第三章习题解答及参考答案
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②
σ ( f x ,0 ) 2λd i =1− f x = 1− f x f0 σ0 l
l l ≤ λd i f x ≤ (见附图3 - 4(b)) 4 2
2 1 l l σ ( f x ,0 ) = (l − λd i f x ) l − = − λd i l f x 2 2 2
fL2 2 Ly f I (x f , y f ) = sinc 2 λd ⋅ 2λ d 1 1 2 Lx f 2 L 2 L sinc λd + 4 sinc λd (x f − λdf 0 ) + 4 sinc λd (x f + λdf 0 )
假定 L=1 cm, f 0 = 100线 / cm ,大致画出焦平面上沿 x 轴的强度分布， 标出各个衍射分量之间 的距离和各个分量的宽度（第一个零点之间的距离）的数值。 解：由附图 3-2 可知，物平面被照明光斑的直径为 2.5cm。物体是一个正弦振幅光栅，其最 大线度（对角线方向）为 2 L = 振幅分为：
第三章 光学成像系统的频率特性
部分习题解答及参考答案
[3-1] 一个衍射屏具有下述圆对称的振幅透过率函数：
t (r ) =
式中， r =
1 r 1 + cos αγ 2 circ 2 l
(
)
x 2 + y 2 ， l 为圆形衍射屏的半径。问：
（1） 这个屏的作用在什么方面像一个透镜？ （2） 给出此屏的焦距的表达式。 （3） 若用它做成像元件，有什么缺点？ 解：(1) 此衍射屏的复振幅如附图 3-1 所示，也可以把它表示为如下的直角坐标形式：
附图 3-1
习题[3-1]图示
[3-2] 用一束单位振幅的平面波垂直入射照明一个透镜。 透镜的直径为 5 cm， 焦距为 20 cm， 在透镜后面 10 cm 的地方，以透镜轴为中心放着一个物体，其振幅透过率为：
t ( x, y ) =
x y 1 (1 + cos 2πf 0 x )rect , 2 L L
(
)
上式表示一个方波函数，最后求得复振幅透过率为：
r ∞ sin (nπ 2) inαr 2 t (r ) = circ • ∑ e l n =−∞ nπ
或以直角坐标表示成：
x2 + y 2 t ( x, y ) = circ l fn = − k π =− 2nα nαλ
其 中 λ 的 单 位 取 为 cm 。 在 x 轴 上 两 个 一 级 分 量 中 心 离 原 点 距 离 为 ：
x f = ± λdf 0 = ±103 λ cm ；零级分量第一个零点的位置为 ±
的宽度相同，都是
2λd = 20λ cm, 而其幅值只为零级分量的 1 。如附图 3-3 所示。 4 L
(
)
比较，形式相同。当用平面波垂直照射时，这两项的作用是分别产生会聚球面
波和发散球 面 波 。因此在成像 性质和傅里叶 变换 性质上该 衍射屏 都类似于 透镜。因 子
x2 + y 2 circ l
表明该屏具有半径为 l 的圆形孔径。
(2) 把衍射屏复振幅透过率中的复指数项与透镜的位相变换因子作比较， 变得相应的焦 距，即 对于
∞ sin (nπ 2) inα (x2 + y2 ) • e nπ n∑ = −∞
③
上式中的指数因子类似于透镜的位相变换因子，遂有：
(n = ±1,±3,±5,L)
④
换言之， 可以把该衍射屏看作一个具有多重焦点的透镜， 焦距由式④确定。 当 n = 偶数时 （零 除外） ，
对于
对于
(3) 由于该衍射屏具有三重焦距，当用作成像装置时，便可对同一物体形成三个像。例 如对无穷远的点光源， 将分别在屏的两侧对称位置形成实像和虚像， 而另一个像在无穷远 （直 接投射光） 。当观察者观察其中一个像时，会同时看到另外的离焦像，无法分离开。若用接 收屏来接收， 则在任何一个像面上都会有离焦像形成的背景干扰。 此外， 对于多色物体来说， 严重的色差也是一个重要的限制，因为焦距都与波长 λ 成反比。若用白光作光源，则在像 面上可以看到严重的色散现象。
2cm < 2.5cm ，故物体可以被完全照明。后焦面上的复
U f (x f , y f ) =
1 i 2d (x 2f + y 2f ) f e ⋅ F {t ( x, y )} iλ d d k 2 2 y 1 i 2 d (x f + y f ) f L2 = e ⋅ ⋅ sinc L⋅ f ⋅ iλ d d 2 λd
这里因 f 0 >>
2 ，故未考虑 3 个 sinc 函数间的重叠。代入题设数据，得： L
2 yf 1 2 I ( xf , yf ) = g sinc 10λ 10λ 1 x 1 1 1 = sinc 2 f + sinc 2 x f − 103 λ ) + sinc 2 x f + 103 λ ) ( ( 10λ 10λ 4 10λ 4
附图 3-4
习题[3-6]图示
[3-7]
一个衍射受限成像系统，其出射光瞳是直径为 l 的圆，在出瞳面上用不透明的半圆屏
H 0 ( f x ,0 ) =
③
2 2 λd i f x 2 − = (1 − f x 2 f 0 ) 3 3 l 3
l 3 ≤ λd i f x ≤ l (见附图3 - 4(c)) 2 4 l 3 l σ ( f x ,0 ) = l (l − λd i f x ) − 2 × l − λd i f x = 24 4 H 0 ( f x ,0 ) = 1 3
l > f1 , 故求得 l ≥ λd i f1 = 2 cm 。 λd i
[3-6] 长为
一个衍射受限成像系统，其出射光瞳是边长为 l 的正方形，若在光瞳中心嵌入一个边
l 的正方形不透明屏，试画出 H 0 ( f x ,0 ) 的函数图像。 2 H 0 ( f x ,0 ) = σ ( f x ,0 ) σ 0 l 2
t (r ) =
1 r 1 + sgn(cos αr 2 ) circ 2 l
[
]
如图 X3-1 所示。证明他的作用相当于一个有多重焦距的透镜，并确定这些焦距的大小。
图 X3-1
习题[3-4]图示
解：由 sgn x 函数的定义可知：
π π 1 cos αr 2 > 0或2mπ − < αr 2 < 2mπ + 1 1 2 2 + sgn cos αr 2 = 3π π 2 2 2 2 0 cos αr < 0或2mπ + < αr < 2mπ + 2 2
(
)
①
2 式中 m 为整数。令 u = αr ，显然上式是 u 的周期函数，周期为 2π ，故可展开成傅里 ∞ 1 1 + sgn (cos u ) = ∑ Cn e inu 2 2 n = −∞
叶级数：
其中，
Cn =
1 2π
∫
π 2
−π 2
e −inu du =
sin (nπ 2) nπ
②
遂有：
∞ 1 1 sin (nπ 2 ) inαr 2 e + sgn cos αr 2 = ∑ 2 2 nπ n= −∞
D − 10 2 D l 140 ≤ − λf = 2λf 2 2
按题意，要求：
①
140 = x f 1 λf ; 20 = x f 2 λ f ; 30 = x f 1 − x f 2 f = 500 mm; D ≥ 84.2 mm
②
综合式①、②求得：
[3-4]
一菲涅耳波带片的复振幅透过率为：
λd ；两个一级分量与中央亮斑 L
附图 3-2
习题[3-2]图示
附图 3-3
归一化强度分布
[3-3]
将面积为 10 mm × 10 mm 的透射物体置于一傅里叶变换透镜的前焦面上作频谱分析。
用波长 λ = 0.5 µ m 的单色平面波垂直照明，要求在频谱面上测得的强度在频率 140 线/mm 以下能准确代表物体的功率谱。并要求频率为 140 线/mm 与 20 线/mm 在频谱面上的间隔为 30mm,问该透镜的焦距和口径各为多少？ 解：取面积为10mm ×10mm 的透射物体的对角线方向为 x 轴。因要求在 140 线/mm 以下的 空间频率成分不受到有限孔径的渐晕效应的影响，故透镜的口径 D 应满足条件：
sin (nπ 2 ) = 0 ，故当用单色平面光波垂直照明时，透射光中不包含 n 为偶数的成 nπ
分。对于 n 为奇数的情况，透射光中包含有无穷多个球面波。当 n 取负值时， f n 为正，是 会聚球面波，它可以得到实焦点；当 n 取正值时， f n 为负，是发散球面波，它可以得到虚 焦点。
[3-5]
k k 1 − i α (x 2 + y 2 ) π e 项，令 α = ，则有 f1 = = > 0 ，相当于会聚透镜。 4 2 f1 2α λα k k 1 iα (x 2 + y 2 ) π e 项，令 α = − ，则有 f1 = − =− < 0 ，相当于发散透镜。 4 2 f1 2α λα 1 这一项，平行光直接透过，仅振幅衰减，可视为 f 3 = ∞ 。 2
2
解：由 OTF 的几何解释，有：
2 式中 σ 0 为光瞳面积，σ ( f x ,0 ) 为光瞳重叠面积。σ 0 = l − =
3 2 l ，光瞳重叠面积 4
则应分 5 个区间来考察，参阅附图 3-4。 ① 0 ≤ λd i f x ≤
l (见附图3 - 4(a )) 4
3 l l 3 σ ( f x ,0) = (l − λd i f x )l − + λd i f x = l 2 − λd i l f x 2 2 4 2 H 0 ( f x ,0 ) =
图 X3-2
习题[3-5]图示
解：按题意，系统的截止频率应大于物函数的基频 f1 。遂得： (1) 相干照明时， f c =
l l 。由透镜定律算得 d i = 20 cm 。故由 f c = > f1 2λd i 2λd i
求得 l > 2λd i f1 = 4 cm 。 (2) 非相干照明时， f 0 =
2
④
3 l ≤ λ di f x ≤ l 2 4
(见附图 3-4(d))
σ ( f x , 0 ) = l ( l − λ di f x ) = l 2 − λ d il f x 4 f H 0 ( f x , 0) = 1 − x 2 f 0 3
⑤ λd i f x > l 这时 σ ( f x ,0) = 0 ，从而 H 0 ( f x ,0 ) = 0 。 综合上述 5 个区间的情况，画出 H 0 ( f x ,0) 的函数图形如附图 3-4(e)所示。
一物体的振幅透过率为一方波，如图 X3-2 所示，通过一光瞳为圆形的透镜成像。透
镜的焦距为 10 cm，方波的基频是 1000 线/cm，物距为 20 cm，波长为 10 −4 cm。问在以下两 种情况下： （1）物体用相干光照明时； （2）物体用非相干光照明时，透镜的直径最小应为多少，才会使像平面上出现强度的任何 变化？
x2 + y 2 1 1 −iα (x2 + y 2 ) 1 iα (x 2 + y 2 ) + e t ( x, y ) = + e circ l 4 2 4
−i k 2 2 x +y 2f
式中， 中括号内的第一项仅仅是使直接投射光振幅衰减， 其他两项指数项与透镜相位变换因 子e
k
来自百度文库
Lx f sinc λd
强度分布为：
2
xf xf 1 1 + 2 sinc L λd − f 0 + 2 sinc L λd + f 0
σ ( f x ,0 ) 2λd i =1− f x = 1− f x f0 σ0 l
l l ≤ λd i f x ≤ (见附图3 - 4(b)) 4 2
2 1 l l σ ( f x ,0 ) = (l − λd i f x ) l − = − λd i l f x 2 2 2
fL2 2 Ly f I (x f , y f ) = sinc 2 λd ⋅ 2λ d 1 1 2 Lx f 2 L 2 L sinc λd + 4 sinc λd (x f − λdf 0 ) + 4 sinc λd (x f + λdf 0 )
假定 L=1 cm, f 0 = 100线 / cm ,大致画出焦平面上沿 x 轴的强度分布， 标出各个衍射分量之间 的距离和各个分量的宽度（第一个零点之间的距离）的数值。 解：由附图 3-2 可知，物平面被照明光斑的直径为 2.5cm。物体是一个正弦振幅光栅，其最 大线度（对角线方向）为 2 L = 振幅分为：
第三章 光学成像系统的频率特性
部分习题解答及参考答案
[3-1] 一个衍射屏具有下述圆对称的振幅透过率函数：
t (r ) =
式中， r =
1 r 1 + cos αγ 2 circ 2 l
(
)
x 2 + y 2 ， l 为圆形衍射屏的半径。问：
（1） 这个屏的作用在什么方面像一个透镜？ （2） 给出此屏的焦距的表达式。 （3） 若用它做成像元件，有什么缺点？ 解：(1) 此衍射屏的复振幅如附图 3-1 所示，也可以把它表示为如下的直角坐标形式：
附图 3-1
习题[3-1]图示
[3-2] 用一束单位振幅的平面波垂直入射照明一个透镜。 透镜的直径为 5 cm， 焦距为 20 cm， 在透镜后面 10 cm 的地方，以透镜轴为中心放着一个物体，其振幅透过率为：
t ( x, y ) =
x y 1 (1 + cos 2πf 0 x )rect , 2 L L
(
)
上式表示一个方波函数，最后求得复振幅透过率为：
r ∞ sin (nπ 2) inαr 2 t (r ) = circ • ∑ e l n =−∞ nπ
或以直角坐标表示成：
x2 + y 2 t ( x, y ) = circ l fn = − k π =− 2nα nαλ
其 中 λ 的 单 位 取 为 cm 。 在 x 轴 上 两 个 一 级 分 量 中 心 离 原 点 距 离 为 ：
x f = ± λdf 0 = ±103 λ cm ；零级分量第一个零点的位置为 ±
的宽度相同，都是
2λd = 20λ cm, 而其幅值只为零级分量的 1 。如附图 3-3 所示。 4 L
(
)
比较，形式相同。当用平面波垂直照射时，这两项的作用是分别产生会聚球面
波和发散球 面 波 。因此在成像 性质和傅里叶 变换 性质上该 衍射屏 都类似于 透镜。因 子
x2 + y 2 circ l
表明该屏具有半径为 l 的圆形孔径。
(2) 把衍射屏复振幅透过率中的复指数项与透镜的位相变换因子作比较， 变得相应的焦 距，即 对于
∞ sin (nπ 2) inα (x2 + y2 ) • e nπ n∑ = −∞
③
上式中的指数因子类似于透镜的位相变换因子，遂有：
(n = ±1,±3,±5,L)
④
换言之， 可以把该衍射屏看作一个具有多重焦点的透镜， 焦距由式④确定。 当 n = 偶数时 （零 除外） ，
对于
对于
(3) 由于该衍射屏具有三重焦距，当用作成像装置时，便可对同一物体形成三个像。例 如对无穷远的点光源， 将分别在屏的两侧对称位置形成实像和虚像， 而另一个像在无穷远 （直 接投射光） 。当观察者观察其中一个像时，会同时看到另外的离焦像，无法分离开。若用接 收屏来接收， 则在任何一个像面上都会有离焦像形成的背景干扰。 此外， 对于多色物体来说， 严重的色差也是一个重要的限制，因为焦距都与波长 λ 成反比。若用白光作光源，则在像 面上可以看到严重的色散现象。
2cm < 2.5cm ，故物体可以被完全照明。后焦面上的复
U f (x f , y f ) =
1 i 2d (x 2f + y 2f ) f e ⋅ F {t ( x, y )} iλ d d k 2 2 y 1 i 2 d (x f + y f ) f L2 = e ⋅ ⋅ sinc L⋅ f ⋅ iλ d d 2 λd
这里因 f 0 >>
2 ，故未考虑 3 个 sinc 函数间的重叠。代入题设数据，得： L
2 yf 1 2 I ( xf , yf ) = g sinc 10λ 10λ 1 x 1 1 1 = sinc 2 f + sinc 2 x f − 103 λ ) + sinc 2 x f + 103 λ ) ( ( 10λ 10λ 4 10λ 4
附图 3-4
习题[3-6]图示
[3-7]
一个衍射受限成像系统，其出射光瞳是直径为 l 的圆，在出瞳面上用不透明的半圆屏
H 0 ( f x ,0 ) =
③
2 2 λd i f x 2 − = (1 − f x 2 f 0 ) 3 3 l 3
l 3 ≤ λd i f x ≤ l (见附图3 - 4(c)) 2 4 l 3 l σ ( f x ,0 ) = l (l − λd i f x ) − 2 × l − λd i f x = 24 4 H 0 ( f x ,0 ) = 1 3
l > f1 , 故求得 l ≥ λd i f1 = 2 cm 。 λd i
[3-6] 长为
一个衍射受限成像系统，其出射光瞳是边长为 l 的正方形，若在光瞳中心嵌入一个边
l 的正方形不透明屏，试画出 H 0 ( f x ,0 ) 的函数图像。 2 H 0 ( f x ,0 ) = σ ( f x ,0 ) σ 0 l 2
t (r ) =
1 r 1 + sgn(cos αr 2 ) circ 2 l
[
]
如图 X3-1 所示。证明他的作用相当于一个有多重焦距的透镜，并确定这些焦距的大小。
图 X3-1
习题[3-4]图示
解：由 sgn x 函数的定义可知：
π π 1 cos αr 2 > 0或2mπ − < αr 2 < 2mπ + 1 1 2 2 + sgn cos αr 2 = 3π π 2 2 2 2 0 cos αr < 0或2mπ + < αr < 2mπ + 2 2
(
)
①
2 式中 m 为整数。令 u = αr ，显然上式是 u 的周期函数，周期为 2π ，故可展开成傅里 ∞ 1 1 + sgn (cos u ) = ∑ Cn e inu 2 2 n = −∞
叶级数：
其中，
Cn =
1 2π
∫
π 2
−π 2
e −inu du =
sin (nπ 2) nπ
②
遂有：
∞ 1 1 sin (nπ 2 ) inαr 2 e + sgn cos αr 2 = ∑ 2 2 nπ n= −∞
D − 10 2 D l 140 ≤ − λf = 2λf 2 2
按题意，要求：
①
140 = x f 1 λf ; 20 = x f 2 λ f ; 30 = x f 1 − x f 2 f = 500 mm; D ≥ 84.2 mm
②
综合式①、②求得：
[3-4]
一菲涅耳波带片的复振幅透过率为：
λd ；两个一级分量与中央亮斑 L
附图 3-2
习题[3-2]图示
附图 3-3
归一化强度分布
[3-3]
将面积为 10 mm × 10 mm 的透射物体置于一傅里叶变换透镜的前焦面上作频谱分析。
用波长 λ = 0.5 µ m 的单色平面波垂直照明，要求在频谱面上测得的强度在频率 140 线/mm 以下能准确代表物体的功率谱。并要求频率为 140 线/mm 与 20 线/mm 在频谱面上的间隔为 30mm,问该透镜的焦距和口径各为多少？ 解：取面积为10mm ×10mm 的透射物体的对角线方向为 x 轴。因要求在 140 线/mm 以下的 空间频率成分不受到有限孔径的渐晕效应的影响，故透镜的口径 D 应满足条件：
sin (nπ 2 ) = 0 ，故当用单色平面光波垂直照明时，透射光中不包含 n 为偶数的成 nπ
分。对于 n 为奇数的情况，透射光中包含有无穷多个球面波。当 n 取负值时， f n 为正，是 会聚球面波，它可以得到实焦点；当 n 取正值时， f n 为负，是发散球面波，它可以得到虚 焦点。
[3-5]
k k 1 − i α (x 2 + y 2 ) π e 项，令 α = ，则有 f1 = = > 0 ，相当于会聚透镜。 4 2 f1 2α λα k k 1 iα (x 2 + y 2 ) π e 项，令 α = − ，则有 f1 = − =− < 0 ，相当于发散透镜。 4 2 f1 2α λα 1 这一项，平行光直接透过，仅振幅衰减，可视为 f 3 = ∞ 。 2
2
解：由 OTF 的几何解释，有：
2 式中 σ 0 为光瞳面积，σ ( f x ,0 ) 为光瞳重叠面积。σ 0 = l − =
3 2 l ，光瞳重叠面积 4
则应分 5 个区间来考察，参阅附图 3-4。 ① 0 ≤ λd i f x ≤
l (见附图3 - 4(a )) 4
3 l l 3 σ ( f x ,0) = (l − λd i f x )l − + λd i f x = l 2 − λd i l f x 2 2 4 2 H 0 ( f x ,0 ) =
图 X3-2
习题[3-5]图示
解：按题意，系统的截止频率应大于物函数的基频 f1 。遂得： (1) 相干照明时， f c =
l l 。由透镜定律算得 d i = 20 cm 。故由 f c = > f1 2λd i 2λd i
求得 l > 2λd i f1 = 4 cm 。 (2) 非相干照明时， f 0 =
2
④
3 l ≤ λ di f x ≤ l 2 4
(见附图 3-4(d))
σ ( f x , 0 ) = l ( l − λ di f x ) = l 2 − λ d il f x 4 f H 0 ( f x , 0) = 1 − x 2 f 0 3
⑤ λd i f x > l 这时 σ ( f x ,0) = 0 ，从而 H 0 ( f x ,0 ) = 0 。 综合上述 5 个区间的情况，画出 H 0 ( f x ,0) 的函数图形如附图 3-4(e)所示。
一物体的振幅透过率为一方波，如图 X3-2 所示，通过一光瞳为圆形的透镜成像。透
镜的焦距为 10 cm，方波的基频是 1000 线/cm，物距为 20 cm，波长为 10 −4 cm。问在以下两 种情况下： （1）物体用相干光照明时； （2）物体用非相干光照明时，透镜的直径最小应为多少，才会使像平面上出现强度的任何 变化？
x2 + y 2 1 1 −iα (x2 + y 2 ) 1 iα (x 2 + y 2 ) + e t ( x, y ) = + e circ l 4 2 4
−i k 2 2 x +y 2f
式中， 中括号内的第一项仅仅是使直接投射光振幅衰减， 其他两项指数项与透镜相位变换因 子e
k
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Lx f sinc λd
强度分布为：
2
xf xf 1 1 + 2 sinc L λd − f 0 + 2 sinc L λd + f 0