电大初等数论复习资料
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初等数论
第一次作业（第1章）
一、单项选择题
1、=),0(b （ ）.
A b
B b -
C b
D 0
2、如果a b ，b a ，则( ).
A b a =
B b a -=
C b a ≤
D b a ±=
3、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）.
A a
B b
C 1
D b a +
4、小于30的素数的个数（ ）.
A 10
B 9
C 8
D 7
5、大于10且小于30的素数有（ ）.
A 4个
B 5个
C 6个
D 7个
6、如果n 3，n 5，则15（ ）n .
A 整除
B 不整除
C 等于
D 不一定
7、在整数中正素数的个数（ ）.
A 有1个
B 有限多
C 无限多
D 不一定
二、计算题
1、求24871与3468的最大公因数?
2、求[24871,3468]=?
3、求[136,221,391]=?
三、证明题
1、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.
2、证明对于任意整数n ,数6
233
2n n n ++是整数. 3、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.
4、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.
第一次作业参考答案
1、=),0(b （C ）.
A
b B b - D 0
2、如果a b ，b a ，则(D ).
A b a =
B b a -=
C b a ≤
D b a ±=
3、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（C ）.
A a
B b
C 1
D b a +
4、小于30的素数的个数（A ）.
A 10
B 9
C 8
D 7
5、大于10且小于30的素数有（ C ）.
A 4个
B 5个
C 6个
D 7个
6、如果n 3，n 5，则15（A ）n .
A 整除
B 不整除
C 等于
D 不一定
7、在整数中正素数的个数（C ）.
A 有1个
B 有限多
C 无限多
D 不一定
二、计算题
1、 求24871与3468的最大公因数?
解： 24871=3468⨯7+595
3468=595⨯5+493
595=493⨯1+102
493=102⨯4+85
102=85⨯1+17
85=17⨯5,
所以,(24871,3468)=17.
2、 求[24871,3468]=?
解：因为
（24871,3468）=17
所以
[24871,3468]= 17
346824871⨯ =5073684
所以24871与3468的最小公倍数是5073684。
3、求[136,221,391]=?
解： [136,221,391]=[[136,221],391] =[391,17
221136⨯]=[1768,391] =
17
3911768⨯=104⨯391=40664. 三、证明题 1、 如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.
证明 ：首先证明唯一性.设q ',r '是满足条件的另外整数对,即
r q b a '+'=,b r '≤0.
所以r bq r q b +='+',即()r r q q b '-=-',r r q q b '-=-'.又由于b r ≤0,b r '≤0,所以b r r '-.如果
q q '≠,则等式r r q q b '-=-'不可能成立.
因此q q '=,r r '=.
其次证明存在性.我们考虑整数的有序列
……,,3,2,,0,,2,3b b b b b b ---……
则整数a 应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数q 使
()b q a qb 1+≤ .
我们设qb a r -=,则有r bq a +=,b r ≤0.
2、 证明对于任意整数n ,数6
233
2n n n ++是整数. 证明： 因为62332n n n ++=)32(6
2n n n ++=)2)(1(61++n n n , 而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,
并且(2,3)=1, 所以从)2)(1(2++n n n 和)2)(1(3++n n n 有)2)(1(6++n n n , 即6
233
2n n n ++是整数.
3、 任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.
证明： 因为
=-121a a a a n n 12211101010a a a a n n n n +⨯++⨯+⨯--- ,
n n a a a a 121- =n n n n a a a a +⨯++⨯+⨯---10101012211 ,
所以,121a a a a n n --n n a a a a 121- =
).101()101(10)110(10)110(1132311------+-⨯++-⨯+-⨯n n n n n n a a a a
而上面等式右边的每一项均是9的倍数,
于是所证明的结论成立.
4、 证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.
证明: 设相邻两个偶数分别为)22(,2+n n
所以)22(2+n n =)1(4+n n
而且两个连续整数的乘积是2的倍数
即)1(4+n n 是8的倍数.