代数图论
数学中的代数几何理论
数学中的代数几何理论代数几何是数学中的重要分支领域，它研究了代数结构和几何结构之间的联系。
在代数几何理论中，代数和几何的概念相融合，通过代数工具去研究几何问题，用几何直观去解释代数结构。
本文将介绍数学中的代数几何理论，包括其起源、基本概念以及应用领域。
一、代数几何的起源代数几何的起源可以追溯到17世纪。
法国数学家笛卡尔将代数与几何结合起来，提出了坐标系的概念，从而建立了代数几何的基础。
通过引入坐标系，笛卡尔将几何问题转化为代数方程的求解问题，使得几何问题可以通过代数的方法来解决。
二、代数几何的基本概念1. 代数曲线代数几何中，曲线是其中一个最基本的概念。
代数曲线可以用代数方程定义，例如二次曲线的方程可以表示为Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0。
不同类型的曲线具有不同的性质和特征。
2. 射影空间射影空间是代数几何中另一个重要的概念。
射影空间是介于欧几里德空间和仿射空间之间的一种空间结构，它用于研究无穷远点以及无穷远圆锥曲线。
射影空间的引入丰富了几何对象的结构和性质。
3. 集合论与拓扑学代数几何还涉及到集合论和拓扑学的概念。
在代数几何中，研究的对象通常是代数簇或代数集合，这些概念依赖于集合论和拓扑学的基本原理。
集合论用于定义代数簇和其他几何对象，而拓扑学则研究代数几何中的连续变换和拓扑结构。
三、代数几何的应用领域代数几何的理论及其应用涉及到许多数学领域，如数论、微分方程、图论等。
以下是几个代数几何的应用领域的简要介绍：1. 数论代数几何在数论中扮演着重要的角色。
通过代数几何的工具和方法，数论学家可以研究数论问题的几何解释，从而得到更深入的理解和解决方案。
2. 微分方程代数几何在微分方程中也有广泛的应用。
通过将微分方程转化为代数方程，可以简化计算和求解过程，并且有助于研究微分方程的性质和解的存在性与唯一性。
3. 图论代数几何与图论的联系也是研究的热点。
通过代数几何的工具和方法，可以研究图的结构和性质，例如图的同构性、支配集等。
代数结构-图论
记作Nn，特别地，称N1为平凡图（Trivial graph）。 在图的定义中规定结点集V为非空集，但在图的运算
中可能产生结点集为空集的运算结果，为此规定结
点集为空集的图为空图（Empty Graph），并将空图
记为。阶为有限的图称为有限图(Finite Graph)，
否则称为无限图(Infinite Graph)。结点没有标号
的图称为非标号图（Unlabeled Graph），否则为标
号图（Labeled heory
10.2 图与图模型
如果图中存在某两条边的端点都相同，则称该
图为多重图(Multigraph)，该两条边称为平行边。
如果一条边关联的两个结点是相同的结点，则称该边 为圈或自环(Loop)。
请你思考？
如何找到物流运输的最优路径？ 如何找到最优的网络通信线路？ 如果你想周游全国所有城市，如何设计旅游线路？ 化学化合物分析：结构是否相同？ 程序结构度量：程序是否结构相似？ 如何为考试分配教室，使得资源利用率最优？ 如何安排工作流程而达到最高效率？ 如何设计为众多的电视台频道分配最优方案？ 如何设计通信编码以提高信息传输效率？ 操作系统中,如何调度进程而使得系统效率最优？
图的类型：
（1）有向图/无向图；简单图/多重图/伪图；零图，平凡图，空图； 有限图/无限图；带权图、标记图；
（2）特殊图：环图(Cn)、轮图(Wn)、立方图(Qn)、网格、正则图 (r-图)；偶图(G(V1,V2), 二分图/二部图, Bipartite graph) 、 完全偶图(Km,n)；
（3）特殊图：子图、完全图、补图 （4）特殊图：Euler图、Hamilton图、树图、平面图
主要内容
8
中国地质大学计算机学院
学数学的必看GTM经典著作下载三
学数学的必看GTM经典著作下载三202 Introduction to Topological Manifolds,John M.Lee(拓扑流形入门)镜像下载(4874KB，英文版，DJVU格式，支持关键词检索，点击打开下载页面，支持迅雷、快车下载)203 The Symmetric Group,Bruce E.Sagan 204 Galois Theory,Jean-Pierre Escofier 205 Rational Homotopy Theory,Yves Félix,Stephen Halperin,Jean-Claude Thomas(有理同伦论)镜像下载(5220KB，英文版，DJVU格式，支持关键词检索，点击打开下载页面，支持迅雷、快车下载)有理同伦论是由Sullivan创立的。
Felix是新鲁汶大学(法语鲁汶大学)的教授，第二作者是著名的华人逻辑学家王浩的学生。
206 Problems in Analytic Number Theory,M.Ram Murty 207 Algebraic Graph Theory,Godsil,Royle(代数图论)镜像下载(4062KB，英文版，DJVU格式，支持关键词检索，点击打开下载页面，支持迅雷、快车下载)Godsil是加拿大滑铁卢大学的教授，代数组合图论的权威。
曾任JAC的主编，现在是组合学期刊(JC)电子版的主编。
Royle是UWA的副教授。
208 Analysis for Applied Mathematics,Ward Cheney 209 AShort Course on Spectral Theory,William Arveson(谱理论简明教程)镜像下载(4366KB，英文版，DJVU格式，支持关键词检索，点击打开下载页面，支持迅雷、快车下载)本书给读者提供谱论-被称之为解决算子理论基本问题的基本工具，并主要计算了无限维空间特别是希尔伯特空间算子的谱。
北京大学博士生导师
天体物理
范祖辉
天体物理
韩金林
致密天体
弥漫介质
天体物理
景益鹏
观测宇宙学
数值天体物理
天体物理
刘晓为
气体星云物理学
天体物理
南仁东
射电天文及技术
活动星系核的VLBI观测研究
天体物理
汪景琇
太阳物理
天体物理中的磁流体过程
天体物理
吴学兵
致密天体吸积理论
活动星系核物理
天体物理
武向平
宇宙学
星系团—引力透镜
基础数学
郑志明
复杂性理论
微分方程与动力系统
基础数学
朱小华
几何分析
微分几何
基础数学
宗传明
球堆积与密码
数的几何
计算数学
鄂维南
应用偏微分方程数值解
随机微分方程
计算数学
李治平
偏微分方程数
科学与工程计算
计算数学
徐树方
矩阵计算及其
计算数学
许进超
偏微分方程数值解
科学与工程计算
计算数学
张平文
偏微分方程数值解
反问题数值方法
正规形理论
基础数学
刘和平
非交换调和分
小波分析
基础数学
刘嘉荃
非线性分析
基础数学
柳彬
微分方程定性
动力系统
基础数学
莫小欢
芬斯拉几何
调和映射
基础数学
彭立中
调和分析
小波分析
基础数学
丘维声
代数组合论
现代数学和信息
基础数学
孙文祥
微分动力系统
遍历理论
基础数学
图论第七章
定理1 适合结合律， 定理 若 ( X,⋅)对二元运算 ⋅ 适合结合律，则对于 任何正整数 m和 n，有 1. x ⋅ x = x 。 ( xm)n = xmn 。 2.
m n m+n
定义4 定义 给定一个代数系统 V = ( X,⋅) ，如果存在 一个元素 e（或者 eR） X 使得对于任意元素 ∈ ， L
例1 一个代数系统 V = (Z,+,×); 另一个代数系统 1
V2 = (Zm,+m,×m)，其中 Zm = {0,1,L m−1} ,
+m和 ×m分别是模 m的加法和乘法运算，即 的加法和乘法运算， x1 +m x2 = x1 + x2
x1 ×m x2 = x1 × x2
这样可定义映射 f : Z →Zm ，即 f (i) = i 的一个同态， 则 f是 V到 V2的一个同态，因为总有 1
第七章 代数结构预备知识
7.1 集合与映射 定义1 是给定的两个集合, 定义 设 S和 T是给定的两个集合 如果有一个 ∈ , 规则 f，使对任意一个元素 x∈S 在 T中有唯一 与之对应， 的一个映射 映射。 的元素 y与之对应，则称 f 是 S到 T的一个映射。 的定义域， 记作 f : S →T和 y = f (x)， 称为 f 的定义域， S y x T 称为 f 的值域， 称为 x的象， 称为 y的原像。 的值域， 原像。
定义5 的代数系统， 定义 设 V = ( X,⋅) 是有单位元 e的代数系统， ∈ 对于 x∈X , 若存在一个元素 x′,使得 x′ ⋅ x = e， 使得 是左可逆的， 的一个左逆元 左逆元； 则称 x是左可逆的，并称 x′是 x的一个左逆元； 是右可逆的， 若存在 x′′ ∈X, 使得 x⋅ x′′ = e, 则称 x是右可逆的， 的一个右逆元 右逆元； 并称 x′′是 x的一个右逆元； 既是左可逆又是右可逆的, 可逆元。 若 x既是左可逆又是右可逆的 则说 x是可逆元。
第3章多智能体机器人系统的数理知识
注意，顶点上的环对这个顶点的入度和出度的贡献都是1。在全是
有向边的图中，每条边都有一个起点和一个终点，所有顶点的入度之和
与出度之和相等，这两个和都等于图的边数。
5
3.1.1 图的概念
例题3.1 请分别列出图3-1中两个图的顶点集 和边集 。
3 仍是连通的。
在无向图中，若图中任意两个顶点均连通，则称图是连通的
(connected)，图的这一性质称作连通性 (connectivity)。图3.2(a)为无
向连通图，而图3.2(b)由于 3 与其他节点均不连通因此为无向不连通图。
在无向连通图的每一对不同顶点之间都存在简单通路。
10
3.1.2 图的类型
为简单图。
针对有向图中的节点 ，当其入度与出度相等时，即 deg in ( ) =
deg out ( )，称其为平衡节点 (balanced node)。如果有向图中所有节点
都是平衡的，那么就称此图是平衡的 (balanced)。无向图中的节点均为
平衡节点，且所有的无向图均为平衡图。
定义3.2 (平衡图 balanced graph) 如果节点的出度和入度相等，那
1,
= ൝
0,
若 → 是 的一条边
否则
（3-2）
这与顶点入度的定义类似。
若定义有向图从 到 有边时，它的矩阵在 (, ) 位置上有1，则
构成边 的顶点 ( , ) 为有序二元组时，边 称作有向边 (directed
edge) 。由于有向边具有方向性，因此也可写作 → (或 → )。当
= → 时，此时的 称为 的起点 (origin)， 称为 的终点
图论知到章节答案智慧树2023年长安大学
图论知到章节测试答案智慧树2023年最新长安大学绪论单元测试1.下列选项中正确的是（）.参考答案:图论的研究对象是图;图论中图是顶点集合上的一种二元关系;图的结构是图论的重要研究方向之一;图论中的图由若干给定的顶点及连接某些顶点对的边所构成2.著名的哥尼斯堡七桥问题最初由哪位数学家给出解答（）.参考答案:欧拉3.在任意6个人的聚会上，总有3个人互相认识，或者3个人互不认识.（）参考答案:对4.图论中著名的中国邮递员问题是由中国管梅谷教授提出的.（）参考答案:对5.图论与数学的其他分支形成的交叉研究方向有（）.参考答案:随机图论;代数图论;模糊图论;拓扑图论第一章测试1.四个顶点的非同构简单图有（）.参考答案:11个2.序列称为图序列，如果d是某一个简单图的度序列. 则下列不是图序列的是（）.参考答案:(7,6,5,4,3,2,2);(6,6,5,4,3,3,1)3.设图G有21条边，12个3度顶点，其余顶点的度均为2，则图G的顶点数为（）.参考答案:154.下列哪些矩阵是本题中所给图的邻接矩阵？（）参考答案:;5.本题中所给的两个图G与H不同构.（）参考答案:错第二章测试1.边数比顶点数少1的简单图一定是树.（）参考答案:错2.六个顶点的非同构的树有（）.参考答案:6个3.本题中所给图的非同构生成树的个数等于（）.参考答案:3个4.设G是五个顶点的标号完全图（即给G的每个顶点标号），则G的不同的生成树（注意“不同”是指标号不同，不是不同构）的个数等于（）.参考答案:1255.若G是单圈图（即G是仅含一个圈的连通图）, 则G的边数一定等于它的顶点数.（）参考答案:对第三章测试1.若图G的每条边是割边, 则G是森林.（）参考答案:对2.若H是连通图G的子图, 则H的连通度不超过G的连通度.（）参考答案:错3.若图G没有偶圈, 则G的每个块或是2个顶点的完全图或是奇圈.（）参考答案:对4.设G是有n个顶点m条边的k -边连通图, 则下列一定成立的是（）.参考答案:5.图G的连通度、边连通度和最小度分别为（）.参考答案:3, 4, 4第四章测试1.设M和N是简单图G的两个不同的完美匹配，则由M与N的对称差在G中的边导出子图的每个连通分支必为（）.参考答案:偶数个顶点的圈2.一棵树T可以有两个或者两个以上的完美匹配.（）参考答案:错3.2n个顶点的完全图中不同的完美匹配个数为（）.参考答案:(2n-1)!4.如果每个小伙子恰好认识k个姑娘，而每个姑娘也恰好认识k个小伙子(k >0)，则每个小伙子都能与自己认识的姑娘结婚.（）参考答案:对5.本题中所示图没有完美匹配.（）参考答案:错第五章测试1.本题中所示图能一笔画成（即笔不离纸，线不重复）.（）参考答案:错2.下列哪些是非空连通图G有Euler迹的充分条件（）？参考答案:G没有奇度顶点;G有2个奇度顶点3.如果非空连通图G恰有2个奇度顶点，则G的Euler迹一定是从其中一个奇度顶点出发，终止于另一个奇度顶点.（）参考答案:对4.本题中所示图是Hamilton图.（）参考答案:错5.完全二部图（m, n均大于0）是Hamilton图的充分必要条件是（）.参考答案:m = n第六章测试1.对于控制数为1的n个顶点的图，其控制集中顶点的度为n-1.（）参考答案:对2.下列命题中正确的是（）.参考答案:顶点子集F是图G的点覆盖集当且仅当V(G)\F是G的独立集;一个图的独立数和点覆盖数的和等于它的顶点数目3.下列哪个选项中的集合分别是该图的最大匹配、最小边覆盖集（）.参考答案:4.以下选项中正确的是（）.参考答案:Q是G的极大团的充分必要条件是Q是G的补图中的极大独立集;任意6个人的聚会上, 总有3人互相认识或互不认识5.若I是独立集, 则它是极大独立集的充分必要条件是I是极小控制集.（）参考答案:错第七章测试1.Petersen图的边色数等于（）.参考答案:42.3-正则Hamilton图的边色数为（）.参考答案:33.设H是图G的子图，则H的边色数不超过G的边色数.（）参考答案:对4.Petersen图的色数等于（）.参考答案:35.设G是n个顶点的圈，则G的色多项式 P(G,k) 等于（）.参考答案:第八章测试1.可平面图有可能存在子图是不可平面图.（）参考答案:错2.Petersen图是可平面图.（）参考答案:错3.若地图上每两个地区都相邻，则最多能有几个地区（）.参考答案:4个4.正八面体的顶点数、边数和面数分别为（）.参考答案:6,12,85.从Petersen图中需至少删除几条边才能得到一个可平面子图（）.参考答案:2条第九章测试1.设G是3个顶点的圈，则G的积和多项式为.（）参考答案:对2.完全二部图的谱为（）.参考答案:-3,0,0,0,0,33.五个顶点的完全图的谱为（）.参考答案:4,-1,-1,-1,-14.设G是n（n大于或等于3）个顶点的路，则G的边色数和彩虹连通数分别为（）.参考答案:2, n-15.本题中顶点赋权图的最小权点覆盖集的权等于（）.参考答案:10。
图论及其应用综述
图论综述一、简介图论是数学的一个分支。
它以图为研究对象。
图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。
图G=（V,E）是一个二元组（V,E）使得E⊆[V]的平方，所以E的元素是V的2-元子集。
集合V中的元素称为图G的定点（或节点、点），而集合E的元素称为边（或线）。
通常，描绘一个图的方法是把定点画成一个小圆圈，如果相应的顶点之间有一条边，就用一条线连接这两个小圆圈，如何绘制这些小圆圈和连线时无关紧要的，重要的是要正确体现哪些顶点对之间有边，哪些顶点对之间没有边。
图论本身是应用数学的一部份，因此，历史上图论曾经被好多位数学家各自独立地建立过。
关于图论的文字记载最早出现在欧拉1736年的论著中，他所考虑的原始问题有很强的实际背景。
目前，图论已形成很多分支：如随机图论、网络图论、代数图论、拓扑图论、极值图论等。
图论的应用已经涵盖了人类学、计算机科学、化学、环境保护、非线性物理、心理学、社会学、交通管理、电信以及数学本身等。
二、基本内容2.1 图的基本概念本章首先介绍了图的一些基本性质和一些不同模型的图，包括偶图，完全图和补图，引入了定点度的来描述图的性质。
其次介绍了子图的相关概念，介绍了图的一些基本运算规则，对图的路和连通性进行了阐释。
紧接着讲解了最短路算法，定义设G为边赋权图。
u与v是G中两点，在连接u与v的所有路中，路中各边权值之和最小的路，称为u与v间的最短路。
图的代数表示，包括图的邻接矩阵和图的关联矩阵。
最后对极图理论进行了简介，主要介绍了极值图论中的一个经典结论——托兰定理。
2.2 树本章主要介绍了树的概念与性质，阐述了生成树与最小生成树的基本概念与一些常用结论与定理。
树是不含圈的无圈图，也是连通的无圈图。
树是图论中应用最为广泛的一类图。
在理论上，由于树的简单结构，常常是图论理论研究的“试验田”。
大学各专业名称英文翻译——理科SCIENCE
大学各专业名称英文翻译理科SCIENCE 理科SCIENCE课程中文名称课程英文名称矩阵分析Matrix Analysis面向对象程序设计方法Desig n Methods of Object orie nted Program 李代数Lie Algebra代数图论Algebraic Graph Theory代数几何（I ）Algebraic Geometry （I）泛函分析Functional Analysis论文选读Study on Selected PapersHoof 代数Hoof Algebra基础代数Fundamental Algebra交换代数Commutative Algebra代数几何Algebraic Geometry \ /Hoof 代数与代数群量子群Hoof Algebra , Algebraic Group and Qua numb G roup量子群表示Representation of Quantum Groups网络算法与复杂性Network Algorithms and Complexity组合数学Combinatorial Mathematics代数学Algebra半群理论Semigroup Theory计算机图形学Computer Graphics图的对称性Graph Symmetry代数拓扑Algebraic Topology代数几何(II ) Algebraic Geometry (II )微分几何Differential Geometry多复变函数Analytic Functions of Several Complex Varian les代数曲面Algebraic Surfaces高维代数簇Algebraic Varieties of Higher Dimension数理方程Mathematics and Physical Equation偏微分方程近代方法The Recent Methods of Partial Differential Equatio ns 激波理论The Theory of Shock Waves非线性双曲型守恒律解的存在性The Existe nee of Solutio ns for Non-li nea r Hyperbolic Con servati on Laws粘性守恒律解的稳定性Stability of Solutio ns for Viscous Con servation Laws微分方程数值解Numerical Methods for Differential Equations小波理论与应用Wavelet Theory and Application非线性方程组的数值解法Numerical Methods for No-li near System s of Eq uati ons网络算法与复杂性Network Algorithms and Complexity Graph Theory 60近世代数Modern Algebra高等量子力学Advaneed Quantum Mechanics统计力学Statistical Mechanics固体理论Solid State Theory薄膜物理Thin Film Physics计算物理学Computational Physics量子场论Quantum Field Theory非线性物理导论Introduction to Nonlinear Physics固体磁性理论Theory of Magnetism in SolidC语言科学计算方法Scientific Computation Method in C功能材料原理与技术Prin ciple and Tech no logy of Fun cti onal Materials超高真空科学与技术Scie nee and Techno logy of Ultrahigh Vacuum 60现代表面分析技术Modern Technology of Surface Analysis现代传感技术Moder n Sen sor Tech no logy数学模型与计算机模拟Mathematical Models and Computer Simulatio ns计算物理谱方法Spectral Method in Computational Physics蒙特卡罗方法在统计物理中的应用Applicatio ns of the Mon te Carlo Method in Statistical Physics理论物理Theoretical Physics固体物理Solid-State Physics近代物理实验Con temporary Physics Experime nts 计算物理基础Basics of Computational Physics真空与薄膜技术Vacuum & Thin Film Technology高等光学Advaneed Optics量子光学与统计光学Quantum Optics and Statistical Optics X光电子学与光电信息技术Optoelectr onics and Optoelectro nic In formatio n Tech no logy图像处理与分析Image Processing and Analysis光纤通信系统System of Fiber Communications计算机网络Computer Networks光电检测与信号处理Optoelectr onic Detect ion and Process ing物理光学与光电子技术实验Experime nts for Physical Optics and Optoelec tronic Tech no logy非线性光学Nonlinear Optics集成光学Integrated Optics光子学器件原理与技术Prin ciple and Tech no logy of Phot onics Devices物理光学与信息光子学实验Physical Optics & In formation Photo nics Expe rime nts现代激光医学Modern Laser Medicine生物医学光子学Biomedicine Photonics激光医学临床实践Clinical Practice for Laser Medicine光纤通信网络Networks of Fiber Communications光接入网技术Tech no logy of Light Access Network全光通信系统All-Optical Communication Systems计算机图形学Computer Graphics信息光学Information Optics光子学专题Special Topics on Photonics激光与近代光学Laser and Con temporary Optics光电子技术Photo electronic Technique微机系统与接口Micro Computer System and In terface智能仪器In tellige nt In strume nts高等无机化学Advaneed Inorganic Chemistry量子化学(含群论)Quantum Chemistry(including Group Theory) 高等分析化学Advaneed Analytical Chemistry高等有机化学Advaneed organic Chemistry现代科学前沿选论Literature on Fron tiers of Moder n Science and Tech no logy激光化学Laser Chemistry激光光谱Laser Spectroscopy稀土化学Rare Earth Chemistry材料化学Material Chemistry生物无机化学导论Bioinorganic Chemistry配位化学Coord in ati on Chemistry膜模拟化学Membrane Mimetic Chemistry晶体工程基础Crystal Engineering催化原理Principles of Catalysis绿色化学Green Chemistry现代有机合成Modern organic Synthesis无机化学Inorganic Chemistry物理化学Physics Chemistry有机化学organic Chemistry分析化学Analytical Chemistry现代仪器分析Modern Instrumental Analysis现代波谱学Modern Spectroscopy化学计量学Chemistries现代食品分析Modern Methods of Food Analysis天然产物化学Natural Product Chemistry天然药物化学Natural Pharmaceutical Chemistry现代环境分析与监测Analysis and Monitoring of Environment Pollution现代科学前沿选论Literature on Fron tiers of Moder n Science and Tech no logy计算机在分析化学的应用Computer Application in An alytical Chemistry现代仪器分析技术Modern Instrument Analytical Technique分离科学Separation Scienee高等环境微生物Advaneed Environmentai Microorganism海洋资源利用与开发Utilization & Development of Ocean Resources立体化学Stereochemistry高等发光分析Advaneed Luminescenee Analysis激光光谱分析Laser Spectroscopy Analysis保健食品监督评价Evaluation and Supervision on Health Food s生物电化学Bioelectrochemistry现代技术与中药Moder n Tech no logy and Traditi onal Chin ese Medici ne 高等有机化学Advaneed organic Chemistry中药新药研究与开发Study and Exploitation of Traditional Chinese Medi cine 药物化学研究方法Pharmaceutical Chemical Research Methods废水处理工程Tech no logy of Wastewater Treatme nt生物与化学传感技术Biose nsors & Chemical Se nsors现代分析化学研究方法Research Methods of Modern An alytical Chemistry神经生物学Neurobiology动物遗传工程Animal Genetic Engineering动物免疫学Animal Immunology动物病害学基础Basis of Animal Disease受体生物化学Receptor Biochemistry动物生理与分子生物学Animal Physiology and Molecular Biochemistry分析生物化学Analytical Biochemistry学科前沿讲座Lectures on Frontiers of the Discipline微生物学Microbiology细胞生物学Cell Biology生理学Physiology电生理技术基础Basics of Electrophysiological Tech no logy生理学Physiology生物化学Biochemistry高级水生生物学Advaneed Aquatic Biology藻类生理生态学Ecological Physiology in Algae水生动物生理生态学Physiological Ecology of Aquatic Ani mal 水域生态学Aquatic Ecology水生态毒理学Aquatic Ecotoxicology水生生物学研究进展Advanee on Aquatic Biology水环境生态学模型Models of Water Quality藻类生态学Ecology in Algae生物数学Biological Mathematics植物生理生化Plant Biochemistry水质分析方法Water Quality Analysis水产养殖学Aquaculture环境生物学Environmental Biology专业文献综述Review on Special Information分子生物学Molecular Biology学科前沿讲座Lectures on Frontiers of the Discipline 植物学Bota ny动物学Zoology普通生态学General Ecology生物统计学Biological Statistics分子遗传学Molecular Genetics基因工程原理Principles of Gene Engineering高级生物化学Advaneed Biochemistry基因工程技术Technique for Gene Engineering基因诊断Gene Diag no sis基因组学Genomics医学遗传学Medical Genetics免疫遗传学Immunogenetics基因工程药物学Pharmacology of Gene Engineering 高级生化技术Advaneed Biochemical Technique基因治疗Gene Therapy肿瘤免疫学Tumor Immuno logy \ /免疫学Immuno logy免疫化学技术Methods for Immunological Chemistry毒理遗传学Toxicological Genetics分子病毒学Molecular Virology分子生物学技术Protocols in Molecular Biology神经免疫调节Neuroimmunology普通生物学Biology生物化学技术Biochemical Technique分子生物学Molecular Biology生殖生理与生殖内分泌Reproductive Physiology & Reproductive En docri no logy生殖免疫学Reproductive Immuno logy发育生物学原理与实验技术Prin ciple and Experime ntal Techn ology of Developme nt免疫学Immuno logy蛋白质生物化学技术Biochemical Tech nology of Protein受精的分子生物学Molecular Biology of Fertilization免疫化学技术Immuno chemical Tech no logy低温生物学原理与应用Prin ciple & Application of Cryobiology不育症的病因学Etiology of In fertility分子生物学Molecular Biology生物化学Biochemistry分析生物化学Analytical Biochemistry医学生物化学Medical Biochemistry医学分子生物学Medical Molecular Biology医学生物化学技术Techniques of Medical Biochemistry生化与分子生物学进展Progresses in Biochemistry and Molecular Biology 高级植物生理生化Advaneed Plant Physiology and Biochemistry拟南芥一结构与发育Arabidopsis-Structure and Development开花的艺术Art of Flowering蛋白质结构基础Principle of Protein Structure生活在美国Living in America分子进化工程Engineering of Molecular Evolution生物工程下游技术Down stream Tech nique of Biotech no logy仪器分析Instrumental Analysis临床检验与诊断Clinical Check-up & Diagnosis 药理学Pharmacology。
图论在统计中的应用
图论在统计中的应用①图论算法研究图论算法在计算机科学中扮演着很重要的角色，它提供了对很多问题都有效的一种简单而系统的建模方式。
很多问题都可以转化为图论问题，然后用图论的基本算法加以解决。
本方向研究内容涉及图的最优划分问题，图的遍历与活动网络问题，谱聚类算法等。
②结构图论研究研究给定条件的图结构，比如，匹配覆盖图、有Pfaffian定向的图结构。
应用结构图论、组合计数、矩阵代数来研究化学分子的各种结构性质和化学物理性质。
本方向研究内容还涉及分子图的极图结构、稳定性估计、热力学性质等各种拓扑指标、完美匹配计数问题等。
概述图可用于在物理、生物、社会和信息系统中建模许多类型的关系和过程，许多实际问题可以用图来表示。
因此，图论成为运筹学、控制论、信息论、网络理论、博弈论、物理学、化学、生物学、社会科学、语言学、计算机科学等众多学科强有力的数学工具。
在强调其应用于现实世界的系统时，网络有时被定义为一个图，其中属性(例如名称)之间的关系以节点和或边的形式关联起来。
对现实生活中的场景抽象建模，再结合图论相关算法与知识解决实际问题分述计算机科学图被用来表示通信网络、数据组织、计算设备、程序执行流程、芯片设计等网站的链接结构可以用一个有向图表示，其中顶点表示网页，有向边表示从一个页面到另一个页面的链接语言学各种形式的图论方法已证明在语言学中特别有用，因为自然语言常常适合于离散结构。
传统上，语法和组合语义遵循基于树的结构，其表达能力取决于组合原则，在层次图中建模。
更现代的方法，如头驱短语结构语法，使用类型化特征结构对自然语言的语法建模，这些特征结构是有向无环图。
在词汇语义学中，特别是在计算机上，当一个给定的单词被相关的单词理解时，建模单词的意义就更加容易了。
因此，语义网络在计算语言学中非常重要。
音系学中的其他方法(例如，使用格点图的最优性理论)和形态学(例如，使用有限状态形态学，使用有限状态传感器)在语言作为图的分析中也很常见。
计算机数学：算法基础 线性代数与图论
2.2矩阵
3 2.3线性方程
组的矩阵表示
4 2.4方阵的行
列式
5
2.5逆矩阵
拓展阅读一
2.6用MATLAB计算 向量和矩阵
拓展阅读二
2.1.1向量基本概念 2.1.2向量的几何定义 2.1.3向量基本运算 2.1.4向量空间
2.2.1矩阵概念 2.2.2几个特殊的矩阵 2.2.3矩阵基本运算
5.3.1有关术语——通道、迹、路 5.3.2无向图的连通性 5.3.3有向图的连通性
5.4.1欧拉图 5.4.2哈密顿图
5.5.1谷歌（Google）的PageRank 5.5.2 PageRank算法
5.6.1最短路径 5.6.2求最短路的算法—迪克斯特拉（tra）算法
6.2最小连接问题
0 4
5.4欧拉图 与哈密顿图
0 6
5.6最短路 问题
0
55. 5 有 向 图 的应用—— Google网 站排名问题
介绍
5.7本章部分 实例的
MATLAB实现
拓展阅读
5.1.1图的基本概念 5.1.2图的模型 5.1.3图的有关计算
5.2.1邻接矩阵 5.2.2关联矩阵 5.2.3可达性矩阵
4.1线性方程
1
组高斯消元法
4.2线性方程 2
组解的判断与 解的结构
3 *4.3线性方程
组的应用—— 投入产出模型
4 4.4矩阵的特
征值与特征向 量
5 *4.5正交矩阵
与正交变换
拓展阅读一
4.6用MATLAB求解 线性方程组
拓展阅读二
4.1.1高斯消元法 4.1.2矩阵的初等变换 4.1.3矩阵的秩
A.3.1 MATLAB变量 A.3.2 MATLAB的基本运算符、标点符号 A.3.3 MATLAB的数值运算
图论与代数结构第一二三章习题解答
习题一1. 一个工厂为一结点；若两个工厂之间有业务联系，则此两点之间用边相联；这样就得到一个无向图。
若每点的度数为3,则总度数为27,与图的总度数总是偶数的性质矛盾。
若仅有四个点的度数为偶数，则其余五个点度数均为奇数，从而总度数为奇数，仍与图的总度数总是偶数的性质矛盾。
（或者利用度数为奇数的点的个数必须为偶数个）m <= (n-1)( n-2)/2,与题设矛盾。
3•记a i为结点V i的正度数，a「为结点V i的负度数，则n n n nv a j 2「[ (n -1) - a" ]2 = n(n -1)2-2( n-1)、a「a「i 4 i 4n因为Z a「= c n = n(n -1)/2,i討4. 用向量（a1,a2,a3）表示三个量杯中水的量，其中a i为第i杯中水的量,i = 1,2,3.以满足a1+a2+a3 = 8 （a1,a2,a3为非负整数）的所有向量作为各结点，如果⑻耳厲）中某杯的水倒满另一杯得到（a' a' a'）,则由结点到结点画一条有向边。
这样可得一个有向图。
本题即为在此图中找一条由（8, 0, 0 ）到（4, 4, 0 ）的一条有向路，以下即是这样的一条：(8 0 0 ).(5 0 3 )■( 5 3 0 )• f 0 Q \(2, 5, 1 ) (8, 0, 0丿 f ( 5, 0, 3丿r ( 5, 3, 0丿----- r■t / 4 4 O \ -----►(4, 4, 0 )T(7, 0, 1 )■ ( 7, 1, 0 )1^ ( 4, 1, 3 )5. 可以。
6若9个人中没有4个人相互认识，构造图G,每个点代表一个点，两个人相互认识则对应的两个点之间有边。
1）若可以找到点v, d（v）＞5，则与v相连的6个点中，要么有3个相互认识，要么有3个相互不认识（作K6并给边涂色：红=认识，蓝=不认识，只要证图中必有同色三角形。
一些有关几何的代数图论问题
一些有关几何的代数图论问题
代数图论是数学的一个分支,是近几年发展迅速的一个方向.有限域上的几何学和几何图是十分重要的几何结构和组合结构,它们涉及到很多领域,如结合方案、信息科学、编码等等.一些学者将各类几何空间和图论联系起来研究几何图的性质,并取得了很多研究成果.但是,关于有限域的一些几何图(例如,经典极图,经典对偶极图,格拉斯曼图)的色数与无关数的计算与估计等重要问题还尚未完全解决.在代数图论中,图同态的研究是一个核心问题.一个图G称作核,如果G 的每个图自同态都是图自同构.对于一个图G,一个重要的问题是判别G是否为一个核.本文共分三章.第一章简要介绍了本文的课题研究背景、预备知识和主要结果.第二章主要讨论了经典极图与经典对偶极图的性质、部分几何和它的点图,主要结果是进一步解决了经典极图是否为一个核的判别.本章所得到的主要结果是定理2.1.7和推论2.1.9,定理2.2.15和定理2.3.4.这些结果对代数图论与矩阵几何的研究有一定的意义.第三章主要讨论了格拉斯曼图的性质,研究了低阶格拉斯曼图J_q(4,2)的顶点集的划分与它的最大无关集的计算.。
代数方法在图论中的精彩应用
代数⽅法在图论中的精彩应⽤⽬录Preface⼀直想对GTAC讨论班的⼀些精彩内容做⼀次整理，却⼀直挖不出时间来。
昨晚我们在讨论班教室吃披萨，喝果汁，听了⼀些代数⽅法在图论中的应⽤，度过了愉快的平安夜。
新的⼀年（和ddl）快要来了，是时候做个整理了。
由于 eden 上课不做笔记，忘记了⼀些定理的名字以及来源，再由于时间关系 eden 不能整理得特别详细。
所以凑合着看吧：）Graham-Pollack theoremTheorem 1. (Graham-Pollack theorem) 若完全图K_n可以表⽰为m个互不相交的完全⼆分图的并，则m\ge n-1。
设图K_n的邻接矩阵为A，那么A=J-I（约定J为全1矩阵，I为单位矩阵）。
如果K_n的⼀个⼦图G是完全⼆分图，⼀边的点集为V_1，另⼀边的点集为V_2。
那么该⼦图的邻接矩阵B满⾜：B_{x,y}=B_{y,x}=1,\forall x\inV_1,y\in V_2。
所以B可以拆成⼀个秩⼀矩阵与它的转置之和：B=C^T+C\ (C_{x,y}=1,\forall x\in V_1,y\in V_2)。
K_n可以拆成m个互不相交的完全⼆分图的并，所以A可以表⽰为(C_1+\cdots+C_m)^T+(C_1+\cdots+C_m)，其中C_1,\cdots,C_m都是秩⼀矩阵。
可以推出：\begin{align} I&=J-A=(\frac{1}{2}J-C_1-\cdots-C_m)^T+(\frac{1}{2}J-C_1-\cdots-C_m)\\ &=D^T+D \tag{1.1} \\设\ D&=\frac{1}{2}J-C_1-\cdots-C_m \end{align}假设m<=n-2，那么rank(D)\le rank(J)+rank(C_1)\cdots+rank(C_m)=n-1，取D的右零空间中的⼀个⾮零向量\boldsymbol \alpha，在(1.1)式中左乘\boldsymbol \alpha^T，右乘\boldsymbol \alpha，(1.1)式变为：\boldsymbol \alpha^TI\boldsymbol \alpha=(D\boldsymbol \alpha)^T\boldsymbol \alpha+\boldsymbol \alpha^T(D\boldsymbol \alpha)=0\tag{1.2}这与\boldsymbol \alpha是⾮零向量⽭盾。
集合论,图论总结
2
第七章 二元关系
主要内容 有序对与笛卡儿积的定义与性质 二元关系、从A到B的关系、A上的关系 关系的表示法：关系表达式、关系矩阵、关系图 关系的运算：定义域、值域、域、逆、合成、限制、像、 幂 关系运算的性质: A上关系的自反、反自反、对称、反对 称、传递的性质 A上关系的自反、对称、传递闭包 A上的等价关系、等价类、商集与A的划分 A上的偏序关系与偏序集
9
第十六章 树
主要内容 无向树及其性质 生成树、最小生成树、基本回路系统、基本割集系统 根树及其分类、最优树、最佳前缀码、波兰符号法、逆波 兰符号法
Байду номын сангаас
基本要求 深刻理解无向树的定义及性质 熟练地求解无向树 准确地求出给定带权连通图的最小生成树 深刻理解基本回路、基本割集的概念，并会计算 理解根树及其分类等概念 会画n阶（n较小）非同构的无向树及根树（1n6） 熟练掌握求最优树及最佳前缀码的方法 掌握波兰符号法与逆波兰符号法
5
基本要求
给定 f, A, B, 判别 f 是否为从A到B的函数 判别函数 f:AB的性质（单射、满射、双射） 熟练计算函数的值、像、复合以及反函数 证明函数 f:AB的性质（单射、满射、双射） 给定集合A, B，构造双射函数 f:AB 能够证明两个集合等势 能够证明一个集合优势于另一个集合 知道什么是可数集与不可数集 会求一个简单集合的基数
10
第十七章 平面图
主要内容 平面图的基本概念 欧拉公式 平面图的判断 平面图的对偶图
基本要求 深刻理解本部分的基本概念：平面图、平面嵌入、面、 次数、极大平面图、极小非平面图、对偶图 牢记极大平面图的主要性质和判别方法 熟记欧拉公式及推广形式，并能用欧拉公式及推广形式 证明有关定理与命题 会用库拉图斯基定理证明某些图不是平面图 记住平面图与它的对偶图阶数、边数、面数之间的关系
《图论与代数结构》(戴一奇,清华大学出版社)习题解答
习题一1. 一个工厂为一结点；若两个工厂之间有业务联系，则此两点之间用边相联；这样就得到一个无向图。
若每点的度数为3，则总度数为27，与图的总度数总是偶数的性质矛盾。
若仅有四个点的度数为偶数，则其余五个点度数均为奇数，从而总度数为奇数，仍与图的总度数总是偶数的性质矛盾。
2. 若存在孤立点，则m 不超过K n-1的边数, 故 m <= (n-1)(n-2)/2, 与题设矛盾。
3.4. 用向量(a 1,a 2,a 3)表示三个量杯中水的量, 其中a i 为第i 杯中水的量, i = 1,2,3.以满足a 1+a 2+a 3 = 8 (a 1,a 2,a 3为非负整数)的所有向量作为各结点, 如果(a 1,a 2,a 3)中某杯的水倒满另一杯得到 ( a’1, a’2, a’3 ) , 则由结点到结点画一条有向边。
这样可得一个有向图。
本题即为在此图中找一条由( 8, 0, 0 )到( 4, 4, 0 )的一条有向ni i ni in i ni ni ni i ini ini iii a an n a a a n n n a n a v v 1111121212/)1()1(2)1(])1[(。
， 所以 因为 ，＋ 的负度数，则为结点的正度数，为结点记－－－－－22 222i i C a a路，以下即是这样的一条：5. 可以。
7. 同构。
同构的双射如下：v V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 f (v) bacedf( 8, 0, 0 )( 5, 3, 0 ) ( 5, 0, 3 ) ( 2, 3, 3 ) ( 2, 5, 1 ) (7, 0, 1 )( 7, 1, 0 )( 4, 4, 0 )( 4, 1, 3 )8. 记e 1= (v 1,v 2), e 2= ( v 1,v 4), e 3= (v 3,v 1), e 4= (v 2,v 5), e 5= (v 6,v 3), e 6= (v 6,v 4), e 7= (v 5,v 3), e 8= (v 3,v 4), e 9 = (v 6,v 1), 则邻接矩阵为：关联矩阵为：边列表为：A= (1,1,3,2,6,6,5,3,6), B= (2,4,1,5,3,4,3,4,1). 正向表为：A= (1,3,4,6,6,7,10), B= (2,4,5,1,4,3,3,4,1).习题二1. 用数学归纳法。
图论在线性代数教学中的应用
147神州教育图论在线性代数教学中的应用陈富媛安徽财经大学 统计与应用数学学院摘要：图论是组合数学的一个非常重要的分支，是离散数学的重要组成部分。
图论主要是以图为研究对象来解决实际生活中的一系列问题。
图论可以用来模拟数学、物理、生物、社会和信息系统中的许多类型的关系和过程。
本文主要研究图论在线性代数教学中的应用。
关键词：图论；线性代数一、线性代数的重要地位及其教学现状(一)线性代数的重要地位线性代数这门课程是理科、工科、经管专业的一门重要的公共基础课，该课程在大学数学教育中起着承上启下的作用。
该课程不仅加深了学生对高中数学知识的理解，而且该课程中的行列式、矩阵、求解线性方程组等内容对于学习后续课程及在各个学科领域中进行理论研究和实践工作起着重要的作用。
同时，该课程对培养学生的综合能力，提高学生的数学素养都具有重要的作用。
(二)目前线性代数教学过程中存在的问题经过多年的教学改革与实践，线性代数课程日臻完善，然而该课程内容复杂抽象，属于计算量较大的一门学科。
传统的教学模式方法，使得大部分学生不会灵活应用行列式、矩阵和向量等工具求解线性方程组，难以让学生取得更好的学习成绩。
在教学过程中出现的问题主要体现在以下几个方面：第一、教学内容安排不合理。
大一新生刚刚进入校园，数学思维还停留在中等数学阶段，对于高等数学还没有一个大致的了解，而线性代数的第一章就是行列式，第二章就是矩阵，而行列式、矩阵对于刚步入大学的学生来说，概念特别抽象，特别难以理解，因此学生在学习过程中颇有抵触。
第二、线性代数课时偏少。
在线性代数教学过程中，我们感触颇深的的一点就是课时太少，而为了让学生在期末考试中得到好的成绩，我们只能着重讲考试重点，对于考试不太重要的内容，我们选择了略讲或者不讲，同时，由于课时的限制，我们几乎不会带领学生探索与线性代数有关的其他知识，由此，学生的知识面很难打开，学生的数学素养很难养成。
第三、教学内容抽象难懂。