线性代数第二节方阵

|A || B | 2 12 24
而
1 1 0 1 1 2 2 1 2 AB 2 1 0 5 2 1 3 2 1 3 2 5 1 2 5 10 1 1
a 11 a 21 a n1 0 a 22 an2 0 0 a nn
——上三角形矩阵
——下三角形矩阵
三.方阵的行列式
定义 8 ： n 阶方阵 A 中的元素按原来的排列顺序构 成的Hale Waihona Puke Baidu阶行列式称为A的行列式，记为|A|.即若
二. 几个重要的方阵
1.单位矩阵
n阶方阵中若主对角线上的元素均为1，
其余元素都为0，则称此n阶方阵为n阶单 位矩阵，记为 E n 或E。即 1 0 0 0
显然, 对于任一方阵 A 有 EA=AE=A
0 E 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
2 | AB | 5
1 2 2 1 24
2 5 10
因此 |AB|=|A||B|
定义 9 : 设 A 为 n 阶方阵 , 若 A 0 , 则称 A 为非奇异方 ;
若 A0 ,则称 A 为奇异方阵 .
3.对角方阵
除主对角线上的元素不全为零，其 余元素都为零的n阶方阵
a1 a2 an
称为对角方阵.
4.上（下）三角方阵 主对角线下（上）方的元素都为零 的n阶方阵称为上(下）三角形矩阵：
a 11 0 0 a 12 a 22 0 a1 n a2n a nn
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A a a a nn n1 n 2
则
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n | A | an1 an 2 ann
方阵行列式的性质：
n 3 ) AB BA A B . ( 2 ) A A ；( (1) A A ；
第三章
第二节
矩阵
方阵
一. 方阵A的n次乘幂 定义7：设A是n阶方阵，k为自然数，
则k个A的连乘积 A A
A
k个 k
称为A的k次幂，记为 A .
即
A AA
k
k个
A
运算律：若k,l都是自然数，则
2 ) ( A ) A . ( 1 )AAA ； (
k l
kl kl
k l
k k 注： (A B )k AB
T
例如：设
1 0 1 A 2 1 0 3 2 5
1 0 1 则 | A | 2 1 0 2 3 2 5
1 2 1 | B | 3 2 1 12 1 1 1
1 2 1 B 3 2 1 1 1 1
对任一矩阵 Amn 有
AmnEn=Amn ,
EmAmn=Amn .
2.数量矩阵 n阶方阵中若主对角线上的元素均为k, 其中k为常数，其余元素都为0，则称此n阶 方阵为n阶数量矩阵，记为kE.即
k 0 kE 0 0 0 k 0 0 0 0 k 0 0 0 0 k