《4.3.2 平面直角坐标系中的伸缩变换》教案

《4.3.2 平面直角坐标系中的伸缩变换》教案

教学目标:

1.理解平面直角坐标系中的伸缩变换;

2.了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用下平面图形的变化情况;

3.会用坐标变换和伸缩变换解决实际问题.

教学重点:

在伸缩变换作用下,图形的变化情况.

教学难点:

用坐标变换和伸缩变换解决实际问题.

教学过程:

一､课前准备

阅读教材14P P -的内容,体会平面直角坐标系中伸缩变换的情况.并回顾以下问题: 1.在直角坐标系中,已知点(,)M a b ,则

①M 关于原点O 的对称点为(,)a b --; ②M 关于x 轴的对称点为(,)a b -; ③M 关于y 轴的对称点为,)a b (-; ④M 关于直线y x =的对称点为(,)b a ; ⑤M 关于直线y x =-的对称点为(,)b a --;

⑥M 关于直线y x t =+的对称点为(,)b t a t -+.

2.平移变换

①平面上任一点P 的坐标(,)x y ,按向量(,)a h k =平移后的坐标为(,)P x y ''',则有x k x y k y '+=⎧⎨'+=⎩ ②曲线(,)0F x y =的图像,按(,)a h k =平移后的曲线方程为(,)0F x h y k --=. 3.填空题:

(1)已知点(4,3)P -按向量(1,5)a =平移到Q 点,则Q 的坐标为(3,8)-.

(2)函数2()23f x x =-向右平移3个单位,向下平移1个单位,得到的函数解析式是 ()f x =22(3)4x --.

(3) 抛物线22y x =按向量(3,2)n =-平移,得到的曲线的方程是2(2)2(3)y x -=+. 二､新课导学

(一)新知:

伸缩变换

①一般地,由(0)kx x k y y '=⎧>⎨'

=⎩所确定的伸缩变换,是指曲线上的所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的k 倍;

②由(0)x x k ky y '=⎧>⎨'

=⎩所确定的伸缩变换,是指曲线上的所有点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的k 倍;

上面的变换中,当1k >时表示伸长;当01k <<时,表示压缩;

③定义点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任一点,在变换(0,0)x x y y λλμμ'=⎧>>⎨'=⎩

作用下,点(,)P x y 对应到(,)P x y '''称为平面坐标系中坐标的伸缩变换.

(二)典型例题

【例1】求曲线224x y +=按照32x x y y

'=⎧⎨'=⎩作伸缩变换后的曲线方程. 【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧==''23y y x x 得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==23''y y x x ,代入方程224x y +=化简可得2213616x y ''+=. 【例2】.试述如何由1sin(2)33y x π=

+的图象得到sin y x =的图象. 【解析】方法一:1sin(2)33

y x π=+ ）（纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的3

πsin 312+=−−−−−−−−−→−x y x y sin 3

13π=−−−−−−−−→−纵坐标不变个单位图象向右平移 x y sin 3=−−−−−−−−−→−横坐标不变

倍纵坐标扩大到原来的. 方法二:

(1)先将1sin(2)33y x π=

+的图象向右平移6π个单位,得1sin 23y x =的图象; (2)再将1sin 23y x =

上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),得1sin 3y x =的图象;

(3)再将1sin 3

y x =图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变),即可得到sin y x =的图象.

【例3】已知函数22())cos()(0)33f x x x ππωωω=+

-+>图象的两相邻对称轴间的距离为2

π. (1)求()8πf 的值;

(2)将函数()y f x =的图象向右平移6

π个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图象,求()g x 的表达式.

【解析】(1)22())cos()33f x x x ππωω=+

-+

=2122)cos()323x x ππωω⎤+-+⎥⎣⎦=2sin()2x πω+2cos x ω=, 因为函数图象的两相邻对称轴间的距离为

2π. 即半个周期为2π,所以2T ππω

==,所以2ω=. 故()2cos 2f x x =,

因此()2cos 84

f π

π==(2)将()2cos 2f x x =的图象向右平移个6

π个单位后,得到2cos 2()6y x π=-的图象, 再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到

()2cos 2()2cos()4623

x x g x ππ=-=-的图象. 动动手:将函数sin 2y x =的图象向左平移

4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 ( )

A.cos 2y x =

B.22cos y x =

C.)42sin(1π+

+=x y D.22sin y x = 【解析】 将函数sin 2y x =的图象向左平移4

π个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos 22

y x x π

=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos 22cos y x x =+=,故选B.

三､总结提升:

1.本学案总结了三种变换类型:对称变换､平移变换和伸缩变换,这三种变换都是在以前