2021年中考数学总复习26→锐角三角函数复习课件

tan ∠ABD= 4 ,则菱形ABCD的面积为_________cm2.
3
【解析】连结AC交BD于点O,则AC⊥BD.
∵菱形的周长为20 cm,
∴菱形的边长为5 cm. 在Rt△ABO中,tan ∠ABD=4 .
3
故可设AO=4x,BO=3x,又AB=5 cm，
因此根据勾股定理可得AO=4 cm，BO=3 cm，
【教你解题】
【对点训练】
8.(2012·嘉兴中考)如图，A，B两点在河的两岸，要测量这两
点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出
AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，则AB等于( )
(A)asin 40°米 (C)atan 40°米
(B)acos 40°米 (D) a
tan 40米
特别 锐角的三个三角函数值是在直角三角形中定义的，若无 提醒 直角三角形，则要设法构造直角三角形.
【例1】(2012·内江中考)如图所示，△ABC的顶点是正方形网 格的格点，则sin A的值为( )
(A) 1 (B) 5
(C) 10
(D) 2 5
2
5
10
5
【思路点拨】构造直角三角形→计算sin A→结果
(3)坡度和坡角：
从点P上坡走到点N时，_升__高__的__高__度__h_与_水__平__前__进__的__距__离__l_的比
h
叫做坡度，用字母i表示，即i=_l_.坡面与水平面的夹角叫做
_坡__角__，记作α.
【即时应用】 1.如图，从点A看点B的_仰__角为_5_0_°_.
2.如图,OA的方向角为_南__偏__西__3_0_°_,方位角为_2_1_0_°_.
5
四、解直角三角形的应用 实际问题中术语的意义： (1)仰角和俯角：如图，在同一铅垂面内视线和水平线间的夹 角，视线在水平线上方的叫做_仰__角__，在水平线下方的叫做 _俯__角__.
(2)方向角和方位角 方向角:指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角. 如图,OA为_北__偏__东__60°,OB为_南__偏__东__30°, OC为_北__偏__西__70°. 方位角:从某点的指北方向按_顺__时针转到 目标方向的水平角. 如图,OD的方位角为120°.
一、特殊角的三角函数值
三角函数 锐角α
sin α
30°
1
2
45°
2
2
60°
3
2
cos α
3 2
2 2 1 2
tan α
3 3
1
3
【即时应用】 1.在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC,则tan A=_1_. 2.sin 60°·tan 30°+cos 60°=_1_. 3.若α，β为锐角，且tan α＞tan β,则α_＞__β.
10.(2012·株洲中考)数学实践探究课中，老师布置同学们测 量学校旗杆的高度.小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米 的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度 是______米.
【解析】10×tan 60°= 10 3 (米10).3 答案：10 3
11.(2012·益阳中考)超速行驶是引发交通事故的主要原因之 一.上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速, 如图,观测点设在A处,离益阳大道的距离(AC)为30米.这时,一 辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B处行驶到C处所用的 时间为8秒,∠BAC=75°.
3.边角之间的关系:
a
b
sin A=_c_,sin B=_c_,
b
a
cos A=_c_,cos B=_c_,
a
b
tan A=_b_,tan B=_a_.
【即时应用】
1.在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,AC=3 3 ,则BC=_3_， AB=_6_.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=1,AB= 2 ,则∠A=_4_5_°_,AC=_1_. 3.在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=6,sin A= 3 ,则AB=_1_0_.
求三角函数值
◆中考指数:★★★★☆
求锐角三角函数值常用的四种方法：
知
1.设法求出角的度数，然后利用特殊角的三角函数值求 值.
识 2.构造直角三角形，把锐角放在直角三角形中，然后利
点 用锐角三角函数的定义求解.
睛
3.找出一个与之相等的角，其等角的三角函数值即为此 角的三角函数值.
4.借助于三角函数间的关系求三角函数值.
(A) 5
12
(B) 12
5
(C) 5
13
(D) 12
13
【解析】选C.设BC=5k，则CA=12k，AB=13k，
∵BC2+CA2=AB2，∴△ABC是直角三角形． ∴在Rt△ABC中，cos B BC 5k 5 .
AB 13k 13
【高手支招】在解答所求的结论与线段的比有关的问题时，都 可以用设参数“k”的方法求解.由此可以将原有的比值,转化成 为具体的数量,再结合题中的其他条件列出含“k”的等式或者 是间接求得其他的比值.
2
锐角三角函数的应用
◆中考指数:★★★★★ 用直角三角形边角关系解决实际问题的关键是建立数学模型， 常见的基本模型有：
知 识 点 睛
知识 点睛
特别 1.坡度是斜坡的倾斜程度，而不是斜坡的角度. 提醒 2.仰角和俯角都是视线和水平线的夹角.
【例3】(2012·邵阳中考)某村为方便村民夜间出行,计划在村 内公路旁安装如图所示的路灯,已知路灯灯臂AB的长为1.2 m, 灯臂AB与灯柱BC所成的角(∠ABC)的大小为105°,要使路灯A与 路面的距离AD为7 m,试确定灯柱BC的高度.(结果保留两位有效 数字)
2
(2)BC AB2 A在CR2 t△2B0，CE和Rt△DBE中，
BE2=BD2-DE2=BC2-CE2,设DE的长为x，
则12.52-x2=202-(12.5+x)2，解得x=3.5， 所以sin∠DBE=DE 3.5 7 .
BD 12.5 25
【对点训练】
5.(2012·衡阳中考)如图,菱形ABCD的周长为20 cm,且
2
2
在Rt△BCD中，∵CD=3 ,∠B=45°,
∴BD= 3，∴AB=AD+BD=33+ .
7.(2012·淮安中考)如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC 上，已知∠BDC=45°,BD=10 2 ,AB=20.求∠A的度数.
【解析】在Rt△BDC中，BC=BDsin 45°=10. 又∵AB=20,∴sin A= 1,∴∠A=30°.
【自主解答】选B.如图，连结CD，令每个小正方形网格的边长 为1，则CD 2，AD 2 2，AC 10. ∴CD2+AD（2 2）2 （2 2）2 10 （ 10）2 AC2, ∴△ACD为直角三角形， ∴sin A CD 2 5 .
AC 10 5
【对点训练】 1.(2012·乐山中考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC， 则sin B的值为( )
5
(1)求线段CD的长； (2)求sin∠DBE的值． 【思路点拨】(1)据已知→求AB→CD (2)据勾股定理→求BC→求DE→sin∠DBE
【自主解答】(1)因为∠ACB=90°，AC=15，cos A3= ,所以
5
AB= AC =25.又因为D为边AB的中点，所以CD=1 AB=12.5.
cos A
3.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面 的垂直距离为2 5 米，则这个坡面的坡度为_1_∶__2_. 4.某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i1=1∶ 3，坝 外斜坡的坡度i2=1∶1，则两个坡角的和为_7_5_°_.
【核心点拨】 1.当∠A为锐角时,0<sin A<1,0<cos A<1,tan A>0. 2.锐角三角函数的值是一个比值,没有单位,它只与角的大小有 关系,而与三角形的三边长无关. 3.研究和运用三角函数的前提是在直角三角形中,若无此前提, 则要设法构造直角三角形. 4.坡度是描述斜坡倾斜程度的量，它等于坡角的正切值. 5.解直角三角形需已知直角三角形中的除直角外的两个元素 (至少有一个为边)，而用直角三角形边角关系解决实际问题的 关键是建立数学模型.
【解析】选C.∵在Rt△ABC中，tan C= AB ,
AC
∴AB=atan 40°.
9.河堤横断面如图所示，堤坝BC=5米，迎水坡AB的坡比是 1∶ 3 ，则AC的长是( )
(A)5 3米
(B)10米
(C)15米
(D)10 3 米
【解析】选A.∵ BC ∴1 ,
AC 3
AC (米3)B. C 5 3
a b
得∠A，∠B=90°－∠A.
特 解直角三角形时要尽量利用原始数据，以防止“累积 别 误差”，一般地：“有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)， 提 无弦用切(正切)，宁乘毋除，取原避中”是解直角三 醒 角形的原则，必要时，画图帮助分析.
【例2】(2012·上海中考)如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D 是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC=15，cos A= 3 ．
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)1
2
2
2
【解析】选C.设BC=k,则AB=2k，由勾股定理得
AC AB2 BC2 （所2k）以2 k2 3k，
sin B AC 3k 3 . AB 2k 2
2.(2011·陕西中考)在△ABC中，三边BC,CA,AB满足
BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则cos B=( )
AB=2x,BD=2x3- x=(2-3 )x,所以tan 1பைடு நூலகம்°=
BD （2 3）x 2 3.
CD
x
答案：2- 3
解直角三角形
◆中考指数:★★★☆☆
解直角三角形的四种类型及方法：
1.已知斜边和一个锐角(如c，∠A)，其解法：∠B=90°－
知 ∠A，a=csin A，b=ccos A(或 b c2 a2 ).
3.(2012·德阳中考)某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位
于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里.客轮以60海里/小
时的速度沿北偏西60°方向航行 2 小时到达B处，那么tan ∠ABP
3
=( )
(A) 1
2
(B)2
(C) 5
5
(D) 2 5
5
【解析】选A.如图所示,
∵∠APC=30°,∠BPC=60°,
2021年最新《中考备战》 第二十六讲 锐角三角函数
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1.理解锐角三角函数(sin A,cos A,tan A)的概念,知道30°， 45°，60°角的锐角三角函数值；会使用计算器由已知锐角求 它的三角函数值,由已知三角函数值求它对应的锐角. 2.运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.
二 、三角函数之间的关系
1.同一个锐角的正弦、余弦和正切的关系：
(1)sin2α+cos2α=_1_；
sin
(2)tan α=__c_o_s___. 2.互为余角的正弦、余弦的关系：
sin(90°-α)=__c_o_s__α_;
cos(90°-α)=__s_i_n__α_.
【即时应用】
22
2
1.若α为锐角，且sin α= 1 ,则cos α=__3__,tan α=__4_.
3
2.在Rt△ABC中，∠C=90°,sin
A= 4
5
，则cos
4
B=_5_.
三、直角三角形中的边角关系 在Rt△ABC中，∠C=90°,a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边.
1.三边之间的关系：_a_2_+_b_2=_c_2_.
2.两锐角之间的关系：_∠__A_+_∠__B_=_9_0_°_.
识 点
2.已知一直角边和一个锐角(如a，∠A)，其解法：∠B
=90°－∠A，c
a sin
，b A
a tan
A
(或
b
c2 a2 ).
睛 3si.n已A知=斜a 边求和出一∠直A，角∠边B(=如90c°，－a)∠，A其. 解法：b c2 a2 ,由
c
4.已知两条直角边a和b，其解法：c
a2 b2 ，由tan A=
∴AC=8 cm,BD=6 cm, ∴菱形ABCD的面积为:1 ×8×6=24(cm2).
2
答案：24
6.(2012·安徽中考)如图，在△ABC中，∠A=30°,∠B=45°, AC=2 3 ,求AB的长.
【解析】如图，作CD⊥AB,垂足为D，
在Rt△ACD中，∵AC=23 ,∠A=30°,
∴AD=AC·cos 30°=23 · 3 3,CD 2 3 3.
∴∠APB=90°. 又∵PB=60×2 =40,
3
∴tan ∠ABP= AP 1 .
PB 2
4.(2012·岳阳中考)如图,在顶角为30°的等腰三角形ABC 中,AB=AC,若过点C作CD⊥AB于点D,则∠BCD=15°.根据图形计 算tan 15°=______.
【解析】设CD=x,因为∠A=30°,所以AC=2x,AD=3 x,则