双曲线标准方程及性质(有答案)

双曲线标准方程及性质

1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。

这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 2、双曲线的几何性质：

焦点的位置

焦点在x 轴上

焦点在y 轴上

图形

标准方程

范围

顶点

轴长

焦点

焦距

对称性

离心率

渐近线方程

3、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．

第1课时 双曲线及其标准方程

一、选择题

1．已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)，其焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交双曲线同一支于A 、B 两点，

且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长是( )

A ．4a

B ．4a －m

C ．4a ＋2m

D ．4a －2m

2．设θ∈(3π4，π)，则关于x 、y 的方程x 2sin θ－y 2

cos θ＝1 所表示的曲线是( )

A ．焦点在y 轴上的双曲线

B ．焦点在x 轴上的双曲线

C ．焦点在y 轴上的椭圆

D ．焦点在x 轴上的椭圆

3．(2010·安徽理，5)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭

⎫

22，0

B.⎝⎛

⎭⎫52，0 C.⎝⎛⎭

⎫62，0 D ．(3，0)

4．k >9是方程x 29－k ＋y 2

k －4＝1表示双曲线的( )

A ．充要条件

B ．充分不必要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

5．已知双曲线x 225－y 2

9＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距

离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于( )

A.2

3

B ．1

C ．2

D ．4 6．已知双曲线x 2－

y 22

＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( )

A.43

B.53

C.233

D. 3

7．已知方程ax 2－ay 2＝b ，且a 、b 异号，则方程表示( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线

8．以椭圆x 23＋y 2

4＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )

A.x 23

－y 2

＝1 B ．y 2－

x 23＝1 C.x 23－y 2

4

＝1 D.y 23－x 2

4

＝1 9．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( )

A.x 24

－y 2

＝1 B ．x 2－

y 24＝1 C.x 22－y 2

3

＝1 D.x 23－y 2

2

＝1 10．已知双曲线x 29－y 2

16＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线上一点P 使∠F 1PF 2＝90°，则

△F 1PF 2的面积是( )

A ．12

B ．16

C ．24

D ．32 二、填空题

11．若双曲线x 2－y 2＝1右支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离是2，则a ＋b ＝________.

12．已知圆(x ＋4)2＋y 2＝25的圆心为M 1，圆(x －4)2＋y 2＝1的圆心为M 2，动圆与这两圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为____________．

13．若双曲线x 2m －y 2n ＝1(m >0，n >0)和椭圆x 2a ＋y 2

b ＝1(a >b >0)有相同的焦点F 1，F 2，M 为两曲线的交

点，则|MF 1|·|MF 2|等于________．

14．已知双曲线x2－y2＝m与椭圆2x2＋3y2＝72有相同的焦点，则m的值为________．

三、解答题

15．设声速为a米/秒，在相距10a米的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差6秒，求炮弹爆炸点所在曲线的方程．

16．已知双曲线与椭圆x2

27＋

y2

36＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方

程．

17．已知定点A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求椭圆的另一焦点F 的轨迹方程．

18．如图，已知双曲线的离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，求双曲线的标准方程．

第2课时 双曲线的简单几何性质

一、选择题

1．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为14

5，双曲线的方程应是( )

A.x 212－y 24＝1

B.x 24－y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1 D ．－x 24＋y 2

12＝1 2．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )

A.x 212－y 2

24

＝1 B.y 212－x 224＝1 C.y 224－x 2

12

＝1 D.x 224－y 2

12

＝1 3．若0

b 2＝1有( )

A ．相同的实轴

B ．相同的虚轴

C ．相同的焦点

D ．相同的渐近线

4．中心在坐标原点，离心率为5

3的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )

A ．y ＝±5

4

x

B ．y ＝±45x

C ．y ＝±43x

D ．y ＝±3

4

x

5．(2009·四川文，8)已知双曲线x 22－y 2

b 2＝1(b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝

x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→

＝( )

A ．－12

B ．－2

C ．0

D ．4

6．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为( ) A.3 B.

62 C.63 D.3

3

7．已知a 、b 、c 分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根，则双曲线离心率的取值范围是( )

A ．1

B ．1

C ．1

D ．1

8．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 2

3n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )

A ．x ＝±

152

y B ．y ＝±

152x C ．x ＝±34

y D ．y ＝±3

4

x

9．(2010·海口期末)已知双曲线C ：x 29－y 2

16＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 的右支上一点，且

|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )

A ．24

B ．36

C ．48

D ．96

10．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－14

B ．－4

C ．4

D.14