椭圆的定义及标准方程
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慢移动，看看画出的图形是什么？
类比圆的定义，为椭圆下定义
观察做图过程： （1）由于绳长固定，所以 M 与两个定点 F1、F2 的距离的和也固定。 （2）绳长应当大于F1、F2之间的距离 若绳长等于F1、F2之间的距离，轨迹是什么？ 若绳长小于F1、F2之间的距离，轨迹是什么？
8
M
1、椭圆的定义
F1
F(0，±c)
c2=a2-b2
注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上， 中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
不同点：焦点在x轴的椭圆 x2项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 y 2项分母较大.
3、例题精炼
例1：（1）如果椭圆 x2 y2 1上一点P到焦点 100 36
变式：将“焦点在x轴上”改为“焦点在坐标轴上” 小结：求椭圆标准方程的步骤： ①定位：确定焦点所在的坐标轴； ②定量：求a, b的值。
4、回顾小结： 1．知识与技能层面 椭圆的定义；椭圆的标准方程；a,b,c之间的关系
2. 过程与方法层面 数形结合的思想、化归思想、思维能力、运算能力
3．情感、态度、价值观层面
思考题：
若方程
x2 m
y2 m2
2
1表示焦点在y轴上的椭圆，
求实数m的取值范围
变式：若方程
x2 m
y2 m2
2
1表示椭圆，
求实数m的取值范围
课后查阅资料：圆锥曲线的由来 ——古希腊数学家阿波罗尼的研究成果
y
F1
M
ox
F2
(y c)2 x2 (y c)2 x2 2a
总体印象：对称、简洁、美观
定义
图形
方程 焦点
a,b,c之间的关系
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F1 M
F1 o F2 x
ox
F2
x2 a2
y2 b2
1
a
b
0
y2 a2
x2 b2
1
a
b 0
F(±c，0)
令 b2 a2 c2，得
b2 x2 a2 y2 a2b2
两边同时除以 a2b，2 得
x2 a2
y2 b2
1
a
b
0
2、椭圆的标准方程:
焦点在x轴：
x2 a2
y2 b2
1a
b
0
焦点在y轴：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
F1 o
M
F2 x
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
F的1 距离
等于6，那么点P到另一个焦点 F2的距离是
。
（2）若椭圆 x2 y2 的1 焦点在X轴上，焦距为2，则实 m4
数m的值为
。
（3）若点P到点 F1(4,0)、F2 (4,0)的距离之和为8，则动点P
的轨迹方程为
。
3、例题精炼
例2：已知椭圆的两个焦点在X轴上，且关于 原点对称，焦距为6，该椭圆经过点（0，4）， 求它的标准方程。
1
生活中的椭圆
生活中的椭圆
生活中的椭圆
五岁小朋友话说椭圆： 妈妈，椭圆就是个“压扁”的圆！
温故而知新
用一根细绳和笔，你能否画一个圆？
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于
定长（大于零）的点的轨迹是 圆
变式：若将一个定点“分裂”成两个定点， 你会有何新发现？
数学实验
（1）取一根细绳
（2）把它的两端固定在两定点F1和F2处 （3）用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在纸上慢
F1 0
F2 x
由椭圆的定义得，限制条件：| MF1 | | MF2 | 2a
代入坐标 | MF1 | (x c)2 y2 ,| MF2 | (x c)2 y2
得方程 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
（问题：下面怎样化简？）
a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2 联想图形
F2
平面内到两个定点F1、F2的距离和等于常数2a（ 2a 大于F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆。
定点F1、F2叫做椭圆的焦点。
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（2c）
椭圆定义的符号表述：
MF MF 2a(2a 2c)
1
2
探索椭圆的标准方程
求动点的轨迹方程的基本步骤:
建系
设点
列式
证明
化简
求椭圆的标准方程： ♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
y F1 O
y
M
F2
M
F2 x
O
x
F1
方案一
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、简洁
解：以两定点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂 直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
y
设M(x, y)是椭圆上任意一
M
wk.baidu.com
点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐 标分别是(c,0)、(c,0) .
类比圆的定义，为椭圆下定义
观察做图过程： （1）由于绳长固定，所以 M 与两个定点 F1、F2 的距离的和也固定。 （2）绳长应当大于F1、F2之间的距离 若绳长等于F1、F2之间的距离，轨迹是什么？ 若绳长小于F1、F2之间的距离，轨迹是什么？
8
M
1、椭圆的定义
F1
F(0，±c)
c2=a2-b2
注: 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上， 中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
不同点：焦点在x轴的椭圆 x2项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 y 2项分母较大.
3、例题精炼
例1：（1）如果椭圆 x2 y2 1上一点P到焦点 100 36
变式：将“焦点在x轴上”改为“焦点在坐标轴上” 小结：求椭圆标准方程的步骤： ①定位：确定焦点所在的坐标轴； ②定量：求a, b的值。
4、回顾小结： 1．知识与技能层面 椭圆的定义；椭圆的标准方程；a,b,c之间的关系
2. 过程与方法层面 数形结合的思想、化归思想、思维能力、运算能力
3．情感、态度、价值观层面
思考题：
若方程
x2 m
y2 m2
2
1表示焦点在y轴上的椭圆，
求实数m的取值范围
变式：若方程
x2 m
y2 m2
2
1表示椭圆，
求实数m的取值范围
课后查阅资料：圆锥曲线的由来 ——古希腊数学家阿波罗尼的研究成果
y
F1
M
ox
F2
(y c)2 x2 (y c)2 x2 2a
总体印象：对称、简洁、美观
定义
图形
方程 焦点
a,b,c之间的关系
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F1 M
F1 o F2 x
ox
F2
x2 a2
y2 b2
1
a
b
0
y2 a2
x2 b2
1
a
b 0
F(±c，0)
令 b2 a2 c2，得
b2 x2 a2 y2 a2b2
两边同时除以 a2b，2 得
x2 a2
y2 b2
1
a
b
0
2、椭圆的标准方程:
焦点在x轴：
x2 a2
y2 b2
1a
b
0
焦点在y轴：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
F1 o
M
F2 x
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
F的1 距离
等于6，那么点P到另一个焦点 F2的距离是
。
（2）若椭圆 x2 y2 的1 焦点在X轴上，焦距为2，则实 m4
数m的值为
。
（3）若点P到点 F1(4,0)、F2 (4,0)的距离之和为8，则动点P
的轨迹方程为
。
3、例题精炼
例2：已知椭圆的两个焦点在X轴上，且关于 原点对称，焦距为6，该椭圆经过点（0，4）， 求它的标准方程。
1
生活中的椭圆
生活中的椭圆
生活中的椭圆
五岁小朋友话说椭圆： 妈妈，椭圆就是个“压扁”的圆！
温故而知新
用一根细绳和笔，你能否画一个圆？
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于
定长（大于零）的点的轨迹是 圆
变式：若将一个定点“分裂”成两个定点， 你会有何新发现？
数学实验
（1）取一根细绳
（2）把它的两端固定在两定点F1和F2处 （3）用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在纸上慢
F1 0
F2 x
由椭圆的定义得，限制条件：| MF1 | | MF2 | 2a
代入坐标 | MF1 | (x c)2 y2 ,| MF2 | (x c)2 y2
得方程 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
（问题：下面怎样化简？）
a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2 联想图形
F2
平面内到两个定点F1、F2的距离和等于常数2a（ 2a 大于F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆。
定点F1、F2叫做椭圆的焦点。
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（2c）
椭圆定义的符号表述：
MF MF 2a(2a 2c)
1
2
探索椭圆的标准方程
求动点的轨迹方程的基本步骤:
建系
设点
列式
证明
化简
求椭圆的标准方程： ♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
y F1 O
y
M
F2
M
F2 x
O
x
F1
方案一
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、简洁
解：以两定点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂 直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
y
设M(x, y)是椭圆上任意一
M
wk.baidu.com
点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐 标分别是(c,0)、(c,0) .