极限运算法则.ppt

注
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例2. 求
解:
lim
x0
tan x
x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim sin x lim 1 1 x0 x x0 cos x
例3. 求
解: 令 t arcsin x, 则 x sin t , 因此
原式 lim t t0 sin t
sin t 1
定理2
.
若 lim
n
xn
A,
lim
n
yn
B
,
则有
(1)
lim (
n
xn
yn )
A B
(2)
lim
n
xn
yn
AB
(3)
当yn
0且B
0时,
lim
n
xn yn
A B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 .
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例3. 设有分式函数
其中
都是
多项式 , 若
试证:
lim P(x)
证: lim R(x) xx0
x
a0 xm
b0 xn
a1xm1
b1xn1
am
bn
为非负常数 )
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例10 . 求
解: 分子分母同除以 3n ,则
原式
lim
n
( (2)
)2 n
3
(
1
)2 n
3
3
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例11 . 求
解:
原式
lim
n
(n
1)n(2n 6n3
x2 5x 4
lim
x
2x3 3
lim
1 x
5 x2
4 x3
x
2
3源自文库x3
0
例9 . 求
lim 2x3 3 . x x2 5x 4
解: lim x
x2 5x 4 2x3 3
lim x
1 x
54 x2 x3
2 3
0
x3
lim 2x3 3
x x2 5x 4
一般有如下结果：
lim
重要极限
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1x
oC
A
即 △A特点OB((12的))12当 面正si积xn弦＜x符圆0号时扇后， 形面A函12O变t数 量 aBn的必 的x面须 形积式 是＜与△00A分型 OD母的的的；面积
亦故即有
形式一si致n ．x x tan x
(0
x
2
)
显然有
cos x sin x 1 x
( C 为常数 ) ( n 为正整数 )
推论 3(5.) lim n f (x) n lim f (x) n A
例2. 设 n 次多项式
lim
xx0
Pn
(
x)
Pn
( x0
).
证: lim Pn (x)
x x0
试证
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定理 1 . 若lim f (x) A, lim g(x) B , 且 B≠0 , 则有
例6 求
x x cos x lim x0 sin x cos x
解 lim x x cos x x0 sin x cos x
x (1 cos x)
lim
1 2 2
x0 sin x cos x
四、 无穷小运算法则
定理5. 有限个无穷小的和还是无穷小 .
已知 lim u 1 x3 6
∴ 原式 =
6 6
1 6
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例8 . 求
解: 方法 1 令 u x , 则 limu 1,
x1
x 1 u2 1 u 1 x 1 u 1
∴ 原式 lim(u 1) 2
u 1
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
定理 4 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .
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推论 1 . lim[C f (x)] C lim f (x) 推论 2 . lim[ f (x)]n [ lim f (x) ] n
x1 x 1
x1
2
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三、夹逼定理
定理4. 当 x (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
( x X 0)
lim g(x) lim h(x) A
x x0 (x )
x x0 (x )
lim f (x) A
x x0 (x )
t
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例4. 求
解:
原式
=
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
1 2
lim
x0
sin
x 2
x 2
2
1 2
12
例5. 已知圆内接正 n 边形面积为
An
n
R2
sin
n
cos
n
n
证明:
R
证:
lim
n
An
lim
n
R2
sin
n
n
cos
n
说明: 计算中注意利用
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lim
x1
x2
2x 4x 1
3
12
21 4 1 1
3
0
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例6 . 求
解:
时, 分母
分子
分子分母同除以 x2 , 则
原式
lim
x
4
3
1 x
9
1 x2
5
2
1 x
1 x2
“ 抓大头”
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例8
.
求
lim
x
x2 5x 2x3
3
4
解:
xx0
lim Q(x)
x x0
说明: 若
不能直接用商的运算法则 .
例4.
lim (x 3)(x 1) lim x 1
x3 (x 3)(x 3) x3 x 3
x = 3 时分母为 0 !
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例5 . 求
解: x = 1 时分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
例14. 求 解： 原式 =
lim
1
x0 1 x2 1
1 2
二、 复合函数的极限运算法则
定理3. 设
又
则有
说明: 若定理中 lim (x) , 则类似可得
x x0
lim f [(x)] lim f (u) A
x x0
u
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例7. 求
解:
令
u
x3 x2 9
1)
1 3
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例12 . 求
解:
原式
lim
x2
x2 x2 4
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例13 . 求
解:
时, 分母
分子
分子分母同除以 x50 , 则
(2 3)20 (3 2)30
原式 lim x
x
x
(2 1)50
x
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第一章
第三节 极限运算法则
一、 极限的四则运算法则 二、 复合函数的极限运算法则 三 、夹逼定理（重要极限） 四 、无穷小的比较
一、 极限的四则运算法则
定理 3 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B ,则有
推论: 若 lim f (x) A, lim g(x) B, 且 f (x) g(x), 则 A B .