利用导数探究函数的零点问题专题讲座PPT

2020/3/25
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1、三次函数的图象四种类型
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2.三次函数的零点分布
三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值也趋向∞，因此 只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且 x1＜x2的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下：
方程组
y1 y2
f( g(
x) x)
有实数根
函数 y1 f (x) 与 y2 g(x) 的图象有交点
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导数在函数零点问题上的应用
零数
零位
导数的 应用
参数范 围
数形 结合
函数零点
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研究两条曲线的交点个数的基本方法
(1)数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图形交点个数得出答案. (2)函数与方程法，通过构造函数，研究函数零点的个数得出两曲线交点的个数.
x (,0) 0 (0,2) 2 (2,)
f (x)
0－
0
f (x)
↗
a ↘ a4 ↗
因此函数 f (x) 的极大值是 f (0) a,
极小值是 f (2) a 4.
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几何画板演示
函数f(x)=x3-3x2 +a(a∈R)的零点个数.
因此函数 f (x) 的极大值是 f (0) a, 极小值是 f (2) a 4.
范围.
解 (1)由 f(x)＝2x3－3x 得 f′(x)＝6x2－3.
令
f′(x)＝0，得
x＝－
22或
x＝
2 2.
因为 f(－2)＝－10，f
－
22＝
2，f
22＝－
2，f(1)＝－1，
所以 f(x)在区间[－2，1]上的最大值为 f
－
22＝
2.
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(2)设过点 P(1，t)的直线与曲线 y＝f(x)相切于点(x0，y0)， 则 y0＝2x30－3x0，且切线斜率为 k＝6x20－3， 所以切线方程为 y－y0＝(6x20－3)(x－x0)， 因此 t－y0＝(6x20－3)(1－x0). 整理得 4x30－6x20＋t＋3＝0， 设 g(x)＝4x3－6x2＋t＋3， 则“过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 y＝f(x)相切”等价于“g(x) 有 3 个不同零点”. g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)，
则需
f
( x) 极大
5 27
a
0或
f
( x) 极小
a 1
Fra Baidu bibliotek
0，
解得 a 5 或 a 1.故实数 a 的取值范围为 , 5 1, .
27
27
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几何画板演示
已知函数 f(x)＝2x3－3x.
(1)求 f(x)在区间[－2，1]上的最大值；
(2)若过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 y＝f(x)相切，求 t 的取值
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解： f (x) 3x2 2x 1 (3x 1)( x 1)
由 f (x) 0 得， x 1 或 x 1 3
当 x 变化时， f (x) ， f (x) 的变化情况如下表：
x (, 1) 1 ( 1 ,1) 1 (1,)
3
3
3
f (x)
0
－
0
f (x)
↗
5 a ↘ a 1 ↗
27
故函数 f (x) 的极大值是 f ( 1) 5 a, 极小值是 f (1) a
3 27
要使函数
f
(x)
x3
x2
x
a
的图象与
x
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轴仅有一个交点
f (x)
↗
5 a ↘ a 1 ↗
27
故函数 f (x) 的极大值是 f ( 1) 5 a, 极小值是 f (1) a 1. 3 27
要使函数 f (x) x3 x 2 x a 的图象与 x 轴仅有一个交点，
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一、三次函数的零点问题
例1：
函数f(x)=x3-3x2 +a(a∈R)的零点
个数.
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函数f(x)=x3-3x2 +a(a∈R)的零点个数.
解：易知该函数的定义域是 R，
f (x) 3x 2 6x 3x(x 2)
由 f (x) 0 得， x 0或 x 2
当 x 变化时， f (x) ， f (x) 的变化情况如下表：
a的符号 a＞0
(f(x1)为极大值， f(x2)为极小值)
a＜0 (f(x1)为极小值， f(x2)为极大值)
零点个数 一个 两个 三个 一个 两个 三个
充要条件
f(x1)＜0或f(x2)＞0 f(x1)＝0或者f(x2)＝0 f(x1)＞0且f(x2)＜0 f(x2)＜0或f(x1)＞0 f(x1)＝0或者f(x2)＝0 f(x1)＜0且f(x2)＞0
函数y=f(x)有零点
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零点的存在性定理
f ( x)在 a, b 上连续 f ( x)在 a, b 上单调
f (a) f (b) 0
f ( x)在 a有, b 唯一 零点
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除了用判定定理外，你还想到什么方法呢？ 等价关系
函数 y F(x) f (x) g(x) 有零点
方程 F(x) f (x) g(x) 0 有实数根
① 当 a 0或 a 4 0 ，即 a 0或 a 4 时， f (x) 有一个零点；
② 当 a 0 或 a 4 0 ，即 a 0 或 a 4 时， f (x) 有两个零点；
③ 当 a 0 且 a 4 0 ，即 0 a 4 时， f (x) 有三个零点.
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几何画板演示
已知函数f(x)=x3-x2-x+a的图象与x轴 仅有一个交点，求实数a的取值范围.
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一：复习旧知
函数零点
函数与方程
函数与图像
使函数 ffxx00 的
实数 x
方程 ffxx00 的实
数解
函数 y f f xx 的图像
与 xx 轴交点的横坐
标
4
结论：函数的零点就是方程f(x)=0的
实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x 轴的交点的横坐标。
等价关系：
方程f(x)=0有实数
根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
利用导数探究 函数的零点问题专题讲座
深圳市民办学校高中数学教师 欧阳文丰
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全国卷高考数学题展示
(2014年全国卷）已知函数 f x ax3 3x2 1
a 存在x唯0 一的0零点
，且
，则
x f x
，若
的取值范围？
0
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高考地位
函数零点是新课标教材的新增内容之一,纵观近几 年全国各地的高考试题,经常出现一些与零点有关的问题, 它可以以选择题、填空题的形式出现，也可以在解答题 中与其它知识交汇后闪亮登场，可以说“零点”成为了 高考新的热点和亮点.