2019版高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章 简单复合函数的求导法则 参考教案
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章 导数的概念及其几何意义 第二课时参考教案
§2 导数的概念及其几何意义第二课时 导数的几何意义（一）一、教学目标：1、通过函数的图像直观地理解导数的几何意义；2、理解曲线在一点的切线的概念；3、会求简单函数在某点处的切线方程。
二、教学重点：了解导数的几何意义教学难点：求简单函数在某点出的切线方程三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：导数的概念及求法。
（二）、探究新课设函数)(x f y =在[x 0，x 0＋Δx ]的平均变化率为xy ∆∆，如右图所示，它是过A （x 0，)(0x f ）和B （x 0＋Δx ，)(0x x f ∆+）两点的直线的斜率。
这条直线称为曲线)(x f y =在点A 处的一条割线。
如右图所示，设函数)(x f y =的图像是一条光滑的曲线，从图像上可以看出：当Δx 取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx 趋于0时，点B 将沿着曲线)(x f y =趋于点A ，割线AB 将绕点A 转动最后趋于直线l 。
直线l 和曲线)(x f y =在点A 处“相切” ，称直线l 为曲线)(x f y =在点A 处的切线。
该切线的斜率就是函数)(x f y =在x 0处的导数)(0x f '。
函数)(x f y =在x 0处的导数，是曲线)(x f y =在点（x 0，)(0x f ）处的切线的斜率。
函数)(x f y =在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义。
1、导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x ∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.2、导函数：由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '，即: 0()()()lim x f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆ 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．3、函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。
高中数学教案选修2-2《1.2.3 简单复合函数的导数》
教学目标：
1．掌握求复合函数()f ax b ＋的导数的法则；
2．熟练求简单复合函数的导数．
教学重点：
复合函数的求导法则．
教学过程：
一、问题情境
1．问题情境：什么是简单复合函数？
引例 函数2(31)y x ＝－是由哪两个函数复合而成的？函数sin 2y x ＝呢？
2．探究活动：怎么样求简单复合函数的导数？
以函数2(31)y x ＝－和sin 2y x ＝为例．
二、建构数学
1．与一次函数复合的函数的导函数公式．
2．推广：
注 1．复合函数的求导法则：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数；
2．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．
三、数学运用
例3 求
y －
点评 本题练习商的导数和复合函数的导数，求导数后要予以化简整理． 例4 求44sin cos y x x ＝＋的导数．
点评 可先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确；也可利用复合函数求导数，应注意不漏步．
练习：课本第24页第2，3，4题．
四、回顾小结
(1)复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；
(2)复合函数求导的基本步骤是：分解—求导—相乘—回代．
五、课外作业
1．见课本P26习题1.2第8～10题．
2．补充：已知函数22()3cos sin 222x x f x ＝＋－，求5π()6f ．。
高中数学北师大版选修2-2第2章《简单复合函数的求导法则》ppt参考课件
法则3
u vBiblioteka '
u 'v uv ' v2
(v 0)
复合函数的导数
函数 y u，2 u 3，x 2 y 构 (成3x间的2)2关系？ y (3x 2)2 可由 y 与u2 u 复3x合 2得到．
例1 指出下列函数的复合关系：
（1）y (2 x2 )3 （3）y cos x
4
（2）y sin x2 （4） y lnsin(3x 1)
解：（31）y
c(2os
x42由)3x由 y
yu3 ,cuos复u复2,合u合x而而2成成．x．
4
（4）y（2ln）syin(3s由ixn由x12) yyslinn复uu,,合uu而复sx成i合n2 v．而,v成 ．3x 1
例4、一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水
面高度y（单位：cm）。关于时间t（单位：s）的函数为
y
h(t)
100 2t 1
求函数在t=3时的导数并解释它的实际意义。
解：函数 y h(t) 100 是由函数 f (x) 100 与
2t 1
x
x (t) 2t 1复合而成的，其中x是中间变量。
C' 0 (x n )' nxn1 (cosx)' sin x
(sin x)' cosx
2、法则1 [u(x) v(x)]' u ' (x) v' (x)
法则2 [u(x)v(x)] u '(x)v(x) u(x)v '(x) ,
[Cu(x)] Cu '(x)
北师版数学高二-选修2-2教学设计2.5简单复合函数求导
复合函数的求导1．判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量的基本函数或关于自变量的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．如函数，由，复合而成；函数由，，复合而成．2．复合函数的求导法则：复合函数的导数和函数，的导数间的关系为．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．注：（1）分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量．（2）分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是变量的系数．如，而．（3）根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数．（4）复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写．例1 指出下列函数的复合关系：（1），；（2），，． 分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构．【解析】：函数的复合关系分别是：（1），；（2），，． 评注：解决复合关系问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．例2 求下列函数的导数：（1）； 51(13)y x =-5y u -=13u x =-y =ln y u =12u v =21v x =+(())f g x ()y f u =()u g x =x u x y y u '''=(sin 3)3cos3x x '=(sin 3)cos3x x '≠m y u =n u a bx =+ln y u =13u v =2x u e =+m y u =n u a bx =+ln y u =13u v =2x u e =+4312y x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（2）． 分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏．其中还应特别注意中间变量的关系，求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．【解析】：（1）方法1：设，，则 。
2019-2020学年北师大版选修2-2 简单复合函数的求导法则 学案
2019-2020学年北师大版选修2-2 简单复合函数的求导法则 学案题型一 运用求导公式求常见的基本初等函数的导数 例1 求下列函数的导数：(1)y ＝1x 5；(2)12log y x =；(3)y ＝cos π4；(4)y ＝22x .解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 5′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x 6； (2)y ′＝1x ln 12＝－1x ln2；(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos π4′＝0； (4)y ′＝(22x )′＝(4x )′＝4x ·ln 4.反思与感悟 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x；(3)y ＝x x ；(4)y ＝13log x .解 (1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2； (3)∵y ＝x x ＝32x ，∴y ′＝3212x ；(4) y ′＝1x ln13＝－1x ln 3.题型二 利用导数公式求曲线的切线方程例2 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝⎛⎭⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程. 解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π6，12处的切线斜率是：y ′|6x π=＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23， 故所求的直线方程为y －12＝－23⎝⎛⎭⎫x －π6， 即2x ＋3y －32－π3＝0. 反思与感悟 导数的几何意义是曲线在某点处的切线斜率，两条直线互相垂直时，其斜率之积为－1(在其斜率都存在的情形下). 跟踪训练2 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程. 解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1. 又∵f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4).∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2).又∵切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2).整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1. 当x 0＝2时，f ′(x 0)＝1，此时所求切线方程为x －y －4＝0；当x 0＝1时，f ′(x 0)＝0，此时所求切线方程为y ＋2＝0. 故经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为 x －y －4＝0或y ＋2＝0.在利用求导公式时，因没有进行等价变形出错例3 求函数y ＝3x 2的导数. 错解 ∵y ＝3x 2，∴y ＝32x ， 故y ′＝3212x .错因分析 出错的地方是根式化为指数幂，没有进行等价变形，从而导致得到错误的结果. 正解 ∵y ＝3x 2＝23x ，∴y ′＝2313x -.防范措施 准确把握根式与指数幂的互化：n x m ＝m nx ，1nx m＝m nx-.1.设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 D解析 令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义，可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1. 又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3. 2.函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B.0 C.12xD.32 答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.3.给出下列结论：①⎝⎛⎭⎫cos π6′＝－sin π6＝－12； ②若y ＝1x 2，则y ′＝－2x －3；③若f (x )＝3x ，则[ f ′(1)]′＝3；④若y ＝5x ，则y ′＝155x .其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A解析 cos π6＝32为常数，则⎝⎛⎭⎫cos π6′＝0，所以①错误；y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，所以②正确；因为f (x )＝3x ，所以f ′(x )＝3，所以[ f ′(1)]′＝0，所以③错误；y ′＝(5x )′＝15()x '＝1545x -，所以④错误.4.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 . 答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.5.求下列函数的导数： (1)y ＝1x3；(2)y ＝3x .解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3x －3－1＝－3x －4. (2)y ′＝(3x )′＝13()x '＝13113x -＝1323x -.1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y ＝1－2sin 2 x 2的导数.因为y ＝1－2sin 2 x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.一、选择题1.设直线y ＝12x ＋b －1是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为( )A.1－ln 2B.12ln 2 C.ln 2 D.2答案 C解析 设切点为(x 0，y 0)，根据导数几何意义，得 12＝y ′|0x x =＝1x 0， 解得x 0＝2，代入曲线方程得y 0＝ln 2.故切点为(2，ln 2)，将该点坐标代入直线方程得 ln 2＝12×2＋b －1，解得b ＝ln 2，故选C.2.过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，2B.⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2C.⎝⎛⎭⎫－12，－2 D.⎝⎛⎭⎫12，－2答案 B解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B. 3.已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A.4 B.－4 C.5 D.－5 答案 A解析 ∵f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4， ∴a ＝4.4.函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝⎛⎭⎫33，39和点⎝⎛⎭⎫－33，－39处有斜率为1的切线.所以有2条切线.5.已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B.－1eC.－eD.e答案 D解析y ′＝e x，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，y 0＝e x 0，k ＝e x 0.∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.6.已知f (x )＝2x ，g (x )＝ln x ，则方程f (x )＋1＝g ′(x )的解为( ) A.1 B.12 C.－1或12 D.－1答案 B解析 由g (x )＝ln x ，得x ＞0，且g ′(x )＝1x .故2x ＋1＝1x ，即2x 2＋x －1＝0， 解得x ＝12或x ＝－1.又因x ＞0，故x ＝12(x ＝－1舍去)，选B.7.某质点的运动方程为s ＝1t 4(其中s 的单位为米，t 的单位为秒)，则质点在t ＝3秒时的速度为( ) A.－4×3－4米/秒 B.－3×3－4米/秒 C.－5×3－5米/秒D.－4×3－5米/秒答案 D解析 由s ＝1t 4得s ′＝⎝⎛⎭⎫1t 4′＝(t －4)′＝－4t －5. 得s ′|t ＝3＝－4×3－5，故选D. 二、填空题8.曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是 .答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x 2，∴y ′|x ＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为 y －3＝－(x －3)，即x ＋y －6＝0. 9.若曲线y ＝12x -在点(a ，12a-)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝ . 答案 64 解析 ∵y ＝12x-，∴y ′＝－1232x -，∴曲线在点(a ，12a-)处的切线斜率k ＝－1232a -，∴切线方程为y －12a-＝－1232a -(x －a ).令x ＝0得y ＝3212a -；令y ＝0得x ＝3a .∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·3212a -＝9412a ＝18，∴a ＝64. 10.点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x 的最小距离为 . 答案22解析 根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图.则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|0x x =＝1.∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1).利用点到直线的距离公式得最小距离为22.三、解答题11.求下列函数的导数： (1) y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4； (4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫5x 3′＝35()x '＝35315x -＝3525x -＝355x 2 .(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)∵y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ln 2.12.已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值. 解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1， 由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0， 即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .13.设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，试求f 2 017(x ). 解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )，f6(x)＝f2(x)，…，f n＋4(x)＝f n(x)，可知周期为4，∴f2 017(x)＝f1(x)＝cos x.。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章计算导数第二课时参考教案
§ 3 计算导数第二课时计算导数(二)一、教学目标：掌握初等函数的求导公式，并能熟练运用。
二、教学重难点：用定义推导常见函数的导数公式.三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)、复习1、导数的定义；2、导数的几何意义；3、导函数的定义；4、求函数的导数的流程图。
(1)求函数的改变量弓二f (x rx) 一f(X)(2)求平均变化率卫」x rx)-f(x)Z A x(3)取极限，得导数y = f (x)二1叫-y本节课我们将学习常见函数的导数。
首先我们来求下面几个函数的导数。
(1)、y=x (2)、y=x2(3)、y=f问题：y=x」,y=x^ , y=x」呢？问题：从对上面几个幕函数求导，我们能发现有什么规律吗？(二)、新课探析1基本初等函数的求导公式：⑴(kx • b)丄k (k,b为常数)⑵(C)丄0 (C为常数)⑶(x)旨⑷(X2)〉2X⑸(x3/-3x2⑹(丄)'-^x x坂)"=—尸由⑶~⑹你能发现什么规律？2 Jx⑻(x J (〉为常数)⑼(a x)二a x lna (a 0, a=1)1 1⑽(log a x) log a e (a 0,且 a = 1)x xl na(11) (e x) = e x (12) (Inx) (13) (sinx) = cosx (14) (cosx) = — sinxx从上面这一组公式来看，我们只要掌握幕函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。
2、例题探析例1、求下列函数导数。
(1)y=x“(2)y = 4x(3) y= x x x(4)y=log3x ( 5)y=sin( +x) (6) y=sin2 3(7) y=cos(2冗—x) (8) y= f (1)例2、已知点P在函数y=cosx上, (0<x<2n在P处的切线斜率大于0,求点P的横坐标的取值范围。
1例3、若直线y = -x • b为函数y =-图象的切线，求b的值和切点坐标.x变式1、求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程.总结切线问题：找切点求导数得斜率变式2、求曲线y=«过点(0,-1)的切线方程变式3、求曲线曲过点(1,1)的切线方程变式4、已知直线y =x-1，点P为豪上任意一点，求P在什么位置时到直线距离最短.(三)、课堂小结：(1)基本初等函数公式的求导公式(2)公式的应用导数公式表（四）、课堂练习：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系p（t） = p o（1 • 5%）七，其中p o为t 0时的物价•假定某种商品的p o =1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）?解：根据基本初等函数导数公式表，有p'（t）=1.0El n1.05所以p'（10） =1.0引1 n1.05 0.08 （元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨。
数学北师大版选修2-2教材基础第二章§5简单复合函数的求导法则含答案
§5 简单复合函数的求导法则
前面我们学习了简单函数的求导和导数的四则运算,但如果我们遇到层次关系较多的函数，这样的函数我们怎样求它的导数呢？ 高手支招1细品教材
一、复合函数的定义
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=φ（x ），如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=φ(x)的复合函数。
如:y=2
x e ，y=lntanx 都是复合函数. 状元笔记 复合函数y=f （φ（x)）对自变量x 的导数等于函数y=f （u)关于中间变量u 的导数与中间变量u 关于自变量x 的导数的乘积。
二、复合函数的求导法则
如果函数u=φ(x)在点x 可导，而函数y=f(u)在对应点u=φ(x）可导，则复合函数y=f （φ(x ）)在点x 可导,且其导数为:y′=（f （u ））′=f′(u）·φ′（x).
三、利用复合函数的求导法则求复合函数的导数的步骤
1。
分解复合函数为基本初等函数,适当选取中间变量;
2。
求每一层基本初等函数的导数，注意是对哪一个变量求导;
3。
每层函数求导后,需把中间变量转化为自变量的函数；
4.对于层数比较多的复合函数,可由外向里逐层求导.
【示例】求y=655-
x 的导数. 解：y′=[（5x 65-21)]′=21·(5x 65-21)-·5=65
525-x .
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本节的主要内容是复合函数的概念,复合函数的求导法则及其应用。
本节的知识结构如下:。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章 拓展资料：感悟导数的运算法则问题
感悟导数的运算法则问题熟练掌握导数的运算是学好导数的前提，也是近年高考考查的一个方面，这部分主要考查公式的运用和运算法则以及综合应用。
一、求导公式以及导数运算法则的应用例1 求下列函数的导数：（1）sin y x x =（2）ln 21x x y x =-+； 分析：仔细观察和分析所给函数表达式的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数的求导公式可以迅速解决一类简单函数的求导问题。
若不直接具备求导法则条件，可先进行适当的恒等变形。
解析：（1）///(sin )y x x =+sin cos x x x =++。
（2）///21(1)ln ln ()(2)2ln 21(1)x x x x x x y x x +-=-=-++ 211ln 2ln 2(1)x x x x +-=-+。
评注：运用可导函数求导法则和导数公式求可导函数的导数的基本步骤如下：（1）分析函数()y f x =的结构和特征；（2）选择恰当的求导法则和导数公式求导；（3）整理得结果。
二、导数运算在解析几何中的应用例2 在抛物线21y x x =+-上取横坐标分别为11x =与23x =的两点，过这两点引割线，在抛物线上哪一点处的切线平行于所引的割线？分析：要求平行于所引割线的切线，则切线的斜率应与所引割线的斜率相等。
解析：将11x =与23x =代入抛物线方程，得11y =211y =，则所引割线的斜率与切线斜率均为2121y y k x x -=-11131-=-=5。
设符合题意的切点坐标为00(,)x y ，∵/21y x =+，∴0215x +=，∴02x =，代入抛物线方程得05y =， 故在抛物线上过点(2,5)处的切线平行于所引的割线。
评注：导数不仅有求斜率的功能，而且还有求点的坐标的功能。
三、导数计算的创新应用例3 求满足下列条件的函数()f x 。
（1）()f x 是三次函数，且(0)3f =，/(0)0f =，/(1)3f =-，/(2)0f =；（2）/()f x 是一次函数，2/()(21)()1x f x x f x --=。
数学选修2-2第二章《§5形如y=f(ax b)的简单复合函数的求导法则》导学案
难点：将一个复合函数分解为两个（或多个）简单函数。
学
一. 实例分析 阅读课本实际问题，尝试分析解决
习
过
程
S f (r ) r 2 ， r (t ) 2t 1 则 S 关于 t 的函数关系为
油膜面积 S 关于时间 t 的瞬时变化率即为函数 导函数 f 的 ，故 S f
姓名：
组名：
(t ) (2t 1)2 的求导，尝试猜想并感知复合函数 y f g(x) 的求导法则。 (t ) (2t 1)2 的导数，养成利用已知探求未知问题的习惯。
3.鼓励学生利用已知导数公式求 S f 二、学习重、难点 ： 重点：复合函数的求导法则。
五．反馈检测 1．求下列函数的导函数 （1） y e
x2
（2） y cos(3x 1) ln(2 x 1) ； （3） y (2x 1) ；
2x 1 x
2.一听（一易拉罐）汽水放入冰箱后，其摄氏温度 x(单位：℃)由时间 T（单位：h）以公式: x 4 16e 决定（1）求汽水温度 X 在 t=1 处的导数。 （2）已知摄氏温度 x 与华氏温度 y 之间具有如下函数关系： x 析式，并求出 y 关于 t 的函数的导数。
y x f ( x) f (u) ( x)
三．举例应用 例 1 求函数 y 3x 1 的导数 解：
例 2 求函数 y (2 x 1)：
例 3 一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度 y（单位:cm）关于时间 t（单位:s）的函数 为 y h(t )
100 ，求函数在 t=3 时的导数，并解释它的几何意义。 2t 1
四．应用练习 写出下列各函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则求出函数的导数。 （1）
高中数学：2.5 简单复合函数的求导法则(一) 教案 (北师大选修2-2)
2.5 简单复合函数的求导法则教学过程：一．创设情景复习 ：求下列函数的导数（1）()324y x x =- （3）sin x y x =（2）3cos 4sin y x x =- （4）()223y x =+ （5）()ln 2y x =+设置情境：（4）利用基本初等函数求导公式如何求导?(5)能用学过的公式求导吗?二．新课讲授探究1、探究函数()ln 2y x =+的结构特点探究:指出下列函数的复合关系复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。
复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦三．典例分析例1（课本例4）求下列函数的导数：（1）2(23)y x =+；（2）0.051x y e -+=；（3）sin()y x πϕ=+（其中,πϕ均为常数）．解：（1）函数2(23)y x =+可以看作函数2y u =和23u x =+的复合函数。
根据复合函数求导法则有x u x y y u '''=⋅=2''()(23)4812u x u x +==+。
（2）函数0.051x y e-+=可以看作函数uy e =和0.051u x =-+的复合函数。
根据复合函数求导法则有 x u x y y u '''=⋅=''0.051()(0.051)0.0050.005u u x e x e e -+-+=-=-。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章 导数的四则运算法则
2.4 导数的四则运算法则【教学目标】知识与技能：1.能根据定义求函数的导数。
2.能根据导数公式和四则运算法则，求简单函数的导数。
过程与方法：通过求导公式的推导，培养学生从具体到抽象，从特殊到一般的概括能力。
情感态度与价值观：发展学生善于质疑，善于交流，善于协作的情感。
【知识重点与难点】重点：导数公式和导数的四则运算。
难点：灵活运用导数公式和导数的四则运算进行相关运算。
【课前预习】1.基本初等函数的导数公式：（1）='C (C 为常数)； （2）=)'(αx (为常数α)；（3）=)'(sin x ； （4）=)'(cos x ；（5）=)'(x e ； （6）=)'(x a ；（7）=)'(ln x ； （8）=)'(log x a 。
2．导数的运算法则：（1）])()(['±x g x f = ；(2) ])(['x cf = ；(3) ])()(['∙x g x f = ； (4) ])()(['x g x f = 。
【典型例题】例1：求下列函数的导数：（1）x x x f sin )(2+=； （2）x x x h sin )(=； （3）tt t s 1)(2+=； （4）2623)(23+--=x x x x g ； （5）x x x x x f cos 1sin 2)(∙+∙=； （6）123)(2+--=x x x x f ； （7）)3)(2)(1()(+++=x x x x f 。
例2.已知曲线x x x f 3)(3-=，过点A(0,16)作曲线)(x f 的切线，求曲线的切线方程.互动探究：已知在曲线x x x f 3)(3-=上的点P 处的切线平行于直线9x-y=0，求点P 的坐标.例3.已知抛物线c bx ax y ++=2通过点P(1,1)，且在点Q(2,-1)处与直线y=x-3相切，求实数a,b,c 的值.【课后作业】1. 求下列函数的导数:(1) x x y cos 2+=; (2) x y x ln 22-=; (3) 2cos 2sin x x x y ∙-=; (4) )23)(32(2-+=x x y ; (5) 21x y =; (6) 32+=x x y ; (7) 2sin x x y =.。
高中数学：2.5 简单复合函数的求导法则(二) 教案 (北师大选修2-2)
2.5 简单复合函数的求导法则教学过程：（一)复习引入1. 几种常见函数的导数公式(C ）＝0 （C 为常数)． （x n )＝nx n －1 (n Q)． ( sin x )＝cos x ． ( cos x )＝－sin x ．2．和(或差）的导数 (u ±v ）＝u ±v ．3．积的导数 （uv ）＝u v ＋uv ． （Cu )＝Cu ．4．商的导数).0(2≠'-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛v v v u v u v u（二）讲授新课1．复合函数：如 y ＝（3x －2）2由二次函数y ＝u 2 和一次函数u ＝3x －2“复合”而成的．y ＝u 2 ＝(3x －2)2 ．像y ＝（3x －2)2这样由几个函数复合而成的函数，就是复合函数． 练习:指出下列函数是怎样复合而成的． .)12(tan )4( ;)3cos 1()3( );11(sin )2( ;)1()1(33232+=+=-=-=x x y x y x y x y 复合函数的导数一般地，设函数u ＝（x ）在点x 处有导数u'x ＝'（x ），函数y ＝f (u ） 在点x 的对应点u 处有导数y'u ＝f '（u ） ，则复合函数y ＝f ((x ）） 在点x 处也有导数,且 y'x ＝y’u ·u'x ．或写作 f ’x （(x )）＝f ’（u ) '(x )．复合函数对自变量的求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的函数，乘中间变量对自变量的导数．例1 求y ＝(3x －2)2的导数．解：y’＝[（3x －2)2]’ ＝(9x 2－12x ＋4）'＝18x －12． 法1函数y ＝（3x －2）2又可以看成由y ＝u 2 ,u ＝3x －2复合而成，其中u 称为中间变量．由于y'u ＝2u ,u'x ＝3，因而 y’x ＝y'u ·u’x ＝2u ·3＝2u ·3＝2（3x －2）·3＝18x －12．法2例2 求y ＝（2x ＋1）5的导数．解：设y ＝u 5，u ＝2x ＋1，则 y’x ＝y'u ·u’x ＝(u 5）'u ·(2x ＋1) 'x ＝5u 4·2＝5(2x ＋1）4·2＝10（2x ＋1)4．练习1。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章 简单复合函数的求导法则 参考教案
§5 简单复合函数的求导法则一、教学目标：1、了解简单复合函数的求导法则；2、会运用上述法则，求简单复合函数的导数。
二、教学重点：简单复合函数的求导法则的应用教学难点：简单复合函数的求导法则的应用三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：两个函数的和、差、积、商的求导公式。
1. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭ （二）、引入新课海上一艘油轮发生了泄漏事故。
泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S (单位：m 2)是油膜半径r (单位：m)的函数：2)(r r f S π==。
油膜的半径r 随着时间t （单位：s ）的增加而扩大，假设r 关于t 的函数为12)(+==t t r ϕ。
油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率是多少？分析：由题意可得S 关于t 的新的函数：2)12())((+==t t f S πϕ。
油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率就是函数))((t f S ϕ=的导函数。
∵ )144()12())((22++=+=t t t t f ππϕ，∴ )12(4)48(]))(([+=+='t t t f ππϕ。
又 r r f π2)(='， 2)(='t ϕ，可以观察到 22)12(4⋅=+r t ππ，即 )()(]))(([''='t r f t f ϕϕ。
高二数学北师大版选修2-2 第2章 §5 简单复合函数的求导法则课件(37张)
1.解答此类问题常犯两个错误 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数； (2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成.
2.复合函数求导的步骤
[再练一题] 2.求下列函数的导数. 1 (1)y＝(2x－1) ；(2)y＝ ； 1－2x
4
π (3)y＝sin－2x＋3；(4)y＝102x＋3.
§5
简单复合函数的求导法则
1.了解复合函数的概念.(难点) 2.掌握复合函数的求导法则.(重点) 3.能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数.(重点、难点)
[基础· 初探] 教材整理 1 复合函数的概念 阅读教材 P49 倒数第 2 行以上部分，完成下列问题. 一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝φ(x)＝ax＋b，给定 x 的一个值，就得到 了 u 的值，进而确定了 y 的值，这样 y 可以表示成 x的函数 ，我们称这个函数 为函数 y＝f(u)和 u＝φ(x)的 y＝f(φ(x)) ，记作复合函数 ，其中 u 为中间变量.
＋
【提示】 ∵f′(x)＝e2x 1·(2x＋1)′＝2e2x 1，
Байду номын сангаас
[探究共研型]
复合函数导数的应用
探究 1 求曲线
π y＝cos2x＋6在
π x＝6处切线的斜率.
【提示】
π ∵y′＝－2sin2x＋6， π π k＝－2sin2×6＋6＝－2.
∴切线的斜率
探究 2 求曲线 y＝f(x)＝e
＋
2x＋1
1 在点－2，1处的切线方程.
－ －4
6 ＝－6(2x－1) ＝－ 4. （2x－1）
－4
(3)函数 y＝5log2(1－x)可看作函数 y＝5log2u 和 u＝1－x 的复合函数， －5 5 ∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝uln 2＝ . （x－1）ln 2 (4)函数 y＝sin3x 可看作函数 y＝u3 和 u＝sin x 的复合函数，函数 y＝sin 3x 可看作函数 y＝sin v 和 v＝3x 的复合函数. ∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′ ＝3u2·cos x＋3cos v ＝3sin2x cos x＋3cos 3x.
北师版高中同步学考数学选修2-2精品课件 第二章 §5 简单复合函数的求导法则
选定中间变量.
(2)尽可能地先将函数化简,再求导.
(3)要注意复合函数求导法则与四则运算的综合运用.
(4)复合函数的求导过程可简记为分解—求导—回代,熟练以后,可
以省略中间过程.
-4-
§5 简单复合函数的求导法则
知识梳理
首页
自主预习
自主预习
解:(1)y'=[(2x+1)n]'=n(2x+1)n-1·(2x+1)'
=2n(2x+1)n-1.
(2)y'=[sin(4x+3)]'=cos(4x+3)·(4x+3)'=4cos(4x+3).
(3)y'=(xcos 2x)'=x'·cos 2x+(cos 2x)'·x
=cos 2x-2xsin 2x.
∴切线方程为 y-ln( 2-1)=- 2 (x-1),
即 x+ 2y-1- 2ln( 2-1)=0.
-13-
§5 简单复合函数的求导法则
探究一
探究二
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自主预习
探究学习
探究学习
当堂检测
思维辨析
反思感悟根据导数的运算法则和复合函数求导法则可以求任何一
个初等函数的导数,从而解决了初等函数的求导问题,进而可以解
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数;
(6)复合函数求导,中间步骤可以省略,不必写出函数复合过程,可以
直接应用公式和法则,从最外层开始由外及里逐层求导.
-9-
§5 简单复合函数的求导法则
探究一
探究二
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2019版数学精品资料（北师大版）
§5 简单复合函数的求导法则
一、教学目标：1、了解简单复合函数的求导法则；2、会运用上述法则，求简单复合函数的导数。
二、教学重点：简单复合函数的求导法则的应用
教学难点：简单复合函数的求导法则的应用
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：两个函数的和、差、积、商的求导公式。
1. 常见函数的导数公式：
0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x sin )'(cos -=
2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．
法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '= 法则3 '
2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭ （二）、引入新课
海上一艘油轮发生了泄漏事故。
泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S (单位：m 2)是油膜半径r (单位：m)的函数：2)(r r f S π==。
油膜的半径r 随着时间t （单位：s ）的增加而扩大，假设r 关于t 的函数为12)(+==t t r ϕ。
油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率是多少？
分析：由题意可得S 关于t 的新的函数：2)12())((+==t t f S πϕ。
油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率就是函数))((t f S ϕ=的导函数。
∵ )144()12())((22++=+=t t t t f ππϕ，
∴ )12(4)48(]))(([+=+='t t t f ππϕ。
又 r r f π2)(='， 2)(='t ϕ，
可以观察到 22)12(4⋅=+r t ππ，
即 )()(]))(([''='t r f t f ϕϕ。
一般地，对于两个函数)(u f y =和b ax x u +==)(ϕ，给定x 的一个值，就得到了u 的值，进而确定了y 的值，这样y 可以表示成x 的函数，我们称这个函数为函数)(u f y =和)(x u ϕ=的复合函数，记作))((x f y ϕ=。
其中u 为中间变量。
复合函数))((x f y ϕ=的导数为：
)()(]))(([''='='x u f x f y x ϕϕ (x y '表示y 对x 的导数)
复合函数的求导法则
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．
例1、试说明下列函数是怎样复合而成的？
⑴32)2(x y -=； ⑵2sin x y =；⑶)4cos(x y -=π
； ⑷)13sin(ln -=x y ．
解：⑴函数32)2(x y -=由函数3u y =和22x u -=复合而成；
⑵函数2sin x y =由函数u y sin =和2x u =复合而成； ⑶函数)4cos(x y -=π
由函数u y cos =和x u -=4π
复合而成；
⑷函数)13sin(ln -=x y 由函数u y ln =、v u sin =和13-=x v 复合而成．
说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．
例2、求函数13+=x y 的导数。
解：引入中间变量13)(+==x x u ϕ，则函数13+=x y 是由函数2
1)(u u u f ==与)(x u ϕ= 13+=x 复合而成的。
根据复合函数求导法则可得：
()
1323321)()(13+=⋅=''='+x u x u f x ϕ
例3、求函数3)12(-=x y 的导数。
解：引入中间变量12)(-==x x u ϕ，则函数3)12(-=x y 是由函数3)(u u f =与)(x u ϕ= 12-=x 复合而成的。
根据复合函数求导法则可得：
()[]223)12(623)()(12-=⋅=''='-x u x u f x ϕ
注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.
例4、一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y （单位：cm ）。
关于时间t （单位：s ）的函数为12100)(+=
=t t h y ，求函数在t =3时的导数，并解释它的实际意义。
解：函数12100)(+=
=t t h y 是由函数x x f 100)(=与12)(+==t t x ϕ复合而成的，其中x 是中间变量。
∴22)12(2002100)()()(+-=⋅-
=''='='t x t x f t h y t ϕ。
将t =3代入)(t h '得：
49
200)3(-='h （cm/s ）。
它表示当t =3时，水面高度下降的速度为
49200 cm/s 。
（三）、小结 ：⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代
（四）、练习：课本51P 练习.
（五）、作业：课本51P 习题2-5： 2、3、5
五、教后反思：。