标准差

f
5 35 45 15 100
X X
( X X )2 ( X X ) 2 f
20-30 30-40 40-50 50-60 合 计
-17 -7 3 13 -
289 49 9 169 -
1445 1715 405 2535 6100
xf x f
4200 42 （千克） 100
第二节 标志变动度
一、标志变动度（变异指标）的意义、作用和种类 （一）概念：标志变动度是反映总体内部各个 观察值之间差异程度的指标，又称标志变异 指标。 （二）作用： 1、标志变异指标能反映平均数代表性的大小。
例
甲乙两组工人月奖金情况
工人
甲组 乙组
1号
230 170
2号
240 210
3号
250 250
4号
260 290
5号
270 330
以上两组工人的月奖金均为250元，但甲组工人 奖金的差异明显小于乙组，说明甲组工人平均奖金的 代表性明显高于乙组工人平均奖金的代表性。
2、 标志变异指标可用来反映事物的均衡性、稳定程度。 例
供货计划完成百分比(%) 季度总供货计 划执行结果 钢 厂 甲 100 一月 32 二月 34 三月 34
（三）标准差
1.概念：
S.D.(σ)
标准差是总体中各标志值与其算术平均数离 差平方和的算术平均数的平方根，用 表示 。一般的， 2 称为方差， 称为标准差。
2、 σ的计算： 未分组
简单式：
(X n (X
X)
2
加权式：
X) f
2
分组
f
2、 σ的计算：
简捷法的计算
未分组或单项式：
极差（R）=观察值最大值-观察值最小值
组距式分组：
极差（R)=末组上限-首组下限
只针对闭口 组
2. 全距的特点 优点： 计算方便，易于理解。 缺点： 只考虑数列两端数值差异，方法粗略。
（二）平均差
1.概念 ：
A.D.
平均差是各单位标志值与其平均数离差 绝对值的算术平均数。
2.计算：
( x x) 2 f 6100 =7.81（千克） 100 f
(四）变异系数
Vσ
各种绝对值变异指标与平均数的比率， 反映总体各单位标志值的相对离散程度。
V

X
100%
举例：
组别 成年组 身高 婴幼儿 组身高 1 1.6 0.7 2 1.61 0.71 3 1.63 0.72 4 1.65 0.73 5 1.67 0.74 6 1.68 0.75 7 1.70 0.78
同一总体中两种成数之和为1.用公式表示为：
p q 1或q 1 p
二、交替标志的平均数和标准差
变量值1表示具有某种标志，变量值为0表示不具有 这种标志，则：
1* N1 0 * N 0 x N1 N 0
N1 N1 N 0
p
或x 1* p 0 * q p
x1 1.65cm, x2 0.73cm
1 0.037cm, 2 0.027cm
从标准差来看，成年组的身高的离散程度大于 婴幼儿组的离散程度，但因为这是两个变量自身水 平不同的总体，因此比较二者的离散程度最好用其 相对数形式的变异指标。
0.037 V1 *100% *100% 2.24% 1.65 x1
乙
100
20
30
50
（三）种类：
极 差 平 均 差 标 准 差 变异系数 R A.D. S.D.(σ) Vσ
Hale Waihona Puke Baidu
二、标志变异指标的计算
（一）极差 R
1. 全距是总体中最大的观察值和最小观察值之差, 即：R Xmax -Xmin 极差表明观察值在总体范围内变动的最大距离， 极差大说明平均数的代表性小，极差小说明平均数 的代表性大。
书上138页案例
X
f
1 0 合计 P 1-p=q 1
f
X
f
P 0 P
f
XX
1-p 0-p _
(X X )
2
2

XX
f
2
f
(1-P)2=q
(0-P)2=p 2 _
q2 P P2q q2 P + p2q
X X
f
f
P
( X X )2 f f P(1 P)
1
V 2
0.027 *100% *100% 3.70% 0.73 x2
2
因为
V1 V 2
所以成年组的平均身高比婴
幼儿组的更具有代表性。
第三节
成数
交替标志（非标志）的概念 只能用“是”或“否”、有或无来回 答的标志。
第三节
成数
一、成数 总体中，交替标志只有两种表现，我 们把具有某种表现或不具有某种表现的单 位数占全部总体单位数的比重称为成数。
如：一批产品共2000件，合格品1900件，不合格品 100件，合格品占全部产品的95%，不合格产品占全部 产品的5%，这里的5%和95%均为成数。
如果：N1 是具有某种标志表现的单位数， N。是不具有这种标志表现的单位数， N表示总体单位数。则成数可以写成
N0 N1 p 或q N N
式中：p和q表示具有或不具有某种标志的成数。
X X
X X f
-17 -7 3 13 -
85 245 135 195 660

xf 4200 42(千克) 100 f xx f 660 A.D. 6.6(千克) f 100
X
3.平均差的特点：
① 根据全部标志值与平均数离差而计算出来的 变异指标，能全面反映标志值的差异程度； ② 计算有绝对值符号，不适合代数方法的演 算使其应用受到限制。
简单式：
2 （ x x )
n
2

2 2 x ( x ) /n
n
2 2 x f ( xf ) / f
加权式：
（x x) f
f

f
例：计算标准差
按日产量 分组(千克) 工人数(人)
x xf
25 35 45 55 125 1225 2025 825 4200
(1) 简单式： X-X A.D. n X-X f A.D. f
(2) 加权式：
例
由某车间工人按日产量 分组的资料，计算平均差。
按日产 量分组 (千克) 20-30 30-40 40-50 50-60 合 计 工人数 (人 ) f5 35 45 15 100 X 25 35 45 55 Xf 125 1225 2025 825 4200