2020年高考理科数学专题训练 小题满分限时练(二)

限时练(二) (限时：40分钟)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( ) A.(1，2)

B.(1，2]

C.(－2，1)

D.[－2，1)

解析 由4－x 2≥0得－2≤x ≤2，∴A ＝[－2，2]，由1－x ＞0得x ＜1，∴B ＝ (－∞，1).∴A ∩B ＝[－2，1). 答案 D

2.已知a ∈R ，i 是虚数单位.若z ＝a ＋3i ，z ·z ＝4，则a ＝( ) A.1或－1 B.7或－7 C.－ 3

D. 3

解析 由已知得(a ＋3i)(a －3i)＝4， ∴a 2＋3＝4，解得a ＝±1. 答案 A

3.若点P 到直线y ＝3的距离比到点F (0，－2)的距离大1，则点P 的轨迹方程为( ) A.y 2＝8x B.y 2＝－8x C.x 2＝8y

D.x 2＝－8y

解析 依题意，点P 到直线y ＝2的距离等于点P 到点F (0，－2)的距离.由抛物线定义，点P 的轨迹是以F (0，－2)为焦点，y ＝2为准线的抛物线，故点P 的轨迹方程为x 2＝－8y . 答案 D

4.已知数列{a n }满足：对于∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝1

2，那么a 5＝( ) A.132

B.116

C.14

D.12

解析 由于a n ·a m ＝a n ＋m (m ，n ∈N *)，且a 1＝1

2. 令m ＝1，得1

2a n ＝a n ＋1，

所以数列{a n }是公比为12，首项为1

2的等比数列. 因此a 5＝a 1q 4

＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫125＝1

32.

答案 A

5.已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，(a －b )·a ＝7，则a 与b 的夹角为( ) A.π6

B.π3

C.2π3

D.5π6

解析 向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，(a －b )·a ＝7. 可得a 2－a ·b ＝4－a ·b ＝7，可得a ·b ＝－3， cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－32×3＝－

12， 由0≤〈a ，b 〉≤π，得〈a ，b 〉＝2π

3. 答案 C

6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下面是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x ＝3，n ＝2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s ＝( )

A.8

B.17

C.29

D.83

解析 由程序框图知，循环一次后s ＝2，k ＝1. 循环二次后s ＝2×3＋2＝8，k ＝2.

循环三次后s ＝8×3＋5＝29，k ＝3.满足k >n ，输出s ＝29.

答案 C

7.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 依次成等差数列，BC 边上的中线AD ＝7，AB ＝2，则S △ABC ＝( ) A.3

B.2 3

C.3 3

D.6

解析 ∵由于△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且内角和等于180°，∴B ＝60°，

在△ABD 中，由余弦定理得：AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ，即7＝4＋BD 2－2BD ，

∴BD ＝3或－1(舍去)，可得BC ＝6，

∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×2×6×3

2＝3 3.

答案 C

8.设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，

0，x 为无理数，

则关于函数f (x )有以下四个命题：

①∀x ∈R ，f (f (x ))＝1；②∃x 0，y 0∈R ，f (x 0＋y 0)＝f (x 0)＋f (y 0)；③函数f (x )是偶函数；④函数f (x )是周期函数.其中真命题的个数是( ) A.4

B.3

C.2

D.1

解析 ①当x 为有理数时，f (x )＝1，则f (f (x ))＝f (1)＝1；当x 为无理数时，f (x )＝0，则f (f (x ))＝f (0)＝1，即∀x ∈R ，均有f (f (x ))＝1.因此①为真命题； ②取x 0＝2，y 0＝3，则f (x 0＋y 0)＝0，且f (x 0)＋f (y 0)＝0，则②成立； ③易知f (x )为偶函数，③为真命题；

④对任意非零有理数T ，有f (x ＋T )＝f (x )，则④为真命题. 综上，真命题有4个. 答案 A

9.为响应“精准扶贫”号召，某企业计划每年用不超过100万元的资金购买单价分别为1 500元/箱和3 500元/箱的A ，B 两种药品捐献给贫困地区某医院，其中A 药品至少100箱，B 药品箱数不少于A 药品箱数.则该企业捐献给医院的两种药品总箱数最多可为( )

A.200

B.350

C.400

D.500

解析 设购买A 种药品x 箱，B 种药品y 箱，捐献总箱数为z .

由题意⎩⎨⎧1 500x ＋3 500y ≤1 000 000，

x ≥100，y ≥x ，

x ，y ∈N

*

即⎩⎨⎧3x ＋7y ≤2 000，

x ≥100，y ≥x ，x ，y ∈N *

.

目标函数z ＝x ＋y ，作出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分， 则当z ＝x ＋y 过点A 时，z 取到最大值. 由⎩⎨⎧3x ＋7y ＝2 000，x ＝y

得A (200，200)， 因此z 的最大值z max ＝200＋200＝400. 答案 C

10.若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0<ω<5，ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π4ω，函数f ′(x )的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫

π8，0，则f (x )的最小正周期是( ) A.π4

B.π2

C.π

D.2π

解析 由f (x )＝a 2

＋b 2

sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛

⎭⎪⎫tan φ＝b a 的对称轴方程为x ＝π4ω可知，π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ⇒φ＝π4＋k π，即b

a ＝tan φ＝1⇒a ＝

b ，

又f ′(x )＝aωcos ωx －bωsin ωx 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0，则f ′⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π8＝0⇒a ω

⎝

⎛⎭⎪⎫cos ωπ

8－sin ωπ8＝0⇒ωπ8＝π4＋k π，k ∈Z ⇒ω＝2＋8k ，k ∈Z ⇒ω＝2，即T ＝2π

ω

＝π.

答案 C

11.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )