现代控制理论

《现代控制理论》
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扩张状态观测器在电机控制领域的应用
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摘要 (3)
1 引言 (3)
2 用于对感应电机模型及直接转矩控制 (4)
3 在SPMSM调速系统的滑模变结构反步控制中的应用 (8)
4用于永磁同步电机混沌系统自适应滑模控制 (10)
5用于直驱阀用音圈电机控制系统 (12)
6用于对电力系统非线性鲁棒协调控制 (15)
7结论 (18)
参考书目： (19)
摘要：随着技术的进步，电动机的应用领域在不断拓展，随之而来的如何对电
机.实现精密控制成为了一个学者争相研究讨论的话题。

本文着重举出感应电机模型及直接转矩控制，SPMSM调速系统的滑模变结构反步控制，用于直驱阀用音圈电机控制系统，永磁同步电机混沌系统自适应滑模控制，用于对电力系统非线性鲁棒协调控制几个例子探讨了几种热门的应用到扩张状态观测器控制电机的方法，仿真结果表明, 所提出的状态观测器与现有的观测器相比, 在主动控
制中效果更好.
关键词：电机控制; 扩张状态观测器; 稳定性：
1 引言(Introduction)
在全社会电能消耗中，有70%左右耗费在工业领域，而工业电机的耗电量又占据整个工业领域用电的70%。

提高电机效率可以主要通过2种方式，通过一个频率转换器，提高运作效率的交流电机；二是使用高效电机。

不同的频率转换器是主要的工业领域的节能，节能效率一般在30%以上，在某些行业甚至高达40%-50%。

由此电机的控制就显得尤为重要，用矢量控制或直接转矩控制与矢量控制通过转子磁链定向和复杂的坐标变换来实现磁链和转矩的解耦控制思想不同, 直接转矩控制采用定子磁场定向, 借助于离散的两点式调节, 直接对逆变器的开关状态进行控制, 以获得转矩的高动态性能, 其因控制简单、转矩响应迅速, 而受到了学者们的广泛的关注. 在实际工业应用中, 电机调速系统中总存在许多干扰, 包括: 摩擦力、负载变化和未建模动态等. 如果控制器没有足够能力消除这些干扰的影响, 就会造成系统性能的下降. 虽然传统基于反馈控制的方法, 如PID控制, 可以最终抑制扰动, 但是这些反馈方法不能直接对扰动快速地起作用. 有两种途径提高电机直接转矩闭环系统的抗干扰能力. 一种是从反馈控制的角度: 这方面一种有效的方法就是滑模控制(sliding mode control, SMC), 文献采用滑模变结构控制器控制定子磁链和转矩, 其优点是: 收敛快, 鲁棒性强; 缺点是: 容易产生抖颤. 而连续有限时间控制(FTC)是介于PID控制与SMC控制之间的一种控制方法. 与传统的渐近稳定系统比较, 有限时间稳定系统具有:
1)系统在平衡点具有更好的收敛性能,
2)系统具有更好的抗干扰性能,
3)不抖颤的优点
由于以上3个特征, 近年来有限时间控制设计问题得到了广泛的研究. 另一种从前馈补偿角度, 由于感应电机的干扰不能测量, 可以采用观测器直接将干扰观测出来, 进行前馈补偿. 其中扰动观测器(disturbance observer, DOB)和扩张状态观测器(extended state observer, ESO)在交流伺服系统的应用颇受关注. DOB基本思想是将外部力矩干扰及模型参数变化造成的实际对象与名义模型输出的误差等效到控制输入端. 在控制中引入相应的补偿, 实现对扰动的抑制. 目前已应用于机器人控制、硬盘驱动、电机伺服控制、导弹控制等运动控制系统中. 扩张状态观测器(ESO)将系统的不确定项和外界干扰一起当作系统的总扰动, 作为一个新的状态变量. 通过简单的计算, 该观测器能够同时估算出系统状态和扰动, 然后将扰动估计值, 通过前馈补偿的方法来提升系统的性能. 近年来, 已在交流电机控制系统、飞行器姿态控制、机器人控制, 机械加工等领域得到了广泛的应用
2 用于对感应电机模型及直接转矩控制
感应电机对应的电气模型方程如下：
us = Rsis +d dtψs, (1)
0 = Rrir +d dtψr −jωrψr, (2)
ψs = Lsis +Lmir, (3)
ψr = Lmis +Lrir, (4)
dωr dt=Te J −TL J −Bωr J, (5)
式中: us为定子电压, is为定子电流, ψs为定子磁链, ψr为转子磁链, Rs为定子电阻, Rr为转子电阻, Ls为定子自感, Lr为转子自感, Lm为互感, Te为电磁转矩, TL为负载转矩, B为阻尼系数, J为转动惯量, ωr为转子电角速度. 感应电机的电磁转矩可以用定子与转子磁链的形式进行表示:
Te = 3 /2 np Lm /σLsLr ψs ×ψr =
3/ 2 np Lm/σLsLr* |ψs||ψr|sinθT, (6)
式中: σ = 1− L2 m/ LsLr , np为极对数, θT为转矩角. 电机运行时, 为充分利用电动机的定额, 通常保持定子磁链的幅值为额定值, 转子磁链幅值由负载决定. 因此根据式, 可通过调节转矩角θT来改变电机的转矩, 这是感应电机直接转矩控制的实质.
感应电机直接转矩控制采用两个滞环控制器, 分别比较定子给定磁链和实际磁链、给定转矩和实际转矩的差值, 通过查表方式, 在逆变器的6个工作电压矢量和2个零矢量中选择合适的电压矢量, 产生PWM 信号来驱动逆变器, 达到控制电机的目的. 控制系统框图如图1所示.
图 1 感应电机直接转矩控制系统框图
扩张状态观测器设计(Design of ESO) 由等式(5)可得
˙ ωr = 1 /J Te − B /J* ωr – TL/ J =
1/ J T∗ e – B/ J* ωr – TL/ J − 1 /J* (T∗ e −Te) =
1 /J T∗ e −d(t), (7)
其中: d(t) = B /J *ωr + TL/ J + 1/ J* (T∗ e −Te)为系统的集总扰动,
T∗ e 为电磁转矩的参考输入.
从式(7)可以看出: 负载转矩、惯量的扰动、摩擦阻尼以及由于误差所造
成的扰动都可以在d(t)中反映出来. 把扰动d(t)观测出来并加以补偿后, 感
应电机调速系统就可以近似为一阶积分型系统. 具体扩张状态观测器(ESO)的
原理和分析可以参考文献, 这里直接给出观测器的表达式, 如下所示: ˙ z1 = z2 −2p(z1 −ωr)+ 1 J T∗ e ,
˙ z2 =−p2(z1 −ωr),
定义给定速度ω∗ r和反馈速度ωr之间的误差状态
由式(5)可得速度误差系统的状态方程
控制律的设计目标是使闭环系统(10)的速度偏差在有限时间内收敛到一个很小
的区域. 利用有限时间技术和前馈补偿, 得到给定转矩T∗
其中k > 0, 0 < α < 1. 控制系统框图如图2所示.
对于系统(10)在电磁转矩T∗ e (11)作用下, 得到跟踪误差系统:
其中d1(t) = z2 −d(t). 为了便于稳定性分析, 给出如下的定义、引理和假设条件.
如果存在一个KL类函数β和一个K类函数γ, 使得对于任何初始状态x(t0)和有界输入u(t), 解x(t)对于所有的t > t0都存在, 且满足
那么系统(13)是输入状态稳定的.
有限时间比例反馈加扩张状态观测器(FTC +ESO)控制、比例加扩张状态观测器(P+ESO)控制和比例积分(PI)控制在感应电机直接转矩控制系统的应用做了仿真比较. 仿真采用的感应电机参数为: 额定功率PN=0.55kW, 额定转速nN=1390r/min, 定子电阻Rs= 12.8Ω, 转子电阻Rr = 4.66Ω, 定子和转子漏感Lls = Llr = 0.055H, 互感Lm = 0.73H, 转子转动惯量J = 0.035kg·m2, 阻尼系数B = 0.001N·m·s.
公平起见, 在同样的控制量作用下比较, 因此, 此处参数的选取遵循两个原则: 1) 控制效果好; 2) 控制量在同一级别上. 参数设置为: FTC+ ESO: α = 0.5,k = 0.00035,−p = 500; P+ESO: k=0.005,−p=500; PI : k=0.02,I=0.2. 饱和限幅为T∗e =±10N·m. 仿真结果如图3和图4所示. 图3表明: 同P+ESO和PI 控制器相比, FTC+ESO 复合控制器作用下的闭环系统具有更短的调节时间和更小的超调. 图4可以看出: 在t = 0.6s时突然加入额定转矩负载Tl = 4N·m 时, FTC+ESO方法作用下的系统速度响应可以更快的回复, 与其他两种方法比较, 具有更短的调节时间
针对感应电机直接转矩控制系统, 提出了一种基于扩张状态观测器和有限时间反馈控制的复合控制方法. 两种抗扰动技术被引入闭环系统中来加强抗扰动性能. 首先, 扩张状态观测器用来估计系统的集总扰动, 并且将估计值用于前馈补偿设计中. 其次, 反馈调节部分采用了连续的有限时间控制技术.
3 在SPMSM调速系统的滑模变结构反步控制中的应用
反步控制是一种最近发展起来的针对不确定非线性系统的控制策略,已被引入电机控制领域.传统的反步控制可以实现PMSM系统的完全解耦, 而且所设计的控制器具有全局稳定性能; 但同时也存在一些问题, 如速度阶跃响应过程中存在速度静差, 没有考虑负载转矩变化对系统的影响, 以及加载过程中存在较大的转速超调等. 文献[6]阐述了传统的反步控制在电机起动过程和稳态时都存在静差;在反步控制器设计中考虑了负载扰动, 设计了自适应反步控制器来抑制外部扰动, 但增加了系统的计算量和复杂性;将反步控制器分别与模糊控制和神经网络相结合, 能对负载变化进行有效补偿, 解决了不匹配干扰和参数变化的控制问题, 但系统设计较为复杂. 针对上述问题, 本文对SPMSM调速系统提出一种基于扩张状态观测器(ESO)的滑模变结构反步控制方法. 扩张状态观测器一般在自抗扰控制器中用来估计系统内外扰动量. 本文采用扩张状态观测器来准确估计负载转矩, 因此可将外部扰动近似为一个已知量, 从而简化自适应反步控制器的设计, 减小滑模反步控制器中的趋近率参数; 通过在滑模面中引入速度误差的积分作用, 可以改善系统的起动过程的性能,
实现给定速度的无静差跟踪. Matlab仿真表明, 本文设计的控制器能明显提高SPMSM控制系统的静态与动态性能, 整个系统具有很强的鲁棒性.
扩张观测器的设计
一个带未知扰动的非线性不确定系统可表示为
式中: f(x,x(1),⋅⋅⋅ ,x(n−1),t)为未知函数, w(t)为未知扰动, x(t)为系统状态变量, u为系统控制量, b为控制量增益.
定义a(t) = f(x,x(1),⋅⋅⋅ ,x(n−1),t) + w(t), 则式 (2)表示的不确定系统的n + 1阶ESO的一般形式为[14]
式中: z1 → x(t),⋅⋅⋅,zn→ xn−1(t),zn+1 → a(t)是对未知函数f(x,x(1),⋅⋅⋅ ,x(n−1),t)和扰动w(t)的估计; gi(⋅)为非线性函数, 一般取如下形式:
fal( (4)
sat((5)
常扩张状态观测器估计的是系统的内外总扰动. 为了只观测外部所加负载扰动量, 可将其中的已知模型部分分离开来, 只对未知部分进行估计. 由式 (1)的第3式可知, 永磁同步电动机的转矩方程为一阶系统. 对ESO规定输出z1 跟随电机转速反馈信号w r, z2 观测电机的负载转矩扰动, 则该一阶系统的二阶ESO模型为
式中: β1, β2 为观测器系数; α1, α2 为非线性因子; δ1, δ2 为滤波因子; ε= z1 −w; f0(z1) = −Bz1/J; b = 1/J;u = Te.由式(6)便可得到待估计的负载转矩TL.
由此可见在应用了扩张状态观测器的SPMSM调速系统的滑模变结构反步控制后针对面贴式永磁同步电机的调速系统设计了一种基于扩张状态观测器的滑模反步控制方法. 在反步控制中引入滑模变结构方法, 明显提高了永磁同步电机系统的静态与动态性能, 保证了系统的全局一致稳定性; 通过扩张状态观测器实时观测系统的负载扰动, 简化了自适应反步控制器设计中由于考虑负载而增加的复杂性和计算量, 同时减小了滑模变结构的趋近率参数. 仿真结果表明, 所设计的控制器使得PMSM具有良好的转速跟踪性能和很强的抗负载转矩扰动的能力.
4用于永磁同步电机混沌系统自适应滑模控制
令zi, i = 1,2,3, 分别为系统中状态变量yi 的观测值, 定义观测误差为eoi = zi −yi, 则本文中设计的非线性扩张状态观测器表达式为
z1 = z2 −β1eo1 ˙
z2 = z3 −β2fal(eo1,α1,δ) + b0u ˙
z3 = −β3fal(eo1,α2,δ)
其中, β1,β2,β3 > 0为观测器增益; fal(·)为原点附近具有线性段的连续幂次函数, 表达式为
fal(eo1,αi,δ) =
eo1 δ1−αi |eo1|6<= δ
|eo1|αisign(eo1) |eo1| > δi = 1,2,3,
其中, δ > 0表示线性段的区间长度, 0 < αi < 1.
由式可以看出, 当系统观测误差eo1 较小时, 非线性函数fal(·)将产生一个较高的增益; 反之, 当观测误差eo1 较大时, 非线性函数fal(·)将产生一个相对较低的增益. 文献[2中指出, 通过选择合适的参数βi, fal(·)函数可以保证观测器状态zi → yi, i = 1,2,3. 即: 观测误差可以收敛到 |yi −zi|6 di, 其中di > 0为很小的正数.
为将系统状态x1 和x2 稳定到原点, 本文基于滑模变结构方法设计自适应控制器u. 其中滑模面设计如下所示:
s = y2 + λ1y1
s的一阶导数为
s = ˙ y2 + λ1 ˙ y1
= y3 + b0u + λ1y2,
其中, λ1 > 0为控制参数.
由(11)式, 基于扩张状态观测器的普通滑模控制器(SMC+ESO)可设计为
u∗ = 1/ b0*(−z3 −λ1z2 −k∗sign(s)),
其中, k∗ > 0满足k∗ > d3 + λ1d2.
由于估计误差上界d2 和d3 难以准确获得, 因此, k∗往往无法精确得到. 为解决这个问题, 本文结合文献[22]中提出的参数自适应律, 设计自适应滑模控制器(ASMC+ESO), 表达形式为
u =1/ b0*(−z3 −λ1z2 −ksign(s)),
其中, k = k(t)为控制器参数, 其自适应律如下所示:
k =km|s|sign(|s|−ϵ) k > µ
µ k <=µ
其中, km > 0, µ > 0为很小的正常数, 用于保证 k > 0.
在对感应电机转子磁链观测中提出一种基于扩张观测器和参数自适应滑模控制的自适应控制方法, 用于解决部分状态不可测的永磁同步电机混沌系统控制问题. 通过坐标变换将永磁同步电机混沌模型变为更适宜控制器设计的Brunovsky标准形式. 构建非线性扩张状态观测器估计未知状态及不确定项, 并设计滑模控制器的参数自适应律, 保证系统状态能够快速稳定收敛至零点. 仿真结果验证了该自适应控制器的有效性和优越性.
,5用于直驱阀用音圈电机控制系统
扩张状态观测器是借用状态观测器的思想，将能够影响被控对象输出的扰动作用扩张成新的状态变量，并用特殊的反馈机制建立能够观测这个扩张状态变量的观测器。

扩张状态观测器的根本机理是，由于被控输出是可观的，在被控输出信号中包含关于扰动的信息，因此能从输出中提取出系统的扰动作用。

与普通的状态观测器不同，扩展状态观测器可用来分析模型未知部分和外部未知扰动对控制对象的综合影响。

由于液动力随直接驱动阀的负载条件变化而变化，可将式中的–k/m*x1-b/mx2看成系统的内部扰动，将- w/ F m 看成系统的外部扰动，并定义综合扰动：f(t)=-k/m*x1-b/m*x2-f/m，式(5)可表示为
&1=x2
&2=bu+f(t)
y=x1
式中：u 为控制量，u=ia；b=Kf /m
如果利用扩张状态观测器估计出 f(t)，即可以估计出 VCM-DDV 系统中的液动力负载及外部扰动力，并利用前馈控制加以补偿，取控制量 u=u0-f(t)/b，则由式(5)确定的系统可转化为 2 阶积分串联型系统
&1=x2
&2=bu0
Y=x1
式中 u0为控制 2 阶积分串联型系统的控制量，其可由 PD 控制器产生
由式可知，考虑系统采用电流闭环后， VCM-DDV 系统模型可简化为 2 阶系统，因而可以利用 3 阶扩张状态观测器，由位置信号估计出速度和加速度信号，并将外部干扰和系统模型的不确定作用量叠加到加速度信号的估计中。

下文对3 阶线性扩张状态观测器的稳定性进行分析，为扩张状态观测器中的参数选择提供依据。

3 阶离散线性扩张状态观测器为
E(k)=z(k)-y(k)
Z(k+1)=z1(k)+h[z2(k）-Be(k))
Z(k+1)=z(k)+h[z3(k)-Be(k)+bu(k)]
Z(k+1)=z(k)+h[-Be(k)]
式中：β 1、β 2、β 3为扩张状态观测器的增益；h 为计算步长；k 为采样时刻
由劳斯(Routh)判据可得线性 3 阶离散 ESO 稳定的充分必要条件
0<β 1<2/h
0<β 2<1/h
2/h-1/2h*h(β h)) (β h)-4h*h*hβ)< β 22/h*h+1/2h*hβ*βh-4β*h*h*h 由文献[16]给出的经验公式，取β1/h β = 1/(3 ) h*h β = 1/(32 ) h *h*h
电流环控制器设计在实际应用中，要求 VCM-DDV 系统对位置指令的响应要快，而传统的“三环”控制响应速度较慢，因此本文采用位置环/电流环的两环控制结构。

系统的控制结构框图如图 1 所示
电流环是系统的内环，由电流环控制器、PWM 功率变换器、直线音圈电机绕组电流反馈环节组成。

考虑到电流环对实时性要求较高，为此将电流环控制器设计成典型 PI 控制器，以使电流环稳态无静差，动态无超调。

电流环控制器为
式中：Gi(s)为电流环控制器传递函数；Ki、τ i 分别为电流环增益系数和积分时间常数。

若忽略 PWM 功率变换环节的滞后，并取电流反馈系数为 1，则电流环开环传递函数为
为了对消电机绕组的惯性环节，取aa /i LR τ = ，则电流环闭环传递函数为
式中：() i s φ 为电流环闭环传递函数； a /ii T L K = 为电流环时间常数
针对传统的“三环”控制结构响应速度慢的缺点，提出了一种位置环/电流环的双闭环控制结构；在位置环中采用非线性 PID 控制，并通过扩张状态观测器得到位置反馈信号的估计及其微分，以及液动力负载等扰动的实时估计值，并对扰动进行前馈补偿；仿真及实验结果表明，该控制策略可以有效地克服液动力负载对系统性能的影响，系统对位置指令响应快速且无超调，可以满足VCM-DDV 系统性能要求。

6用于对电力系统非线性鲁棒协调控制
因内环非线性系统已被一簇二阶 ESO 动态反馈线性化为一伪线性子系统，综合式和式可得
显然，式(16)已是一个带不确定扰动的线性系统，可根据受控对象的控制目标要求，选用H∞等线性鲁棒控制方法。

并选择合适的协调率，以求取预反馈 v(t)和外环中的控制输入 u1(t)。

综上，本文提出了利用 ESO 对内环进行动态反馈线性化、对外环利用线性鲁棒控制的综合 ERNC 方法，其控制框图如图 1 所示
内环系统的稳定性
同任何状态观测器一样，ESO 是一个相对独立的动态系统，其稳定性决定于自身的动力学特性。

在满足 ESO 对外部输入要求有界的前提条件下，若ESO 的增益 L 足够大，根据其自身动力学特性，就能保证以较高的精度跟踪外部系统的各个状态量和扩张状态量；当ESO 外部观测的系统渐近稳定，ESO 则会迅速跟随整个闭环系统渐近稳定[11]。

因此，决定整个闭环系统稳定性的仍是外环系统稳定
外环系统的稳定性
如式所示，闭环系统经 ESO 对扩张阶的观测量) (ˆ t a 的动态进行补偿后，已经被反馈线性化为一个伪线性系统，因此可利用已很成熟的 Lyapunov 方法和H∞控制理论来分析整个闭环系统的稳定性。

下面研究ESO 无观测误差的情况。

将式改写为线性H∞控制常用的广义受控对象的表示形式，则可重新定义新状态变量为
考虑误差对稳定影响最坏情况下的新输入量为
式中 z(t)为评价信号。

则式(16)表示的外环对象可转化为一个广义受控系统为
其中，反映了 x(t)在评价信号 z(t) 中的权系数满足矩阵关系
在给出稳定性分析之前，假设(F, G)能稳定，即F不受控，极点均具有负实部
定义正定的 Lyapunov 函数为
正定矩阵P=P T>0
并寻找一状态反馈
U(t)=Kx（t）
使得以下评价指标成立：
式中γ > 0，为 L2的增益
将式展开为矩阵形式，联立上式，并根据 Schur 补引理，可得到
若取 K= −GTP，则上式可改写为
当式成立，即正定矩阵变量 P 有解时，则伪线性系统式闭环稳定且能满足控制指标式。

当ESO 的观测值存在一定误差时，可引入微分对策原理[12]进行稳定性分析：可通过分析观测误差ξa(t)对式的特征值摄动影响最坏的情况来研究闭环系统的稳定性。

由线性化后的伪线性系统式可知，观测误差向量ξa(t)和求取的状态反馈 Kx 二者对外环伪线性系统式的特征值配置作用是一样的，因此，只要所求取的 K 对闭环稳定性的正贡献能在系统工作区域内均大于有界摄动造成的失稳影响，闭环系统就始终能够稳定，并接近或达到性能指标式
具有自抗扰能力。

ENRCC 继承了自抗扰控制器(ADRC)的内核 ESO，在很大程度上具备了ADRC 自抗扰的能力，其适应性和鲁棒性很强。

控制规律严谨简单。

由于对已线性化的伪线性系统采用了H∞控制方法，控制器参数优化方法严谨，克服了 ADRC 参数整定复杂的缺点。

方法原理直观清晰，便于工程应用。

由于 ENRCC 采用了ESO，使得反馈线性化变得十分简单，避免了 EFL 复杂的数学推导，但其性能并未由于采用了动态反馈线性化而明显下降
7结论
以上对电机的控制实验中都用到了扩张状态观测器，实验结果表明在同样的硬件条件下，使用了扩张状态观测器的电机能获得了更好的跟踪和控制效果，或者简化了计算和操作，使控制更加精确方便在一定程度上说明了扩张状态观测器在电机控制方面的重要性。

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