线性代数第二节方阵

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线性代数-初等矩阵

变换,将A划为单位阵E后, E对应部分即为A−1.
思考题
1 0 0 将矩阵A = 2 0 − 1表示成有限个初等方阵
0 − 1 0 的乘积.
思考题解答
解 A可以看成是由3阶单位矩阵 E 经4次初等变换,
r2 ↔ r3 , c1 + 2c3 , (− 1)r3 , (− 1)c3
而得. 而这4次初等变换所对应的初等方阵为:
阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于
在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
初等变换初等矩阵源自初等逆变换初等逆矩阵
变换 ri ↔ rj 的逆变换是其本身，
则E(i, j)−1 = E(i, j) ；
变换
ri
×
k
的逆变换为
ri
×
1 k
，
则 E(i(k ))−1 = E(i( 1 )); k
变换 ri + krj 的逆变换为 ri + (−k)rj，
则 E(ij(k= ))−1 E(ij(−k)) .
定理2 设A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵 P1, P2 ,, Pl ,使A = P1P2 Pl .
证 A ~ E, 故 E 经有限次初等变换可变 A,
即存在有限个初等方阵 P1, P2 ,, Pl , 使
AEn
(i,
j)
=
a21
a2 j
a2i
a2n
am1 amj ami amn
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换：把 A 的第 i 列与第 j 列对调 (ci ↔ c j ).
2、以数 k ≠ 0 乘某行或某列
以数k ≠ 0乘单位矩阵的第 i行(ri × k)，得初等矩阵E (i (k )).

线性代数第二章方阵的行列式

习题2.2(B) 第1(1)(3)题
2 n阶行列式的性质
本节教学内容
行列式按一行(列)展开定理
Laplace定理
3 展开定理与行列式的计算
3 展开定理与行列式的计算
行列式按一行(列)展开定理三阶行列式的一个计算公式 Mij称为aij的余子式 Aij称为aij的代数余子式
3 展开定理与行列式的计算
线性代数第二章
本章教学内容
1 n阶行列式的定义
2 方阵行列式的性质
3 展开定理与行列式的计算
第二章方阵的行列式
1 n阶行列式的定义
1.排列与逆序数定义由1,2,…,n按任何一种次序排成的有序数组i1 i2… in称为一个n级排列，简称排列. 例 3级排列：123,132,213,231,312,321,共6个性质不同的n级排列共n!个. 排列123，从小到大排，全顺；排列132，3>2,但3排在2之前，即32是一个逆序定义在一个排列i1 i2… in中,若it> is中,但it排在 is之前，则称it与is组成一个逆序.i1 i2… in中所有逆序的总数称为此排列的逆序数, 记为(i1 i2… in).
2 n阶行列式的性质
例 =0 2r1+r2
2 n阶行列式的性质
性质2.5 即
2 n阶行列式的性质
或证由性质2.1及推论2.3得到.
2 n阶行列式的性质
例1
2 n阶行列式的性质
例2
2 n阶行列式的性质
例3 计算行列式解
2 n阶行列式的性质
2.方阵行列式的性质定理2.1 设A,B为n阶方阵，为常数，m为正整数，则 ⑴ A=nA ； ⑵ AB=AB ； ⑶ Am=Am . 注① 一般的A+B≠A+B ； ② 虽然AB≠BA，但AB=BA ； ⑶由⑵推得，下证⑴ ⑵

线性代数矩阵的运算

3 2 1 2
4 ?? 1? ? 1?? 1?
??? 5 6 7 ??
? ?10 2 ? 6?.
??? 2 17 10??
BG
上页下页返回 10
注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘 .
２、矩阵乘法的运算规律
?1??AB?C ? A?BC ?;
? ? ? ?2?A?B ? C ?? AB ? AC, ?B ? C ?A ? BA? CA;
第二节矩阵的计算
一、矩阵的加法二、数与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘四、矩阵转置五、方阵的行列式六、共轭矩阵七、矩阵的应用
BG
上页下页返回 1
一、矩阵的加法
１、定义
?? ? ? 设有两个 m ? n 矩阵
A 与 B 的和记作 A ?
AB，? 规a定ij ,为B
?
bij
, 那么矩阵
?3? ?A?B ? ? A?B ? A? B? （其中 ? 为数）;
注意矩阵乘积一般不满足交换律
例设 A ? ?? 1 1 ?? B ? ?? 1 ? 1??
?? 1 ? 1?
?? 1 1 ?
BG
上页下页返回 11
则
AB ? ??0 ?0
?? a11 ? b11
a12 ? b12 ?
A?
B
?
? ?
a 21 ? ?
b21
a 22 ? b22 ?
?
?
???a m1 ? bm1 a m2 ? bm 2 ?
a1n ? b1n ?? a 2n ? b2n ?
?? a mn ? bmn ???
BG
上页下页返回 2

线性代数第2讲方阵的行列式

□
性质 7
□
性质 7′ | c1 , , c j , , ci , , cn | | c1 , , ci , , c j , , cn | . 注 6′统称为行列式的初等列变换性质. 命题 1 设 A [ aij ] 为 n 阶方阵，则
- 10 -
□
性质 7、3( k 0 )、6 统称为行列式的初等行变换性质；性质 7′、3′( k 0 )、
□
3、按一行(列)展开公式设 A [ aij ] 为 n 阶方阵 ( n 2) ，则
| A | ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain , i 1, 2, , n .
上式称为行列式的 Laplace 按一行展开公式. 定理 2′设 A [ aij ] 为 n 阶方阵 (n 2) ，则 □
i j
的 (i, j ) 元素 aij [或 (i, j ) 位置]的余子式 M ij 、代数余子式 Aij (1) 阵. k 阶子方阵的行列式即为 k 阶子式. 定理 1
M ij .
在 m n 矩阵中，k l 子矩阵的余子阵为 ( m k ) ( n l ) 子矩阵，二者互为余子在 n 阶方阵 A [ aij ] 中选定第 i1 i2 ik 行( 1 k n 1 )，则
-9-
性质 2
r1 r1 r1 ri ri ri ri . rn rn rn
□
性质 2′ | c1 , , c j cj , , cn | | c1 , , c j , , cn | | c1 , , cj , , cn | .
注 2(三角行列式)
a12 a22 a32

线性代数第二章矩阵及其运算第二节矩阵的运算

k 1
p
则称矩阵 C 为矩阵 A 与矩阵 B 的乘积, 记作
C = AB.
注意:
只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第
二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才能相乘.
例利用下列模型计算两个矩阵的乘积.
矩阵乘法模型之：A2 2 B2 2
23 2 1 -9 15 -197
矩阵乘积模型之: A2 3 B3 3
例设例设
A A0 0
1 1

0
0 1 , 1 ,
这一步很关键也很巧妙!
计算 A2, A3, An (n>3). 计算 A2, A3, An (n>3).
解设
A = E + B,
0 1 0 其中 E 为三阶单位矩阵, B 0 0 1 , 0 0 0
设设 2 5 3 2 2 5 3 2 9 5 1 0 , B 4 5 , C 9 5 . A A 1 0 , B 4 5 , C 4 3. 4 3 3 7 3 9 3 7 3 9 (1) 问三个矩阵中哪些能进行加法运算, 并求 (1) 问三个矩阵中哪些能进行加法运算, 并求
的乘积 AB 及 BA.
解由定义有
法模型之：A2 2 24 2 2 B2 AB
2 4
4 16 1 2 3 6 8 1 -9 15 -197 0 4 2 4 2 -4 BA 5 -13 -7 0 3 6 1 2
清空
32 , 16 0 . 0

线性代数(复旦大学出版社)第二章矩阵

第二章矩阵第一节矩阵的概念1、分类：行矩阵：只有一行的矩阵列矩阵：只有一列的矩阵零矩阵O：元素全为零的矩阵单位阵E：主对角线上元素为1，其他元素为0的方阵数量阵（纯量阵）：λE对角阵：不在主对角线上的元素都为0的方阵上（下）三角阵：主对角线上以下（上）的元素全为0的方阵2、两矩阵同型：两个矩阵行数且列数都相等两矩阵相等：两矩阵同型，且对应元素相等。

记做A=B。

3、不同型的零矩阵是不相等的第二节矩阵的运算设A,B,C为m×n矩阵，λ, μ为数一、加法：只有同型矩阵才能进行加法运算（1）交换律：A+B=B+A（2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C)（3）A+O=A二、减法：A-B=A+(-B) -B称为B的负矩阵三、乘法：1、只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（行矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。

简记为：(m×s)(s×n)=(m×n)例: A为2×3矩阵，B为3×2矩阵，则AB=C为2×2矩阵2、数与矩阵：（1）(λμ)A=λ(μA)=μ(λA)（2）(λ+μ)A=λA+μA（3）λ(A+B)=λA+λ B（4）1*A=A, (-1)*A=-A矩阵与矩阵：（1）结合律：(AB)C=A(BC)（2）分配律：A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA（3）λ(AB)=(λA)B=A(λB)（4）EA=AE=A（5）A k A l=A k+l（6）(A k)l=A kl3、矩阵乘法不满足交换律，即(AB)C≠(AC)B另外：（1）一般有AB≠BA （A与B可交换时，等式成立）（2）AB=O，不能推出A=O或B=O（3）AB=AC,A≠O,不能推出B=C（4）(AB)k≠A k B k（A与B可交换时，等式成立）4、可交换的：对于两个n阶方阵A,B,有AB=BA，则称A与B是可交换的。

纯量阵与任意同行方阵都是可交换的。

线性代数课件2-2矩阵的运算

第二节矩阵的运算
一矩阵加法二数乘矩阵三矩阵乘法四典型例题
五、小结思考题
2021/2/2
1
一、矩阵的加法
１、定义
设有两个m n矩阵 A aij , B bij , 那末矩阵
A 与 B 的和记作A B，规定为
a11 b11
A
B
a21 b21
am1 bm1
a12b1 a22b2 a32b3
b1 a13b1 a23b2 a33b3） b2
b3
a11b12 a22b22 a33b32 2a12b1b2 2a13b1b3 2a23b2b3 .
2021/2/2
22
(4). 已知：
x1 Xx2 ,
x331
Y yy1221,
Zzz1221,
1
22 1
2
3
解
1
2 2
1
2 1
2 2 1
2 2 2 2 2 2
4 4.
3
3 1 3 2 3 6
2021/2/2
20
(2) 将非齐次线性方程组（2）表示成矩阵乘积的形式
x1
X
x2
,
xn n1
b1
b
b2
,
bm m1
A (aij ) mn
则方程组（1）写成 AX b
A3 1 5 , B6 7
0 2 132
1 022
且知 Y AX , Z BY 求X 与 Z 的关系。
2021/2/2
23
解： Z BY BAX BA6 7 3 1 5 18 8 23 1 0220 2 123 3 1 5 23
zz21
18x1 8x2 23x3 3x1 x2 5x3

《线性代数》课件-第2章方阵的行列式

教学重点：方阵行列式的性质及展开定理，计算典型的行列式的各种方法.
教学难点：n阶行列式的计算，拉普拉斯定理的应用.
教学时间：6学时.
§1 n 阶行列式的定义
设n阶方阵A=(aij),称
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
为方阵A 的行列式,记为| A |或det A .
1.1 n 阶行列式的引出
于是D中可能不为0的均布项可以记为
a a a b b . 1p1 1p2
mpm 1q1
nqn
这里，pi=ri,qi=rm+i-m,设l为排列p1p2 …pm(m+q1) …(m+qn)的逆序数。以t，s分别表示排列p1p2 …pm及q1q2 …qn的逆序数，
应有l= t+s，于是
D
(1)l a1p1 a2 p2 a b b mpm 1q1 2q2 bnqn
b2
a2n , j 1, 2, , n.
an1
bn
ann
提出三个问题
（1）D=？（怎么算）？
（2）当D≠0时，方程组是否有唯一解？
（3）若D≠0时，方程组有唯一解，解的形式是否是
xj
Dj D
,
j 1,2,
, n.
1.2 全排列及其逆序数
1、全排列用1，2，3三个数字可以排6个不重复三位数即：
第二章方阵的行列式
行列式是一种常用的数学工具，也是代数学中必不可少的基本概念，在数学和其他应用科学以及工程技术中有着广泛的应用。本章主要介绍行列式的概念、性质和计算方法。
教学目的：通过本章的教学使学生了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会计算各种类型的行列式.

线性代数第二章矩阵代数 S2矩阵的代数运算

(1) h( A) f ( A) g( A), s( A) f ( A)g( A).
(2) f ( A)g( A) g( A) f ( A).
24
4、n阶矩阵乘积的行列式
方阵对应着行列式，于是有如下定理：
定理：若 A，B是n阶方阵，则 |AB| = |A| |B|.
(此定理可以推广到有限个同阶矩阵的情况)
或 Al .
la11
lA
Al
la21
la12
la22
la1n
la2n
.
lam1 lam1 lamn
特别的，lE 称为数量矩阵.
6
2、线性运算的运算性质
矩阵的加（减）法和数乘统称为矩阵的线性运算，这些运算都归结为数（元）的加法与乘法.
运算性质
设A, B为同型矩阵，l, m为数，则 ➢ l(A + B) = l A + l B ➢ (l + m)A = l A+ m A ➢ l (m A) = (lm) A
0 bn2
bnn
29
a11 a12 a21 a22
A 0 an1 an2 E B 1 0
0 1
a1n c11 c12
c1n
a2n
c21
Cc22
c2n
ann cn1 cn2
cnn
0 00
0
0 00
0
00
1 0 0
0
AC
E 0
再利用拉普拉斯定理按后n行展开
E (1)[(n1)(n2) 2n](12 n) C
(2) 由AB＝O不能得出A、B至少有一个零矩阵.
如前面的A, B矩阵
A 1 1 ≠O, B 1 1 ≠ O,

《线性代数》第四章第二节方阵的特征值与特征向量

5.一个特征值具有的特征向量不唯一。
若P是与对应的特征向量，则显然k 0时， kP也是与对应的特征向量.
6.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．
例1
设
A
=
−2 0
1 2
1 0,
求A的特征值与特征向量．
− 4 1 3
分析：
1.特征方程的根就是特征值；
2. (A-E)x=0的通解（去掉零解）就是特征值对应
所以对应于 2 = 3 = 2的全部特征向量为 :
k2 p2 + k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
例2 证明：若是矩阵A的特征值，x 是A的属于的特征向量，则
(1) m是Am的特征值(m是任意常数).
(2) 当A可逆时,−1是A−1的特征值.
证明 (1) Ax = x A(Ax) = A(x) = (Ax) = (x) A2 x = 2 x
有x.
3. A − E = 0 为A的特征方程。
a11 −
a21
an1
a12
a22 −
an2
a1n
a2n
=0
ann −
记 f ( ) = A − E ,它是的n次多项式, 称其
为方阵A的特征多项式 .
( ) 4. 设 n阶方阵A = aij 的特征值为1, 2 ,,
n ,则有 (1) 1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann; (2) 12 n = A .
将1 = 2 = 1代入(A − E )x = 0,
解之得基础解系
− 2
1 = 1 ,
0

(优选)线性代数第二章矩阵及其运算

A) A=E
B)A=-3E
C) A-E可逆 D) A+3E不可逆
解答：因为A与E是可交换的，依题意可得：
A2+2A-4E=0 A2+2A-3E=E (A-E)(A+3E)=E，根据逆矩阵的定义，(A-E)与(A+3E)互逆。故选C
四、可逆矩阵的性质
设 A, B, Ai , (i = 1, 2, …, m), 为 n 阶可逆方阵， k 为非零常数，则
（6） (Am)-1 = (A-1)m , m 为正整数.
证明我们证只明证（我３们）只和证（（４３））和（４）
（３） (AB（)(３B-）1A-(1A) B=)A(B(B-1BA-1)A=-1A=(ABEBA-1)-1A=-1A=AA-1EA-1 =
= E.
= E.
（４） AT（(A４-1)T）=A(AT(-1AA-1))TT==((EA)-T1A=)TE,= (E)T = E,
练习：
设
A
1
3
2 4
,
则A*=
, A-1=
。
解答：
A*
4 3
2
1
,
A1
1 2
4 3
2 1
2 3 2
1
1
,
2
例 11 用伴随矩阵法求下列矩阵的逆阵
2 2 3 (1) A1 1 1 0
3 1 2
1 2 3 (2) A2 1 2 1
5 2 3
1 3 1 4
项式，A 为 n 阶矩阵，记
(A) = a0 E + a1 A + … + am A m ，
所以 (AT所)-1以= (A(-1A)T).-1 = (A-1)T .

线性代数课件2-2方阵的逆阵

不是所有矩阵都有逆阵，只有方阵才可能有逆阵。一个方阵A的逆阵存在当且仅当A是可逆矩阵，
即A的行列式值不为零。
逆阵的求法
求一个方阵的逆阵，需要先计算该方阵的行列式值，然后通过特
定的公式计算出逆阵的元素。
利用逆阵进行矩阵乘法运算
矩阵乘法运算
01
矩阵乘法是线性代数中基本的运算之一，通过矩阵乘法可以解
逆矩阵存在条件
一个方阵存在逆矩阵的充分必要条件是该矩阵非奇异（即行列式值不为0）。
逆阵的性质
逆矩阵的唯一性
一个方阵的逆矩阵是唯一的。
逆矩阵与转置矩阵的关系
如果$A^{-1}$是矩阵$A$的逆矩阵，那么$(A^{-1})^{-1} = A$。
逆矩阵与行列式的关系
如果$A^{-1}$是矩阵$A$的逆矩阵，那么$det(A^{-1}) = frac{1}{det(A)}$。
决许多实际问题。
逆阵在矩阵乘法中的作用
02
在矩阵乘法中，如果一个矩阵与其逆阵相乘，结果是一个单位
矩阵。因此，利用逆阵可以简化矩阵乘法运算。
逆阵在矩阵乘法中的优势
03
利用逆阵进行矩阵乘法运算可以大大简化计算过程，提高运算
效率。
逆阵在矩阵运算中的重要性
1 2
逆阵的应用范围
逆阵在许多领域都有广泛的应用，如线性方程组的求解、矩阵的分解、特征值的计算等。
中的应用
线性方程组的解法
01
02
03
高斯消元法
通过消元和回代步骤求解线性方程组，但当系数矩阵的行列式为零时，该方法失效。
克拉默法则
适用于线性方程组系数行列式不为零的情况，通过求解方程组得到解。
迭代法
通过迭代过程逐步逼近方程组的解，适用于大规模线性方程组。

线代方阵知识点总结

线代方阵知识点总结在线性代数中，方阵是一个非常重要的概念。

方阵是一个n×n的矩阵，即矩阵的行数和列数相等。

方阵的概念是线性代数中的基础，理解方阵的性质和运算规则对于理解线性代数的其他理论和方法是非常重要的。

在这篇文章中，我们将从不同角度来总结方阵的相关知识点。

一、方阵的定义和基本概念首先，我们来看方阵的定义和一些基本概念。

方阵是一个n×n的矩阵，即有n行和n列。

在表示方阵时，通常使用大写字母A、B、C等来表示，而矩阵中的元素可以用a_{ij}来表示，其中i表示行数，j表示列数。

在一个n×n的方阵中，元素a_{ij}称为矩阵的第i行第j列元素。

另外，方阵的对角线上的元素称为主对角线元素。

如果一个方阵A的元素满足a_{ij}=0(i≠j)，那么称它是一个对角矩阵。

如果一个方阵A的元素满足a_{ij}=0 (i>j)，那么称它是一个上三角矩阵；如果满足a_{ij}=0 (i<j)，那么称它是一个下三角矩阵。

有时候我们还需要对方阵进行转置操作，即将矩阵的行和列互换得到新的矩阵，这样得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵，通常用A^T表示。

二、方阵的运算在线性代数中，我们对方阵可以进行加法、乘法等运算。

首先来看方阵的加法。

对于两个n×n的方阵A和B，它们的加法定义为：A+B=C，其中C的第i行第j列元素为a_{ij}+b_{ij}，即对应元素相加。

方阵的加法遵循交换律和结合律。

接着是方阵的数乘。

对于一个实数k和一个n×n的方阵A，方阵的数乘定义为：kA=D，其中D的第i行第j列元素为ka_{ij}，即矩阵中的每个元素都乘以k。

这里需要注意的是，矩阵的数乘遵循分配律。

另外，我们还可以对两个方阵进行矩阵乘法运算。

矩阵乘法的定义比较复杂，但主要思想是将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列分别组合成新的矩阵。

对于一个m×n的矩阵A和一个n×p的矩阵B，它们的乘积AB=E，其中E是一个m×p的矩阵，E的第i行第j列元素为矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和。

线性代数知识点总结第二章

线性代数知识点总结第二章矩阵及其运算第一节矩阵定义由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ija i m j n ==排成的m 行n 列的数表111212122212nn m m mna a a a a a a a a 称为m 行n 列矩阵;简称m n ⨯矩阵,记作111212122211n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭,简记为()()m n ij ij m nA A a a ⨯⨯===,,m n A ⨯这个数称为的元素简称为元;说明元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵; 扩展几种特殊的矩阵：方阵：行数与列数都等于n 的矩阵A ; 记作：A n; 行列矩阵：只有一行列的矩阵;也称行列向量; 同型矩阵：两矩阵的行数相等,列数也相等; 相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等;记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵不同型的零矩阵不同对角阵：不在主对角线上的元素都是零;单位阵：主对角线上元素都是1,其它元素都是0,记作：E n 不引起混淆时,也可表示为E 课本P29—P31注意矩阵与行列式有本质的区别,行列式是一个算式,一个数字行列式经过计算可求得其值,而矩阵仅仅是一个数表,它的行数和列数可以不同;第二节矩阵的运算矩阵的加法设有两个m n ⨯矩阵()()ij ij A a B b ==和,那么矩阵A 与B 的和记作A B +,规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎛⎫⎪+++⎪+= ⎪⎪+++⎝⎭说明只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算;课本P33 矩阵加法的运算规律()1A B B A +=+；()()()2A B C A B C ++=++()()1112121222113,()n n ij ij m nm n m m mn a a a a a a A a A a a a a ⨯⨯---⎛⎫⎪--- ⎪=-=-= ⎪⎪---⎝⎭设矩阵记,A -称为矩阵A 的负矩阵()()()40,A A A B A B +-=-=+-;课本P33数与矩阵相乘,A A A λλλ数与矩阵的乘积记作或规定为111212122211,n n m m mn a a a a a a A A A A A a a a λλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭数与矩阵的乘积记作或规定为数乘矩阵的运算规律设A B 、为m n ⨯矩阵,,λμ为数()()()1A A λμλμ=； ()()2A A A λμλμ+=+；()()3A B A B λλλ+=+;课本P33矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算;矩阵与矩阵相乘设(b )ij B =是一个m s ⨯矩阵,(b )ij B =是一个s n ⨯矩阵,那么规定矩阵A 与矩阵B的乘积是一个m n⨯矩阵(c )ij C =,其中()12121122j j i i is i j i j is sj sj b b a a a a b a b a b b ⎛⎫ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1sik kj k a b ==∑,()1,2,;1,2,,i m j n ==,并把此乘积记作C AB = 注意1;A 与B 能相乘的条件是：A 的列数＝B 的行数;2;矩阵的乘法不满足交换律,即在一般情况下,AB BA ≠,而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵;3;对于n 阶方阵A 和B,若AB=BA,则称A 与B 是可交换的;矩阵乘法的运算规律()()()1AB C A BC =；()()()()2AB A B A B λλλ==()()3A B C AB AC +=+,()B C A BA CA +=+ ()4m n n n m m m n m n A E E A A ⨯⨯⨯⨯⨯== ()5若A 是n 阶方阵,则称 A k 为A 的k 次幂,即kk A A AA =个,并且m k m k A A A +=,()km mk A A =(),m k 为正整数;规定：A 0＝E注意矩阵不满足交换律,即AB BA ≠,()kk k AB A B ≠但也有例外课本P36纯量阵矩阵0E 0λλλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为纯量阵,作用是将图形放大λ倍;且有()(E)E A A A λλλ==,A 为n 阶方阵时,有()(E )n n n n n E A A A λλλ==,表明纯量阵与任何同阶方阵都是可交换的;课本P36 转置矩阵把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做A 的转置矩阵,记作A T ,如122458A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,142528T A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭; 转置矩阵的运算性质()()1TT AA =；()()2TT T A B A B +=+；()()3TT A A λλ=；()()4TT T AB B A =;课本P39方阵的行列式由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式,叫做方阵A 的行列式,记作A 或注意矩阵与行列式是两个不同的概念,n 阶矩阵是n 2个数按一定方式排成的数表,而n 阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数; 运算性质()1T A A =；()2nA A λλ=；(3)AB A B B A BA ===课本P40对称阵设A 为n 阶方阵,如果满足A =A T ,即(),1,2,,ij jia a i j n ==那么A 称为对称阵;说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等,如果TA A =-则称矩阵A 为反对称的;即反对称矩阵A =a ij 中的元素满足a ij ＝－a ji ,i ,j =1,2,…n 伴随矩阵行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵112111222212n n nnnn A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵A 的伴随矩阵; 性质 AA A A A E **==易忘知识点课本P总结1只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算;2只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律;3矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同;第三节逆矩阵定义对于n 阶矩阵A ,如果有一个n 阶矩阵B ,使得AB ＝BA ＝E 则说矩阵A 是可逆的,并把矩阵B 称为A 的逆矩阵;1A A -的逆矩阵记作,1A B -=即;说明1 A ,B 互为逆阵, A = B -12 只对方阵定义逆阵;3.若A 是可逆矩阵,则A 的逆矩阵是唯一的;定理1 矩阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠,并且当A 可逆时,有1*1AA A-=重要证明见课本P奇异矩阵与非奇异矩阵当0A =时,A 称为奇异矩阵,当0A ≠时,A 称为非奇异矩阵;即0A A A ⇔⇔≠可逆为非奇异矩阵;推论若(A=E)AB E =或B ,则1B A -=证明见课本P求逆矩阵方法**1(1)||||021(3)||A A A A A A -≠=先求并判断当时逆阵存在；（）求；求。