换元法在解方程中的应用

换元法在解方程中的应用

换元法在解方程中是一种常用的方法，特别是解特殊方程中经常能产生事半功倍的效果，下面介绍解特殊方程时应用换元法的几种常见的方法。

一、单个换元：

主要是根据方程的特点进行换元，换元后一般只留下单个未知数。

例1. 解方程

12121524

222x x x x x x -+-+=-+。 分析：方程的分母都含有x x 22-

故可设y x x =-22， 然后整理可得34402y y --=，

解得y y y x x 12223

22=-==-，，代入中， 求出方程的解，并检验。

例2. 解方程x x x x x x x 222211221

196++++++++=。 分析：方程变形为 x x x x x x x x 2222211111

196++++++++++=()()， 即x x x x x x 22221111136

+++++++=， 方程可通过互为倒数关系换元：

设y x x x =+++2211

，然后整理得613602y y -+=， 可解得y y 122332

==，， 代入y x x x =+++2211

，求方程的解，并检验。

二、部分换元：

部分换元之后，一般方程还剩下两个未知数

例3. 解方程2211022x x x x x --+-+=

分析：方程变形： 31210222x x x x x x -+--+-=()，

方程可进行部分换元：

设y x x =

+-21，

方程整理可得32022x xy y --=，

可解得y x y x =-=3，， 再代入y x x =

+-21，求出方程的解并检验。

例4. 解方程

11181281138

0222x x x x x x +-++-+--=。 分析：设y x x =+-228 方程整理可得y xy x 224450--=，

解得y x y x =-=59，

再代入y x x =+-228中，

求出方程的解并检验。

三、系数对称方程换元

例5. 解方程：6538560432x x x x +-++=

分析：方程665543x x x 和，和的系数相等，上面方程的系数是对称的，可以通过变形后，换元：

变形：653856022x x x x +-+

+=， 61515002()()x x x x

+++-=， 设x x

y +=1， 得655002y y +-=，可解出方程。

四、高次方程的平均值换元法

例6. 解方程

()()()()x x x x -+++=214719。

分析：变形()()x x x x 22

51454190+-++-=， 设y x x x x x x =+-+++=+-222514542

550， ()()y y y y -+-=⇒=⇒=99190100102±，

把y y x x ==+-±代入10552中，可解出方程。

例7. 解方程()()()6734162x x x +++=。

分析：方程变形

()()()676866722x x x +++=

设y x x x x =+++++++()()()()676768664

=+67x

y y y y y y 24211727203()()+-=⇒--=⇒=±。

把y y x ==+±代入367中，可求解。

例8. 解方程()()x x +++=318244

。

分析：设y x x x =+++=+312

2， 方程变为()()y y y y y ++-=⇒+-=⇒=-118264001044422（舍去）或y 24=

将y y x 242==+代入中，可求解。

五、多元换元

例9. 解方程

()()()()()x x x x x x x x x x 22222222323221321451-++-+--+--=-+。 分析：观察发现：

x x x x x x 22232321451-++--=-+。

设x x u x x v 2232321-+=--=，，

u uv v u v u v u 22200++=+⇒=⇒=()·，

v x x =⇒-+=03202

或32102113

121234x x x x x x --=⇒===-

=，，，。

六、数字换元

例10. 解方程 x x x 32233310+++-=。

分析：这是三次方程，且系数中含有无理数，不易求解，若反过来看把x 看作已知数，把3设为t ，则方程就变为关于t 的一元二次方程。

解：令3=t ，

原方程变为xt x t x 2232110+++-=()， 解得t x t x x x

=-=-++112或。 则31312=-=-++x x x x

，。 ∴x 113=-， x 23412

1312,()=--±。