极限运算法则.ppt
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《极限的运算》课件
重要的作用。
无穷小量的运算包括无穷小量的加法、 减法、乘法和除法。在运算过程中，无 穷小量可以与其他量进行加减乘除运算
，但需要注意运算结果的极限状态。
无穷小量在极限运算中常常用于等价变 换和泰勒展开等技巧，可以帮助我们简
化复杂的极限问题。
极限运算的注意事项
01
02
03
04
在进行极限运算时，需要注意 一些关键的点，以确保结果的
极限存在定理的证明方法
极限存在定理可以通过多种方法证明，如数学归纳法、反证法、直接证明法等 。这些方法都基于实数完备性定理，通过排除不可能的情况来证明极限的存在 。
极限存在定理的应用
函数极限的求解
极限存在定理是求解函数极限的基础 ，通过判断函数在某点的极限是否存 在，可以进一步研究函数的性质和变 化趋势。
极限的性质
极限具有一些重要的性质，如 唯一性、局部有界性、局部保 号性等。
这些性质在研究函数的极限行 为时非常重要，可以帮助我们 推导一些重要的结论和定理。
了解和掌握这些性质对于深入 理解极限的概念和应用极限的 方法具有重要意义。
02
极限的四则运算
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = M1 和 lim(x→a) g(x) = M2，那么 lim(x→a) [f(x) + g(x)] = M1 + M2。
这种定义方式具有高度的严谨性 和精确性，是数学分析中研究函
数的重要基础。
极限的直观理解
极限的直观理解可以描述为函数在某一点附近的变化趋势。
当x逐渐接近这一特定点时，函数值会逐渐接近其极限值，或者保持一定的距离，或 者趋近于无穷。
这种变化趋势可以通过图形或表格进行可视化，帮助我们更好地理解极限的概念。
无穷小量的运算包括无穷小量的加法、 减法、乘法和除法。在运算过程中，无 穷小量可以与其他量进行加减乘除运算
，但需要注意运算结果的极限状态。
无穷小量在极限运算中常常用于等价变 换和泰勒展开等技巧，可以帮助我们简
化复杂的极限问题。
极限运算的注意事项
01
02
03
04
在进行极限运算时，需要注意 一些关键的点，以确保结果的
极限存在定理的证明方法
极限存在定理可以通过多种方法证明，如数学归纳法、反证法、直接证明法等 。这些方法都基于实数完备性定理，通过排除不可能的情况来证明极限的存在 。
极限存在定理的应用
函数极限的求解
极限存在定理是求解函数极限的基础 ，通过判断函数在某点的极限是否存 在，可以进一步研究函数的性质和变 化趋势。
极限的性质
极限具有一些重要的性质，如 唯一性、局部有界性、局部保 号性等。
这些性质在研究函数的极限行 为时非常重要，可以帮助我们 推导一些重要的结论和定理。
了解和掌握这些性质对于深入 理解极限的概念和应用极限的 方法具有重要意义。
02
极限的四则运算
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = M1 和 lim(x→a) g(x) = M2，那么 lim(x→a) [f(x) + g(x)] = M1 + M2。
这种定义方式具有高度的严谨性 和精确性，是数学分析中研究函
数的重要基础。
极限的直观理解
极限的直观理解可以描述为函数在某一点附近的变化趋势。
当x逐渐接近这一特定点时，函数值会逐渐接近其极限值，或者保持一定的距离，或 者趋近于无穷。
这种变化趋势可以通过图形或表格进行可视化，帮助我们更好地理解极限的概念。
高等数学(一)03-函数极限的运算法则(ppt)_8
f(x)
则
f
( x)
g(x)、f
( x)g(x)、 g(x)
(B
0)
在
x
x0
时极限均存在，
且
(1) lim f x x0
x
g x
lim f x x0
x
lim g x x x0
A
B;
(2) lim xx0
f
x
g x
lim
x x0
f
x
lim
xx0
g x
A
B;
(3) lim
xx0
f x gx
lim f x
x x0
lim
g
x
A B
B 0.
x x0
例1 求下列极限
(1)lim n
n2 3n 1 3n2 2n 1
;
(2)lim x1
x
2
x2 3x 4 ; x
(4)lxim1
1
1
x
1
3 x
3
;
定理2.(保序性)
设 lim f x A, lim g x B.
x x0
x x0
o
(1) 若A B ，则 >0 当 x U ( x0 , ) 时，f ( x) g( x).
o
(2) 若在 U ( x0 )内 f ( x) g( x), 则 A B.
主要内容
1 函数极限的四则运算法则 2 复合函数极限的运算法则
2 复合函数极限的运算法则
定理3
设函数 u ( x) 及 y f (u) 构成的复合函数 y f (x)
o
在
U ( x0 ) 有定义， 若
极限的四则运算PPT教学课件
• 孔子并不像后来我国封建社会的统治者所吹捧、所神化的那 样，是什么不食人间烟火的“文宣王”“大成至圣先师”等 等，他也是一个有血有肉的现实社会中的人。
• 他赞美颜回安于贫困，又汲汲于追求富贵，甚至奔走于权贵 之门，国君召唤他，他等不及驾好车马，就赶快跑了去。
• 孔子对他的学生很严厉，批评起来不讲情面，他批评“宰予 昼寝”说：“朽木不可雕也，粪土之墙不可圬也”（《论 语·公冶长》）；而有时对他的学生也很亲切
方法——因式分解法(再转化为代入法)
[注]:函数在某一点的极限,考察的是函 数值的变化趋势,与函数在这一点是否有定 义,是否等于在这一点处的函数值无关.故 本例可约去公因式x-1.
例2：(1)求lim x 1 1
x 0
x
(2)求 lim x（ x 3 x
x 2）
——方法: 分子(分母)有理化法(与分子 分母同除x的最高次幂相结合)
x x 0
xx0
lim [f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x) a b
x x 0
x x 0
x x 0
lim [f(x)• g(x)] lim f(x)• lim g(x) a • b
x x 0
x x 0
x x 0
lim
f(x)
lim f(x)
x x 0
a (b 0)
xx0 g(x) lim g(x) b
点评对“0 型” 或“ 0 ” 的极限，应通过 0 分 解 因 式 约 去 “ 零 因 子” 或 根 式 有 理 化
例3：（1）
求
lim
x
x
x2 2
x
1
1
（2）
求
lim
大学课程《高等数学》PPT课件：1-5 极限运算法则
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求: 解:
说明: 若分母为零时 不能直接用商的运算法则 . 例4.
x = 4 时分母为 0 ! = lim (x 4)( x 5 3) 6
x4
x4
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解: 分子分母同除以 则 原式
=0
“ 抓大头”
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lim
x
a0 xm b0 x n
a1x m1 b1x n1
am bn
为非负常数 )
( 如 P28 例7 )
( 如 P28 例5 )
( 如 P28 例6 )
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三、 复合函数的极限运算法则
定理7. 设
是由函数
复合而成的函数， 有定义，若
o
x U (x0,0 ) 时，有
的某去心邻域内 且存在
则
在定理7中，把
当
x x0
时, 有
M
取 min1 , 2 , 则当 x U (x0 , ) 时 , 就有
u
u
M
M
故
即是
时的无穷小 .
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .
推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
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解:
lim 1 0 x x
利用定理 2 可知
说明 : y = 0 是
的渐近线 .
y sin x x
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定理 3 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B ,则有
证: 因 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
f (x) A , g(x) B (其中 , 为无穷小) 于是 f ( x) g ( x) ( A ) (B )
极限运算法则课件
减法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任意 $epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) - g(x) - A + B| = |f(x) - A + g(x) + B| leq |f(x) - A| + |g(x) + B| < 2epsilon$，即 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
乘法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任 意$epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon / |B|$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon / |A|$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) cdot g(x) - A cdot B| = |A cdot g(x) + f(x) cdot B| leq |A||g(x) - B| + |B||f(x) - A| < |A||epsilon / |B|| + |B||epsilon / |A|| = 2epsilon$，即$lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
CH13-极限的运算ppt课件
( )( ) 2 2
.
8
x2
练习 计算 lim
.
x0 2 x2 4
解 采用分母有理化消去分母中趋向于零的因子.
原 式 lim x2(2 x24) x 0(2 x24)(2 x24)
x2(2 x2
lim x0
x2
4)
lim(2 x 0
x24)
4.
解题技巧：将分子或分母有理化，去掉“零因子”！
.
lim x3 lim 1
x2
lim( x2
x2
5x
3)
23 1
3
7. 3
x2
注： limP(x) P(a) (Q(a) 0).
x aQ(x) Q(a)
.
5
例3 求lxim 1x2x22x13. 商的法则不能用 解 x 1 时 ,分 子 ,分 母 的 极 限 都 是 零 .( 00 型 ) 先 约 去 分 子 和 分 母 的 公 因 子 ( x 1 ) 后 再 求 计 算 .
x x 0
u u 0
意义: 变量替换求极限的依据
令u g(x)
lim f [g(x)]
xx0
limg(x)
xx0
u0
lim f (u)
u u0
.
12
定理2(复合函数的极限运算法则-----变量代换法则)
设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成
ulf i[mgu0(xf)(]u在) 点liAm x0的且f某[ 在g 去x(0x 心的)邻] 某 域去l内i心m 有邻f 定域(u 义内) g若(A xxl) i.m x0ug0(,x)则u0,
x0 xsinx x0 1sinx
.
8
x2
练习 计算 lim
.
x0 2 x2 4
解 采用分母有理化消去分母中趋向于零的因子.
原 式 lim x2(2 x24) x 0(2 x24)(2 x24)
x2(2 x2
lim x0
x2
4)
lim(2 x 0
x24)
4.
解题技巧：将分子或分母有理化，去掉“零因子”！
.
lim x3 lim 1
x2
lim( x2
x2
5x
3)
23 1
3
7. 3
x2
注： limP(x) P(a) (Q(a) 0).
x aQ(x) Q(a)
.
5
例3 求lxim 1x2x22x13. 商的法则不能用 解 x 1 时 ,分 子 ,分 母 的 极 限 都 是 零 .( 00 型 ) 先 约 去 分 子 和 分 母 的 公 因 子 ( x 1 ) 后 再 求 计 算 .
x x 0
u u 0
意义: 变量替换求极限的依据
令u g(x)
lim f [g(x)]
xx0
limg(x)
xx0
u0
lim f (u)
u u0
.
12
定理2(复合函数的极限运算法则-----变量代换法则)
设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成
ulf i[mgu0(xf)(]u在) 点liAm x0的且f某[ 在g 去x(0x 心的)邻] 某 域去l内i心m 有邻f 定域(u 义内) g若(A xxl) i.m x0ug0(,x)则u0,
x0 xsinx x0 1sinx
高等数学第一章第五节极限运算法则课件.ppt
u 1
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1
x1
2
内容小结
1. 极限运算法则 Th1 Th2 Th3 Th4 Th5
(1) 无穷小运算法则
(2) 极限四则运算法则
注意使用条件
(3) 复合函数极限运算法则
2. 求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法
1) x x0 时, 用代入法 ( 分母不为 0 )
2)
x
x0
时,
对
0 0
型
,
约去公因子
3) x 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”
(2) 复合函数极限求法
设中间变量
思考及练习
1.
问
是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 . 否则由
利用极限四则运算法则可知 矛盾.
存在 , 与已知条件
2.
解:
原式
lim
n
n (n 1) 2n2
lim 1 (1 n 2
f (x) 2x3 2x2 a x b
再利用后一极限式 , 得
3 lim f (x) lim (a b)
x0 x
x0
x
可见
故
提示: 令 (x) f (x) g(x)
利用保号性定理证明 .
说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
定理 4 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .
说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .
( 如P47 例5 )
( 如P47 例6 )
( 如P47 例7 )
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1
x1
2
内容小结
1. 极限运算法则 Th1 Th2 Th3 Th4 Th5
(1) 无穷小运算法则
(2) 极限四则运算法则
注意使用条件
(3) 复合函数极限运算法则
2. 求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法
1) x x0 时, 用代入法 ( 分母不为 0 )
2)
x
x0
时,
对
0 0
型
,
约去公因子
3) x 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”
(2) 复合函数极限求法
设中间变量
思考及练习
1.
问
是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 . 否则由
利用极限四则运算法则可知 矛盾.
存在 , 与已知条件
2.
解:
原式
lim
n
n (n 1) 2n2
lim 1 (1 n 2
f (x) 2x3 2x2 a x b
再利用后一极限式 , 得
3 lim f (x) lim (a b)
x0 x
x0
x
可见
故
提示: 令 (x) f (x) g(x)
利用保号性定理证明 .
说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
定理 4 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .
说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .
( 如P47 例5 )
( 如P47 例6 )
( 如P47 例7 )
高数极限运算法则课件
极限四则运算法则
加法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的和在 该点的极限也存在，且等于两函数极限的和
。
减法运算法则
若两函数在某点的极限存在且不为零，则它 们的积在该点的极限也存在，且等于两函数
极限的积。
乘法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的差在 该点的极限也存在，且等于被减数函数极限 与减数函数极限的差。
泰勒公式定义
泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法，将一个函数表示为一个无穷级数。
泰勒公式性质
泰勒公式具有唯一性、收敛性和可微性等性质，其中收敛性是指当n趋近于无穷大时， 泰勒级数的和趋近于原函数。
泰勒公式在求极限中的应用举例
利用泰勒公式求极限
对于一些复杂的函数极限，可以通过泰勒公 式将其展开为多项式形式，从而简化求极限 的过程。
柯西收敛准则
数列 {xn} 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 ε，总存在正整数 N， 使得当 m>N 以及对于任意的正整数 p，都有 |xm+p−xm|<ε 成立。
应用举例
利用柯西收敛准则判断级数是否收敛，如判断 ∑n=1∞ann! 的收敛性，其中 {an} 是单调减少且趋于零的数列。
04
无穷小量与无穷大 量的关系
在同一变化过程中，如果函数 $f(x)$是无穷小量，且函数 $g(x)$是有界量，那么函数 $f(x)g(x)$也是无穷小量；如果 函数$f(x)$是无穷大量，且函 数$g(x)$是有界量但不为零， 那么函数$frac{1}{f(x)g(x)}$也 是无穷小量。
02
极限运算法则
03
无穷大量的性质与运算
无穷大量具有可加性、可乘性 、同阶无穷大等性质，可以通 过取对数等方法转化为无穷小 量进行计算。
高等数学课件1-6极限的运算法则
n
1 2
1 4
2
...
2
1 2
n
)
2、 lim
( x h) x h
h 0
3、 lim (
x1
1 1 x
3 1 x
3
)
$1-6极限运算法则
21
4、 lim
1 x 3 2
3
x 8
x
x x x)
5、 lim (
x
x
x x
6、 lim
2 4
x1
lim
x 2x 3
2
x1
4x 1
0 3
0.
由无穷小与无穷大的关系,得
lim 4x 1 x 2x 3
2 x1
.
$1-6极限运算法则
7
例3 求 lim
x 1
2
x1
x 2x 3
2
.
（与P60例2同类）
.
解 x 1时 , 分子 , 分母的极限都是零
例5 求 lim 解x
2x 3x 5
3 2
x
7x 4x 1
3 2
.
（与P61例6同类）
.
时 , 分子 , 分母的极限都是无穷大
3
(
型)
先用 x 去除分子分母
, 分出无穷小
, 再求极限 .
lim
2x 3x 5
3 2
2 lim
x
3 x 4 x
lim[ f ( x )] [lim f ( x )] .
n n
类似有数列极限的四则运算法则（P59Th 6)
1 2
1 4
2
...
2
1 2
n
)
2、 lim
( x h) x h
h 0
3、 lim (
x1
1 1 x
3 1 x
3
)
$1-6极限运算法则
21
4、 lim
1 x 3 2
3
x 8
x
x x x)
5、 lim (
x
x
x x
6、 lim
2 4
x1
lim
x 2x 3
2
x1
4x 1
0 3
0.
由无穷小与无穷大的关系,得
lim 4x 1 x 2x 3
2 x1
.
$1-6极限运算法则
7
例3 求 lim
x 1
2
x1
x 2x 3
2
.
（与P60例2同类）
.
解 x 1时 , 分子 , 分母的极限都是零
例5 求 lim 解x
2x 3x 5
3 2
x
7x 4x 1
3 2
.
（与P61例6同类）
.
时 , 分子 , 分母的极限都是无穷大
3
(
型)
先用 x 去除分子分母
, 分出无穷小
, 再求极限 .
lim
2x 3x 5
3 2
2 lim
x
3 x 4 x
lim[ f ( x )] [lim f ( x )] .
n n
类似有数列极限的四则运算法则（P59Th 6)
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第一章
第三节 极限运算法则
一、 极限的四则运算法则 二、 复合函数的极限运算法则 三 、夹逼定理（重要极限） 四 、无穷小的比较
一、 极限的四则运算法则
定理 3 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B ,则有
推论: 若 lim f (x) A, lim g(x) B, 且 f (x) g(x), 则 A B .
例6 求
x x cos x lim x0 sin x cos x
解 lim x x cos x x0 sin x cos x
x (1 cos x)
lim
1 2 2
x0 sin x cos x
四、 无穷小运算法则
定理5. 有限个无穷小的和还是无穷小 .
例14. 求 解： 原式 =
lim
1
x0 1 x2 1
1 2
二、 复合函数的极限运算法则
定理3. 设
又
则有
说明: 若定理中 lim (x) , 则类似可得
x x0
lim f [(x)] lim f (u) A
x x0
u
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例7. 求
解:
令
u
x3 x2 9
已知 lim u 1 x3 6
∴ 原式 =
6 6
1 6
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例8 . 求
解: 方法 1 令 u x , 则 limu 1,
x1
x 1 u2 1 u 1 x 1 u 1
∴ 原式 lim(u 1) 2
u 1
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
注
注 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求
解:
lim
x0
tan x
x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim sin x lim 1 1 x0 x x0 cos x
例3. 求
解: 令 t arcsin x, 则 x sin t , 因此
原式 lim t t0 sin t
sin t 1
( C 为常数 ) ( n 为正整数 )
推论 3(5.) lim n f (x) n lim f (x) n A
例2. 设 n 次多项式
lim
xx0
Pn
(
x)
Pn
( x0
).
证: lim Pn (x)
x x0
试证
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定理 1 . 若lim f (x) A, lim g(x) B , 且 B≠0 , 则有
定理2
.
若 lim
n
xn
A,
lim
n
yn
B
,
则有
(1)
lim (
n
xn
yn )
A B
(2)
lim
n
xn
yn
AB
(3)
当yn
0且B
0时,
lim
n
xn yn
A B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 .
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例3. 设有分式函数
其中
都是
多项式 , 若
试证:
lim P(x)
证: lim R(x) xx0
重要极限
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1x
oC
A
即 △A特点OB((12的))12当 面正si积xn弦＜x符圆0号时扇后， 形面A函12O变t数 量 aBn的必 的x面须 形积式 是＜与△00A分型 OD母的的的；面积
亦故即有
形式一si致n ．x x tan x
(0
x
2
)
显然有
cos x sin x 1 x
xx0
lim Q(x)
x x0
说明: 若
不能直接用商的运算法则 .
例4.
lim (x 3)(x 1) lim x 1
x3 (x 3)(x 3) x3 x 3
x = 3 时分母为 0 !
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例5 . 求
解: x = 1 时分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
lim
x1
x2
2x 4x 1
3
12
21 4 1 1
3
0
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例6 . 求
解:
时, 分母
分子
分子分母同除以 x2 , 则
原式
lim
x
4
3
1 x
91Βιβλιοθήκη x2521 x
1 x2
“ 抓大头”
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例8
.
求
lim
x
x2 5x 2x3
3
4
解:
1)
1 3
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例12 . 求
解:
原式
lim
x2
x2 x2 4
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例13 . 求
解:
时, 分母
分子
分子分母同除以 x50 , 则
(2 3)20 (3 2)30
原式 lim x
x
x
(2 1)50
x
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x
a0 xm
b0 xn
a1xm1
b1xn1
am
bn
为非负常数 )
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例10 . 求
解: 分子分母同除以 3n ,则
原式
lim
n
( (2)
)2 n
3
(
1
)2 n
3
3
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例11 . 求
解:
原式
lim
n
(n
1)n(2n 6n3
x1 x 1
x1
2
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三、夹逼定理
定理4. 当 x (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
( x X 0)
lim g(x) lim h(x) A
x x0 (x )
x x0 (x )
lim f (x) A
x x0 (x )
t
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例4. 求
解:
原式
=
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
1 2
lim
x0
sin
x 2
x 2
2
1 2
12
例5. 已知圆内接正 n 边形面积为
An
n
R2
sin
n
cos
n
n
证明:
R
证:
lim
n
An
lim
n
R2
sin
n
n
cos
n
说明: 计算中注意利用
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说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
定理 4 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .
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推论 1 . lim[C f (x)] C lim f (x) 推论 2 . lim[ f (x)]n [ lim f (x) ] n
x2 5x 4
lim
x
2x3 3
lim
1 x
5 x2
4 x3
x
2
3 x3
0
例9 . 求
lim 2x3 3 . x x2 5x 4
解: lim x
x2 5x 4 2x3 3
lim x
1 x
54 x2 x3
2 3
0
x3
lim 2x3 3
x x2 5x 4
一般有如下结果：
lim
第三节 极限运算法则
一、 极限的四则运算法则 二、 复合函数的极限运算法则 三 、夹逼定理（重要极限） 四 、无穷小的比较
一、 极限的四则运算法则
定理 3 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B ,则有
推论: 若 lim f (x) A, lim g(x) B, 且 f (x) g(x), 则 A B .
例6 求
x x cos x lim x0 sin x cos x
解 lim x x cos x x0 sin x cos x
x (1 cos x)
lim
1 2 2
x0 sin x cos x
四、 无穷小运算法则
定理5. 有限个无穷小的和还是无穷小 .
例14. 求 解： 原式 =
lim
1
x0 1 x2 1
1 2
二、 复合函数的极限运算法则
定理3. 设
又
则有
说明: 若定理中 lim (x) , 则类似可得
x x0
lim f [(x)] lim f (u) A
x x0
u
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例7. 求
解:
令
u
x3 x2 9
已知 lim u 1 x3 6
∴ 原式 =
6 6
1 6
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例8 . 求
解: 方法 1 令 u x , 则 limu 1,
x1
x 1 u2 1 u 1 x 1 u 1
∴ 原式 lim(u 1) 2
u 1
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
注
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例2. 求
解:
lim
x0
tan x
x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim sin x lim 1 1 x0 x x0 cos x
例3. 求
解: 令 t arcsin x, 则 x sin t , 因此
原式 lim t t0 sin t
sin t 1
( C 为常数 ) ( n 为正整数 )
推论 3(5.) lim n f (x) n lim f (x) n A
例2. 设 n 次多项式
lim
xx0
Pn
(
x)
Pn
( x0
).
证: lim Pn (x)
x x0
试证
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定理 1 . 若lim f (x) A, lim g(x) B , 且 B≠0 , 则有
定理2
.
若 lim
n
xn
A,
lim
n
yn
B
,
则有
(1)
lim (
n
xn
yn )
A B
(2)
lim
n
xn
yn
AB
(3)
当yn
0且B
0时,
lim
n
xn yn
A B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 .
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例3. 设有分式函数
其中
都是
多项式 , 若
试证:
lim P(x)
证: lim R(x) xx0
重要极限
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1x
oC
A
即 △A特点OB((12的))12当 面正si积xn弦＜x符圆0号时扇后， 形面A函12O变t数 量 aBn的必 的x面须 形积式 是＜与△00A分型 OD母的的的；面积
亦故即有
形式一si致n ．x x tan x
(0
x
2
)
显然有
cos x sin x 1 x
xx0
lim Q(x)
x x0
说明: 若
不能直接用商的运算法则 .
例4.
lim (x 3)(x 1) lim x 1
x3 (x 3)(x 3) x3 x 3
x = 3 时分母为 0 !
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例5 . 求
解: x = 1 时分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
lim
x1
x2
2x 4x 1
3
12
21 4 1 1
3
0
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例6 . 求
解:
时, 分母
分子
分子分母同除以 x2 , 则
原式
lim
x
4
3
1 x
91Βιβλιοθήκη x2521 x
1 x2
“ 抓大头”
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例8
.
求
lim
x
x2 5x 2x3
3
4
解:
1)
1 3
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例12 . 求
解:
原式
lim
x2
x2 x2 4
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例13 . 求
解:
时, 分母
分子
分子分母同除以 x50 , 则
(2 3)20 (3 2)30
原式 lim x
x
x
(2 1)50
x
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x
a0 xm
b0 xn
a1xm1
b1xn1
am
bn
为非负常数 )
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例10 . 求
解: 分子分母同除以 3n ,则
原式
lim
n
( (2)
)2 n
3
(
1
)2 n
3
3
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例11 . 求
解:
原式
lim
n
(n
1)n(2n 6n3
x1 x 1
x1
2
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三、夹逼定理
定理4. 当 x (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
( x X 0)
lim g(x) lim h(x) A
x x0 (x )
x x0 (x )
lim f (x) A
x x0 (x )
t
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例4. 求
解:
原式
=
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
1 2
lim
x0
sin
x 2
x 2
2
1 2
12
例5. 已知圆内接正 n 边形面积为
An
n
R2
sin
n
cos
n
n
证明:
R
证:
lim
n
An
lim
n
R2
sin
n
n
cos
n
说明: 计算中注意利用
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说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
定理 4 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .
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推论 1 . lim[C f (x)] C lim f (x) 推论 2 . lim[ f (x)]n [ lim f (x) ] n
x2 5x 4
lim
x
2x3 3
lim
1 x
5 x2
4 x3
x
2
3 x3
0
例9 . 求
lim 2x3 3 . x x2 5x 4
解: lim x
x2 5x 4 2x3 3
lim x
1 x
54 x2 x3
2 3
0
x3
lim 2x3 3
x x2 5x 4
一般有如下结果：
lim