《圆》复习课件
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它是一个无限不循环小数，用字母π表示。计算时，通常 取它的近似值，π≈3.14。 直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。 圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr2， 用字母S表示。 一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。
【圆和其他图形的位置关系】 圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，
作DE⊥AC于E点，则∠CDE=∠CAD=30°，∴CE= 1 CD 1
2
2
DE
3 2
，∴OE=OC-CE=
1 2
，∴点D的坐标为（
1 2
3 ）。设直线l
2
的函数解析式为 y kx b
，则
3 2
=
1 2
k+b
解得k=
3 3
，b=
3 3
0= —k+b，
∴直线l 的函数解析式为 y 3 x 3
2、如图（15），已知⊙P的圆心在直线y=2x-1上运动 （1）若⊙P半径为2，当⊙P和x轴相切时，求点P的坐标； （2）若⊙P半径为2，当⊙P和y轴相切时，求点P的坐标； （3）若要让⊙P与x轴、y轴都相切时，则⊙P的半径是多少？
ຫໍສະໝຸດ Baidu
⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理
①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆 心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距 离相等；
②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角 形三边距离相等。
③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：面积，L：周长） ④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的
则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O 上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
【圆和其他图形的位置关系】
直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个
公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一
公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共
点叫做切点。以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则 PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；AB 与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。
练习题
如图，在平面直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且C点坐标为（1，0）， 直线l过点A（—1，0），与⊙C相切于点D，求直线l的解析式。
解：如图所示，连接CD，∵直线l
为⊙C的切线，∴CD⊥AD。
∵C点坐标为（1，0），∴OC=1，即⊙C的半径为1，∴CD=OC=1。
又∵点A的坐标为（—1，0），∴AC=2，∴∠CAD=30°。
差的一半。
〖有关切线的性质和定理〗 圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并
且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。
切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线。
切线的性质： （1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。 （3）圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，
有关圆的基本性质与定理
⑴圆的确定：画一条线段，以线段长为半径以一端点为 圆心画弧绕360度后得到圆。
圆与直线相切
圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过 圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 2条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并 且平分弦所对的2条弧。
第二十四章·圆
1．与圆有关的概念：正确理解弦、劣弧、优弧、 圆心角等与圆有关的概念，•并能正确分析它们的区 别与联系。 2．与圆有关的角：掌握圆周角和圆心角的区别与 联系，将圆中的直径与90°的圆周角联系在一起， 一般地，若题目无直径，往往需要作出直径。 3．圆心角、弧、弦之间的关系与垂径定理：定理 和结论是在圆的旋转不变性上推出来的，•需注意 “在同圆或等圆中”中这个关系。 4．与圆有关的位置关系：了解点和圆、直线和圆 共有几种位置关系，并能恰当地运用数量关系来判 断位置关系是学习的关键。 5．切线长定理：切线长定理是圆的对称性的体现， 它为说明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系提 供了理论依据。
径,l是母线长)
圆知识点总结 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 圆心：圆中心固定的一点叫做圆心。用字母o或⊙表示 直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。
直径一般用字母d表示。 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。
半径一般用字母r表示。 圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径
所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径 的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d 圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
圆知识点总结 圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C
表示。 圆的周长与直径的比值叫做圆周率。 圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，
⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理 在同圆或等圆中， 如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心 距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相 等。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 直 径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和 圆心角是另一条弧的2倍。
线段）
⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD， 弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
（4）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 （5）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 （6）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。 （7）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。 （8）圆外角的度数等于这个等于这个角所截两段弧的度数之
那点与圆心的连线平分切线的夹角。
〖有关圆的计算公式〗 1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr^2; 3.扇形弧长l=nπr/180 4.扇形面积S=(nπr^2)/360=lr/2(l为扇形的弧长） 5.圆锥侧面积S=πrl 6.圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角n=360r/l(r是底面半
3
3
已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF。
（1）如图1，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是
（只需写出三种情况）：①
；②
；③
。
（2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是⊙O的切 线。
解：（1）①BA⊥EF；②∠CAE=∠B；③∠BAF=90°。 （2）连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD， 则AD为⊙O的直径，∴∠D+∠DAC=90°。 ∵∠D与∠B同对弧AC，∴∠D=∠B， 又∵∠CAE=∠B，∴∠D=∠CAE， ∴∠DAC+∠EAC=90°， ∴EF是⊙O的切线。
图1
图2
如图24—B—18，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD。图3
（1）P是优弧CAD上一点（不与C、D重合），求证∠CPD=∠COB；
（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什 么数量关系？请证明你的结论。
解析： （1）证明：连接OD，∵AB是直径，AB⊥CD，∴∠COB=∠DOB=
A．4 C.6
B.2 D. 2
如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA＝4厘米，PB＝ 3厘米，PC＝6厘米，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长 线交于点E，AE＝2 5 厘米，则PE的长为（ A ）
（A）4厘米
（B）3厘米（C）5 厘米
4
（D） 2 厘米
自主训练
1、如图（13），阴影部分是一广告标志，已知两圆弧所在圆 的半径分别为20cm，10cm，∠AOB=120°，求这个广告标 志面的周长。
1
COD
2
又∵∠CPD= 1 COD ，∴∠CPD=∠COB。
2
（2）∠CP′D与∠COB的数量关系是： ∠CP′D+∠COB=180°。 证明：∵∠CPD+∠CP′D=180°，∠CPD=∠COB， ∴∠CP′D+∠COB=180°。
图3
如图，⊙0的直径AB=8，P是上半圆(A、B除外)上任一点， ∠APB的平分线交⊙O于C，弦EF过AC、BC的中点M、 N，则EF的长是( A )．
【圆和其他图形的位置关系】 圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，
作DE⊥AC于E点，则∠CDE=∠CAD=30°，∴CE= 1 CD 1
2
2
DE
3 2
，∴OE=OC-CE=
1 2
，∴点D的坐标为（
1 2
3 ）。设直线l
2
的函数解析式为 y kx b
，则
3 2
=
1 2
k+b
解得k=
3 3
，b=
3 3
0= —k+b，
∴直线l 的函数解析式为 y 3 x 3
2、如图（15），已知⊙P的圆心在直线y=2x-1上运动 （1）若⊙P半径为2，当⊙P和x轴相切时，求点P的坐标； （2）若⊙P半径为2，当⊙P和y轴相切时，求点P的坐标； （3）若要让⊙P与x轴、y轴都相切时，则⊙P的半径是多少？
ຫໍສະໝຸດ Baidu
⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理
①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆 心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距 离相等；
②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角 形三边距离相等。
③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：面积，L：周长） ④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的
则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O 上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
【圆和其他图形的位置关系】
直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个
公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一
公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共
点叫做切点。以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则 PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；AB 与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。
练习题
如图，在平面直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且C点坐标为（1，0）， 直线l过点A（—1，0），与⊙C相切于点D，求直线l的解析式。
解：如图所示，连接CD，∵直线l
为⊙C的切线，∴CD⊥AD。
∵C点坐标为（1，0），∴OC=1，即⊙C的半径为1，∴CD=OC=1。
又∵点A的坐标为（—1，0），∴AC=2，∴∠CAD=30°。
差的一半。
〖有关切线的性质和定理〗 圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并
且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。
切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线。
切线的性质： （1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。 （3）圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，
有关圆的基本性质与定理
⑴圆的确定：画一条线段，以线段长为半径以一端点为 圆心画弧绕360度后得到圆。
圆与直线相切
圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过 圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 2条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并 且平分弦所对的2条弧。
第二十四章·圆
1．与圆有关的概念：正确理解弦、劣弧、优弧、 圆心角等与圆有关的概念，•并能正确分析它们的区 别与联系。 2．与圆有关的角：掌握圆周角和圆心角的区别与 联系，将圆中的直径与90°的圆周角联系在一起， 一般地，若题目无直径，往往需要作出直径。 3．圆心角、弧、弦之间的关系与垂径定理：定理 和结论是在圆的旋转不变性上推出来的，•需注意 “在同圆或等圆中”中这个关系。 4．与圆有关的位置关系：了解点和圆、直线和圆 共有几种位置关系，并能恰当地运用数量关系来判 断位置关系是学习的关键。 5．切线长定理：切线长定理是圆的对称性的体现， 它为说明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系提 供了理论依据。
径,l是母线长)
圆知识点总结 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 圆心：圆中心固定的一点叫做圆心。用字母o或⊙表示 直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。
直径一般用字母d表示。 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。
半径一般用字母r表示。 圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径
所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径 的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d 圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
圆知识点总结 圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C
表示。 圆的周长与直径的比值叫做圆周率。 圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，
⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理 在同圆或等圆中， 如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心 距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相 等。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 直 径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和 圆心角是另一条弧的2倍。
线段）
⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD， 弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
（4）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 （5）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 （6）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。 （7）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。 （8）圆外角的度数等于这个等于这个角所截两段弧的度数之
那点与圆心的连线平分切线的夹角。
〖有关圆的计算公式〗 1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr^2; 3.扇形弧长l=nπr/180 4.扇形面积S=(nπr^2)/360=lr/2(l为扇形的弧长） 5.圆锥侧面积S=πrl 6.圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角n=360r/l(r是底面半
3
3
已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF。
（1）如图1，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是
（只需写出三种情况）：①
；②
；③
。
（2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是⊙O的切 线。
解：（1）①BA⊥EF；②∠CAE=∠B；③∠BAF=90°。 （2）连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD， 则AD为⊙O的直径，∴∠D+∠DAC=90°。 ∵∠D与∠B同对弧AC，∴∠D=∠B， 又∵∠CAE=∠B，∴∠D=∠CAE， ∴∠DAC+∠EAC=90°， ∴EF是⊙O的切线。
图1
图2
如图24—B—18，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD。图3
（1）P是优弧CAD上一点（不与C、D重合），求证∠CPD=∠COB；
（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什 么数量关系？请证明你的结论。
解析： （1）证明：连接OD，∵AB是直径，AB⊥CD，∴∠COB=∠DOB=
A．4 C.6
B.2 D. 2
如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA＝4厘米，PB＝ 3厘米，PC＝6厘米，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长 线交于点E，AE＝2 5 厘米，则PE的长为（ A ）
（A）4厘米
（B）3厘米（C）5 厘米
4
（D） 2 厘米
自主训练
1、如图（13），阴影部分是一广告标志，已知两圆弧所在圆 的半径分别为20cm，10cm，∠AOB=120°，求这个广告标 志面的周长。
1
COD
2
又∵∠CPD= 1 COD ，∴∠CPD=∠COB。
2
（2）∠CP′D与∠COB的数量关系是： ∠CP′D+∠COB=180°。 证明：∵∠CPD+∠CP′D=180°，∠CPD=∠COB， ∴∠CP′D+∠COB=180°。
图3
如图，⊙0的直径AB=8，P是上半圆(A、B除外)上任一点， ∠APB的平分线交⊙O于C，弦EF过AC、BC的中点M、 N，则EF的长是( A )．