第三章 监测网平差及基准点稳定性分析
沉降变形监测基准点稳定性分析研究
沉降变形监测基准点稳定性分析研究摘要：随着社会的进步，经济的发展，中国城镇化建设的速度越来越快，各种工程建筑物、构筑物如雨后春笋般拔地而起，但随之而来的工程安全性问题也越来越多。
工程的安全与否直接关系到其质量问题以及能否正常运行，所以有必要对其实施变形测量。
其中，沉降是变形体非常常见的一种变形现象。
对变形体实施沉降测量，一个先决条件便是必须确保基准是稳定的，那么分析基准的稳定性就显得很重要了，其中的分析方法有平均间隙法、限差检验法、单点位移分量法等。
这些分析方法中又分为两类，一类是对网型进行整体检验，一类是对单个点位的检验。
关键词：沉降监测；基准点；稳定性；平均间隙法；限差法；单点位移分量法1背景伴随着越来越快的城镇化建设速度，各种工程建筑物、构筑物建设的速度也越来越快，越来越多，这些工程体直接影响着人们的日常生活，然而工程体在建设施工和运营管理时期，由于复杂的外界因素，就像地表土层的周期性运动、工程体受到外界过大的负荷影响、地底水位季节性变化对土层的影响等，导致工程体发生形变[1]，进而导致布设在工程体周围的监测基准网中的部分点位发生上升或沉降，从而直接影响了整个基准网的稳定。
要确保稳定的监测基准，那么就要对其进行稳定性分析，去掉动点，防止动点的观测误差给观测值的解算带来偏差。
因此，分析研究监测基准点的稳定性，是变形几何分析中值得探讨的内容。
2监测网的平差基准2.1监测网的分类用于变形监测的测量方法非常之多，我们不妨参照实际情况和网型的特征采取合适的方法。
比如，选择大地测量及摄影测量进行变形监测的时候，通常布设的网型为平面与高程控制网，通过对监测点实施周期性观测而得到相应的观测值，并对观测值进行精度分析、平差，经过分析后得到其变形的大小及变形规律。
这种控制网定义为变形控制网，也称为变形监测网。
变形监测网分为两大类，即绝对网和相对网。
2.2监测网的基准监测网的稳定性分析需要选择一个合适的平差方法以及选择一个合理的参考系，这是变形监测数据处理过程中至关重要的内容。
第三章监测网平差及基准点稳定性分析
剔除动点后，其余点构成统计量
F1
ˆF 2 ˆ02
ˆF
2
=
dFT
PFF fF
dF
当F1<F分析值，分析即结束，反之，继续 剔除动点，继续检验，直到原假设不再拒绝，
最后剩下的都是稳定的点。
• 当网中存在固定点时，采用这些固定点作 基准，应用经典平差；
• 当网中某些点具有相对的稳定性，它们相 互变动是随机的情况下，则用这些点作拟 稳点，用拟稳平差对成果进行分析；
• 当监测网所有网点具有微小的随机变动时, 自由网平差是一种有效的分析方法.
因此，要合理地确定监测网的参考系，首先要 确定哪些点是稳定的或相对稳定的点，哪些点是 不稳定的点。从20世纪70年代起，人们相继提出 了多种关于监测点稳定性分析方法，其中平均间 隙法是一种比较典型的方法。
m i=1
xi =0
xm
x
1 m
m i 1
xi
0, x为水准网的高程重心.
x =0说明水准网的自由网平差参考系是网的高程重心.
以测边网为例：自由网平差
x1
1
G
T
X=
0
- y10
0 1 x10
1 0 - y20
0 1 x20
…1 …0 … ym0
0 1 xm0
y1 xm
所以：对监测网进行稳定性分析，并 根据稳定性分析结果选择平差方法，确立 一个对变形分析比较有利的参考系，是变 形观测数据处理的一项重要任务。
§3—2 监测网的参考系及其平差
起算数据称为平差问题的基准：基准给出了控制网的位 置。
尺度和方位的定义 即控制网的参考系.
• 经典平差：采用选择固定基准的办法确定参考 系. （满足待估参数的求取要求） • 监测网平差：满足有多期复测的观测值估计的 位移 是一种“绝对的”或接近绝对的位移
监测网基准点稳定性检验方法与应用
：
（） ２
． ，
其 中 ： ＋ ， 果 两 期观 测 期 间 点位 没 有 如 变 动 ， 么根 据两 个 周 期 观 测 成果 平 差后 求 得 的 那 坐标 差 向量 （ 称为 间 隙 ） ： 为
文章 编 号 ：０ ７—１４ ２ １ ）６— ８ １一 ３ １０ ４ Ｘ（０ ０ ０ ０ ６ Ｏ
文献 标 志码 ： Ａ
监 测 网基 准 点 稳 定 性 检 验 方 法 与 应 用
尹 晖 杨 睿 陈鹏云 ， ， ．
（． １武汉大学测绘学院， 武 ３０９２华中电 湖北 汉４０７； ． 力电网技术有限公司 电 力科学研究院， 武汉４０７） 湖北 ３ ７ ０
摘
要： 平均 间隙法 （ ｎｏｅ 一法 ） Ｈａｎｖｒ 是监测 网基准 点稳定 性检验 的主要方法 ， 包括 整体检 验和局部 检验两 大
步骤 。针对实际应用中如何构造假设检验的统计量 、 自由度 的计 算和 Ｆ分布 表的取值 问题 ， 过两种 不同思 通
路从理论上进行推导 ， 给出正确 的计算公式 ， 并证明两种思路 的一致性 ， 最后以实际算例进行 了验证 。 关键词 ： 基准点稳定性 ；平均间隙法 ； 假设检验 ；自由度 ； 算例验证
第３卷 第６ ２ 期 ２１ 年 １ 月 ００ ２
武 汉 理 工 大 学 学 报 ・信 息 与 管 理 工 程 版 Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ｔ ＩＦ Ｒ Ａ ＩＮ＆Ｍ Ｎ Ｇ Ｍ Ｎ Ｎ ＩＥ ＲＮ ） Ｏ Ｒ Ａ ＦＷＵ （Ｎ Ｏ Ｍ Ｔ Ｏ Ａ Ａ Ｅ Ｅ ＴＥ ＧＮ Ｅ ＩＧ
建筑工程测量控制网的建立、精度及稳定性分析
建筑工程测量控制网的建立、精度及稳定性分析发布时间：2021-03-19T10:00:27.293Z 来源：《城镇建设》2020年12月36期作者：宗兴旺[导读] 现阶段，我国城市化发展建设进程持续深入，不同类型的建筑数量逐年增多宗兴旺南京东大岩土工程勘察设计研究院有限公司江苏南京 210000摘要：现阶段，我国城市化发展建设进程持续深入，不同类型的建筑数量逐年增多，处于这种情况的社会发展背景下，建筑工程自身测量控制网的建立、精度和稳定性控制工作变得尤为重要。
本文针对上述内容展开研究，分析测量控制网的建立工作、精度控制工作和稳定性控制工作，总结相关工作经验，为同领域工作者提供合理化发展建议，为促进工程测量工作的进一步发展提供理论研究基础。
关键词：稳定性；控制点；建筑工程；测量前言：工程建设施工顺利与否会与工程各部分组成结构之间存在有机联系，通常都需要通过施工控制网为施工作业提供保障作用。
但是，因为部分大型工程本身施工周期较长，同时施工区域内的作业条件复杂，容易受到外界环境因素干扰，因此，需要在工程建设之初打造施工控制网点，以此避免施工期间发生位移的情况。
如果控制网点出现相应变化而工作人员又未及时发现这一情况，继续采用固有的坐标数据进行放样作业，就会出现导致放样误差过于明显，项目工程施工质量也会因此受到影响。
一、工程测量控制网建立对于部分施工控制网的复测工作而言，需要对其最终的测量结果加以分析，通过这种方式能够对控制点位置的稳定性做出更为深入的了解，通过这种方式保证工程最终阶段的施工质量。
在上述内容之外，在对工程控制点稳定性进行分析的过程中，因为会受到测量误差因素的影响，导致两期测量成果存在一定的差异性，此时如何合理使用这些测量成果，属于工程建设期间必须完成的选择。
（一）施工控制网概述对于所有的建筑施工控制而言，布设施工控制网均属于测量工作需要完成的主要任务内容之一。
处于勘测阶段的测图控制网，建筑物自身结构、位置均未明确，无法对施工测量工作需要做出足够周全的考量；此外，工程施工前，大多需要先完成场地平整工作，此后才可以正常开展工作，否则原施工场地中固有的部分测图控制点遭受破坏的可能性很高，所以，工程项目正式施工阶段，大多需要组织专门施工控制网用于测量工作。
专业技能考试试题库-学生版
地图学A一、 单项选择题1. 图号为J53D012001的地图是( D )比例尺地形图。
A. 1:1万B. 1:2.5万C. 1:5万D. 1:10万2. 我国自2008年7年1日起启用新坐标系是以下哪个坐标系( D )。
A. 1985国家高程基准B. 1954年北京坐标系C. 1980年国家大地坐标系D. CGCS20003. 我国现行的1:50万地图，都采用( A )。
A.高斯-克吕格投影B.多圆锥投影C.墨卡托投影D.正轴等方位投影4. 在大地测量中关于经纬度的三种提法，其中不包括( D )。
A. 大地经纬度B.天文经纬度C.地心经纬度D.地理经纬度5. 数学要素是保证地图数学精确性的基础，以下不属于地图的数学要素是( D )。
A.地图投影B.坐标网C.比例尺D.接图表6. 我国1:10万的地形图，采用( B )分带投影以保证地图必要的精度。
A. 3°B. 6°C. 9°D. 12°7. 请指出右面地形图（图1）中的未出现的错误( D )。
A. 未加固陡坎缺少高程点B. 等高线穿过房屋符号C. 高程点注记压盖房屋符号D. 异常高程未剔除8. 根据图号J49D012012计算该图右边邻接的图幅图号为( A )A. J50D012001B. J49D012011C. J49D012001D. I50D0120019. 在等高线中，间曲线是按规定等高距的( A )高程加绘的长虚线。
A. 1/2B.1/4C. 2D. 1/8二、 判断题1. 常用的1:2000地形图是国家基本比例尺地形图之一。
( F )2. 在高斯-克吕格坐标网中，为了避免横坐标出现负值，规定横坐标轴向西平移500km 。
( T )3. 在地貌表示中示坡线坡线与等高线相连的一端指向上坡方向，另一端指向下坡方向。
( T )4. 1956年黄海高程系和1985国家高程基准相差29mm 。
( T )5. 等高线表示中，最粗的等高线叫首曲线。
第三章变形监测方案设计
c．测点的布设不宜过多，但要保证观测质量。一般情况下，主要测点的布 设应能控制结构的最大应力（应变）和最大挠度（或位移）。
d．各个不同的监测方案，需要进行方案的比较和验证工作，使监测工作做 到技术上有保证，经济上可行，实施时安全，数据上可靠，特别要强调 的是应避免“唯武器论”，单方面追求高精度、自动化、多参数，脱离工 程实际需要的监测方案。
15天。
第三章变形监测方案设计
土木工程与建筑学院
3.4 监测部位和测点布置的确定
变形部位和测点布置原则：
1．在满足监测目的前提下，测点数量和布置必须是充分的、足够的； 同时测点宜少不宜多，不能盲目设置测点。
2．测点的位置必须具有代表性，以便于分析和计算。主要测点的布设 应能反映结构的最大应力（应变）和最大挠度（或位移）。
3～5
-
3 邻近建（构）筑物 最大沉 10～60 -
-
-
降
差异沉 降
2/10 0.1H/10 00 00
注：1. H-为建（构）筑物承重结构高度。 2. 第3项累计值取最大沉降和差 异沉降两者的小值
第三章变形监测方案设计
土木工程与建筑学院
§3.7 变形网设计
变形监测控制网的原则:
1.变形监测网应为独立控制网。 2.变形监测控制点埋设的位置最好能选在沉降影响范围之外，
3.4 监测部位和测点布置的确定
2. 工作基点 • 现场设置可以直接观测变形点并且相对稳定的测量控制点即工作基点。 • 工作基点宜采用带有强制归心装置的观测墩，垂直位移监测工作基点可
采用钢管标。 • 对通视条件较好的小型工作，可不设工作基点。 • 在基准点上直接观测变形观测点。工作基点要求观测期间保持点位稳定，
5.2变形监测网的参考系和基准点的稳定性分析1
i
0
上式说明重心到各网点方向角改正数的加权（以距离的平方为权）平均值为 零。也就是边角网秩亏自由网平差的方位基准是重心到各个点的方位角的加权 平均值。
第 五 章
监 测 网 的 参 考 系 和 稳 定 性 分 析 秩亏自由网平差的参考系是由控制网中所有的点定义的。如果 以网中的部分点来定义网的参考系，所得到的是拟稳平差参考系。 参与参考系定义的点为拟稳点。类似于秩亏自由网平差的参考系， 拟稳平差参考系的坐标基准是拟稳点的重心坐标，起始方位是重 心到各拟稳点方位角的加权平均值。
1 2
了因参考系变化而重新平差的问题，同时也给出了利用相对简单的平差方法（如 经典间接平差）计算较复杂的平差问题的一条途径，即先利用较简单的平差方法 平差后，再利用相似变换将其结果转换到较复杂的平差结果。
第 五 章
ˆ X ˆ NN NA X 1 2
NN 表示法方程系数阵N的零空间。因A的秩亏为d，故 N A的一组基向量可用 其中， 监 一个m×d阶矩阵的 参 考 系 和 稳 定 性 分 析
因而有
ˆ SX ˆ , X 2 1
T ˆ x ˆ S Qx SQ x ˆ2 x ˆ2 1 1
式中， 标，原点实际上就是网的重心。
ri
x y ，即第i点到坐标原点的距离；由于采用的是中心化近似坐
m 0 0
是重心到点i的方向角改正数。将上式中的微分换成改正数，兼顾 xi yi yi xi i 1 即得：
x y y x r v
m i 1 0 i i 0 i i m 2 i 1 i
第 5.2.4不同参考系之间平差结果的转换 五 这里讨论利用参考系方程的系数矩阵构成一个相似变换矩阵，可以将任意参 章 考系的平差结果，转换到参考系方程所定义的参考系的平差结果。这种转换避免
沉降观测
边缘人物-----四处漂泊-----草根上位-----临危受命-----初露峥嵘-----力挽狂澜-----王者之风----一统天下。
沉降观测数据处理与分析系统软件的设计方案第1章概述一般建筑物的沉降观侧任务包括：测定建筑物地基的沉降量、沉降差及沉降速度。
计算周期沉降量、周期沉降速度等。
现代建筑物沉降观测已不仅仅局限于独立的个别建筑物、而是涉及由若干建筑物组成的建筑群，如整个居民小区等沉降分析也随之扩展为区域沉降分析。
为便于沉降现测数据管理，引人“工程” 概念。
工程是建筑物沉降分析系统的基本沉降分析单元，由若干建筑物、沉降点和工作基点组成。
工作基点是该区域用于沉降观测的基准点，工程数据包括:工程名、工程属性，建筑物名、建筑物属性、沉降点名、沉降点属性、沉降数据、工作基点名称及属性、工作基点沉降数据。
沉降观测结束后，应提交的资料包括：1.技术方案或技术设计书；2.沉降观测标志及埋设示意图；3.工程平面位置图及基准点与沉降点平面布设略图；4.期沉降观测成果表；5.建筑平均沉降过程线曲线图；6.沉降速率、时间、沉降量曲线图；7.建筑物沉降观测等值线图；8.沉降观测分析技术报告。
每周期观测后应及时对观测资料进行整理，计算观测点的沉降量、沉降差以及本周期平均观测量、沉降速率和累计沉降量。
根据需要计算基础或构建的倾斜或弯曲量。
沉降观测的周期和观测时间应按下列要求并结合实际情况确定：1.建筑施工阶段的观测应符合下列规定：1)普通建筑物可在基础完工后或地下室砌完后开始观测，大型、高层建筑可在基础垫层或基础底部完成后开始观测；2)观测次数与间隔时间应视地基与加荷情况而定。
民用高层建筑可每加高1-5层观测一次，工业建筑可按回填基坑、安装柱子和屋架、砌筑墙体、设备安装等不同施工阶段分别进行观测。
若建筑施工均匀增高，应至少在增加荷载的25%、50%、75%和100%时各观测一次；3)施工过程中若暂停停工，在停工时及重新开工时应各观测一次。
第三章 监测网平差及参考点稳定性检验
V T PV s nt d
求 ( NN ) ： 可以在方阵中任意去掉d行、d列，把余下的式子 （已是满秩的）求出凯来逆，再在原来去掉的行、列补上0， 即为NN的一个广义逆。
因广义逆不唯一，但可以证明，用不同的广义 逆（NN）-代入上式后，求得的X向量却是相同的， 故X有唯一解！
3.3 秩亏自由网平差
2 X T 2K T N 0 X
X NK
X NK
T NNK A Pl 代入法方程，有：
NX AT Pl
K ( NN ) 1 AT Pl
X N ( NN ) 1 AT Pl
NN 仍是秩亏的，但
X N ( NN ) 1 AT Pl 却是惟一的
观测改正数： V AX l ( AN ( NN ) 1 AT P E )l 单位权方差：
3.3 秩亏自由网平差
四、 秩亏自由网平差——直接解法
问题的提出:在秩亏自由网平差中,如果像经典平差平差那样,只 要求遵循最小二乘原则求未知参数的解,将不可能取得唯一确定 的估计量; 解决方法:为了得唯一确定的估计量,需要在遵循最小二乘原则基 础上附加另外条件; 附加条件的前提:该条件的确定应保证所求得的未知数的估计量 是最优的. 这样的最优解是唯一存在的,它就是法方程的最小范数解!
3.2 监测网经典平差
一、间接平差原理
误差方程式：
L V AX
设观测值权为 P ，根据最小二乘原理：
V T PV min
求极值，有：
d (V T PdX
AT PV 0
3.2 监测网经典平差
AT P( AX l ) 0 AT PAX AT Pl
7.3mm
H P H P 0 H P 103.455m 7.3mm 103.4623
浅析地铁隧道保护区监测中基准网数据的稳定性分析
49一、基准网数据稳定性分析的方法原理1.平均间隙法。
德国学者Pelzer于1971年首次提出了平均间隙法，作为稳定性分析方法的一种，平均间隙法的基本思想是对监控网络进行两次测试和分析。
如果试验通过，则表明所有基准点都是稳定的。
相反，则需要进一步对每个点进行分析，提取出不稳定的基准点。
2.分块间隙法。
分块间隙法的原理是将监测点划分为稳定和不稳定两部分，其中，F表示稳定部分，M表示不稳定的部分，T d =（T F d TM d ）表示坐标差（间隙）矢量，在显著水平α条件下，假设FF≤αf h F ,，则认为f分块无误，否则认为存在不稳定点，需要进一步计算分析找出不稳定基准点。
二、案例分析1.地铁隧道中基准网的建立和工作基点的确定。
无锡轨道交通1号线南延线起自1号线终点长广溪站终至南泉站，线路正线全长5.17km，设站3座，全部为地下线。
地铁一号线南延线长广溪站~雪浪站区间在长广溪站始发后与出入场线大致平行，在长广溪站盾构始发端，在右线隧道SK29+793.681~SK29+866.75里程范围下穿出入线且与出入场线平面距离约为2.3m，并行段新建隧道与既有线结构平面最远距离约为10.9m，盾构施工对既有线隧道影响等级为特级。
需对该区段地铁隧道进行保护区监测。
隧道施工影响隧道长度约 100m。
在对隧道保护区监测中，监测基准点选取远离变形区 80 ～ 120m 外布设在轨道道床上。
在基坑施工影响区域外上下行各布设 4 个基准点，共计8 个基准点。
在整个开挖过程中，为了确保地铁隧道保护区在挖掘过程中的绝对安全性，使用自动全站仪对其进行连续24h不间断的变形监测。
所选择的监测网为长形监测网，8个基准点分别分布在隧道影响区域外的固定区域，如图1所示。
图1 基准点位置2.基准点稳定分析。
本次基准点的稳定性分析以仪器点位观测对距离和角度的观测为基础，通过多点后方交会后得到基准点坐标，数据见表1。
表1 基准点坐标表两期的观测距离数据如表2所示。
某住宅楼沉降形变监测
某住宅楼沉降形变监测[摘要]针对渭河沉积平原某居民楼地基软化发生沉降变形，为了监测其在地基处理前和处理过程中的形变量与变形速率以及处理后运营状态，选定了具有代表性的检测点、基准点，制定观测周期，观测方法，确立了基准网的平差模型，对不同时期观测数据的处理方案等一系列行之有效的方法与措施，取得了满意的效果。
通过不同期的监测，解决了不同的问题，首期观测为地基基础处理提供依据，二期观测实时监测地基基础的处理，三、四、五期的监测结果表明了地基基础处理结果的可靠性。
[关键词]沉降变形监测基准点监测点自由网平差某住宅楼建好后投入使用，2年后，楼内居民发现房屋出现了不同程度的裂缝。
该楼为7层框架结构，高约22米，共5个单元，各单元独立结构。
该楼建于渭河古二级阶地上，黄土覆盖层较厚，地基为素土回填，600mm厚的3：7的灰土垫层，条形钢筋混凝土（C20）基础。
经检查发现，该楼大量下水管道破裂，引起地基软化，楼体出现不同程度的沉降，为了了解沉降对楼房的影响程度，给地基处理提供数据以及监测地基处理后的稳定性，受该楼所属公司委托，进行沉降形变观测。
一、监测点的布设由于该楼是由五个独立单元连接而成，监测点的布设需要全面反映每个单元不同部位的沉降变形量，经过实地踏勘，发现在每个单元外部拐角处下部都有一个监测点，且与主体框架连接紧密，满足沉降监测要求，决定利用这些点作为本次沉降观测的监测点（如图1）。
二、基准点的布设为了保证监测点能正确反映楼房沉降量，在楼房沉降区域之外选择了3个基准点BM1、BM2、BM3，这三个基准点均远离该楼房，一个位于该公司外面公路边的一个国家二等水准点，另两个在该公司院内，三个点组成一个锐角三角形，为了保证在该公司院内的基准点的长期稳固，埋深3米，混凝土现浇，镶嵌铜质水准点标志，标志上另加护盖。
基准点与监测点共同构成本次沉降监测网，三个基准点构成首级水准网，由BM1、CJ1……CJ20、BM2构成本次沉降观测的扩展网。
沉降监测网点的稳定性分析
安徽理工大学毕业论文沉降监测网点的稳定性分析摘要针对在冲积层地区开挖建设大型工业场地可能出现的地面沉降问题,通过建立监测控制网,进行了沉降监测,并根据沉降观测的数据分析了网中各水准点的稳定性及影响该控制网稳定性的主要因素。
为了研究用高精度的GPS 高程测量来监测城市地面的沉降变化,在N市建立了GPS基准网和监测网。
在观测中采取了一定的措施,以获得高精度的高程分量。
实际算例表明，采用GPS 技术进行城市地面沉降监测,获得了毫米级的高程精度,能够满足城市沉降监测的需要。
关键词：监测网，稳定性，沉降- I -THE STABILITY ANALYSIS OF SUBSIDENCEMONITORING NETWORKABSTRACTIn view of the surface subsidence problem that may occur in digging for the construction of large industrial site in alluvial district ,a subsidence monitoring net was established and on the basis of the observed data ,the stability of the benchmarks of the monitoring net and the main factors influencing the net stability were analysed. In order to monitor the change of urban land subsidence by high accurate GPS height surveyingtechnique ,a GPS fiducial network were established in N city. Some measures were taken during GPS observation in order to obtain the high precise height component . It is verified by the practical example in this paper that the mm - level measuring precision was achieved when the urban land subsidence was monitored using GPS surveying. The precision of GPS surveying canstisfy the reguirement of the wrban land subsidence.KEYWORDS:Monitoring network,Stability ,Subsidence安徽理工大学毕业论文目录摘要 (I)ABSTRACT........................................................... I I 0绪论.. (1)0.1 沉降监测的意义 (1)0.2 沉降监测的研究现状 (1)0.3 本文的研究内容 (3)1 沉降监测网的建立与施测 (3)1.1沉降监测方案的确定 (3)1.2沉降监测点与监测网的布设 (4)1.3沉降监测的技术要求 (5)2 沉降监测网的变形 (6)2.1沉降监测网点的变形原因 (6)2.2 沉降监测网的必要精度检测标准 (7)3沉降监测网的稳定性检验与分析 (9)3.1含有小粗差观测值的检验 (9)3.1.1含有小粗差观测值的检验 (9)3.1.2直接观测平差含有多个小粗差的检验 (11)3.1.3监测网中含有小粗差的观测值的检验 (12)3.2.秩亏自由网平差 (13)3.3沉降监测网点位稳定性分类的模糊聚类法 (15)3.4沉降监测网的变形分析 (19)3.4.1变形网点稳定性检验和分析 (19)3.4.2沉降监测网的灵敏度 (22)3.5 沉降监测数据处理与分析 (24)4 GPS在沉降监测中的应用 (25)4.1 GPS 地面沉降基准网和监测网的建立及数据采集 (25)4.1.1 城市GPS地面沉降监测网的布设 (25)4.1.2 数据采集 (26)4.2基准起算点的解算及其精度分析 (27)4.2.1 基准起算点的解算 (27)4.2.2 对流层延迟改正 (27)4.3基准网和监测网的数据处理和精度分析 (28)- i -4.3.1 基准网和监测网的数据处理和精度分析 (28)4.3.2 GPS城市地面沉降监测结果的初步统计 (30)结论 (33)参考文献 (34)谢辞 (36)安徽理工大学别业论文0绪论0.1 沉降监测的意义沉降是变形的一种形式，是自然界普通存在的现象，它是指在各种载荷作用下，物体的形状、大小及位置在时间域和空间域中发生垂直方向的变化。
变形监测网基准点稳定性评价
变形监测网基准点稳定性评价吴宇峰（南京市公路路政支队，210008）摘要：变形监测中基准点的稳定性评价是变形观测数据处理时的重要环节。
现对基准点构网和不构网两种情况的数据处理方法，结合本人的工程建设经验进行探讨。
关键词：基准点；稳定性一、前言在变形监测网的观测工作中，无论垂直位移观测还是水平位移观测，都力求使基准点及工作基点保持稳定，即使不能全部不动,也至少应有一组是稳定的，以作为改正变形点的依据。
但在工程实践中，基准点的选定是一个难点，首先基准点距离测量仪器或变形点不能太远，否则影响测量精度。
其次，基准点距离测量仪器或变形点不能太近，否则其稳定性难以保证。
基准网的稳定性是一个相对的概念，由于受到周围环境的影响，基准点有时也会产生位移。
因此，对基准点的稳定性评价，是变形观测数据处理时不可忽视的重要环节。
现就两类情况的数据处理方法进行讨论。
二、对基准点进行稳定性观测，即对基准点定期构网互瞄建立基准网（构成三角网或者边角网），通过对基准网的平差的结果进行分析,选用一个或一组相对来说比较最稳定的基准点作为变形观测的基准。
基准点稳定性检验原理：假设在两个观测周期期间，网中所有基准点均没有变动，可把两周期的观测看成是对同一网的两次连续观测，由这两次观测资料所得的两组基准点高程或坐标可以看成是一组双观测值，则利用由双观测值之差的方法计算双观测值的单位权方差估值θ2。
根据两周期的观测成果计算联合单位权方差估值μ2。
应用Ｆ检验法求在原假设Ｈ0下的Ｆ值，选择置信水平α，查取在α置信水平下的分位值，如果Ｆ值小于分位值则接受原假设，否则拒绝原假设。
对基准点及工作基点组成的高程网或边角网，根据任何两期的观测成果，计算单位权方差估值为：上式中：i、j分别表示不同的两期观测，其中i、j分别为不同的两期观测的单位权方差估值的自由度。
一般情况下两期观测精度是相等的。
根据两期方差估值计算联合方差估值为：式中：f = fi + fj假设两期观测期间点位没有变动，由双观测值原理可得：ｄ=Xj-Xi式中：X j……第ｊ期各点的高程或坐标；X i……第ｉ期各点的高程或坐标；ｄ……两期坐标差。
5.3变形监测网的参考系和基准点的稳定性分析
由此获得： d T P d d T P d d T P d d F FF F M MM M 表达M组稳定性 表达F组稳定性
2.不稳定点搜索
实际工作中，一般是通过平均间隙法，证实已发生移动后，再假设一个点可能变动（即 M 组中只有一个点）；并选择与
T T dM P d max( d P M M M M Mi Mi d Mi ) j j j j i
基本方法
两个方差的比构成的统计量服从F分布。用此量进行检验，看这两个方差是否相等，即是 否出自同一统计总体，如果是，则表示坐标值的差完全由观测误差所引起的，因此判断点 位确实没有移动，否则点位产生了移动。
1.整体检验
对变形监测网，根据每一周期观测的成果，由平差可计算单位权方差的估值：
T ( V PV ) 2 S 01 f1
(i为1， 2， ，t )
所相应的 在剔除
j 点作为可能变动的点。
2 SF F1 2 S0
j 点后，其余点的稳定性则由统计量：
的检验决定。上式中
T d 2 F PFF d F SF hf
当 F1 小于相应分位值时，分析即结束，否则继续剔除可能移动的点，继续检验直到接受原假设为止。
3. 算例
F F
，则表明我们没有足够的证据来怀疑原假设，
即认为点位是稳定的，变形分析即告完成。
（2）如果
F F
，则必须拒绝原假设，亦即认为点位
发生了变动。
1.整体检验
若认为点位发生变化，是所有点都发生变化，还是有一部分点没有变动？ 平均间隙法给出了进一步搜索不稳定点的方法。
T d Pd d 2 S0 h
2 S 02
(V T PV ) f2
变形监测网的基准点的稳定性分析
变形监测⽹的基准点的稳定性分析摘要变形监测是⼀种监测变形体安全性的重要⼿段,因此确定变形体的稳定性就尤为重要。
对⾼层建筑物实施变形监测，⾸要的问题就是要保证基准⽹的稳定，在变形监测点位稳定性分析中，限差检验法、平均间隙法等都是常⽤的变形监测⽅法，在⼀些垂直位移监测⽹或者是⽔平位移监测⽹的稳定性分析时，通过选取最佳的监测⽅法可以有效的减⼩监测误差，提⾼监测的精度。
本⽂⾸先介绍了变形监测的相关基础知识，并重点介绍了变形监测的相关理论与变形监测基准点的稳定性分析⽅法，并结合实例使⽤限差分析法进⾏了变形监测点的分析。
关键词：变形监测⽹；基准点；稳定性；分析⽬录引⾔ (1)1. 变形监测的概述 (2)1.1变形监测的对象 (2)1.2变形监测的内容 (2)1.3变形监测的⽬的 (3)1.4变形监测的意义 (3)2. 变形监测⽹稳定性分析及⽅法 (4)2.1变形监测⽹的分类和概述 (4)2.1.1绝对⽹的基本概念 (4)2.1.2相对⽹的基本概念 (5)2.2监测⽹的参考系 (5)2.2.1参考系的⽅程 (5)2.2.2秩亏⾃由⽹平差与拟稳平差参考系的特点 (7)2.2.3参考系的选择对位移计算的影响 (8)2.3 变形监测⽹稳定性分析⽅法 (9)2.3.1 限差检验法 (9)2.3.2 限差检验法步骤 (9)3 实例分析 (11)3.1基准点稳定性分析的必要性 (11)3.2问题的提出 (11)3.3 数据分析与处理 (11)4. 结论 (14)参考⽂献 (16)引⾔变形是⾃然界普遍存在的现象。
各种荷载作⽤于变形体，使其形状，⼤⼩及位置在时间域或空间域发⽣变化均为变形。
变形监测则是对设置在变形体上的观测点进⾏周期性的重复观测，求得观测点各周期相对于⾸期的点位或⾼程的变化量。
所以变形监测是⼀种监测变形体安全性的重要⼿段。
它是通过实时获取变形体的动态位移信息，根据这些信息预警变形体安危状况。
变形监测具有实时性，事前性，可靠性三个基本属性。
“平均间隙法”在城市地铁监测基准点稳定性分析中的应用
“平均间隙法”在城市地铁监测基准点稳定性分析中的应用摘要：通过查阅大量专业文献，分析变形监测网中基准点稳定性的必要性和意义；变形监测网中基准点的稳定性分析的方法——平均间隙法，而传统的平均间隙法具有一定的局限性，本文采用在整体检验时将基准点两个方向的坐标分开计算间隙来判断是否发生位移，旨在改进当变形位移与观测误差接近的时候传统的平均间隙法无法快捷判断是否稳定的情况。
将改进后的平均间隙法与传统方法结合某地铁13号线的工程实例，选取某车站深基坑施工变形监测的数据进行处理以及对比分析，检验两种方法的适用性，从而论证得出改进后的平均间隙法的实际应用意义。
关键词：平均间隙法改进；变形监测网基准点稳定性分析；变形监测；平均间隙法；稳定性分析方法引言。
随着现代社会的不断快速发展，地铁工程与日俱增，地铁工程具有基坑挖深大，地铁车站及周边环境复杂特点，对地铁监测技术要求愈来愈严格，提出了更高的要求。
随着测绘科学技术以及测绘仪器的不断发展，采集的数据越来越精确，系统误差越来越小，地铁监测的精度要求越来越高，继而需要剔除变形监测网中发生不符合规范变形的基准点。
在传统的剔除不稳定点的平均间隙法的基础上，本文提出了一种针对平均间隙法的改进方法。
一、平均间隙法进行平差计算得到两期变形监测数据的坐标间隙，间隙的产生有观测误差和位移形变两方面的原因。
因此，在判断基准点是否稳定就需要比较这两者的大小。
当变形位移与观测误差接近的适合，一般方法难以判断是否稳定的时候，需要利用数学统计方法来进行稳定性判断。
（一）平均间隙法的具体步骤1.整体性检验平均间隙法首先判断基准网中是否稳定，也就是总体判断基准点是否发生了位移变形。
在判断基准点是否发生了位移变形时，利用两期观测数据平差结果计算出两期基准点间的坐标间隙（i=1，2，…，N，其中N为监测点的个数）；(1)上式中分别为各基准点两期坐标间隙。
通过各周期观测值改正数、观测值的权阵和多余观测数算出各自的单位权方差估值：(2)n代表为基准网观测的周期。
变形监测网的参考系和基准点的稳定性分析
一、监测网平差的参考系
平差基准的选择有固定基准、重心基准和拟稳基 准等三种基本类型。对于监测网的某一期观测，由 高斯-马尔可夫模型:
组成法方程:
E(l) Ax
D(l) 02Q
NxW
式中， NATQ1A, WATQ1l
一、监测网平差的参考系
如果监测网内有稳定的基准点，网平差有足够的 起算数据，采用固定基准，则矩阵N是非奇异的，法 方程式有唯一解，可按经典平差方法进行求解。
GTx 0
基准方程与法方程联合,按附有条件的间接
平差方法求解,这就是秩亏自由网平差。
对于无形亏的网,系数阵A的秩亏数就等于网
参 考 系 秩 亏 数 d, 此 时, 总 可 以找 到 一个 矩 阵
H(u×d),它满足
AH0 这个H就是附加约束条件的矩阵G: HG
一、监测网平差的参考系
我们需要注意的是，自由网平差只是解决法方程式
§5.2 监测网的参考系
• 监测网平差的参考系(基准)
• 基准方程 GTx 0 中系数矩阵G T 的确定
• 参考系与位移的关系——实例 • 监测网稳定性分析中的模型误差
五、监测网稳定性分析中的模型误差
在前面的介绍中已论述了求监测网未知参数的三种方法: 1. 经典平差：选择固定基准,网点位移是相对于固定点的变
表2.1.3 不同平差方法的沉降结果/mm（仅点2#稳定）
点号
1#
2#
3#
4#
经典平差 (设固定点为2#)
-0.820
0
-1.094
-1.066
自由网平差
-0.075 0.745 -0.349
-0.321
拟稳平差 (设相对稳定点为1#和3#)
变形监测网的基准点的稳定性分析
摘要变形监测是一种监测变形体安全性的重要手段,因此确定变形体的稳定性就尤为重要。
对高层建筑物实施变形监测，首要的问题就是要保证基准网的稳定，在变形监测点位稳定性分析中，限差检验法、平均间隙法等都是常用的变形监测方法，在一些垂直位移监测网或者是水平位移监测网的稳定性分析时，通过选取最佳的监测方法可以有效的减小监测误差，提高监测的精度。
本文首先介绍了变形监测的相关基础知识，并重点介绍了变形监测的相关理论与变形监测基准点的稳定性分析方法，并结合实例使用限差分析法进行了变形监测点的分析。
关键词：变形监测网；基准点；稳定性；分析目录引言 (1)1. 变形监测的概述 (2)1.1变形监测的对象 (2)1.2变形监测的内容 (2)1.3变形监测的目的 (3)1.4变形监测的意义 (3)2. 变形监测网稳定性分析及方法 (4)2.1变形监测网的分类和概述 (4)2.1.1绝对网的基本概念 (4)2.1.2相对网的基本概念 (5)2.2监测网的参考系 (5)2.2.1参考系的方程 (5)2.2.2秩亏自由网平差与拟稳平差参考系的特点 (7)2.2.3参考系的选择对位移计算的影响 (8)2.3 变形监测网稳定性分析方法 (9)2.3.1 限差检验法 (9)2.3.2 限差检验法步骤 (9)3 实例分析 (11)3.1基准点稳定性分析的必要性 (11)3.2问题的提出 (11)3.3 数据分析与处理 (11)4. 结论 (14)参考文献 (16)引言变形是自然界普遍存在的现象。
各种荷载作用于变形体，使其形状，大小及位置在时间域或空间域发生变化均为变形。
变形监测则是对设置在变形体上的观测点进行周期性的重复观测，求得观测点各周期相对于首期的点位或高程的变化量。
所以变形监测是一种监测变形体安全性的重要手段。
它是通过实时获取变形体的动态位移信息，根据这些信息预警变形体安危状况。
变形监测具有实时性，事前性，可靠性三个基本属性。
建筑物沉降观测及数据处理
建筑物沉降观测及数据处理摘要：随着科学技术的迅猛发展和我国现代化进程的不断加快，城市各类高层建筑物越来越普遍。
由于建筑物的增高、荷载的增加，在地基基础和上部结构的共同作用下，建筑物将发生不均匀沉降，轻者将使建筑物产生倾斜或裂缝，影响正常使用，当变形值超过一定限度时，会影响建筑物本身的安全以及人民生命财产的安全。
为了更好的提高建筑工程的安全性和稳定性，此外也为日后的工作提供更加可靠全面的数据，这样才能更好的防止施工中因为不均匀沉降对工程产生不利的影响，从而使得工程的经济效益大幅下降。
关键词：沉降监测；周期性；数据分析引言：随着我国城市化进程的不断加快，各个城市的高层建筑如雨后春笋般日益增多，沉降观测是高层建筑物在施工期间及运营阶段必不可少的一项工作。
高层建筑物建设中的沉降观测技术是在整个工程建设过程中必不可少的一部分，通过沉降观测可以有效确定建筑物的变形状态，以确保工程施工的质量和安全。
本文主要通过对高层建筑物施工过程中的沉降观测技术进行分析和研究，分析沉降产生的原因，论述在沉降观测过程中的基本要求，介绍通过沉降观测技术反映沉降情况的方法。
1 高层建筑物产生沉降的原因高层建筑物是依靠其地基来承担其所有的重量和荷载，引发高层建筑发生变形的因素主要是建筑物周围的外在环境的变化、地下水位的变化和高层建筑物上部的荷载等。
这些影响因素之间是相互关联的，在不同的时间段里不同程度的作用于高层建筑物。
1.1高层建筑物上部荷载分布不均由于建筑物上部的荷载分布不均衡，相应的持力层的地基土附加应力不均，地基土的厚度不均，最终导致各部分的土体不均匀，从而造成压缩变形，产生沉降。
1.2施工过程中的差异在高层建筑施工过程中施工的差异会使荷载分布与预期的分布存在不同，最终产生建筑物的沉降。
建筑物的沉降也会受到其周围环境的影响，从而发生变形，如在高层建筑周围开挖深基坑就会是原有的高层建筑受到影响。
1.3自然环境的影响不断变化的自然条件是影响高层建筑物发生沉降的重要因素。
地铁隧道沉降监测基准网的稳定性分析
地铁隧道沉降监测基准网的稳定性分析黄腾;岳荣花;陈建华;于安柱;黄昱旻【摘要】对狭长的地铁隧道结构进行沉降监测,其监测基准网布设的特殊形式使得对平差基准的选取和稳定性分析有其独特性.从对监测基准网的分析原理和方法入手,讨论了其参考系问题.结合某城市地铁工程隧道结构沉降监测实例,采用三种不同的平差基准对沉降监测网进行稳定性分析和比较,认为三种分析结果基本相同,但相对于固定基准,拟稳基准或重心基准所得点位精度更高,采用后者更有利于隧道实际变形状况的准确分析.【期刊名称】《铁道勘察》【年(卷),期】2006(032)005【总页数】3页(P1-3)【关键词】监测基准网;稳定性分析;平差基准;地铁隧道【作者】黄腾;岳荣花;陈建华;于安柱;黄昱旻【作者单位】河海大学土木工程学院,江苏南京,210098;河海大学土木工程学院,江苏南京,210098;河海大学土木工程学院,江苏南京,210098;南京地下铁道有限责任公司,江苏南京,210024;南京地下铁道有限责任公司,江苏南京,210024【正文语种】中文【中图分类】U2地铁隧道是承载列车运行的构筑物，其结构体狭长，柔度大，埋深浅。
当结构受力失衡后，极易使狭长的隧道结构发生局部变形，从而造成轨道线形的变化，影响列车的正常运行。
因此，隧道结构变形监测是地铁施工期和运营期的一项长期任务。
高速运行的地铁车辆对于轨道的平顺度要求极高，规范[1]规定轨道承台中心和高程偏差均应小于5 mm，可见地铁隧道工程对监测的精度要求很高。
监测基准网是隧道沉降监测的参考系，由于地质环境复杂多变，导致基准网点的不稳定，会使监测的隧道垂直位移失真。
因此，在对地铁隧道作周期性观测时，对监测基准网的稳定性分析尤为重要。
沉降监测基准网由水准基点和工作基点构成。
对地铁隧道而言，工作基点一般布设在隧道两端的地下车站内，水准基点则设在远离隧道且能保持长期稳定和使用的位置，网形通常布设成附合水准路线，或沿上、下行线隧道成结点水准网形式。
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③
F F1 ( f x , f ）无变动 F F1 ( f x , f ）有变动
二、不稳定点搜索
尝试法 稳定点组（F组） 不稳定点组（M组）
d (d F d M )
T
d M d M PMM PMF d F
1
1
PFF Pd PMM
T
PFM PMF
所以：对监测网进行稳定性分析，并 根据稳定性分析结果选择平差方法，确立 一个对变形分析比较有利的参考系，是变 形观测数据处理的一项重要任务。
§3—2 监测网的参考系及其平差
起算数据称为平差问题的基准：基准给出了控制网的位 置。 尺度和方位的定义 即控制网的参考系.
• 经典平差：采用选择固定基准的办法确定参考 系. （满足待估参数的求取要求） • 监测网平差：满足有多期复测的观测值估计的 位移 是一种“绝对的”或接近绝对的位移
• 当网中某些点具有相对的稳定性，它们相 互变动是随机的情况下，则用这些点作拟 稳点，用拟稳平差对成果进行分析； • 当监测网所有网点具有微小的随机变动时, 自由网平差是一种有效的分析方法.
因此，要合理地确定监测网的参考系，首先要 确定哪些点是稳定的或相对稳定的点，哪些点是 不稳定的点。从20世纪70年代起，人们相继提出 了多种关于监测点稳定性分析方法，其中平均间 隙法是一种比较典型的方法。
ˆ2 F1 F 2 ˆ0
T d P d 2 F FF F ˆ = F fF
当F1<F分析值，分析即结束，反之，继续 剔除动点，继续检验，直到原假设不再拒绝， 最后剩下的都是稳定的点。
T ˆ A T PAX+GK=A PL ① T G X=0 ② 将上式方程第一个两边左乘G T，顾及AG=0，得：
G T GK=0 因G T G正则，故有K=0 T ˆ） 因此 =V T PV+2K（ GTX = V T PV 即秩亏自由网平差中的V与V T PV是基准无关的不变量.
不同参考系 位移不同 选用某种平差方法去计算网点的位移， 实质是选用某种变形模型去模拟实际变形。 参考系选择得不合适，将使所计算的点 的位移值伴随有模型误差。 在变形分析中,选用哪种平差方法最好， 关键在于了解平差方法中所定义的参考系是 否与实际变形情况相符合。
• 当网中存在固定点时，采用这些固定点作 基准，应用经典平差；
T G (1,1, … 1,0 ， 0 ， … 0 ) 水准网：
T
3）拟稳平差参考系方程的系数矩阵
前k个点为拟稳点 k个元素
1 测边网或 0 G= 测角网： -y 0 1 0 x1
0 1 1 0 x10 -y20 y10 x20
0 1 x20 y2 0
… 1 … 0 … yk 0 … xk 0
一、整体检验
根据每一周期观测的成果，按秩亏自由网平差,由平差 改正数可计算单位权方差的估值
(V T PV )1 = f1
2 1
(V T PV ) j j = fj
2
(V T PV )1 (V T PV ) j 式中，f f1 f j f
2
H0 ： ①两次观测期间点位没有变动 2 1 T d H H d P d d 2= + 2 1 + P Q ( Q Q ) , f d 为独立x的个数. fd d d 2 ②构造统计量 F F ( fd , f )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
以测边网为例：自由网平差 1 G T X= 0 0 - y1 0 1 x10 1 0 - y2 0 0 1 x2 0 … … 1 0 x1 0 y 1 1 xm 0 xm ym
… ym 0
m x i i 1 0 m y i 0 i 1 0 m 0 0 ( xi yi yi xi ) i 1 x 0, y 0说明自由网平差以重心坐标作为坐标起算数据.
具体实施：布设多个参考点，且构成一个参考网， 通过定期复测，检查参考点稳定性。
大——复测资料如观测值比较；予以发现，容易. 小——直接从复测资料判断困难——基于统计检 验的平均间隙法.
• 相对网：网中全部点可能都是移动的，得到 的只能是网的几何变形。
虽然平差计算可得到监测点的位移，但是相对位移， 与平差所采用的参考系密切相关。 分析时，要求：相对位移 接近 绝对位移. 要求，相 对网寻找相对稳定点，并合理定义网的参考系 。
（1点为已知点.） （12 已知）
2）秩亏自由网平差参考系系数矩阵 T 水准网： G=（1,1，…1）
1 0 1 0… 1 0 测边网或 G= 0 1 0 1 … 0 1 - y 0 x 0 - y 0 x 0 …- y 0 x 0 边角网： m m 1 1 2 2
第三章 监测网平差及基准点
稳定性分析
§3—1 绝对网和相对网
• 绝对网：有部分点布设在变形体外的监测网。
适用于 变形体范围较小，如工程建筑物变形监测.
• 相对网：网的全部点都位于变形体上的监测网。
适用于 变形体范围较大， 如地壳形变监测网.
某地面沉降监测网略图
某地壳变形监测网
• 绝对网：参考点或基准点稳定—测出绝对位移
0 1 xk 0 yk 0
0 0 0 0
0 0 0 0
… … … …
0 0 0 0
0 0 0 0
T
2k个元素
V=AX-L T G X=0
NG=0 A T PAG=0 AG=0
附有限制条件的间接平差问题 T ˆ） 在 =V T PV+2K（ ST X =min.下得法方程为：
dF d d M
X F 与XM是相关的
PFF PFF PFM PMM PMF
d (d F d M ) PFF PX 0 0 PMM
T
d P d d dF P FF d F dM P MM dM
T T
在实际工作中，通常先假设1个动点（即 M组中只有一个点），并依次将网中各点轮 T T d P d d 流当作动点计算：M MM M ，取max（ M PMM dM） 所相应的点为实际的动点. 剔除动点后，其余点构成统计量
监测网中绝对网： ①采用经典平差基准(基准是由稳定的参考系给出的) 监测网也可采用：②秩亏自由网平差或③拟稳平差方法
一、参考系方程
GT X=0
G——参考系方程的系数矩阵 X——网的坐标向量
1）经典平差参考系方程系数矩阵
T 水准网： G=（1,0,0，…0）
（H1已知）
T
1 0 0 0 …0 0 测边网或 G= 0 1 0 0 … 0 0 边角网： - y 0 x 0 - y 0 x 0 …0 0 1 1 2 2
§3—3平均间隙法
• 1971年，德国测量学者Pelzer提出此法，用于对监 测网中不稳定点的检验与识别。 • 平均间隙法基本思想：先进行两周期图形一致性 检验（整体检验），如果检验通过，则确认所有 参考点是稳定的。否则，就要找出不稳定的点。 寻找不稳定点的方法是尝试法，依次去掉每一点, 计算图形不一致性减少的程度，使得图形不一致 性减少最大的那一点是不稳定的点。排除不稳定 点后再重复上述过程，直到图形一致性（指去掉 不稳定点后的图形）通过检验为止。
②左乘G+①：
T ˆ A T PAX+GK+GG X=AT PL T ˆ （A T PA+GG T）X=A PL -1 T ˆ （A T PA+GG T） X= A PL T QXX =Q A PAQ=QNQ ˆˆ
V T PV V T PV V T PV ˆ0 = f nt n (u d )
参数个数 约束条件个数
GT的具体形式已给出.
二、秩亏自由网平差与拟稳平差 参考系的特点
设平差的误差方程为：
V=AX-L，N=A T PA G T X=0
-1 X=（N+GG T） A T PL
以水准网为例：自由网平差 x1 x m 2 = x =0 G T X=（1,1，…1） i=1 i xm 1 m x xi 0, x 为水准网的高程重心. m i 1 x =0说明水准网的自由网平差参考系是网的高程重心.
xi 0 yi yi 0 xi 0 2 0 2 d i , r ( x ) ( y ) i i i 2 ri
(x
i 1
m
0
i
yi yi xi ) ri 2 (d i ) 2 0
0 i 1
m
说明原点到各网点方位角改正数的加权（以距离的平方为权）平均值为零.
三、参考系的选择对位移计算的 影响