力法习题课及对称性的利用共27页
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结构力学：第七章《力法》
为此，求出基本结构的
和NP值 N1
0 22 1
-1/2
对称
2
列表计算(见书137页)后得
EA11=(3+ ) a EA△1P=－Pa
2P 2
NP 0
3 P0
1
+P/2
P 4
对称返29回2
代入典型方程，解得
3
22
X1=1
4
=0.172P
0 22 1
对称
N1
-1/2
2
各杆内力按式
X1 1 M1图
M 2图
M3图 P Pab L
作基本结构各 和MP图
1 X2 1 由于 3=0,故
13= 31= 23= 32= △3P=0
X3 1 则典型方程第三式为
MP图
代代入入典典型型方3方3X程程3(=解消0得去公因子)得
33≠0(因X3的解唯一)
Pab2
L2 M图
MAC= a
4P 11
+
a(
3P 88
)
Pa 2
内力的计算便是静定问题。
返26回
2 、力法的计算步骤
（1）确定原结构的超静定次数。 （2）选择静定的基本结构(去掉多余联系， 以多余未知力代替)。 （3）写出力法典型方程。 （4）作基本结构的各单位内力图和荷载内力 图，据此计算典型方程中的系数和自由项。 （5）解算典型方程，求出各多余未知力。 （6）按叠加法作内力图。
结论
象上述这样解除超静定结构的多余联系而得 到静定的基本结构，以多余未知力作为基本未知 量，根据基本结构应与原结构变形相同而建立的 位移条件，首先求出多余未知力，然后再由平衡 条件计算其余反力、内力的方法，称为力法。
结构力学-力法中对称性的利用
对弯矩X1，一对轴力X2和对剪力X3。X1和X2是正
对称的，X3是反对称的。
X2 X1
X3 X1 X2
EI1
对 称
轴
EI2
EI2
（a）
图8-17
X3 （b）基本结构
绘出基本结构的各单位弯矩力（图解-18），可以看出 M1图和M2图是正对称的，而M3是反对称的。
X1=1
X2=1
X3=1
M1图
M2图
M3图
+ 1P=0 22Y2+ 2P=0
当对称结构承爱一般非对称荷载时，我们还可以将荷
载分解为正，反对称的两组，将它们分别作用于结构上求 解，然后将计算叠加（图8-24）。显然，若取对称的基本 结构计算，则在正对称荷载作用下只有正对称的多余未知 力，反对称荷载作用下只有反对称的多余未知力。
P
q
P/2 q/2 P/2
P/2
+ q/2
q/2 P/2
图8-24
转到下一节
是这样的例子。为了使副系数为零，可以采取未知力分组
的方法。
AP
BP
（a）
X1
X2 X1
（b） 基本体系
（c）
（d）
X2
这就是将原有在对称们置上的两个多个未知力X1和X2分 解为新的两组未知力：一组为两个成正对称的未知力Y1， 另一驵为两个成反对称 的未知力Y2（图8-23a）。新的未 知力与原未知力之间具有如下关系：
可知副系数 13 =31=0, 23 =32 =0 于是方程可以简
化为
11X1 12 X 2 1P 0
21X1 22 X 2 2P 0
33 X 3 3P 0
力法 位移法
点以逆时针为正。
一般杆件
M M
AB BA
? ?
4i? A 2i? A
? ?
2i? B 4i? B
? ?
6i 6i
? l ? l
? ???? ? ??
?
(1)
FQAB
?
FQBA
?
?
6i l
?A
?
6i l
?
B
?
12i l2
?
?
(2)
? ? FQAB
?
FQBA ?
?1 l
M AB ?
M BA
几种不同远端支座的刚度方程
M BA ? ? i? A
由荷载求固端弯矩
载常数表 7-1，称为固端弯矩和固端剪力
M
F AB
,
FQFAB
一般杆件叠加公式 :
M ? 4i? ? 2i? ? 6i ?
AB
A
B
l
?
M
F AB
M ? 2i? ? 4i? ? 6i ?
BA
A
B
l
?
M
F BA
FQAB
?
?
6i l
?
A
?
6i l
?
B
?
12 i l2
?
?
FF QAB
FQBA
?
?
6i l
?
A
?
6i l
?
B
பைடு நூலகம்
?
12 i l2
?
?
FF QBA
小结
1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程；
2、单元分析、建立单元刚度方程是基础；
一般杆件
M M
AB BA
? ?
4i? A 2i? A
? ?
2i? B 4i? B
? ?
6i 6i
? l ? l
? ???? ? ??
?
(1)
FQAB
?
FQBA
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?
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?
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B
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12i l2
?
?
(2)
? ? FQAB
?
FQBA ?
?1 l
M AB ?
M BA
几种不同远端支座的刚度方程
M BA ? ? i? A
由荷载求固端弯矩
载常数表 7-1，称为固端弯矩和固端剪力
M
F AB
,
FQFAB
一般杆件叠加公式 :
M ? 4i? ? 2i? ? 6i ?
AB
A
B
l
?
M
F AB
M ? 2i? ? 4i? ? 6i ?
BA
A
B
l
?
M
F BA
FQAB
?
?
6i l
?
A
?
6i l
?
B
?
12 i l2
?
?
FF QAB
FQBA
?
?
6i l
?
A
?
6i l
?
B
பைடு நூலகம்
?
12 i l2
?
?
FF QBA
小结
1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程；
2、单元分析、建立单元刚度方程是基础；
第7章 7.4 探究物体受力时怎样运动习题课件(共26张PPT)
知识点二 二力平衡条件应用 5．如图所示，下列物体的受力示意图中，物体能处于平衡状
态的是( C )
6. 针对以下现象，在空格中选填“平衡”或“相互作用”。
(1)如图甲所示，小明跑步的情形中，小明所受重力和地面对
小明的支持力是一对 平衡 力，小明对地面的压力与地面对小 明的支持力是一对 相互作用 力。
13．如图所示，一个木箱放在水平地面上，小明同学用 25 N 的水
平推力向右推木箱，但未推动。下列两个力中是一对平衡力的是( B )
A．木箱对地面向下的压力和地面对木箱向上的支持力 B．地面对木箱向左的摩擦力和人对木箱向右的推力 C．人对木箱向右的推力和地面对木箱向上的支持力 D．木箱对地面向下的压力和地面对木箱向左的摩擦力
(1)实验中选择小卡片的目的是 不考虑 (选填“考虑”或 “不考虑”)小卡片的重力；探究两个力的 大小 关系时，应该
观察细线两端所挂钩码的个数。
(2)小华将系于小卡片两端的线分别跨过左右支架上的滑轮， 在线的两端挂上钩码，使作用在小卡片上的两个拉力方
向 相反 ，并通过调整 钩码的数量 来改变拉力的大小。
3．小瑶在“探究二力平衡条件”的实验中： (1)小瑶设计组装的实验装置如图所示，老师指出实验桌面越
光滑越好，其原因是 减小摩擦力对实验的影响(或减小摩擦 力或使小车在水平方向上只受两个力的作用) 。
(2)当小车处于静止状态或 匀速直线运动 状态时我们认 为它受到的力是相互平衡的。本实验中，小车应处于 静止 状
(2)如图乙所示，当电灯静止时，电线对电灯的拉力与电灯所
受的重力是一对 平衡 力，电灯对电线的拉力与电线对电灯的 拉力是一对 相互作用 力，电灯对电线的拉力与天花板对电线 的拉力是一对 平衡 力。
《结构力学习题集》(上)第四章超静定结构计算——力法
第四章 超静定结构计算——力法一、判断题：1、判断下列结构的超静定次数。
（1）、 （2）、(a )(b)（3）、 （4）、（5）、 （6）、（7）、(a)(b)2、力法典型方程的实质是超静定结构的平衡条件。
3、超静定结构在荷载作用下的反力和内力，只与各杆件刚度的相对数值有关。
4、在温度变化、支座移动因素作用下，静定与超静定结构都有内力。
5、图a 结构，取图b 为力法基本结构，则其力法方程为δ111X c =。
(a)(b)X 16、图a 结构，取图b 为力法基本结构，h 为截面高度，α为线膨胀系数，典型方程中∆12122t a t t l h =--()/()。
t 21t l Ah(a)(b)X 17、图a 所示结构，取图b 为力法基本体系，其力法方程为。
(a)(b)1二、计算题：8、用力法作图示结构的M 图。
3mm9、用力法作图示排架的M 图。
已知 A = 0.2m 2，I = 0.05m 4，弹性模量为E 0。
qa a11、用力法计算并作图示结构的M 图。
ql /212、用力法计算并作图示结构的M 图。
q3 m4 m13、用力法计算图示结构并作出M 图。
E I 常数。
（采用右图基本结构。
）l 2/3l /3/3l/314、用力法计算图示结构并作M 图。
EI =常数。
3m 3m2m2m 2m2m16、用力法计算图示结构并作M 图。
EI =常数。
l lql l17、用力法计算并作图示结构M 图。
E I =常数。
18、用力法计算图示结构并作弯矩图。
161kNmmmm19、已知EI = 常数，用力法计算并作图示对称结构的M 图。
ql lqa a21、用力法作图示结构的 M 图 。
EI = 常数。
2ql22、用力法作M 图。
各杆EI 相同，杆长均为 l 。
23、用力法计算图示结构并作M 图。
EI = 常数。
4m2kN24mmm24、用力法计算并作出图示结构的M 图。
E = 常数。
20kN3m 4m 3m26、用力法计算图示结构并作M 图。
力法
需要指出，对于 同一结构，可用各 种不同方式去掉多 余约束而得到不同 的静定结构。但是， 无论哪种方式，所 去掉的多余约束的 个数必然是相等的。
由于去掉多余约束的方式的多样性，所以，在 力法计算中，同一结构的基本结构可有各种不同的 形式。例如图a所示结构，可以将某一截面改成铰结 而得到图b 所示的基本结构，也可以去掉两铰支座 中任一根水平链杆，得到图c 所示的基本结构。但 应注意，基本结构必须是几何不变的，因此，某些 约束是绝对不能去掉的。例如对于上述结构中任一 根竖向支座链杆就不能去掉，否则将成为瞬变体系 （图d）
例1 用力法计算图a所示 刚架，并作出最后弯矩图。
解 (1) 选取基本体系 此刚架为一次超静定结构， 选取基本体系图b所示。
(2) 建立力法典型方程
1
X1 11 X12 01 0 12X 121X 2 X 1 21 X X X 0 2 0 (3) 求系数和自由项 22 12 222 2
常见的超静定结构有：超静定梁（图a），超静 定刚架（b），超静定桁架（图c），超静定拱（图 d），超静定组合结构（图e），铰接排架（图f）等。
第二节 力法的基本概念
下面以图a所示超静定梁为例，来说明力法的基本概念。 一、力法的基本结构和基本未知量 图a所示超静定梁，具有一个多余约束，为一次超静定 结构。 若将支座B作为多余约束去掉，代之以多余未知力 X1，则得到图b所示的静定结构。b基本体系、c基本结 构。如果设法求出多余未知力X1，那么原结构的计算问 题就可转化为静定结构的计算问题。因此，多余未知力 是最基本的未知力，称为力法的基本未知量。
11
(5) 求各杆的最后轴力 由公式 FN F N1 X1 FN 求得各杆 轴力如图e所示。例如，求BC杆 的最后轴力
力法知识讲解PPT89页
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
Δ1P
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
= X1=－Δ1P / δ11 3ql/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ M图
3ql/8
17
d X D 0
11 1
1P
D1P
512 EI1
d11
288 k 144 k EI1
X1
-
D1P
d11
-
320k
92k 1
X1
k1 2
- 80 kN 9
由上述，力法计算步骤可归纳如下： 影响。
1）确定超静定次数，选取力法基本体系；
2）按照位移条件，列出力法典型方程；
3）画单位弯矩图、荷载弯矩图，用（A）式求系数和自由项；
4）解方程，求多余未知力；
5）叠加最后弯矩图。M M i X i M P
25
§6.4 超静定梁、刚架和排架
FP
例 . 求解图示两端固支梁。
d12 X 2 d 22 X 2
D1P D2P
0 0
图乘求得位移系数为
d 11
d 22
2d 12
l 3EI
D1P
-
FPab(l b) 6EIl
D2 P
-
FPab(l a) 6EIl
X 1
FPab2 l2
X
2
FP a 2b l2
可代 得入
并 求 解
FPab2 l2
FPab l
FPa2b l2
11
EI
X1=1
求l X1方 E向1I 的 l位22 移23l 虚 拟3的lE3I力状P=态1
ql2/2 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MP
第8章超静定结构的计算方法
约束。
三次超静定拱
X1
X2
X3
e）
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3）撤除一 个固定铰支 座或撤除一 个内部单铰， 相当于解除 两个多余约 束。
二次超静定刚架
X1 X2X2来自X1X1X2二次超静定刚架
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4）撤除一 个固定端支 座或切断一 个刚性连接， 相当于解除 三个多余约 束。
三次超静定刚架
F
超静定梁，画出内力图。已知梁的抗弯
刚度EI为常数。 解2 (1) 属于一次超静定梁，得 到基本结构如图所示。 (2)建立力法典型方程。 A
A
l/2
C l/2 F
B
C
X1 M1图
B
11 X1+1F=0
（3）求系数和自由项
1 l l 2 l3 11 l EI 2 3 3EI
l Fl/2 M F图
处沿Xi方向的位移。
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c)
C
X1
f) B
C
X1=1
21
11
A d) B
11
X1倍
d) B
A
C
C
22
12
A
X2
X2=1 X2倍
12
A
ij=ij Xj
22
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21
B
1=11+12+1F= 0 2=21+22+2F= 0
ij 为多余约束力Xj=1时，基本结构在Xj 单独作用
上一页 下一页
返回
1）撤除 一根支 承链杆 二次超静定梁
一次超静定桁架
X1
X1
a）
或切断
一根结 构内部
三次超静定拱
X1
X2
X3
e）
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3）撤除一 个固定铰支 座或撤除一 个内部单铰， 相当于解除 两个多余约 束。
二次超静定刚架
X1 X2X2来自X1X1X2二次超静定刚架
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4）撤除一 个固定端支 座或切断一 个刚性连接， 相当于解除 三个多余约 束。
三次超静定刚架
F
超静定梁，画出内力图。已知梁的抗弯
刚度EI为常数。 解2 (1) 属于一次超静定梁，得 到基本结构如图所示。 (2)建立力法典型方程。 A
A
l/2
C l/2 F
B
C
X1 M1图
B
11 X1+1F=0
（3）求系数和自由项
1 l l 2 l3 11 l EI 2 3 3EI
l Fl/2 M F图
处沿Xi方向的位移。
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c)
C
X1
f) B
C
X1=1
21
11
A d) B
11
X1倍
d) B
A
C
C
22
12
A
X2
X2=1 X2倍
12
A
ij=ij Xj
22
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21
B
1=11+12+1F= 0 2=21+22+2F= 0
ij 为多余约束力Xj=1时，基本结构在Xj 单独作用
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返回
1）撤除 一根支 承链杆 二次超静定梁
一次超静定桁架
X1
X1
a）
或切断
一根结 构内部
力法的对称性
法2:1)将刚架上的荷载分组
正对称荷载下的计算: 2) 正对称荷载下的计算: δ11=144/EI 1P =1350/EI x1 = - 1P /δ11 = -9.935 δ 左侧受拉) MAB =33.75 kNm (左侧受拉) 右侧受拉) MAB中 =-28.125kNm (右侧受拉)
反对称荷载下的计算: 3) 反对称荷载下的计算: δ22=704/3EI 2P =-2240/EI x2 = - 2P /δ22 = 9.545 δ 上侧受拉) MBC =-1.82 kNm (上侧受拉) 下侧受拉) MBC` = 1.82 kNm (下侧受拉) 右侧受拉) MBA =-3.64 kNm (右侧受拉)
考虑对称性后: 考虑对称性后: δ13= δ31 = δ23= δ32= 0 代入式( ),得 代入式(a),得: δ11x1+δ12x2+1P=0 δ δ21x1+δ22x2+2P=0 δ δ33x3+3P=0 (b) 原方程分解成两相 互独立的方程. 互独立的方程.
二,荷载具有正或反对称性(考虑荷载情况) 荷载具有正或反对称性(考虑荷载情况) 正对称荷载作用下: 正对称荷载作用下:只有正对称的多余力
x`2=x`1+x x1= x`1+x /2 x2= x/2
一,了解力法的基本思路以及力法基本未知量,基 了解力法的基本思路以及力法基本未知量, 本体系(基本结构),基本方程的概念. ),基本方程的概念 本体系(基本结构),基本方程的概念. 弄清力法的基本原理. 二,弄清力法的基本原理.深刻理解力法典型方程 的物理意义. 的物理意义. 熟练掌握结构在荷载作用下的内力和位移计算; 三,熟练掌握结构在荷载作用下的内力和位移计算; 掌握结构在支座移动时的内力和位移计算以及力法 对称性的利用. 对称性的利用. 力法计算步骤: 四,力法计算步骤: 确定结构的力法基本未知量及基本体系, 1)确定结构的力法基本未知量及基本体系,建立 力法方程; 力法方程; 作基本结构分别在各因素下的内力( 2)作基本结构分别在各因素下的内力(图); 计算力法方程中的系数和自由项; 3)计算力法方程中的系数和自由项; 解力法方程,求出多余未知力; 4)解力法方程,求出多余未知力; 叠加做结构内力图; 5)叠加做结构内力图; 校核. 6)校核.
正对称荷载下的计算: 2) 正对称荷载下的计算: δ11=144/EI 1P =1350/EI x1 = - 1P /δ11 = -9.935 δ 左侧受拉) MAB =33.75 kNm (左侧受拉) 右侧受拉) MAB中 =-28.125kNm (右侧受拉)
反对称荷载下的计算: 3) 反对称荷载下的计算: δ22=704/3EI 2P =-2240/EI x2 = - 2P /δ22 = 9.545 δ 上侧受拉) MBC =-1.82 kNm (上侧受拉) 下侧受拉) MBC` = 1.82 kNm (下侧受拉) 右侧受拉) MBA =-3.64 kNm (右侧受拉)
考虑对称性后: 考虑对称性后: δ13= δ31 = δ23= δ32= 0 代入式( ),得 代入式(a),得: δ11x1+δ12x2+1P=0 δ δ21x1+δ22x2+2P=0 δ δ33x3+3P=0 (b) 原方程分解成两相 互独立的方程. 互独立的方程.
二,荷载具有正或反对称性(考虑荷载情况) 荷载具有正或反对称性(考虑荷载情况) 正对称荷载作用下: 正对称荷载作用下:只有正对称的多余力
x`2=x`1+x x1= x`1+x /2 x2= x/2
一,了解力法的基本思路以及力法基本未知量,基 了解力法的基本思路以及力法基本未知量, 本体系(基本结构),基本方程的概念. ),基本方程的概念 本体系(基本结构),基本方程的概念. 弄清力法的基本原理. 二,弄清力法的基本原理.深刻理解力法典型方程 的物理意义. 的物理意义. 熟练掌握结构在荷载作用下的内力和位移计算; 三,熟练掌握结构在荷载作用下的内力和位移计算; 掌握结构在支座移动时的内力和位移计算以及力法 对称性的利用. 对称性的利用. 力法计算步骤: 四,力法计算步骤: 确定结构的力法基本未知量及基本体系, 1)确定结构的力法基本未知量及基本体系,建立 力法方程; 力法方程; 作基本结构分别在各因素下的内力( 2)作基本结构分别在各因素下的内力(图); 计算力法方程中的系数和自由项; 3)计算力法方程中的系数和自由项; 解力法方程,求出多余未知力; 4)解力法方程,求出多余未知力; 叠加做结构内力图; 5)叠加做结构内力图; 校核. 6)校核.
力法习题课及对称性的利用
C
P
C P
等代结构
P
P
P 等代结构
21
b）奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设置成支杆。 2、对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。 a）位于对称轴上的截面的位移 vc=0 ， 内力 NC=0，MC=0
C EI P EI EI P P
QC NC MC NC
计算单位荷载下的内力图 计算支座反力：
1 4 1 3
1
1
代入位移计算公式得：
N s
5 12
Mds R k ck 0
1
5 1 1 1 1 0.001 1 2 3 1 0.002 0.003 4 12 200 2 3
1 2 0.005 m
9m
4m »
20o C
5o C
解： （1）选择基本体系 （2）列典型方程
5o C
q 15 kN m
X2
X1
151.875 4m
5o C 20o C
2 1
5o C
11 X 1 12 X 2 1P 1t 1c 0 21 X 1 22 X 2 2 P 2t 2c 0
»
. 5.05 X 1 0.03 X 2 5119 0 . 0.03 X 1 5.7 X 2 11143 0
X 1 10.02 kN X 2 19.5 kN
（3）绘制弯矩图
M X1 M 1 X 2 M 2 M P
10.02 A B 34.98 4m
19.5 C 4m 35.25 3m 3m
5o C
P
C P
等代结构
P
P
P 等代结构
21
b）奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设置成支杆。 2、对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。 a）位于对称轴上的截面的位移 vc=0 ， 内力 NC=0，MC=0
C EI P EI EI P P
QC NC MC NC
计算单位荷载下的内力图 计算支座反力：
1 4 1 3
1
1
代入位移计算公式得：
N s
5 12
Mds R k ck 0
1
5 1 1 1 1 0.001 1 2 3 1 0.002 0.003 4 12 200 2 3
1 2 0.005 m
9m
4m »
20o C
5o C
解： （1）选择基本体系 （2）列典型方程
5o C
q 15 kN m
X2
X1
151.875 4m
5o C 20o C
2 1
5o C
11 X 1 12 X 2 1P 1t 1c 0 21 X 1 22 X 2 2 P 2t 2c 0
»
. 5.05 X 1 0.03 X 2 5119 0 . 0.03 X 1 5.7 X 2 11143 0
X 1 10.02 kN X 2 19.5 kN
（3）绘制弯矩图
M X1 M 1 X 2 M 2 M P
10.02 A B 34.98 4m
19.5 C 4m 35.25 3m 3m
5o C
结构力学_力法(二)对称性的利用
X 1 12.5kN
M M1 X1 M p
Strucural Analysis School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
取半结构计算
根据对称结构的受力特征，在对称或反对称荷载作用下，可以取半结构 计算，另外半结构的内力可通过对称或反对称镜像得到。
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
对称结构在对称和反对称荷载作用下的特征
以图示结构为例推导说明。 X1 X3 X2
P EI=C 原结构 P
X1 1
X2 1
M 2图
基本结构
M 1图
X3 1
选取对称基本结构、对称和反对称基本未知量。
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 p 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 p 0 X X X 0 33 3 3p 31 1 32 2
Strucural Analysis
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
【例】试用力法求作图示刚架的弯矩图。各杆 EI C
。
【解】利用对称性简化为一次超静定。
11 X1 1 p 0
11
144 1800 , 1 p EI EI
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
取半结构计算
【例1】试用力法求作图示结构的弯矩图。
P 3Pl 28 EI
3Pl 28 3Pl 14 EI
P2
EI
EI 2EI EI EI
P2 P2
李廉锟《结构力学》(第6版)笔记及课后习题(含考研真题)详解-力法(圣才出品)
图 7-1-4 六、超静定结构的位移计算（见表 7-1-8） ★★★
表 7-1-8 超静定结构位移的计算
七、最后内力图的校核（见表 7-1-9） ★★★ 超静定结构计算较为繁琐，大量运用数字与符号，因而极容易出错，通过校核能够有效
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2．什么是力法的基本结构和基本体系？它们在计算中起什么作用？基本体系与原结构 有何异同？
答：（1）基本结构和基本体系的定义 ①力法的基本结构是指将原超静定结构中的多余联系去掉后所得到的静定结构； ②基本体系是指基本结构在原有荷载和多余未知力共同作用下的体系。 （2）基本结构和基本体系在计算中的作用 ①力法的基本方程中系数和自由项的求解以及最终结构内力和反力的计算均是在基本 结构上进行的； ②基本体系是在建立力法的基本方程时，方程右端数值确定的关键，也即位移协调条件。 （3）基本体系与原结构异同点 ①不同点：基本体系用未知力代替了原结构的约束； ②相同点：基本体系与原结构最后的变形相同，这也是建立力法典型方程的位移条件。
答：（1）荷载作用下，超静定结构的内力只与各杆的刚度相对值有关，而与其刚度绝 对值无关。
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（2）当计算支座移动的超静定结构时，把移动的支座视为多余约束，那么典型方程的 右端就不为零，此时需要根据多余约束处已知的位移条件建立典型方程。
6．超静定结构的内力在什么情况下只与各杆刚度的相对大小有关？什么情况下与各杆 刚度的绝对大小有关？
降低错误率，保证计算结果的正确性。各阶段校核内容见表 7-1-9。 表 7-1-9 最后内力图的校核
八、支座移动和温度改变时超静定结构的计算（见表 7-1-10） ★★
表 7-1-8 超静定结构位移的计算
七、最后内力图的校核（见表 7-1-9） ★★★ 超静定结构计算较为繁琐，大量运用数字与符号，因而极容易出错，通过校核能够有效
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2．什么是力法的基本结构和基本体系？它们在计算中起什么作用？基本体系与原结构 有何异同？
答：（1）基本结构和基本体系的定义 ①力法的基本结构是指将原超静定结构中的多余联系去掉后所得到的静定结构； ②基本体系是指基本结构在原有荷载和多余未知力共同作用下的体系。 （2）基本结构和基本体系在计算中的作用 ①力法的基本方程中系数和自由项的求解以及最终结构内力和反力的计算均是在基本 结构上进行的； ②基本体系是在建立力法的基本方程时，方程右端数值确定的关键，也即位移协调条件。 （3）基本体系与原结构异同点 ①不同点：基本体系用未知力代替了原结构的约束； ②相同点：基本体系与原结构最后的变形相同，这也是建立力法典型方程的位移条件。
答：（1）荷载作用下，超静定结构的内力只与各杆的刚度相对值有关，而与其刚度绝 对值无关。
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（2）当计算支座移动的超静定结构时，把移动的支座视为多余约束，那么典型方程的 右端就不为零，此时需要根据多余约束处已知的位移条件建立典型方程。
6．超静定结构的内力在什么情况下只与各杆刚度的相对大小有关？什么情况下与各杆 刚度的绝对大小有关？
降低错误率，保证计算结果的正确性。各阶段校核内容见表 7-1-9。 表 7-1-9 最后内力图的校核
八、支座移动和温度改变时超静定结构的计算（见表 7-1-10） ★★
力法 位移法
对称性利用的要点：
1、任意荷载可分解为对称荷载和反对称荷载；
2、选取对称的基本体系，并取对称力和反对称力作为基本未知量； 3、对称荷载作用下，只算对称力； 4、反对称荷载作用下，只算反对称力。
如果我们看到对称结构，无论什么荷载都转化为 对称和反对称。
例6-5：
P
I2
I1
P/2
P/2 P/2
P/2
I1 =
一般杆件
M AB 4i A 2i B 6i l (1) M BA 2i A 4i B 6i l 6i 6i 12i FQBA A B 2 (2) l l l
FQAB
FQAB FQBA
1 M AB M BA l
M CB M CD M 0
C
1、基本未知量的选取
1、结点角位移数： 结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。
2、结构独立线位移：
C
D
标准矩形框架 = 结 构 的 层 数
A
B
2 1
非标准矩形框架= 铰结体系的自由度
直接刚度法计算步骤可归纳如下：
1）确定基本未知量； 2）由转角位移方程（及表7-1），写出各杆端力表达式； 3）在结点角位移处，建立结点的力矩平衡方程， 在结点线位移处，建立截面的剪力平衡方程， 得到位移法方程； 4）解方程，求基本未知量； 5) 将已知的结点位移代入各杆端力表达式，得到 杆端力； 6）按杆端力作弯矩图。
FQAB FQBA 6i 6i 12i A B 2 l l l 6i 6i 12i A B 2 l l l
F F
F QAB F QBA
小 结
1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程； 2、单元分析、建立单元刚度方程是基础； 3、当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括 外力矩。 q A B M MCB MCD P M C q D
1、任意荷载可分解为对称荷载和反对称荷载；
2、选取对称的基本体系，并取对称力和反对称力作为基本未知量； 3、对称荷载作用下，只算对称力； 4、反对称荷载作用下，只算反对称力。
如果我们看到对称结构，无论什么荷载都转化为 对称和反对称。
例6-5：
P
I2
I1
P/2
P/2 P/2
P/2
I1 =
一般杆件
M AB 4i A 2i B 6i l (1) M BA 2i A 4i B 6i l 6i 6i 12i FQBA A B 2 (2) l l l
FQAB
FQAB FQBA
1 M AB M BA l
M CB M CD M 0
C
1、基本未知量的选取
1、结点角位移数： 结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。
2、结构独立线位移：
C
D
标准矩形框架 = 结 构 的 层 数
A
B
2 1
非标准矩形框架= 铰结体系的自由度
直接刚度法计算步骤可归纳如下：
1）确定基本未知量； 2）由转角位移方程（及表7-1），写出各杆端力表达式； 3）在结点角位移处，建立结点的力矩平衡方程， 在结点线位移处，建立截面的剪力平衡方程， 得到位移法方程； 4）解方程，求基本未知量； 5) 将已知的结点位移代入各杆端力表达式，得到 杆端力； 6）按杆端力作弯矩图。
FQAB FQBA 6i 6i 12i A B 2 l l l 6i 6i 12i A B 2 l l l
F F
F QAB F QBA
小 结
1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程； 2、单元分析、建立单元刚度方程是基础； 3、当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括 外力矩。 q A B M MCB MCD P M C q D
《结构力学习题》(含答案解析)
第三章 静定结构的位移计算一、判断题：1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。
2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。
3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。
4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取：A.;; B.D.C.=1=15、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。
6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。
M k M p 21y 1y 2**ωω( a )M =17、图a 、b 两种状态中，粱的转角ϕ与竖向位移δ间的关系为：δ=ϕ 。
8、图示桁架各杆E A 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。
a a9、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。
二、计算题：10、求图示结构铰A 两侧截面的相对转角ϕA ，EI = 常数。
q l l l /211、求图示静定梁D 端的竖向位移 ∆DV 。
EI = 常数 ，a = 2m 。
a a a 10kN/m12、求图示结构E 点的竖向位移。
EI = 常数 。
l l l /3 2 /3/3q13、图示结构，EI=常数 ，M =⋅90kN m , P = 30kN 。
求D 点的竖向位移。
P 3m 3m 3m14、求图示刚架B 端的竖向位移。
ql15、求图示刚架结点C 的转角和水平位移，EI = 常数 。
q16、求图示刚架中Ｄ点的竖向位移。
EI ＝常数。
l/217、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。
EI＝常数。
18、求图示刚架中D点的竖向位移。
E I = 常数。
qll l/219、求图示结构Ａ、Ｂ两截面的相对转角，EI＝常数。
l/23l/320、求图示结构A、B两点的相对水平位移，E I = 常数。
ll21、求图示结构B点的竖向位移，EI = 常数。
结构力学——力法对称性的利用26页文档
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结构力学——力法对称性的 利用
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
结构力学——力法对称性的 利用
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
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（3）基本未知力表达方式
X6
A
注意：结构内部的未 知力总是成对出现 的，只有在支座处
X5
X4 X5
X3 X3
X2
X1 X1
X2
X6
X4
的未知力才以单个
E
未知力形式出现。
D
B» C
例3：应用“使单位未知力的影响范围
局限于局部”的原则，对图示刚架结
P
构选择合理的力法基本体系，指出力
法典型方程中哪些系数和自由项等于
X1 1
A
B
C
D
4m 1 0.5 4m
0.235m
3m
11M E 1IM 1dxN1 kN1
E 1 I 2 1 1 4 •2 3 •2 0 .2 k 5 2 0 .k 5 2 5 .0 5 1 0 6
7
X1 1 X2 1
A
B
C
D
44mm 1 00..25544mm
50/.213352mm
温度变化及支座沉降作用，已
知杆截面高度 h0m.4，抗弯刚 5o C
度 EI1.92，10 线4胀kN系m2
数
，试1求作10弯5矩图。
1
20oC
5o C
2 1 20 .005m
9m
»
4m
解：（1）选择基本体系 （2）列典型方程
X1 5o C
5o C q 15kN m X2
151.875
20oC
EI 常数
零，并列出简化后的典型方程。
解： 超静定次数为5次；
0.5l 0.5l
l
由4个单跨结构构件组合而成
P
X1
P
X2
EI 常数
X3
l
Pl
EI 常数4
X5
0.5l 0.5l
X4
l
0.5l 0.5l
l
l
»
l
1441P0 X 135530
1 25 3E I 常5 31 2数 X0 02
45X54 3 0 24420l
1/4 +
2.951104
1221E1I2191•132141•1
2.60105 2P2.373102
1/4 1
1/9 N 2 M 2
1/9
9m
2 c ( 9 1 0 .0 0 5 4 1 0 .0 0 5 ) 6 .9 4 4 1 0 4
– 1/9
1 X2 1 1 + 1/9 »
4m
已知：EI0.7106kNm2，弹簧的弹性系数为 k2.5105kN m
q20kN m
P30kN
A
B
C
D
[分析]
4m
4m
3m 3m
这是一个 2次超静定结构，B、C支座为弹性支座。
在计算典型方程中系数和自由项时，可将弹簧视为杆件，要考虑内力虚功，
此时多余约束力作用于弹簧上。
若不将弹簧视为杆件，此时多余约束力作用于杆件上，且：
5o C
4m
11X 112X 2 1P 1t 1c0 21X 122X 2 2P 2t 2c0
11
1 EI
2191•2341•1
1
2 1 20 .005m 9m
3.646104
X1 1 1
1P
1 EI
239151.875•21
1
2.373102
+
–
4m
1c Rkck
10.0055.556104 9
33mm 1/6
2 2 E 1 I 2 1 1 4 • 2 3 2 1 1 6 • 2 3 0 .2 k 5 2 ( 5 /1 k 2 ) 2 5 .7 1 0 6
1 2 2 1 E 1 I 2 1 1 4 • 1 3 0 . 2 5 k 0 . 5 ( 5 /1 2 k ) 0 . 2 5 0 . 0 3 1 0 6
例1：试确定图示结构的超静定次数。
4次 12次 9次
6次 6次 2次
6次 5次
12次»
例2：如图所示超静定结构，若用力法计算，试问：
超静定次数是多少？ 如何选择基本结构？
A B
若去掉 A铰得基本结构，
C
则未知力如何表示？
E
解：（1）超静定次数 2（n-1）6次超静定
D
（2）基本结构选取 去掉 A铰即得力法
A
B
C
D
40 4m 40 4m
45
153m
3m
1 P E 1 I 2 3 4 4 0 • 2 1 0 .5 k 4 0 0 .2 5 k 1 5 5 1 .1 9 1 0 6
2 P E 1 I 2 1 6 4 5 • 2 1 0 . 2 5 k 4 0 ( 5 /1 2 k ) 1 5 1 1 1 . 4 3 1 0 6
1/9 1/9
N1 M1 9m
1/9 »
t021(205)7.5oC t20(5)25oC
X1 1 1 1 +
1t
(t0 N1dx)
(t M1dx) 1/9
h
25 1
25
1/9
0[ ( 91) (41)]
0.4 2
0.4
5.313103
22E1I2191•232141•232
N1 M1
9m
3 P 4 P X 5 5 P 0X 4
0.5l 0.5l
l
1
X2 1
1
EI 常数
l
X1 1
1
EI 常数
l
0.5l 0.5l
EI 常数
l
1 X3 1
1
l
0.5l 0.5l
l
0.5l 0.5l
l
EI 常数
l
EI 常数
l
X4 1
X5 1
0.5l 0.5l
l
1
0.5l 0.5l
1l
5
例4：求作多跨连续梁结构弯矩图。
M X 1M 1X 2M 2M P
85.13
X1 X2
85.13 95.48
kN kN
66.75
95.48
10.3
»
5 0..0053X X11 0 5..0 73XX 2215 11 1..1493 0 0
X1 X2
10.02 19.5
kN kN
（3）绘制弯矩图 M X 1M 1X 2M 2M P
10.02
19.5
A
B
C
D
34.98
4m
4m
35.25 3m 3m
例5：图示结构同时承受荷载、
5o C q 15kN m
与多余未知力对应的弹簧要考虑变形协调而产生右端项。
不与多余未知力对应的弹簧一般总是要视为杆件，考虑弹簧产生的内力虚功；
l N P N dx N P N l N P N
0 EA
EA
k
6
解：（1）选基本体系
q20kN m X 1
X2
A
B
C
P30kN D
4m
4m
3m 3m
（2）典型方程 11X112X21P0 21X122X22P0
4m
4m 4m
2t (t0N1dx)(ht M1dx)
7.5(1 9) 25(1 91)
4
0.4 2
2.981103
1/4
1 力法典型方程为：
1/4 +
1/9 N 2 M 2 1/9 9m
1 X2 1 1 +
1/9
3.646X10.26X2285.20 0.26X12.951X2260.20
（3）绘制弯矩图