空间向量与空间角 PPT
合集下载
空间向量基本定理--课件(共25张PPT)
都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个
基底.
3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，
且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 ，，
表示.
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解
为三个向量xi，yj，zk，使a=xi+yj+zk，像这样，把一个空间向量
1 2
1
A. a- b+ c
2 3
2
1 1 1
C. a+ b- c
2 2 2
2 1
1
B.- a+ b+ c
3 2
2
2 2 1
D. a+ b- c
3 3 2
答案:B
1
2
2
1
1
解析:显然 = − = 2 ( + )-3 =-3a+2b+2c.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
应用空间向量基本定理证明线线位置关系
解析:只有不共面的三个向量才能作为一个基底，在三棱柱中，
，，1 不共面，可作为基底。
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误
的打“×”.
(1)空间向量的基底是唯一的.(
)
(2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向
量.(
)
(3)已知A，B，M，N是空间四点，若, , 不能构成空间的
=
1 1 1
1
+ - · --
2 2 2
3
2 √10
√3× 3
=
基底.
3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，
且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 ，，
表示.
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解
为三个向量xi，yj，zk，使a=xi+yj+zk，像这样，把一个空间向量
1 2
1
A. a- b+ c
2 3
2
1 1 1
C. a+ b- c
2 2 2
2 1
1
B.- a+ b+ c
3 2
2
2 2 1
D. a+ b- c
3 3 2
答案:B
1
2
2
1
1
解析:显然 = − = 2 ( + )-3 =-3a+2b+2c.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
应用空间向量基本定理证明线线位置关系
解析:只有不共面的三个向量才能作为一个基底，在三棱柱中，
，，1 不共面，可作为基底。
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误
的打“×”.
(1)空间向量的基底是唯一的.(
)
(2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向
量.(
)
(3)已知A，B，M，N是空间四点，若, , 不能构成空间的
=
1 1 1
1
+ - · --
2 2 2
3
2 √10
√3× 3
=
高中数学选修2-1精品课件：§3.2 第3课时 用空间向量解决空间角
所成的角
＝
|a·b| |a||b|
范围 0，π2
直线与平面 所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a， 平面α的法向量为n，则sin θ＝_|_co_s_〈__a_，__n_〉__|_
＝
|a·n| |a||n|
0，π2
二ห้องสมุดไป่ตู้角
设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别 为n1，n2，则|cos θ|＝ |cos〈n1，n2〉| ＝ |n1·n2|
|n1||n2|
[0，π]
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.( × ) 2.直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角.( × ) 3.二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角.( × ) 4.若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角的大小等于60°或 120°.( √ )
(3)求平面的法向量n； →
(4)设线面角为 θ，则 sin θ＝|P→A·n|. |PA||n|
跟 踪 训 练 2 如 图 所 示 ， 三 棱 柱 ABC － A1B1C1 中 ， CA ＝ CB ， AB ＝ AA1 ， ∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C；
证明 取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB，所以OC⊥AB. 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°， 故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB. 因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C. 又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正 弦值.
高中数学选修2-1课件：3.2 第3课时 空间向量与空间角
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中
点，在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分
别交于点G，H. (1)求证：AB∥FG；
证明 在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，
所以AB∥DE.
又因为AB⊄平面PDE，DE⊂平面PDE，
－1)，C→E＝(1，t－2,0)，
根据数量积的定义及已知得：1＋0×(t－2)＋0＝ 2× 1＋t－22·cos 60°，
所以t＝1，所以点E的位置是AB的中点．
解析答案
题型二 直线与平面所成角的向量求法 例2 已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a ，侧棱长为 2a ，M为 A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值．
D.90°
解析 ∵cos〈m，n〉＝ 12＝ 22，
∴二面角的大小为45°或135°.
解析答案
12345
3.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝ 2BB1，则AB1与C1B所成角的大 小为( )
A.60°
B.90°
C.105°
D.75°
解析答案
12345
4.正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
232Fra bibliotekA. 3
B. 3
C.3
6 D. 3
解析答案
12345
5.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，则异面直 9
线A1B与B1C所成角的余弦值为_2_5__. 解析 如图，建立空间直角坐标系. 由已知得A1(4,0,0)，B(4,4,3)，B1(4，4,0)，C(0,4,3). ∴A→1B＝(0,4,3)，B→1C＝(－4,0,3)， ∴cos〈A—1→B，B—1→C〉＝295.
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，
高二数学空间向量PPT优秀课件
设 N 为 PA 上一点，则存在 x、y 使 D→N＝xD→P＋yD→A(其中 x、y∈R)，则 D→N＝x(0，－1,2)＋y(2 3， 3,0)＝(2 3y,3y－ x,2x)．
令 2 3y∶ 23＝2x∶32，得 3y－x＝0，① 又A→N∥A→P，且A→N＝(2 3y－2 3，－3,2x)， A→P＝(－2 3，－4,2)，
AD·n →
| AD||n|
1
＝ 12×
2
＝
1＋41＋14
36.
设二面角为
θ，即
cosθ＝
36，∴tanθ＝
2 2.
【名师点评】 此题所求的二面角是一个无 棱二面角，对于这种求无棱二面角的问题， 用空间向量求解时，无需作出二面角的平面 角，从而体现了空间向量的重要作用．
利用空间向量求距离
求点到平面的距离有三种方法：定义法、等体
例2 在底面是直角梯形的四棱锥 S－ ABCD 中，∠ABC＝90°，SA⊥面 ABCD，SA＝AB＝BC ＝1，AD＝12，求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角 的正切值．
【思路点拨】 可建立空间直角坐标系，求出 两个平面的法向量，通过法向量的夹角进行求 解．
【解】 建立如图所示空间直角坐标系，则 A(0,0,0)、 D(12，0,0)、C(1,1,0)、S(0,0,1)，面 SAB 的一个法向量是A→D＝ (12，0,0)．设 n＝(x，y，z)是面 SCD 的一个法向量，则 n⊥D→C，
n⊥D→S，即 n·D→C ＝0，n·D→S ＝0.
又D→C＝(12，1,0)，D→S＝(－12，0,1)， ∴12x＋y＝0，且－12x＋z＝0， ∴y＝－12x，且 z＝12x，∴n＝(x，－x2，x2)，
取 x＝1，得 n＝(1，－12，12)．
1.4 空间向量的应用 课件(可编辑图片版)(共31张PPT)
(2，－1,1)．
[方法技巧] 求平面法向量的三个注意点 (1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量． (2)取特值：在求→n 的坐标时，可令 x，y，z 中一个为一特殊值 得另两个值，就是平面的一个法向量． (3)注意 0：提前假定法向量→n ＝(x，y，z)的某个坐标为某特定 值时一定要注意这个坐标不为 0.
解析：∵μ·a＝－12＋16－4＝0， ∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α. 答案：l⊂α或l∥α
题型一 求平面的法向量
如图，已知 ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD，
SA＝AB＝BC＝1，AD＝1，试建立适当的坐标系． 2
(1)求平面 ABCD 的一个法向量； (2)求平面 SAB 的一个法向量； (3)求平面 SCD 的一个法向量．
[方法技巧] 1.在空间中，一个向量成为直线 l 的方向向量，必须具备以下 两个条件：(1)是非零向量；(2)向量所在的直线与直线 l 平行或重合． 2．与直线 l 平行的任意非零向量→a 都是直线的方向向量，且直 线 l 的方向向量有无数个． 3．给定空间中任意一点 A 和非零向量→a ，就可以确定唯一一 条过点 A 且平行于向量→a 的直线． 4．表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等， 因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们
3．若平面α，β的一个法向量分别为m＝(－
1 6
，
1 3
，－1)，n＝
(12，－1,3)，则( )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合
解析：∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．故选D. 答案：D
4．若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－ 6，8,4)，则直线l与平面α的位置关系是________．
空间向量在立体几何中的应用PPT优秀课件
返回目录
＊对应演练＊
如图，四棱锥P—ABCD中， 底面ABCD为矩形，PD⊥ 底面ABCD，AD=PD， E,F分别为CD,PB的中点. (1)求证：EF⊥平面PAB;
【分析】可用空间向量的坐标运算来证明. 【证明】以A为原点，AB,AD,AP分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设AB=a,PA=AD=1,
a 则P(0,0,1),C(a,1,0),E( ,0,0), 2 1 1 D(0,1,0),F(0, 2 , 2 ). 1 1 a (1)AF=(0, , ),EP=(- ,0,1), 2 2 2 a 1 1 EC=( ,1,0),∴AF= EP+ EC, 2 2 2 又AF⊂ 平面PEC,∴AF∥平面PEC.
空间向量在立体几何
考点一
考点二 考点三 考点四
考点五
1.平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的 做平面α的法向量.
方向向量a，则 向量a 叫
2.直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法向
a1a2+b1b2+c1c2=0 u· v=0 量v=(a2,b2,c2),则l∥α ⇔ . ⇔
返回目录
(2)PD=（0,1,-1）,CD=(-a,0,0), 1 1 ∴AF· PD=(0, , )· (0,1,-1)=0, 2 2 1 1 AF· CD=(0, , )· (-a,0,0)=0, 2 2 ∴AF⊥PD,AF⊥CD，又PD∩CD=D, ∴AF⊥平面PCD.
【评析】用向量证明线面平行时，最后应说明向量 所在的基线不在平面内.
返回目录
＊对应演练＊
如图,在正方体ABCD— A1B1C1D1中,E,F,M分别 为棱BB1,CD,AA1的中点. 证明：
课件2：8.7 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离
【规律方法】
1.平面法向量的求法
若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,
然后用待定系数法求解,一般步骤如下:
设平面的法向量为n=(x,y,z).
(1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).
(2)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组
的距离为 | BO |＝| AB || cos〈AB，n〉| ＝
| AB n | |n|
.
3. (1)常用方法:利用向量求异面直线所成角、线面角、二面角及空间距 离的方法. (2)数学思想:转化与化归、数形结合、函数与方程.
考点1 向量法求异面直线所成的角
【典例1】(1)(2015·上饶模拟)如图所示,已知三棱
考点3 向量法计算与应用二面角的大小 知·考情
利用空间向量计算与应用二面角大小,是高考考查空间角的一个 热点考向,常与线线、线面、面面位置关系等知识综合以解答题第(2) 或(3)问的形式出现.
明·角度 命题角度1:计算二面角的大小 【典例3】(2014·山东高考)如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形, ∠DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点. (1)求证:C1M∥平面A1ADD1. (2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1= 3,求平面C1D1M和平面ABCD所成 的角(锐角)的余弦值.
22
所以 AD 0, 3,0 ,AE (0, 3 , 1),AC (m, 3,0). 22
设平面ADE的法向量为n1=(x1,y1,z1), 则n1 AD 0,n1 AE 0, 解得一个n1=(1,0,0). 同理设平面ACE的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则 n2 AC 0,n2 AE 0, 解得一个 n2 ( 3，m, 3m).
《空间角的复习》课件
空间角在几何图形中有着广泛的应用，如多面体、球体、旋 转体等，通过空间角的分析可以深入理解图形的结构和性质 。
几何图形的度量
空间角是度量几何图形的重要工具，如平面角、二面角、线 面角等，通过空间角的度量可以确定图形的形状、大小和位 置关系。
在解决实际问题中的应用
建筑结构分析
在建筑领域中，空间角的应用十分广 泛，如梁、柱、墙等结构的空间角度 分析，有助于确保建筑结构的稳定性 和安全性。
注意事项
在计算过程中，需要注意向量 的方向和夹角的范围，以避免
出现错误的结果。
利用几何意义计算空间角
总结词
详细描述
几何法是通过空间几何图形的性质和定理 来计算空间角的方法，适用于解决与几何 图形相关的问题。
利用空间几何图形的性质和定理，如平行 线性质、等腰三角形性质等，可以计算出 空间中的线线角、线面角和二面角。
《空间角的复习》ppt 课件
目录
• 空间角的基本概念 • 空间角的计算方法 • 空间角的应用 • 空间角的综合题解析 • 空间角的易错点解析
CHAPTER 01
空间角的基本概念
定义与分类
总结词
详细描述空间角的定义，以及按照不 同标准分类的种类。
详细描述
空间角是指两个非平行直线或平面在 三维空间中形成的角。根据不同的分 类标准，空间角可以分为不同的类型 ，如平面角和立体角等。
CHAPTER 04
空间角的综合题解析
综合题一：求异面直线所成的角
总结词
掌握异面直线所成角的定义和性质，利用平移法或向量法求解。
详细描述
异面直线所成的角是指两条异面直线所夹的锐角或直角，其取值范围为$0^{circ}$到$90^{circ}$。求解时，可以 通过平移将两条异面直线变为相交直线，再利用平面几何知识求解；或者利用向量法，通过向量的夹角来求解。
几何图形的度量
空间角是度量几何图形的重要工具，如平面角、二面角、线 面角等，通过空间角的度量可以确定图形的形状、大小和位 置关系。
在解决实际问题中的应用
建筑结构分析
在建筑领域中，空间角的应用十分广 泛，如梁、柱、墙等结构的空间角度 分析，有助于确保建筑结构的稳定性 和安全性。
注意事项
在计算过程中，需要注意向量 的方向和夹角的范围，以避免
出现错误的结果。
利用几何意义计算空间角
总结词
详细描述
几何法是通过空间几何图形的性质和定理 来计算空间角的方法，适用于解决与几何 图形相关的问题。
利用空间几何图形的性质和定理，如平行 线性质、等腰三角形性质等，可以计算出 空间中的线线角、线面角和二面角。
《空间角的复习》ppt 课件
目录
• 空间角的基本概念 • 空间角的计算方法 • 空间角的应用 • 空间角的综合题解析 • 空间角的易错点解析
CHAPTER 01
空间角的基本概念
定义与分类
总结词
详细描述空间角的定义，以及按照不 同标准分类的种类。
详细描述
空间角是指两个非平行直线或平面在 三维空间中形成的角。根据不同的分 类标准，空间角可以分为不同的类型 ，如平面角和立体角等。
CHAPTER 04
空间角的综合题解析
综合题一：求异面直线所成的角
总结词
掌握异面直线所成角的定义和性质，利用平移法或向量法求解。
详细描述
异面直线所成的角是指两条异面直线所夹的锐角或直角，其取值范围为$0^{circ}$到$90^{circ}$。求解时，可以 通过平移将两条异面直线变为相交直线，再利用平面几何知识求解；或者利用向量法，通过向量的夹角来求解。
高考数学一轮复习第八章立体几何第六节利用空间向量求空间角课件理
(2)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成 的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选 择一个合理的位置建立空间直角坐标系．
[易错防范] 1．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间 角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同． 2．求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．
答案：13
4．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点，则平 面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．
解析：以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长 为 1，
则 A1(0,0,1)，E1，0，12，D(0，1,0)，
以 B 为原点，分别以
的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的
正方向建立空间直角坐标系，则 A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，
F(2,2,1)．
因为 AB⊥平面 BEC，所以 ＝(0,0,2)为平面 BEC 的法向量． 设 n＝(x，y，z)为平面 AEF 的法向量．
所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为23.
A(0，－ 3，0)，E(1,0， 2)，F－1，0， 22，C(0， 3，0)，
所以直线
AE
与直线
CF
所成角的余弦值为
3 3.
[解题模板] 利用向量法求异面直线所成角的步骤
直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BCA＝90°，M，N 分别是 A1B1，
A1C1 的中点，BC＝CA＝CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( )
接 EG，FG，EF.在菱形 ABCD 中，不妨设 GB＝1.
由∠ABC＝120°，可得 AG＝GC＝ 3.
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
1
M
2 x 0 z 0 即 取z =2得x=1，y = - 2 2 x 2 y z 0 A
D O B
C
y
所以平面B1MA的一个法向量为 n (1， 2， 2) 1 2 4 6 cos B1O， n 6 6 9
x
由图可知二面角为锐角
6 所以二面角B1 MA C的余弦值为 。 6
即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向
量夹角的补角．
直线和直线在平面内的射影所成的角， 二、线面角： 叫做这条直线和这个平面所成的角.
[0, ] 直线与平面所成角的范围：
A
2
n
思考：如何用空间向量的夹角 表示线面角呢？
B
O
结论： sin
| cos n, AB |
立体几何中的向量方法 ——空间“角”问题
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角
复习回顾
• 直线的方向向量:两点 • 平面的法向量：三点两线一方程 • 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 则(1)a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 .
复习回顾
• 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、β的 法向量分别为n1、n2.
10 5
所以直线SA与OB所成角余弦值为
课堂小结：
1.异面直线所成角：
C
D
cos sin
|cos CD, AB | | cos n, AB |
A
B
D1
A
O
2.直线与平面所成角： 3.二面角：
n
B
n2
《空间角的计算》课件
计算示例
通过具体的示例来理解空间角的计算方法。例如，在已知两个向量的情况下， 我们可以求解它们之间的夹角；又或者在已知三个点的坐标时，我们可以计 算它们围成的空间角。
总结
通过比较不同的计算方法，我们可以了解空间角的重要性和不同计算方法的优缺点。学习空间角对于提高相关 领域的数学能力具有重要意义。
《空间角的计算》PPT课 件
这是一份关于《空间角的计算》的PPT课件，旨在通过生动的图片和清晰的解 释，向大家介绍空间角的定义、计算方式、关系以及其在物理和工程中的应 用。
什么是空间角
空间角是三维空间中两个向量之间的夹角称为空间角。它可以通过向量的内积或两度和空间角之间存在着密切的关系。角度通常使用度数或弧度来表示，并且可以与空间角进行转换。此外， 定向角度和不定向角度也有着不同的概念和用途。
空间角的应用
空间角在物理学和工程中有着广泛的应用。在物理学中，它可以描述物体的 运动和力的方向。在工程中，它可以用于测量和设计三维结构。
空间角的计算方法
空间角的计算可以使用空间直角坐标系的方法、三点坐标法或两向量夹角法。每种方法都有其适用的场景和计 算方式。
高中数学 第一章 空间向量与立体空间向量研究距离、夹角问题课件 新人教A版选择性必修第一册
，1 2
，1 2
，故
PB
DE 0 1 1 0 . 22
所以 PB DE .
由已知 EF PB，且 EF DE E ，所以 PB 平面 EFD.
25
（3）解：已知 PB EF ，由（2）可知 PB DF ，故 EFD 是平面 CPB 与平面
PBD 的夹角. 设点 F 的坐标为 (x ，y ，z) ，则 PF (x ，y ，z 1) .
2
2
设向量 CN 与 MA 的夹角为 ，
则直线 AM 和 CN 夹角的余弦值等于| cos | .
13
步骤二：进行向量运算
CN MA 1 (CA CD) (CA 1 CB)
2
2
1
2
CA
1
CA
CB 1 CD
CA 1 CD
CB
2
4
2
4
11111. 2848 2
又 △ABC 和△ACD 均为等边三角形，所以| MA | | CN | 3 . 2
则 n2 n2
PQ PR
0 0
，所以
2x y
y
2z
z 0
0
，所以
x y
3z 2 2z
.
取 n2
(3，4 ，2) ，则 cos n1 ，n2
n1 n1
n2 (0 ，0 ，1)
n2
1
(3，4 ，2) 2 29 .
29Biblioteka 29步骤三：回到图形问题
设平面
PQR
与平面
A1B1C1 的夹角为
，则 cos
设
m
(x,
y,
z)
是平面
A1BE
的法向量，则
【课件】第二课时 用空间向量研究夹角问题 课件人教A版选择性必修第一册
C ．－2 5 5
D．2 5 5
答案：B
知识点2 直线与平面所成的角
直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角 。
直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向
u n 量 ,平面α的法向量为 ,如图可得
问题4：方向向量与平面法向量所成的角与线面角是什么关系？
B．30°
C．60° 答案：B
D．30°或 150°
题型分析
两异面直线所成的角
[例 1] (链接教科书第 36 页例 7)已知四面体 OABC 的各棱长均为 1，D 是棱
OA 的中点，则异面直线 BD 与 AC 所成角的余弦值为
()
A.
3 3
B.14
C.
3 6
D.
2 8
[解析] ―BD→＝―O→D －―O→B ＝12―O→A －―O→B ，―A→C ＝―O→C －―O→A ，于是|―BD→|＝
(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形 ABCD 为
菱形，AC⊥BD.又 O1O⊥底面 ABCD，所以 OB，OC，OO1
两两垂直．如图，以 O 为原点，OB，OC，OO1 所在直线分 别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系．
设棱长为 2，因为∠CBA＝60°，所以 OB＝ 3，OC＝1，
23，|―A→C |＝1，且―BD→·―A→C ＝
1―O→A －―O→B 2
·(―O→C －―O→A )＝－14，于是
―→ cos〈 BD ，
―A→C 〉＝―B―D→→·――A→→C ＝ | BD || AC |
－1 4 ＝－
3×1
3，故异面直线 BD 与 AC 所成角的余弦值为 6
新高考数学空间角精品课件
课前基础巩固
课堂考点探究
第42讲 空间角
作业手册
能用向量方法解决简单的夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用.
课标要求
1. 异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把直线a'与b'所成的 叫作异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围: . (3)求法: ①几何法:平移补形法.②向量法:若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别为u,v,则cos θ= |cos<u,v>|==.
图7-42-9
课堂考点探究
证明:如图①,连接CP,∵AE⊥平面 ABC,CP⊂平面ABC,∴AE⊥CP.∵△ABC是正三角形,∴CP⊥AB,又AB∩AE=A,∴CP⊥平面ABE.∵PQ⊂平面ABE, ∴CP⊥PQ.易知PQ∥BE∥CD,PQ=BE=CD,∴四边形CDQP为平行四边形,∴DQ∥CP,∴DQ⊥PQ.
课前基础巩固
②向量法:如图7-42-1,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cos<u,n>|==.
课前基础巩固
图7-42-1
3. 二面角(1)定义:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作 的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角(如图7-42-2). (2)范围:[0,π].
图7-42-4
6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为 ,二面角B-A1C1-D1的余弦值为 .
课堂考点探究
第42讲 空间角
作业手册
能用向量方法解决简单的夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用.
课标要求
1. 异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把直线a'与b'所成的 叫作异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围: . (3)求法: ①几何法:平移补形法.②向量法:若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别为u,v,则cos θ= |cos<u,v>|==.
图7-42-9
课堂考点探究
证明:如图①,连接CP,∵AE⊥平面 ABC,CP⊂平面ABC,∴AE⊥CP.∵△ABC是正三角形,∴CP⊥AB,又AB∩AE=A,∴CP⊥平面ABE.∵PQ⊂平面ABE, ∴CP⊥PQ.易知PQ∥BE∥CD,PQ=BE=CD,∴四边形CDQP为平行四边形,∴DQ∥CP,∴DQ⊥PQ.
课前基础巩固
②向量法:如图7-42-1,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cos<u,n>|==.
课前基础巩固
图7-42-1
3. 二面角(1)定义:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作 的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角(如图7-42-2). (2)范围:[0,π].
图7-42-4
6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为 ,二面角B-A1C1-D1的余弦值为 .
高三数学复习课件：7.6空间角(共20张PPT)
VS
题组一 判断正误⇔概念辨析
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( ) (4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，二面角 的范围是[0，π]．( )
考点三 利用向量求二面角
师生 共研
(2017·山东卷)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD(及其内 部)以 AB 边所在直线为旋转轴旋转 120°得到的，G 是D︵F 的中点．
(1)设 P 是C︵E 上的一点，且 AP⊥BE，求∠CBP 的大小； (2)当 AB＝3，AD＝2 时，求二面角 E-AG-C 的大小．
(1)证明：平面 PEF⊥平面 ABFD； (2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值．
利用向量求线面角的方法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量 的夹角(或其补角)． (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐 角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
[训练] (2017·全国卷Ⅰ，节选)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP ＝∠CDP＝90°.
若 PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角 A-PB-C 的余弦值．
核心素养系列 (四十)逻辑推理——利用向量求解空间角中的核心素养 利用直线的方向向量和平面的法向量求解空间角问题，特别是解决存在型 问题，更凸显了向量法的独特魅力. 这类问题的解决一般是先假设存在，通过 建立空间直角坐标系，将问题转化为向量问题来解决.
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
空间向量与空间角
【学习目标】
▪ 1. 掌握利用向量方法求线线角、线面 角、二面角的方法.
▪ 2.运用向量法求异面直线的夹角。
【重点】：利用向量方法求线面角和 二面角的有关问题. 【难点】：正确理解空间向量夹角与 空间角的区别与联系.
复习1：线面角的定义及范围
（1）.当直线与平面平行或直线在平面 内时，直线与平面的夹角是 _______________；
4.利用向量法求空间角时，要注意空间角的取值 范围与向量夹角的取值范围的区别，具体问题 具体分析.
【典型分析 展示点评】
▪ 例1如图，在棱长为1的正方体 ▪ ABCD-A1B1C1D 1 中，点 E、F、G
分别为 DD1 ，BD，BB1 的中点.
▪ ⑴ 求证：EF CF ;
▪ ⑵ 求EF与CG所成角的 余弦值；
（2）当直线与平面垂直时，直线与平面 的夹角是_______________；
因此，直线与平面的夹角的范围是 _______________；
复习2：二面角及二面角的平面角 的定义及范围
（1）二面角的平面角的求法:①定 义法，②棱的垂面，③三垂线定 理。
（2）范围
；
复习3：两条异面直线所成的角的 定义及范围
▪ ⑶ 求CE的长.
▪ 例2 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1 的底面边长为a，侧棱长为 2 a.
▪ ⑴试建立适当的坐标系，写出
▪ 点A、B、A1、C1 的坐标。 ▪ ⑵求A C1与侧面ABB1A1 ▪ 所成的角.
▪
例 3 . 如 图 ， 长 方 体 A B C D - A 1 B 1C 1D 1中 , 点 E 、 F 分 别 在 B B 1、 D D 1上 ， 且 AE ⊥ A1B， AF ⊥ A1D. (1)求 证 ： A1C ⊥ 平 面 AEF. (2)当 AB = 4， AD = 3， AA1 = 5时 ， 求 平 面 AEF与 平 面 D1B1BD所 成 的角的余弦值。
（1）如何求两条异面直线所成的 角？ 平移法
（2）范围
.
主要知识点：
1.如何用向量法求两条异面直线所成的角？向量 夹角与两条异面直线所成的角的关系怎样?
2.如何用向量法求直线与平面所成的角？直线与 平面所成的角与向量夹角的关系怎样?
3．如何用向量法求二面角的平面角？二面角的 平面角与平面法向量的夹角的关系怎样?怎样 判断？(小技巧)
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
例4 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中， AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.
(1)证明：AC⊥BC1； (2)求二面角C1ABC的余弦值大小．
C1
A1
B1
C
A
Bห้องสมุดไป่ตู้
三. 高考答题模板(看学案)
【学习目标】
▪ 1. 掌握利用向量方法求线线角、线面 角、二面角的方法.
▪ 2.运用向量法求异面直线的夹角。
【重点】：利用向量方法求线面角和 二面角的有关问题. 【难点】：正确理解空间向量夹角与 空间角的区别与联系.
复习1：线面角的定义及范围
（1）.当直线与平面平行或直线在平面 内时，直线与平面的夹角是 _______________；
4.利用向量法求空间角时，要注意空间角的取值 范围与向量夹角的取值范围的区别，具体问题 具体分析.
【典型分析 展示点评】
▪ 例1如图，在棱长为1的正方体 ▪ ABCD-A1B1C1D 1 中，点 E、F、G
分别为 DD1 ，BD，BB1 的中点.
▪ ⑴ 求证：EF CF ;
▪ ⑵ 求EF与CG所成角的 余弦值；
（2）当直线与平面垂直时，直线与平面 的夹角是_______________；
因此，直线与平面的夹角的范围是 _______________；
复习2：二面角及二面角的平面角 的定义及范围
（1）二面角的平面角的求法:①定 义法，②棱的垂面，③三垂线定 理。
（2）范围
；
复习3：两条异面直线所成的角的 定义及范围
▪ ⑶ 求CE的长.
▪ 例2 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1 的底面边长为a，侧棱长为 2 a.
▪ ⑴试建立适当的坐标系，写出
▪ 点A、B、A1、C1 的坐标。 ▪ ⑵求A C1与侧面ABB1A1 ▪ 所成的角.
▪
例 3 . 如 图 ， 长 方 体 A B C D - A 1 B 1C 1D 1中 , 点 E 、 F 分 别 在 B B 1、 D D 1上 ， 且 AE ⊥ A1B， AF ⊥ A1D. (1)求 证 ： A1C ⊥ 平 面 AEF. (2)当 AB = 4， AD = 3， AA1 = 5时 ， 求 平 面 AEF与 平 面 D1B1BD所 成 的角的余弦值。
（1）如何求两条异面直线所成的 角？ 平移法
（2）范围
.
主要知识点：
1.如何用向量法求两条异面直线所成的角？向量 夹角与两条异面直线所成的角的关系怎样?
2.如何用向量法求直线与平面所成的角？直线与 平面所成的角与向量夹角的关系怎样?
3．如何用向量法求二面角的平面角？二面角的 平面角与平面法向量的夹角的关系怎样?怎样 判断？(小技巧)
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
例4 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中， AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.
(1)证明：AC⊥BC1； (2)求二面角C1ABC的余弦值大小．
C1
A1
B1
C
A
Bห้องสมุดไป่ตู้
三. 高考答题模板(看学案)