二次函数中各项系数abc与图像的关系

二次函数中各项系数a ，b ，c 与图像的关系

一、首先就y=ax 2+bx+c （a≠0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下：

1 a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下；

决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小．

2 b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．

b 与a 同号，说明02<-

a b ，则对称轴在y 轴的左边； b 与a 异号，说明−b 2a >0，则对称轴在y 轴的右边；

特别的，b = 0，对称轴为y 轴．

3 c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c ）

c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；

c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴；

特别的，c = 0，抛物线过原点．

4 a,b,c 共同决定判别式?=b 2−4ac 的符号进而决定图象与x 轴的交点

b 2−4a

c >0 与x 轴两个交点

b 2−4a

c =0 与x 轴一个交点

b 2−4a

c <0 与x 轴没有交点

5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；

x= -1时，y=a - b + c ．

当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0

当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0．

扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。

一．选择题（共8小题）

1．已知二次函数y=ax 2+bx +c 的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（ ）

A ．a ＞0

B ．b ＜0

C ．c ＜0

D ．b +2a ＞0

2．如果二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（ ）

A ．a ＞0

B ．b ＜0

C ．ac ＜0

D ．bc ＜0．

3．已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①

abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论有

（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

4．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0；

②b ＜0；③c ＞0；④2a +b=0；⑤a ﹣b +c ＜0，其中正确的个数是（ ）

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

第3题图 第4题图 第5题图 第6题图

5．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：：①a ＜0；

②b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a +b +c ＜0；其中结论正确的个数有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

6．如图所示，抛物线y=ax 2+bx +c 的顶点为（﹣1，3），以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②4a ﹣2b +c ＜0；

③2c﹣b=3；④a+3=c，其中正确的个数（）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，下列给出四个结论中，正确结论的个数是（）个

①c＞0；

②若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；

③2a﹣b=0；

④＜0；

⑤4a﹣2b+c＞0．

A．2 B．3 C．4 D．5

8．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④当x＜

时，y随x的增大而减小；⑤a+b+c＞0．其中正确的有（）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

二．填空题（共4小题）

9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：

①4ac＜b2；

②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；

③3a+c＞0；

④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；

⑤当x＜0时，y随x增大而增大；

其中结论正确有．

10．一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为．

11．抛物线y=ax2+12x﹣19顶点横坐标是3，则a=．

12．将二次函数y=x2+6x+5化为y=a（x﹣h）2+k的形式为．

三．解答题（共7小题）

13．已知：抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的

方向和距离．

14．函数y=（m+2）是关于x的二次函数，求：

（1）满足条件的m值；

（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随

x的增大而增大？

（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x的

增大而减小．

15．已知二次函数的图象经过（0，0）（﹣1，﹣1），（1，9）三点．

（1）求这个函数的解析式；

（2）求这个函数图象的顶点坐标．

16．已知抛物线的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点（0，﹣3），求与

该抛物线相应的二次函数表达式．

17．已知二次函数y=x2﹣4x+5．

（1）将y=x2﹣4x+5化成y=a （x﹣h）2+k的形式；