方程的方法,因为4(-2t)-9(-t)= t, 48+5⨯(-8)=8,所以,上面两个方程的解分别为⎩⎨⎧--=--=11492k t y k t x , ⎩⎨⎧--=+=228548k z k t . 消去t 就得到所求的解⎪⎩⎪⎨⎧--=---=---=221218544810996k z k k y k k x ,这里21,k k 是任意整数.第三次作业（第3章）一、选择题1、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或92、整数637693能被( )整除.A 3B 5C 7D 93、模5的最小非负完全剩余系是( ).A -2,-1,0,1,2B -5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5D 0,1,2,3,44、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(m od m bcD b a ≠二、解同余式（组）（1）)132(mod 2145≡x .（2）)45(mod 01512≡+x（3）)321(m od 75111≡x . （4）⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x .（5）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡≡)9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x .三、证明题1、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .第三次作业参考答案一、选择题1、整数5874192能被( B )整除.A 3B 3与9C 9D 3或92、整数637693能被(C )整除.A 3B 5C 7D 93、模5的最小非负完全剩余系是( D ).A -2,-1,0,1,2B -5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5D 0,1,2,3,44、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则（A ）A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(m od m bcD b a ≠二、解同余式（组）（1）)132(mod 2145≡x .解 因为(45,132)=3¦21,所以同余式有3个解.将同余式化简为等价的同余方程)44(mod 715≡x .我们再解不定方程74415=-y x ,得到一解(21,7).于是定理4.1中的210=x .因此同余式的3个解为)132(mod 21≡x ,)132(mod 65)132(mod 313221≡+≡x , )132(mod 109)132(mod 3132221≡⨯+≡x .（2）)45(mod 01512≡+x解 因为(12,45)=3¦15,所以同余式有解,而且解的个数为3.又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+.我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),即定理4.1中的100=x .因此同余式的3个解为)45(mod 10≡x ,)45(mod 25)45(mod 34510≡+≡x , )45(mod 40)45(mod 345210≡⨯+≡x .（3）)321(m od 75111≡x . 解 因为(111,321)=3¦75,所以同余式有3个解.将同余式化简为等价的同余方程)107(mod 2537≡x .我们再解不定方程2510737=+y x ,得到一解(-8,3).于是定理4.1中的80-=x .因此同余式的3个解为)321(mod 8-≡x ,)321(mod 99)321(mod 33218≡+-≡x , )321(mod 206)321(mod 332128≡⨯+-≡x .（4）⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x .解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式)7(mod 172≡x ,)8(mod 163≡x ,)9(mod 156≡x ,得到)9(mod 4),8(mod 1),7(mod 4321-=-==x x x .于是所求的解为).494(mod 478)494(mod 510 )494(mod 3)4(562)1(631472=-=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯⨯≡x（5）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡≡)9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x .(参考上题)三、证明题1、 如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.证明 设a 是一正整数,并将a 写成10进位数的形式:a =1101010n n n n a a a --+++,010i a ≤.因为10≡0(mod5),所以我们得到)5(m o d 0a a ≡ 所以整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .证明 因为)3(mod 12-≡,所以)3(mod 1)1(12+-≡+n n .于是,当n 是奇数时,我们可以令12+=k n .从而有)3(mod 01)1(1212≡+-≡++k n , 即)12(3+n .第四次作业（第4章）一、计算：1、 判断同余式)593(m od 4382≡x 是否有解？2、判断同余式)1847(m od 3652≡x 是否有解？3、 11的平方剩余与平方非剩余.4、 计算⎪⎭⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数. 5、计算⎪⎭⎫ ⎝⎛443383 二、证明题：1、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.2、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和；两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.4、素数写成两个平方数和的方法是唯一的.第四次作业参考答案一、计算：2、 判断同余式)593(m od 4382≡x 是否有解？(答：无解。