初中数学数学名师关孝和

关孝和

关孝和(关孝和，Seki，Takakazu)1642年生于日本江户(今东京)小石川，另一说法是1637年生于日本上野国(今日本群马县)藤冈；1708年10月24日卒于江户．数学、天文历法、数学教育．

关孝和，姓关名孝和，又名新助，字子豹，号自由亭(另说号自由)．其父内山永明，本姓安间，后来做了自己外祖父的养子而改姓内山，并且与养父一起在大纳言(官名，相当于副首相)骏河忠长处供职．1632年大纳言被幽禁在上野国高崎，永明也到上野国藤冈隐居，1639年又被召到江户供职，全家移居江户．因此对孝和生于上野国还是生于江户的问题，和算史家有争议．

孝和有一兄二弟．兄名永贞，继承父职，后又成为“支配勘定”(主管测量的官)．弟永行以医为业，小弟永章在德川纲重处任职．

孝和后来做了一位姓关的武士的养子而改姓关并继承关氏家业．他曾做过甲府宰相德川纲重及其子德川纲丰家的勘定吟味床役(相当于会计检查宫)．1704年12月，纲丰成为五代将军德川纲吉的养子而进江户城的西之丸，孝和也随之成为幕府直属的武士，官至御纳户组头(御纳户是日本江户时代管理衣服、用具的官职)，直到1706年11月退职． 1708年10月24日病逝，葬于江户的牛込七轩寺町(今东京新宿区弁天町)净轮寺．谥号法行院宗达日心居士．

孝和一生无子，收其兄永贞的儿子新七为养子．新七继承关家的家业在甲府任职．但由于他品行不端又得罪官府，很快就被没收家禄，断绝关家功名而衣食无着，后寄食于孝和的高徒建部贤弘家中，直到去世．关家由此断后．

关孝和自幼聪明异常，尤其擅长计算．据说六岁时就能指出大人计算中的错误，人称“神童”．他曾拜日本数学家高原吉种为师，也有资料说他是自学成才．他一生勤于钻研又知人善教，创立了和算的一个最大的流派——关流．他的研究成果奠定了和算的基础，被日本人尊称为“算圣”．

学术研究

关孝和著作很多，近20部，但生前只出版过一部《发微算法》(1674)，死后又由其弟子对他的遗稿作了整理，出版了《括要算法》，其余均为未出版的稿本．从这些著作的写作时间来看，孝和的数学研究工作可分为两个阶段，他的数学著作基本上是在1685年以前完成的，以后因体弱多病而较少进行新的数学研究，只写了一些天文历法方面的注释书．下面介绍他的主要贡献．

1．引入“傍书法”和代数记号而创立了“演段术”

这是关孝和的最大贡献．主要集录于他的著作《发微算法》(1674)及《三部抄》中的《解见题之法》和《解伏题之法》(1683)．在《发微算法》中，孝和运用演段术对日本数学家泽口一之(有资料说泽口一之是孝和的弟子)的《古今算法记》(1671)中的15道“遗题”作了分析和解答．但书中只有结果而把有关演段术的记述略去了，所以当时的日本人对他的解答一般都看不懂，于是就有人指责说《发微算法》可能是关孝和胡编乱造的．1680年，日本数学家佐治一平竟写成《算法入门》指出《发微算法》中解法的“错误”并给予“订正”．作为对此类问题的答复，孝和的弟子建部贤弘写成《发微算法演段谚解》(1685)公诸于世，对孝和的演段术作了详细解说，使之传播开来．

孝和又在《三部抄》中阐述了“傍书法”和演段术．《三部抄》是《解见题之法》、《解隐题之法》(1685)和《解伏题之法》(1683)三部著作的总称．见题是只用加减乘除即可解答的问题，隐题是只用一个方程就可以解答的问题，伏题是必须用两个以上方程组成的方程组才能解答的问题，这也是三部著作各自名称的来历．《解见题之法》中首次出现傍书法表示

的式子．所谓傍书法即在一条短竖线旁边写上文字作为记号来表示数量关系的一种方法．如“甲加乙”、“甲减乙”、“甲

乘乙”分别写成“|甲|乙”、“|甲乙”、“|甲乙”；甲2，甲3，甲4，…

将“甲÷乙”记为“乙|甲”．

孝和就用上述一套符号来处理文字方程，比如方程

甲－乙×x＋丙×x2＋丁×x3＝0

表示为

|甲乙|丙|丁．

如果一个方程有两个未知数，如

3y3＋5xy2＋8x2y＋4x3＝0，

就用“甲”代替y，整个方程表示为

由于“傍书法”可以表示含有两个或者多个未知数的方程，因而“消元”就有了可能，这使得孝和能够用消元法解方程组，从而得出了他的行列式理论．这些内容集中在《解伏题之法》中．书中介绍了一系列以傍书法为基础的算法，他称之为“天元演段术”，后来又扩展为“归源整法”．这一系列的算法传到孝和的第二代弟子松永良弼时，良弼又受其主君内藤政树(1703—1766，“关流”和算家)之命将“归源整法”更名为“点窜术”．点窜术就是用上述的傍书法系统地研究公式变形、解方程(组)、行列式等问题，内容相当于现在的初等代数学．但由于这种代数学不同于西方代数中用a，b，c，…作为记号而采用汉字加短竖线作为记号，因而不仅是日本的而且是整个汉字文化圈内的文化财富，是具有东方风格的符号代数．

2．提出代数方程变换理论和行列式理论

这一研究集中在《解伏题之法》中．书中介绍的方程变换的方法有：略、省、约、缩、叠、括等．把一个方程乘以某一式后从另一方程中减去，称之为“略”；一个方程各项有公因式的就将此公因式约去，称之为“省”；各项有共同的数字系数(他称之为“段数”)时就约去这个公因数，他称之为“约”；两个方程中都不含未知数x的奇次幂时，就用换元法把x2作为一个未知数从而简化方程，称之为“缩”；“叠”是两个方程分别乘以适当的式子再相减以消去某些项；“括”是把相同次幂的系数合起来，即合并同类项．孝和的演段术在这些方法中得到了明确表示．

他用这些方法解方程组的基本思想是，将两个二元方程经过上述变换消去一个未知数，得到一个一元方程，再解这个一元方程．对于二元高次方程组(设两个方程关于x的次数分别是m和n，m≥n，这时方程中每一项中x的幂的系数都是另一未知数y的多项式)，为达到一次消元的目的，他先用叠、括方法从原来的两个方程中导出n个关于x的n－1次方程，这些方程都写成标准形式，即方程右边为0，左边按x的升幂排列，他称这n个方程为“换式”．于是求解原方程组的问题就转化为求解由换式构成的方程组了．将这个方程组的各项中x的幂去掉，得到各项系数(y的多项式或单项式)按原来的位置次序构成的行列式，令这个行列式等于0，得到的这个行列式表示出的关于y的方程即是原方程组消去x后得到的一元方程．这样，解原方程组的问题就转化为解这个一元方程的问题．

为了对这个含有行列式的方程化简、求解，他接着对行列式进行变换．他的行列式理论就是由此引出的．他在书中介绍了两种计算行列式值的方法：逐式交乘法和交式斜乘法．逐式交乘法的基本思想是，对行列式的各行分别乘以适当的式子，再将各列元素相加，