拉普拉斯变换及线性微分方程求解.

F(s) B(s) b0 s m b1s m1 bm1s bm
A(s)
(s s1)(s s2 ) (s sn )
五、拉普拉斯反变换
1、A(s)=0无重根
F (s) C1 C2 Ci Cn
s s1 s s2
s si
s sn
n
或F(s)
Ci
i1 s - s i
t est
s
|0
1est dt
0s
1 s2
3、等加速度函数
f(t)
f (t) 1 t 21(t)
L[ 1
t
2
2 1(t )]
1
t
0
21(t)est dt
1
t
2
02
s3
4、指数函数
L[eat ] eatest dt e(sa)dt
1
0
0
sa
5、正弦函数sint
L[sint] sin test dt
1
(e jt
e jt )est dt
0
0 2j
1 [ 1 1 ] 2 j s j s j s 2 2
6、单位脉冲函数
0 t0
f (t) (t) t=0
且 (t)dt 1
L[ (t)] (t)est dt
0
三、拉氏变换的积分下限问题
(t)0 型拉氏变换
(t)0 型拉氏变换
L-1[F(s)]
f(t)
n
L-1[
i1
Ci ] s -si
n i1
Ciesit
Ci
lim (s
ssi
-
si
)
F(s)
例： 求 F(s) s 3 的拉氏变换。
(s 1)(s 2)
解： 求
F (s) s 3 a1 a2 (s 1)(s 2) s 1 s 2
于是
a1
(s
四、拉氏变换的几个基本规则
2、微分法则 设F(s)=L[f(t)] ，则
L[ df (t) ] sF (s) f (0) dt
L[
d
2f dt
(t
2
)
]
s 2 F (s)
sf
(0)
f
(0)
……
L[d n f (t)] sn F(s) sn1 f (0) sn2 f (0) f (n1) (0) dt n
拉普拉斯变换及线性微分方程求解
拉普拉斯变换的定义 几种典型信号的拉氏变换 拉氏变换的积分下限 拉氏变换的基本性质 拉氏反变换 微分方程的求解
拉普拉斯变换及线性微分方程求解
一、拉普拉斯变换的定义
1、定义：函数f(t),t为变量。如下述线性积分
f (t )e st dt(s为复变量 j )
(s
(s 0.5) 0.5)2 0.75
0.5
0.75
0.75 (s 0.5)2 0.75
0.1(s 0.5) 1.95
五、拉普拉斯反变换
L1[ f (t)]
1
j
F (s)est dt f (t)
2j j
由F(s)求f(t)常用部分分式法
F(s) B(s) b0 s m b1s m1 bm1s bm A(s) s n a1s n1 an1s an
A(s) (s s1 )(s s2 ) (s sn )
(t)est dt 0
0
0
(t)estdt (t)estdt (t)estdt
0
0
0
0
(t)estdt 1 0
四、拉氏变换的几个基本规则
1、线性性质 设F1(s)=L[f1(t)],F2(s)= L[f2(t)] ,a和b都是常数，则
L[af1(t) bf2 (t)] aL[ f1(t)] bL[ f2 (t)] aF1(s) bF2 (s)
f(t)
1 t 0
f (t) 1(t) 0 t<0
1
0
t
F (s)
L[1(t)]
1(t)est dt
0
1 s
e st
|0
1 s
二、几种典型函数的拉氏变换
2.单位斜坡函数
f(t)
f (t) t 1(t) t t 0
0 t<0
0
t
F (s) L[t1(t)] t1(t)est dt
0
F(s) 1 sn
f (1) (0)
1 s
f (n) (0)
n
四、拉氏变换的几个基本规则
4、终值定理
若函数f(t)的象函数为F(s)，且F(s) 在s平面的右
半平面及除原点以外的虚轴上解析，则由终值
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
难点：F(s)在s平面的右半平面及除原点外的 虚轴上解析。意思是：F(s)的分母，令分母 等于零的根不在右半平面及除原点外的虚轴 上，即位于左半平面及原点上。
流i(0)=0.1A，电源电压ur(t)=1V，求
电压uc(t)的变化规律。
［解］系统微分方程为
LC
d
2uc (t) dt 2
RC
duc (t) dt
uc (t)
ur
(t)
方程两边拉氏变换得
LC[s2Uc (s) suc (0) uc (0)] RC[sU c (s) uc (0)] Uc (s) Ur (s)
0
存在，则称其为函数的拉普拉斯变换，简称拉氏变 换。
一、拉普拉斯变换的定义
2. 记作：F(s)或L［f(t)］
L[ f (t)] f (t)est dt F(s)
0
3. 拉氏反变换：
L1[ f (t)]
1
j
F(s)est dt f (t)
2j j
二、几种典型函数的拉氏变换
1、单位阶跃函数
s3 1)(s
2)
(s
1)
s1
2,
s3
a2
(s
1)(s
2)
(s
2)
s 2
1
f (t) L1[F (s)] L1[ 2 ] L1[ 1 ] 2et e2t
s 1
s2
六、线性定常微分方程的解
LR
[例3] L=1H，C＝1F，R＝1，且 Ur(t)
i(t) C Uc(t)
电容上初始电压uc(0)=0.1V，初始电
四、拉氏变换的几个基本规则
3、积分法则 设F(s)=L[f(t)] ，则
L[ t f (t)dt] 1 F (s) 1 f (1) (0)
0
s
s
L[
f (t)(dt)2 ]
1 s2
F (s)
1 s2
f (1) (0) 1 s
f (2) (0)
……
L[ f (t)(dt)n ]
1 sn
由于
uc (0)
duc (t) dt
t0
1 C
i(t)
t0
1 C
i(wenku.baidu.com)
0.1V
将L，R，C， uc(0)，uc’(0)，代入得到
Uc (s)
Ur (s) s2 s 1
0.1s s2 s
0.2 1
由于Ur(s)=1/s，故有
Uc
(s)
s2
1 s
1
1 s
0.1s s2 s
0.2 1
1 s