分式概念及性质练习题
第1讲 分式的概念及性质 讲义 (知识精讲+典题精练)2023-2024学年人教八年级数学上册
第1讲分式的概念及性质【中考考纲】【知识框架】考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用分式的概念分式的概念√分式有意义的条件√分式值为零的条件√分式值的符号讨论√分式的基本性质分式的基本性质√分式的概念分式的基本性质分式有意义的条件分式值为零的条件分式值的符号讨论分式分式的概念1【知识精讲】一、分式的概念1.一般地，用A ，B 表示两个整式，A B 就可以表示成BA的形式.如果B 中含有字母，式子AB就叫做分式．2.分式有意义的条件：分式的分母不为零；3.分式的值为零的条件：分式的分子为零且分母不为零；4.分式值为正的条件：分式的分子分母符号相同（两种情况）；5.分式值为负的条件：分式的分子分母符号不同（两种情况）．【经典例题】【例1】下列各代数式：1x ，2x ，5xy ，()12a b +，x π，211x -，22a b a b --，13a-,1x y -中，整式有_____________，分式有_____________．【例2】若分式21x -有意义，则x 的取值范围是_____________．【例3】要使式子3234x x x x ++÷--有意义，则x 的取值是_____________．【例4】使分式2211a a -+有意义的a 的取值是__________．【例5】当3x =-时，下列分式中有意义的是（）．A.33x x +- B.33x x -+ C.()()()()3232x x x x +++- D.()()()()3232x x x x -++-【例6】x ,y 满足关系_____________时，分式x yx y-+ 无意义．【例7】当x =_________时，分式33x x -+的值是零．【例8】当x =_________时，分式293x x --的值为零．【例9】若分式223-1244x x x ++的值为0，则x 的值为_________．【例10】x 为何值时，分式2||656x x x ---:（1）值为零；（2）分式无意义？【例11】若分式21-2x x a+无论x 取何值时，分式的值恒为正，则a 的取值范围是_________．【例12】若使分式1-1m 的值为整数，这样的m 有几个？若使分式1-1m m +的值为整数，这样的m 有几个？【例13】若分式1||x a+对任何数x 的都有意义，求a 的取值范围．【例14】要使分式11x x-有意义，则x 的取值范围是_________．【例15】当x 取何值时，分式226x x -+的值恒为负？【例16】当x 取什么值时，分式25xx -值为正？2【知识精讲】一、分式的基本性质1．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变，用式子表示A A CB B C⋅=⋅，A A CB B C÷=÷(0C≠),其中A,B,C为整式．2．注意：（1）利用分式的基本性质进行分式变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式；（2）应用基本性质时要注意0C≠，以及隐含的0B≠；（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以．3．分式的通分和约分：关键是先分解因式．【经典例题】【例17】把分式yx中的x 和y 都扩大3倍，则分式的值______．【例18】如果把分式10xyx y+中的x ，y 都扩大十倍，则分式的值（）．A ．扩大100倍B ．扩大10倍C ．不变D ．缩小到原来的110【例19】对于分式11x -，恒成立的是（）．A.1212x x =--B ．21111x x x +=--C ．()21111x x x -=--D ．1111x x -=-+【例20】下列各式中，正确的是（）．A ．a m ab m b+=+B ．0a ba b+=+C ．1111ab b ac c +-=--D ．221x y x y x y+=--【例21】与分式a ba b-+--相等的是（）．A ．a b a b+-B ．a b a b-+C ．a b a b+--D ．a b a b--+【例22】将分式253x yx y -+的分子和分母中的各项系数都化为整数，得（）．A ．235x y x y -+B ．1515610x y x y -+C ．1530610x y x y -+D ．253x y x y-+【例23】已知23a b =，求a bb+的值？【例24】化简：2323812a b cab c =________________．【例25】化简：22442y xy x x y-+=-________________．【例26】已知一列数1a ,2a ,3a ,4a ,5a ,6a ,7a ,且18a =,75832a =,356124234567a a a a a a a a a a a a =====,则5a 为（）．A ．648B ．832C ．1168D ．1944【例27】如果115x y +=,则2522x xy y x xy y-+=++____________．【例28】已知a b c d b c d a ===，则a b c da b c d-+-+-+的值是__________．【例29】化简：43211x x x x -+++．【例30】已知2215x x =+，求241x x +的值．【随堂练习】【习题1】若分式42121x x x --+的值为0，则x 的值是___________．【习题2】求证：无论x 取什么数，分式223458x x x x ---+一定有意义．【习题3】已知()1xf x x=+,求下列式子的值．111()()()(1)(0)(1)(2)(2011)(2012)201220112f f f f f f f f f ++++++++++ 【习题4】x 取______________值时,112122x +++有意义．【习题5】已知34y x =，求代数式2222352235x xy y x xy y -++-的值．【课后作业】【作业1】已知,,0a b c ≠，且0a b c ++=，则111111a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是__________．【作业2】已知20y x -=，求代数式()()()()22222222xy x xy y xxy yxy+-+++-的值．【作业3】若实数x ，y 满足0xy ≠，则y xm x y=-的最大值是多少？【作业4】已知a ，b 为实数，且1ab =，设11a b P a b =---，1111Q a b =---，试比较P 和Q 的大小．【作业5】如果整数a (1a ≠)使得关于x 的一元一次方程：232ax a a x -=++的解是整数，则该方程所有整数解的和为__________．【作业6】已知分式()()811x x x -+-的值为零，则x 的值是__________．【作业7】要使分式241312a a a-++有意义，则a 的值满足__________．【作业8】已知210a a --=，且4232232932112a xa a xa a -+=-+-，求x 的值．。
分式的基本性质(第二讲
（2）看分子如何变化，想分母如何变化；
练习1：
1、下列等式的右边是怎样从左边得到的？
1) b by ( y 0) 2) ax a
2x 2xy
bx b
2、下列运算正确的是（ ）
A) x x 2 ; y y2
C) x x(x 2) ; y y( y 2)
B) a a 3 b b3
D)
约分：如果分式不是最简分式，把 分子分母的所有公因式都约去的过程 叫约分。
分式的基本性质(第二讲
例1：约分
(1) 4a2bc3 , (2) 2a2 (x y)2
16abc5
a( y x)3
x2 9 (3) x2 6x 9
巩固新知
二、化简
（1）6m2n3 3mn
（a(y x)
（Ｃ）扩大９倍 （Ｄ）缩小
下列各式中,正确的是( )
(A)
a b
m m
a b
(B)
a a
b b
1
(C)
ab ac
1 1
b c
1 1
(D)
2x 4x2
y y2
1 2x
y
(3)在代数式中 x y、5
2a
、6xy、53
y
、2ab2c3中,
5
分式的个数有_______
(4)当X=______时,分式
怎样找几个分式的最简公分母？
例4 确定下列分式的最简公分母？
1
1
1
8x2 y , 2x3 y2 , 4xy4 z .
8x3 y4z
例5 通分：
(1)
3 2a 2b
与
a b ab 2 c
(2) 2 x 与 3x x5 x5
分式的概念和性质+答案
分式的概念和性质（提高）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0 的条件. 2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算.【要点梳理】【高清课堂403986 分式的概念和性质知识要点】要点一、分式的概念A 一般地，如果A、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A叫做分式. 其中AB叫做分子，B 叫做分母.要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的. 分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式. 分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母” ，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如a是整式而不能当作分式.（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式2不能先化简，如x y是分式，与xy 有区别，xy 是整式，即只看形式，x不能看化简的结果.要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1. 分式有意义的条件：分母不等于零.2. 分式无意义的条件：分母等于零.3. 分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0 的整式，分式的值不变，这个性质叫做A A M A A M分式的基本性质，用式子表示是： A A M，A A M（其中M是不等于零的整式）.B B M B B M要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式. 其中B≠0 是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠ 0 是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0 这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化. 例如：，在变形后，字母x 的取值范围变大了.要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变2 4解：整式有：23，2y 2， 2y 2；其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数 要点诠释： 根据分式的基本性质有 b a b bb. 分式a与 a 互为相反数a a ab b重要的作用 .要点五、分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的 值，这样的分式变形叫做分式的约分 . 如果一个分式的分子与分母没有相同的因式 （1 除外）， 那么这个分式叫做最简分式 .要点诠释： （1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分 母再没有公因式 .（ 2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式. 分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式 的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子 与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分 .要点六、分式的通分与分数的通分类似， 利用分式的基本性质， 使分式的分子和分母同乘适当的整式， 不改 变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分 .要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母： 一般取各分母所有因式的最高 次幂的积作为公分母 .2）如果各分母都是单项式， 那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相 同字母的最高次幂的乘积； 如果各分母都是多项式， 就要先把它们分解 因式，然后再找最简公分母 .3）约分和通分恰好是相反的两种变形， 约分是对一个分式而言， 而通分则 是针对多个分式而言 .典型例题】 类型一、分式的概念高清课堂 403986 分式的概念和性质 例 1】. 根据有理数除法的符号法则有分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着1、指出下列各式中的整式与分式：1 ，1 ，a b ，x ， 3 ，， ， ， ，2 ，x x y 2 x 12y 2，2 x ，思路点拨】 判断分式的依据是看分母中是否含有字母， 如果含有字母则是分式， 如果不含有字母则不是分式． 【答案与解析】∵ x 2 为非负数，不可能等于－ 1， ∴ 对于任意实数 x ，分式都有意义； 当 x 0 时，分式的值为零．（2）当 x 2 0即 x 0时，分式有意义； 当 x 0, 即 x 5 时，分式的值为零x 5 0,（3）当 x 5 0，即 x 5 时，分式有意义； 当 x 5 0, ①时，分式的值为零，2x 10 0 ②由①得 x 5时，由②得 x 5 ，互相矛盾．2x 10∴ 不论 x 取什么值，分式 2x 10 的值都不等于零．x5【总结升华】 分母不为零时，分式有意义；分子的值为零，而分母的值不为零时，分式的值 为零． 举一反三：【变式 1】若分式的值为 0，则的值为 _________________________ . 【答案】 － 2；|x| 2 0 |x| 2 0 提示：由题意 2， ，所以 x 2.x 2 5x 6 0 x 3 x 2 0分式有：1，1 ， 3 ， x2 x x y x 2 1 x总结升华】 判断分式的依据是看分母中是否含有字母．此题判断容易出错的地方有两处： 一个是把 π 也看作字母来判断， 没有弄清 π 是一个常数； 另一个就是将分式化简成整式后2再判断，如 x 和 x x，前一个是整式，后一个是分式，它们表示的意义和取值范围是不相同的．类型二、分式有意义， 分式值为 0 高清课堂 403986当 x 取什么数时，下列分式有意义？当2、 分式的概念和性质 例 2】x 取什么数时，下列分式的值为零？（ 1） 2x x 2 答案与解析】2）x52；x3) 2x 10 x5解：（ 1）当 x 20，即 x21时，分式有意义．x2变式 2】当 x 取何值时，分式 的值恒为负数？ 2x 6 答案】 x 2 0, 或 x 2 0, 2x 6 0, 2x 6 0. 解不等式组x 2 0,该不等式组无解．2x 6 0,解不等式组x 2 0,得 3 x 2． 2x 6 0.所以当 3x 2 时，分式x 2的值恒为负数． 2x 6类型三、分式的基本性质高清课堂 403986 分式的概念和性质 例 4】 3、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数(1) ； (2) ； (3) . 答案与解析】解：(1) ；(3).【总结升华】 (1) 、根据分式的意义， 分数线代表除号， 又起括号的作用； (2) 、添括号法则： 当括号前添“＋”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号 举一反三：解： 由题意可知(2)a1 a 2 2a 1 ；2；a 22变式】 列分式变形正确的是(A ．2 x2ymn(m n)2 (m n)(m n)(m n)2答案】C ．x 21x 2x 11 x1ab 2 aD ；提示：条件．将分式变形时，注意将分子、分母同乘(或除以)同一个不为 其中A 项分子、分母乘的不是同一整式，B 项中 m n 0 的整式这一0这一条件不知是1x 否成立，故 A 、B 两项均是错的． C 项左边可化为： 1 x 2(1 x)21 1x11，故 C x1项亦错，只有 D 项的变形是正确的．类型四、分式的约分、通分如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，也就是分子、分母系数的最大公约数与相同字母的最低次幂． 通分的关键是确定几个分式的最简公分 母，若分母是多项式， 则要因式分解， 要防止遗漏只在一个分母中出现的字母以及符号的变 化情况． 类型五、分式条件求值225、若 x 2，求 x 22 2xy 3y 22 的值．y x 2 6xy 7 y 2【思路点拨】 本题可利用分式的基本性质， 采用整体代入法， 或把分式的分子与分母化成只 含同一字母的因式，使问题得到解决． 【答案与解析】x 解法一：因为 2 ，可知 y 0 ，y222(x 22xy3y 2) g12x2x g3所以x 22xy3y 2yyy所以2x 26xy7y 2(x 26xy 7y 2)g12 y2x6 x g7yy4、约分：（1）2；(2) 2n 2 m 3 ；2mn 4n通分：3）3 2a 2ba b ；ab 2c4）x 24x42 x2答案与解析】解：（1） a 2 2a 1a 21(a1)2 ( a 1)(a 1)1；a12） 2 n 2 m2mn 4n 32n 2 m2n (m 2n 2)(m2n 2) 2n (m 2n 2 )1 2n ；3）最简公分母是 222a 2b 2c ． 3 g bc222a 2b 2a 2b g bc3bc22 2a b cb ab 2c(a b) g 2a ab 2c g 2a22a 22ab2a 2b 2c4）最简公分母是(x 2)(x 2) ，1 x2x2 (x 2)( x 2)x 2 ，4 xx 2 4 x 2 44x x 2 42(x 2)x 2 (x 2)( x 2)2x 4 x 2 4总结升华】( 2)2 2 ( 2) 3 5 ( 2)2 6 ( 2) 7 9解法二：因为 x 2 ， y所以 x 2y ，且 y 0 ，22x 2 2xy 3y 2 (x 3y)(x y) x 3y x 2 6xy 7y 2 (x 7y)(x y) x 7y【总结升华】 本题的整体代入思想是数学中一种十分重要的思想． 一般情况下， 在条件中含 有不定量时，不需求其具体值，只需将其作为一个“整体”代入进行运算，就可以达到化简 的目的． 举一反三： 【变式】已知x 3 y4z(xyz 0) ，求xy 26x 2yz 2 y zx 2的值．z 2【答案】x解： 设yz k(k 0) ，则 x 3k，y4k ， z 6k3 46∴xyyz zx3k g4k 4k g6k 6k g3k54k 2 54 ∴2x2 y2z22(3k)2 (4k)2(6k) 261k 2 61【巩固练习】 一. 选择题a 2 91．若分式 2a 9 的值为 0，则 a 的值为（ ）a 2 a 6A ．3B ．－3C ．±3D ． a ≠－ 2中的 x 、y 都扩大 m 倍（ m ≠ 0），则分式的值（）2.把分式 2x2y 3y 5 2y 7y 9xy14. 已知 13． A ．扩大 m 倍 5a b若分式 5a b 有意义，则 a 、 3a 2b B ．缩小 m 倍C ．不变 b 满足的关系是( 4． 5． 6．D ．不能确定A ． 3a 2b 1b 若分式 12 b 2b 2 A ． b < 0 面四个等式： ④xy 2 0个 A ． 化简B ． a 15bC ． b D．23b的值是负数，则 1 b 满足( B ．b ≥1 C ． b <1 D． b >1 ① x 2 y x 2y ;② xy 2 x 2y ;③ xy 2x y;2xy 2 b 22a a 2 2ab b 2 ab ab 二. 填空题 A ．7. 使分式 (x 2x 其中正确的有( B ． 1 个 的正确结果是( B ． a a b b 2 有意义的条件为 3)2 C ． 2个 D ． 3个C ．1 2abD ．2a 1b8. 分式 (x 2x 51)2有意义的条件为 2 分式 |x| 4 x4 m n ( mn 11．填入适当的代数式，使等式成立．9．当 时， 的值为零．10．填空： (1) ) n m m n ;(2) mn 2a 2b2a)2b1) a 2 ab 2b 2 a 2 b 2 ( ) ( 2) ab1a1a b ( ba 2 m 12. 分式 2m 2 1 约分的结果是 m 2 三. 解答题 2 x 13. 若 2 x 23x1的值为零，求 2 的值．2 (x 1)21 x 2，求 3x 7xy 3y 的值．2x 3xy 2y7. 8.15. （1）阅读下面解题过程：已知 2,求 524x的值．x 4 11. 解：∵ 2xx 21 ∴1∴1xx2 5,2,即 5,即 2x 4x1 21 x2 x1 (x 1x )2 2 x2）请借鉴（ 已知2 x 2 答案与解析】 . 选择题 答案】 B ； 解析】 由题意 2. 答案】 C ； 解析】 3. 答案】 解析】 4. 答案】 解析】 5. 6. 9. 1）x 3x 2mxmx my D；中的方法解答下面的题目： 2, 求 4 x 0且am 2x m(x y)由题意， 3a D；因为 2b 2 1 答案】 解析】①④正确 . 答案】 解析】. 填空题【答案】【答案】【解析】【答案】2b 0 ， C；B； 22ab 22 a 2ab b2x 2x2x xy所以的值．0,所以 1 b aba2abx 3.x 为任意实数；x 为任意实数，分母都大于零x 4 ；1 (52)2 2 170 ，解得 a 3.23b .0,即 b >1.ab ab2，| x| 4 0 解析】 ，所以 x 4 . x40x 2 x 0 ，即 x(x 1) 0 x 2 3x 2 0 (x 1)(x 2) 0x 0 或 x 1 0x 1 0且 x 2 0 x 0或 x 1, x 1且 x 2, x 0 ，14. 【解析】 解：方法一：∵ 1 1 y x 2 ，x y xy等式两边同乘以 xy ，得 2xy y x ．x y 2xy ．3x 7xy 3y 3(x y) 7 xy 2x 3xy 2y 2( x y) 3xy11 xy【解析】2a ab 2b 2a b a 2b ；1 b ba 2b 2abab1 a bab b12. 【答案】 11m；；m【解析】2m 2m 1 2m 1 1 m10. 【答案】（1）－；（2）＋；11. 【答案】（1） a 2b ；（2） b a ；a ab 21 m 1 m 1 m 1 m三. 解答题13. 【解析】ab ba解：由已知得： 将 x 0 代入得：1 ( x 1)2 1 (0 1)2 1 (0 1)21．3 2 xy 7xy xy 2 2 xy 3xy 7xy方法15. 【解析】解：∵ 2xx23x 1 ∴1x13x2x42x x 1121x 2 1x12 x1 21x3x7xy3y3 y72x3xy2y23y 3 x31x1 y73271 2x21 x1 y322372,2 ，∴ x1 4.72 45.12。
《分式》典型练习题
分式知识点和典型习题（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义1、下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .2、下列分式中，最简分式有（ ）322222222222212,,,,312a x y m n m a ab b x x y m n m a ab b-++-++---- A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3、下列各式：2b a -，x x 3+，πy +5，()1432+x ，b a b a -+，)(1y x m-中，是分式的共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个题型二：考查分式有意义的条件 1、当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件 1、当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x （2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件 1、（1）当x 为何值时，分式x-84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数1、不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0（3）b a ba 10141534.0-+题型二：分数的系数变号2、不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yx yx --+- （2）ba a ---（3）ba ---题型三：考查分式的性质 1、若分式xyx +中x 、y 的值都增加到原来的3倍，则分式的值（ ） A 、不变 B 、是原来的3倍 C 、是原来的31 D 、是原来的912、若分式xyy x 22+中x 、y 的值都增加到原来的3倍，则分式的值（ ）A 、不变B 、是原来的3倍C 、是原来的31D 、是原来的91题型三：化简求值题 1、已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值. 2、已知：311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的值.3、已知：21=-xx ，求221xx +的值. 4、若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.5、已知与互为相反数，代数式的值。
分式的概念及性质
分式的概念及性质一、分式的基本概念：【例1】下列各式2x ，22a b +，a b π+，2x +，1a m +中，分式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【拓1】（1）当x 满足条件_________时，分式21xx -有意义．（2）若分式()11x x +有意义，则x 需满足____________；若分式()1xx x +有意义，则x 需满足_____________．【拓2】当x 为何值时，下列分式的值为0：①31x x + ②2213x x - ③242x x -+ ④212x x x -+-【例2】已知：当x =2时，分式x m x n -+无意义；当x =-6时，分式x mx n-+的值为0，则 m -n =_______．【拓3】当x ________时，分式36x -的值为正数；当x ________时，分式26xx--的值为负数．【拓4】（21广陵期末）关于x 的方程1233x kx x -=+--的解为非负数，则k 的取值范围是___．【拓5】若分式1324x x x x ++÷++有意义，则x 的取值范围为__________．【拓6】（2021·扬州）不论x 取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）A ．1x +B ．21x -C ．11x + D ．2(1)x +二、分式的基本性质：①x y x y +- ②xy x y - ③22x y x y +- ④2xx y+【拓7】（21邗江期末）把分式2xyx y+中的x 和y 都扩大2倍，分式的值（ ） A ．不变 B ．扩大4倍 C ．缩小12D ．扩大2倍【拓8】不改变分式的值，把分式的分子和分母系数都化为整数：①0.10.51.5x y x y -+ ②21321334x y x y -+ ③10.3210.55a ba b -+【拓9】（1）不改变分式的值，把分式的分母化为6ab 2：23a b 22a bab+（2）不改变分式的值，把分式的分母化为()()11x x x -+：()11x x x -+ 21xx -【例4】（1）下列等式，从左到右的变形正确的是（ ）A ．1x y x y --=-- B ．0.220.50.353x y x yx y x y++=-- C ．x a ax b b+=+ D ．()2x y x y y x -=-+-（2）将下列格式约分：3439x x =-__________322384a b a b c -=-___________ 23224x x x -=-___________ 2442a a a-+=-_________【拓10】下列分式：2x x ，1m m +，x xπ+，a bb a --中，最简分式的个数有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个【拓11】（21扬州期末）当2021a =时，分式293a a --的值是________．【拓12】分式2214a b 与36a bab c+的最简公分母是________．【拓13】通分：①()()112x x --，2121x x -+；②()11a a a -+，21a a -，2221a a ++．【拓14】（18邗江期中）先约分，再求值：32322444a ab a a b ab --+，其中2a =，12b =-．【拓15】（15邗江月考）已知：y z z x x y x y z +++==，其中0x y z ++≠，求x y zx y z+-++的值．三、分式的运算：（1）2222463ab cc a b -⋅ （2）32422ab c ac c ab b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）()()222142y x x y xy x y x +-÷⋅- （4）23x y x y x y y x x y ++----（5）a b b c ab bc ++- （6）24142x x +-+【拓16】化简，求值：22211111m m m m m m -+-⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中m =四、真题演练：1．（21邗江月考）已知：23a b b c c a m cab+++=++，且0abc >，0a b c ++=．则m 共有x 个不同的值，若在这些不同的m 值中，最小的值为y ，则x y +=（ ） A ．1- B ．1 C ．2 D ．32．（19扬州一模）已知111m n -=，则代数式222m mn nm mn n--+-的值为（ ） A ．3 B ．1 C ．1- D ．3-3．（19江都期中）已知113x y +=，则分式2322x xy yx xy y-+++的值为（ ） A ．35 B ．9C ．1D ．不能确定4．（15扬州月考）已知x 为整数，且222218329x x x x ++++--为整数，则所有符合条件的x 值的和为________．5．（21仪征期末）若关于x 的分式方程312mx -=+的解为负数，则m 的取值范围为________．6．（20邗江期末）关于x 的方程1242k xx x -=--的解为正数，则k 的取值范围是________．7．（21广陵期末）先化简，再求值222124424x x x x x x x ++++÷--，其中2021x =．8．（19宝应期中）已知实数A 、B 使得等式34(1)(2)12x A Bx x x x -=+----成立，求实数A 、B ．9．（18高邮期中）已知13x x +=，求221x x+的值．10．（18江都月考）定义，如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----，232252255211111x x x x x x x x -+-+-==+=-+++++，则 11x x +-和231x x -+都是“和谐分式”． （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①1x x+；②22x +；③21x x ++；④221y y +（2）将“和谐分式2231a a a -+-化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：2231a a a -+=-________+________．（3）应用：先化简22361112x x x x x x x +---÷++，并求x 取什么整数时，该式的值为整数．11．（20仪征期中）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：11x x -+，21x x -这样的分式就是假分式；再如：31x +，221x x +这样的分式就是真分式，假分数74可以化成314+（即314）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：1(1)221111x x x x x -+-==-+++． 解决下列问题： （1）分式3x 是____（填“真”或“假”）分式；假分式64x x ++可化为带分式________形式； （2）如果分式42x x --的值为整数，求满足条件的整数x 的值； （3）若分式22251x x ++的值为m ，则m 的取值范围是________（直接写出答案）．。
分式基本性质练习题
分式基本性质练习题分式是数学中重要的概念之一，它在实际生活中有着广泛的应用。
本文将为大家提供一些分式基本性质的练习题，帮助读者巩固和深入理解分式的概念和运算规则。
练习题一：分式的乘法和除法1. 计算：$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5}$2. 简化：$\frac{16}{24}$3. 计算：$\frac{5}{6} \div \frac{2}{3}$4. 简化：$\frac{12}{36}$练习题二：分式的加法和减法1. 计算：$\frac{1}{4} + \frac{3}{8}$2. 计算：$\frac{5}{6} - \frac{2}{3}$3. 计算：$\frac{2}{5} + \frac{3}{10}$4. 计算：$\frac{3}{4} - \frac{1}{6}$练习题三：分式的化简和换算1. 化简：$\frac{4x^2}{8x}$2. 化简：$\frac{10ab^2}{5a^2b}$3. 将小数$\frac{0.6}{1.2}$化成分数的形式。
4. 将百分数$75\%$化成分数的形式。
练习题四：分式的比较和大小关系1. 比较大小：$\frac{3}{4}$和$\frac{5}{8}$2. 比较大小：$\frac{2}{3}$和$\frac{4}{5}$3. 将分数$\frac{2}{9}$改写成百分数。
4. 将百分数$25\%$改写成分数。
练习题五：分式的应用1. 假设小明每小时工作5小时，小红每小时工作4小时，他们一起工作的效率是多少？2. 某项工程由甲、乙两人合作完成，甲单独完成需要10天，乙单独完成需要15天，他们一起工作多少天可以完成该项目？3. 假设一块土地上有甲、乙两家农场，甲家的土地面积是乙家的2倍，甲家每年产量为1000千克，乙家每年产量为800千克，问两家农场每年的平均产量是多少千克？以上是分式基本性质的练习题，希望读者朋友们通过这些练习能够提高对分式的理解和运用能力。
分式知识点及例题
分式知识点及例题一、分式的概念形如 A/B（A、B 是整式，且 B 中含有字母，B≠0）的式子叫做分式。
其中 A 叫做分子，B 叫做分母。
例如：1/x，（x ＋ 1)／（x 2) 等都是分式。
需要注意的是，分母不能为 0，否则分式无意义。
二、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。
即：A/B ＝ A×C/B×C，A/B ＝ A÷C/B÷C（C 为不等于 0 的整式）例如：若分式 2x/（3x 1) 的分子分母同时乘以 2，得到 4x/（6x 2)，其值不变。
三、分式的约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。
约分的关键是确定分子和分母的公因式。
例如：对分式 6x/9 进行约分，分子分母的公因式为 3，约分后得到2x/3。
四、分式的通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
最简公分母的确定方法：1、取各分母系数的最小公倍数；2、凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；3、同底数幂取次数最高的。
例如：1/2x 和 1/3y 的最简公分母为 6xy。
五、分式的运算1、分式的乘除法分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
例如：（2x/y) ×（3y/4x) ＝ 3/2 ；（2x/y) ÷（3y/4x) ＝（2x/y) ×（4x/3y) ＝ 8x²/3y²2、分式的加减法同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
例如：1/x ＋ 2/x ＝ 3/x ； 1/2x 1/3y ＝（3y 2x) ／ 6xy六、分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
分式的基本性质练习及答案
分式的基本性质练习及答案分式的基本性质练及答案一、判断正误并改正:① y6a2-b2(－a－b)2/3 = y(6a2-b2)/(a-b)② (x+ax)/(x+2)(x-3)(x+y)+(x-y)/y+ay = -1/(2+x) = (x-y)/(x+y)(x-y)2二、认真选一选1.下列约分正确的是: C。
a/(b-a) = 2/(2b-a)2.下列变形不正确的是: D。
(6x+3)/(2x+1) ≠ -a-2/(a+2x+2) ≠ (2x+1)/(a(b+1))3.等式成立的条件是: A。
a ≠ 1 且b ≠ 14.如果把分式中的x和y都扩大10倍，那么分式的值不变。
5.不改变分式的值，使1-2x的分子、分母中最高次项的系数都是正数，则此分式可化为: B。
(-2x+1)/(x2-3x+3)6.下面化简正确的是: B。
(2a+1)/(x2+y2-2x+2y(a-1)) = -17.下列约分正确的有: A。
(2+xy)/(x12+1)(a+m) =1/2xy+2+ab+mb/(3x3)三、解答题:1.约分：① (m2-4x)/(4-1-36yz2) = (m-2x)/(2m+1-x6yz)② (a-4)/(a+48-2m) = (2x-y)/(10-15y)③ (2m-m)/(2a-4m-16) = -1/2④ (2x-y)/(10-15y) = (2x-y)/(5-3y)(5+y)⑤ (a-1)/(x-y)(x-y)2 = a-1/[(x-y)2(x+y)]⑥ -(x-y)/(x-y)(x+y)2 = (y-x)/(x-y)(x+y)22.先化简,再求值:① a2-8a+16/a2+ab = (a-4)/(a+b) = (5-4)/(5+2) = 1/7② a2-16a+2ab+b2/2 = [(a-8)2-60]/2 = (52-60)/2 = -43.已知 $a+2b=2$，求 $2a+ab+b^2$ 的值。
分式的概念和性质练习题
1．填空题：（1）当x= 时，分式135-+x x 无意义。
（2）当x= 时，分式123-+x x 的值为零；当分式23+-x x =0时，x= 。
（3）()()333++x x x =x 3成立的条件是 。
（7）当x 时，分式121+-x x 有意义。
2．选择题：（1）下列说法正确的是（ ）A ．形如BA 的式子叫分式B ．分母不等于零，分式有意义C ．分式的值等于零，分式无意义D ．分式等于零，分式的值就等于零（2）已知有理式：x 4、4a 、y x -1、43x 、21x 2、a 1＋4，其中分式有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个（3）使分式ax 45-有意义的x 的值是 （ ）A ．4aB ．－4aC ．±4aD ．非±4a 的一切实数（4）使分式mx m x 41622--的值为零的x 的值是 （ ） A ．4m B ．－4m C ．±4m D ．非±4m 的一切实数3．解答下列各题：（1）当x 取什么数时，分式1132-+x x 有意义？ （2）当x 为何值时，分式x x x 32212-++无意义？ （3）若分式1642-+x x 无意义，求x 的值。
4．已知分式()()()()22253435232-----+x x x x （1）当x 为何值时，分式无意义？（2）当x 为何值时，分式的值为零？（3）当x 为何值时，分式的值为－1？5．当x 为何值时，下列分式的值为正？（1）432+-x x （2）232-+x x 6．（1）填充分子，使等式成立；()222(2)a a a -=++ （2）．填充分母，使等式成立：()2223434254x x x x -+-=--- （3）化简：233812a b c a bc =_______。
6．（1）()2a b ab a b += （2）()21a aa c++=（a ≠0） （3）()22233x x x -=-+-（4）()2232565a a a a a ++=+++7．（1））333()3ax by ax by ax by ax by---=-=---，对吗？为什么？ （2）22112x y x y x y x y++==---对吗？为什么？ 8．把分式x x y+（x≠0，y≠0）中的分子、分母的x ，y 同时扩大2倍，那么分式的值 （ ） A ．扩大2倍 B ．缩小2倍 C ．改变 D ．不改变9．下列等式正确的是 （ ）A ．22b b a a = B ．1a b a b-+=-- C ．0a b a b +=+ D ．0.10.330.22a b a b a b a b--=++ 10．不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中各项系数都化为整数。
分式题型-易错题-难题-大汇总
分式单元复习〔一〕、分式定义及有关题型一、分式的概念： 形如BA 〔A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0〕的式子，叫做分式。
概念分析：①必须形如“B A 〞的式子；②A 可以为单项式或多项式，没有其他的限制；③B 可以为单项式或多项式，但必须含有字母。
．．．例：以下各式中，是分式的是①1+x 1② ③3x ④ ⑤3-x x ⑥ ⑦πx 练习：1、以下有理式中是分式的有〔 〕A 、 m 1B 、C 、D 、57 2、以下各式中，是分式的是 ①x 1② ③3x ④ ⑤3-x x ⑥ ⑦ 1、以下各式：()xx x x y x x x 2225 ,1,2 ,34 ,151+---π其中分式共有〔 〕个。
A 、2 B 、3 C 、4 D 、5二、有理式：整式和分式统称有理式。
即：例：把以下各有理式的序号分别填入相应的横线上 ①21x② ③x -3 ④0 ⑤3a ⑥ ⑦ 整式： ；分式 。
①分式有意义：分母不为0〔0B ≠〕②分式无意义：分母为0〔0B=〕③分式值为0：分子为0且分母不为0〔〕④分式值为正或大于0：分子分母同号〔或〕⑤分式值为负或小于0：分子分母异号〔或〕⑥分式值为1：分子分母值相等〔A=B〕⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数〔A+B=0〕⑧分式的值为整数：〔分母为分子的约数〕例:当x 时，分式有意义；当x 时，有意义。
练习：1、当x 时，分式无意义。
8．使分式无意义，x的取值是〔〕A．0 B．1 C．1- D．1±2、分式，当______x时有意义。
3、当a 时，分式有意义．4、当x 时，分式有意义。
5、当x 时，有意义。
分式有意义的条件是。
4、当x 时，分式的值为1；2．〔辨析题〕以下各式中，无论x取何值，分式都有意义的是〔〕A．121x+ B．21xx+C．231xx+ D．〔7〕当x为任意实数时，以下分式一定有意义的是〔〕A.23x+B. C.1xD.四、分式的值为零说明：①分式的分子的值等于零；②分母不等于零例1：假设分式的值为0，那么x 。
分式的概念与性质(有答案)
分式的基本概念和性质一、 分式的定义二、 分式有意义的条件 三、 分式的值为零的条件 四、 讨论分式值的情况 五、 分式的基本性质1.基本性质2.约分3.最简公分母4.通分六、 列代数式（分式）一、 分式的定义1.【易】下列式子：1a ，2x -，6m ，3b ，z x y -，62a b +，25mn ，2217x x ++，a ba b -+中分式的个数是（ ） A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个 【答案】B2.【易】在式子1x ，12，212x +，3xyπ，4x y +，1a m +中，分式的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】C3.【易】在式子1a ，3b ，ca b -，2ab π，22x x y -中，分式的个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 【答案】B4.【易】在式子3x y -，21a x -，1x π+，3a b -，12x y +，12x y +中，分式的个数为（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 【答案】B5.【中】代数式2211532452m n y y x x y-+-，，，，中，分式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C6.【中】代数式2113x x ax x π+，，，中，分式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】B7.【中】下列各式：()115x -，43x π-，222x y -，1x x +，25x x其中分式共有（ ）个A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】A8.【中】下列式子：1x ，23a a b -，3x y +，42a π-，2x xx-，其中是分式的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C9.【中】代数式()()1222122x x a b a b a x a x π-+++++，，，，中，分式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C10.【中】代数式215131n x h x m y x y x π+-++，，，，中，分式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】D11.【中】代数式()()()222333124a x aa b x x m x mπ++÷--，，，，，中，分式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C12.【中】在下列各式中，11a -，243x y y -，h π-，22m n m n --，25a b a-，23x +，是分式的有________．【答案】11a -，22m n m n--，23x +13.【难】在下列代数式中：x π，12x y -，22x y x y -+，1x y x y+-，是分式的有________．【答案】22x y x y-+，1x y x y+-14.【难】在下列代数式中：222a b -，m n m n --，53x -，43x -，2y x y +，1111x+-是分式的有________．【答案】m nm n--，53x -，2y x y +，1111x+- 15.【难】在下列代数式中：211x -，111x x --，2a a，23x -，1155x x -++是分式的有________．【答案】211x -，111x x --，2a a ，23x -，1155x x -++二、 分式有意义的条件16. 【易】若分式23x -有意义，则x 应满足的条件是（ ） A ．0x ≠B ．3x ≥C ．3x ≠D ．3x ≤【答案】C17. 【易】若分式25x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．5x ≠ B ．5x ≠- C ．5x >D ．5x >-【答案】A18. 【易】在函数22xy x =+中，自变量x 取值范围是_________． 【答案】1x ≠- 19. 【易】使分式24xx -有意义的x 的取值范围是（ ） A ．2x =B ．2x ≠C ．2x =-D ．2x ≠-【答案】B20. 【易】函数21x y x -=-中自变量x 的取值范围是___________． 【答案】1x ≠21. 【易】使分式211x x -+有意义的x 的取值范围是________． 【答案】全体实数22. 【易】请写出一个对任意实数都有意义的分式，你所写的分式是________．【答案】221x + 23. 【易】无论x 取什么实数值，分式总有意义的是（ ）A ．21x x+ B ．221(2)x x -+ C ．211x x -+ D ．2xx + 【答案】C24. 【易】下列判断错误的是（ ）A ．当23x =/时，分式132x x +-有意义 B ．当a b ≠时，分式22aba b-有意义C ．当12x =-时，分式214x x+值为0D ．当x y ≠时，分式22x yy x --有意义 【答案】B25. 【易】若分式ba ba 235+-有意义，则a 、b 满足的关系是（ ）A ．32a b ≠B ．b a 51=/ C ．23b a =-/D ．b a 32-=/【答案】D26. 【易】已知分式242x x -+，当x =________时，分式无意义．【答案】2-27. 【中】求下列分式有意义的条件：⑴22x y x y ++；⑵2128x x --；⑶293x x -+ 【答案】⑴分式有意义的条件是210m +≠，即m 为任何实数；⑵分式有意义的条件是228(4)(2)0x x x x --=-+≠，即4x ≠且2x ≠-； ⑶分式有意义的条件是30x +≠，即3x ≠-28. 【中】当1x =时，分式23x x a+-无意义，则a =________．【解析】由题意，得：当时，20x x a +-=，即2110a +-=，所以2a = 【答案】229. 【中】使分式1111x++有意义的条件是________． 【解析】由题意，得：101101x x+≠⎧⎪⎨+≠⎪+⎩ 解得12x x ≠-⎧⎨≠-⎩ 【答案】1x ≠-且2x ≠-30. 【中】x 为何值时，分式1122x x+-+有意义？ 【答案】1202x x+-≠+且20x +≠，则1x ≠-，且3x ≠-，且2x ≠-，31. 【中】若使分式241312a a a-++没有意义，则a 的值为________．【解析】由题意，得：20a =或13102a a ++=，解得，0a =或15a =- 【答案】0或15-1x =32. 【中】有一个分式，三位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为0，乙：分式有意义时x 的取值范围是2x ≠±；丙：当1x =-时，分式的值为3-，请你写出满足上述全部特点的一个分式________．【答案】32x -（答案不唯一）33. 【中】要使分式11x x-有意义，则x 的取值范围是________【答案】0x ≠且1x ≠±根据题意可得：010x x x ⎧≠⎪-⎨≠⎪⎩，解得0x ≠且1x ≠±34. 【中】分式1111a a ---有意义，那么a 的取值范围是__________．【答案】1a ≠±且2a ≠±35. 【中】请写出一个含有字母x 的分式（要求：不论x 取何值，该分式都有意义）________．【答案】答案不唯一，如231x +等不论x 取何值，该分式都有意义，所以所写分式的分母最重要，联想到非负数的形式，20x ≥，所以只要在2x 的基础上加上一个正数即可作为分母，分子随意写一个数即可．36. 【中】当x 为任意实数时，分式212x x m-+一定有意义，则实数m 满足（ ）A ．0m ≥B ．1m >C ．1m ≤D ．1m < 【答案】B()2211211x x m x m =-+-+-，由题意得，()2110x m -+-≠恒成立，由于()210x -≥，所以10m -＞，即1m ＞37. 【难】a ，b ，c 为ABC △的三边，且分式222abca b c ab bc ac++---无意义，则ABC △是________三角形．【解析】由题意，得：()()()222222102a b c ab bc ac a b b c a c ⎡⎤++---=-+-+-=⎣⎦， 所以a b c ==，所以ABC △为等边三角形【答案】等边三、 分式的值为零的条件38. 【易】若分式8x x-的值为零，则x 的值等于________________． 【答案】839. 【易】若分式12x x -+的值为0，则x 的值等于________________． 【答案】140. 【易】若分式261x x --的值为0，则x 的值等于________________． 【答案】341. 【易】已知3x =时，分式31x kx +-的值为零，则k =________． 【答案】9-42. 【中】若分式2362x xx --的值为0，则x 的值为（ ）A ．0B ．2C ．2-D ．0或2 【答案】A43. 【中】若分式211x x -+的值为0，则x 的值为________．【答案】144. 【中】若分式242x x -+的值为0，则x 应满足的条件是（ ）A ．2x =-B ．2x =C ．2x ≠-D ．2x =± 【答案】B45. 【中】如果分式23273x x --的值为0，则x 的值应为________【答案】3-46. 【中】如果分式2321x x x -+-的值是零，那么x 的取值是________．【答案】247. 【中】分式265632x x x --+的值为0，则x 的值为________．【答案】3248. 【中】若分式221x xx +-的值为0，则x 的值为________．【答案】049.【中】若分式2242x x x ---的值为0，则x =_________________．【答案】2x =-50.【中】若分式2231244x x x -++的值为0，则x 的值为_____________．【答案】251.【中】若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于________；【答案】252.【中】若分式2296a a a ---的值为0，则a 的值为（ ）A ．3B ．3-C ．3±D ．2a ≠-【答案】B53. 【中】如果分式11x x --的值是零，那么x 的取值是________．【答案】1x =-54. 【中】当x =________时，分式33x x -+的值为0．【答案】355. 【中】当x =_______时，分式3412x x -+的值是零．【答案】356. 【中】如果分式22a a -+的值为零，则a 的值为（ ）A ．1±B ．2C ．2-D ．以上全不对【答案】B57. 【中】如果分式222a a a ++-的值为零，则a 的值为（ ）A ．2-B ．1C ．0D ．以上全不对【答案】D58. 【中】式子()()811x x x -+-的值为零，则x 的值为（ ）A ．1±B ．1-C ．8D ．1-或8【答案】C59. 【中】若分式2||323x x x -+-的值为0，求x 的值．【答案】3四、 讨论分式值的情况60. 【易】当x 为何值时，分式的值为正数？ 【答案】12x >-61. 【易】若分式2121bb -+的值是负数，则b 满足（ ）A ．0b <B ．1b ≥C ．1b <D ．1b > 【答案】D62. 【易】已知a 、b 为有理数，要使分式ab的值为非负数，a 、b 应满足的条件是（ ）A ．00a b ≠≥，B ．00a b <≤，C ．00a b >≥，D ．0000a b a b ><≥，或≤， 【答案】D63. 【中】当x 取什么值的时候，分式33x x +-的值为1-．【答案】03x x ≠-≤且64.【中】如果分式26xx x --的值恒为正数，求x 的取值范围【答案】20x -＜＜或3x ＞65.【中】使代数式34x xx-的值为正整数的x 值是（ ）A ．正数B ．负数C ．零D ．不存在的 【答案】D66.【中】若31a +表示一个整数，则整数a 可以值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D67.【中】若41x +表示一个整数，则整数x 可取值共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 【答案】D68.【中】若x 取整数，则使分式6321x x +-的值为整数的x 值有（ ）A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个 【答案】B69.【中】若32n -表示一个正整数，则n 可取值得的正整数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【答案】B121+x五、 分式的基本性质1.基本性质 70. 【易】如果分式x yx y+-中的x 、y 的值都变为原来的3倍，那么此分式的值（ ） A ．不变B ．是原来的3倍C ．是原来的13D ．是原来的16【答案】A71. 【易】如果把分式2xx y +中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A ．扩大3倍 B ．缩小3倍 C ．缩小6倍 D ．不变 【答案】D72. 【易】如果把223xyx y-中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值（ ）A ．扩大5倍B ．不变C ．缩小5倍D ．扩大4倍 【答案】A73. 【易】把分式()200x x y x y≠≠+，中的分子分母的x 、y 都同时扩大为原来的3倍，那么分式的值将是原分式值的（ ） A ．9倍 B ．3倍 C ．一半 D ．不变 【答案】B74. 【中】不改变分式的值，使分式0.20.0120.05x x ---的分子、分母中各项系数都为整数为____________．【答案】20012100050x x ---75. 【中】如果a cb d=（其中0,0b d >>），那么下列式子中不正确的是（ ）A ．a b c d b d ++=B ．a b c d b d --=C ．a c c b d d +=+D ．a db c = 【答案】D76. 【中】下列变形正确的是（ ）A ．11a ab b+=+ B ．11a ab b--=-- C ．221a b a b a b-=--D ．()()221a b a b --=-+ 【答案】B77. 【中】下列变形正确的是（ ）A ．0a ba b +=+ B ．1a ba b-+=-- C ．22a a b b -=D ．0.10.330.22a b a ba b a b --=++【答案】B78. 【中】下列化简正确的是（ ）A ．22a b a b a b +=++B ．1a ba b --=-+ C ．1a ba b --=--D ．22a b a b a b -=--【答案】B79. 【中】下列各等式中，正确的是（ ）A ．0.220.33x y x yx y x y++=--B ．221x y x y x y+=++C ．x y y xx y y x++=--D ．()()221y x x y -=-【答案】D80. 【中】下列各式中正确的是（ ）A ．0x y x y +=+B ．22y y x x = C ．1x y x y -+=-- D ．11x y x y =--+- 【答案】D81. 【中】不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号．⑴35a-；⑵235x y -；⑶25b a --；⑷1115y x --- 【答案】⑴35a -；⑵235x y -；⑶25b a ；⑷1115y x-82. 【中】不改变分式的值，使下列分式的分子、分母的最高次项的系数都是正数．⑴223x x --+；⑵322311a a a a -+---；⑶3223145x x x x-+--++ 【答案】⑴223x x --；⑵323211a a a a -++-⑶2232154x x x x --+-2.约分83. 下列约分正确的是（ ）A ．632x x x= B ．x m m x n n +=+ C ．22x y x y x y -=++ D ．1x yy x-+=- 【答案】D84. 【易】约分：⑴1015ab ac -；⑵y x y x 322.36.1-；⑶211m m --；⑷2223812a bc a b c - 【答案】⑴23b c -；⑵12x -；⑶11m +；⑷223cb - 85. 【易】________化简22a aa+的结果是__________．________【答案】2a +86. 【易】化简：293x x --=___________． 【答案】3x +87. 【易】化简分式2222936a b a b ab -后得（ ）A ．222232a b a b ab - B ．263ab a ab - C ．b a ab 23- D ．bb a ab2332- 【答案】C88. 【中】化简222a b a ab -+的结果为（ ）A ．b a -B ．a b a -C ．a b a +D ．b -【答案】B89. 【中】化简222m n m mn-+的结果是（ ）A ．2m nm - B ．m nm- C ．m nm+ D ．m nm n-+ 【答案】B90. 【中】化简分式：⑴=--3)(x y y x _____；⑵22996x x x-=-+_____． 【答案】⑴21()x y --；⑵33x x +-91. 【易】化简：22121a a a -++=________ 【答案】11a a -+92. 【中】化简22222bab a b a ++-的正确结果是（ ） A ．b a b a -+ B ．b a b a +- C ．ab 21D ．ab21- 【答案】B93. 【中】填入适当的代数式，使等式成立．⑴22222()a ab b a b a b +-=-+；⑵1()1a b a b a b+=--【答案】⑴2a b +；⑵b a +94. 【中】化简：22442y xy x x y -+-_________________；22322m m m m -+=-________________； 【答案】2x y -；1m m-95. 【中】约分：⑴22312()27()a b a a b --；⑵62322--++x x x x ；⑶22416m m m --；⑷2442-+-x x x 【答案】⑴249()a ab -；⑵13x x +-；⑶4m m -+；⑷2x -96. 【中】化简2244xy yx x --+的结果是（ ）A ．2x x +B ．2x x -C ．2y x + D ．2y x - 【答案】D97. 【中】化简：2222444m mn n m n -+=-_____． 【答案】22m nm n -+98. 【中】化简：22211x xy y x y -+---=______________ 【答案】1x y -+3.最简公分母99. 【易】分式25364x y xyz，的最简公分母（ ）A ．212x yzB ．12xyzC ．224x yzD ．24xyz【答案】A100. 【易】分式32235b c a ax bx x-，，的最简公分母（ ） A ．15axb B ．315abx C ．30abx D ．330abx【答案】D101. 【中】分式234m -与542m-的最简公分母是____________．【答案】()()222m m -+102. 【中】分式2212a b a b a b b a+--，，的最简公分母（ ） A ．()()()22a b a b a b -+- B ．()()22a b a b -+C ．()()22ab b a --D ．22a b -【答案】D103. 【中】分式22211112121a a a a a --+++，，的最简公分母（ ） A ．()221a - B ．()()2211a a -+ C ．21a +D ．()41a -【答案】A104. 【中】分式222222222a b b a ab b a b a ab b -+-++，，的最简公分母是（ ）A ．()()()22222222a ab b a b a ab b -+-++B ．()()22a b a b +- C ．()()()2222a b a b a b +-- D ．44a b - 【答案】B105. 【难】求下列各组分式的最简公分母⑴277a -，2312a a a -+，211a - ⑵2145x x --，232x x x ++，22310x x x -- ⑶22a ab a ab +-，22ab b ab -，222a ab - ⑷231881x x -+，2281x -，211881x x ++ 【答案】⑴27(1)(1)a a -+；⑵(5)(1)(2)x x x -++；⑶()()ab a b a b +-；⑷22(9)(9)x x -+4.通分106. 【易】将3b a ，2abc -通分可得________【答案】2366bc a bac ac-，107. 【易】将13，1a，1b 通分后，它们分别是_______【答案】33333ab b a ab ab ab，，108. 【易】通分⑴22328c aab bc-，；⑵1111y y -+， 【答案】⑴3222221288c a b ab c ab c -，；⑵()()()()111111y y y y y y +-+-+-，109. 【易】通分⑴2221225ab a b c，；⑵223a b xy x ，； 【答案】⑴2222541010ac a b c a b c，⑵223266xa yb x y x y ，110. 【中】通分422a a +-- 【答案】224442222a a a a a a -++-==---111. 【中】通分⑴2269x y ab a bc ，；⑵2216211a a a a -++-， 【答案】⑴2222321818acx bya b c a b c ，；⑵()()()()()()2221611111a a a a a a -++-+-， 112. 【中】把12x -，()()123x x -+，()223x +通分过程中，不正确的是（ ）A ．最简公分母是()()223x x -+ B ．()()()2231223x x x x +=--+ C ．()()()()2132323x x x x x +=-+-+D ．()()()22222323x x x x -=+-+【答案】D113. 【中】通分⑴222111329xy x y x y ，，；⑵()222123a b a ba b -+-+，，【答案】⑴222222692181818x y yx y x y x y ，，；⑵()()()()()()()()222223a b a b a ba b a b a b a b a b a b ++--+-+-+-，，六、 列代数式114. 【易】甲瓶盐水含盐量为1a ，乙瓶盐水含盐量为1b，从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水混合制成新盐水的含盐量为（ ）A ．2a b ab +B ．a b ab +C ．1abD ．随所取盐水重量而变化【答案】A115. 【易】某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费a 元，之后的每一分钟收费b 元。
分式及其基本性质(教案练习）
沪科版数学七年级下9.1.1分式及其基本性质练习题一、选择题1．设A 、B 都是整式，若A B表示分式，则( ) A ．A 、B 都必须含有字母 B ．A 必须含有字母C ．B 必须含有字母D ．A 、B 都必须不含有字母2．下列各式中，是分式的是( )A.35B.x 2－x ＋23C.x －13x 2＋4D.12x ＋233．若分式x －3x ＋4的值为0，则x 的值是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝0 C ．x ＝－3 D ．x ＝－44．已知a ＝1，b ＝2，则ab a －b的值是( ) A.12B ．－12C ．2D ．－2 5. 使分式||1x x -无意义，x 的取值是（ ） A ．0B ．1C ．-1D ．±1 6.下列各式是分式的是 （ ）A ．9x+4 B. C. D. 5x y + 7. 下列各式中当x 为0时，分式的值为0的是 （ ）A. B. C. D.二、填空题8．若把x 克食盐溶入b 克水中，从其中取出m 克食盐溶液，其中含纯盐________．9．李丽从家到学校的路程为s ，无风时她以平均a 米/•秒的速度骑车，便能按时到达，当风速为b 米/秒时，她若顶风按时到校，请用代数式表示她必须提前_______出发．10.永信瓶盖厂加工一批瓶盖，甲组与乙组合作需要a 天完成，若甲组单独完成需要b 天，乙组单独完成需_______天．11.当m=________时，分式的值为零．三、解答题 xx 57+x x 3217-x x x --22112．已知x ＝－4时，分式x －b x ＋a无意义，x ＝2时分式的值为零，求a －b 的值．13．当x 取何值时，分式6－2|x|（x ＋3）（x －1）满足下列要求： (1)值为零；(2)无意义；(3)有意义．14.已知-=3，求的值．答案：1．C 2．C 3．A 4．D 5.D 6.B 7.B 8．克 9.（-）秒 10． 11. 312.由x ＝－4时，分式x －b x ＋a无意义，得－4＋a ＝0，即a ＝4. 由x ＝2时，分式x －b x ＋a的值为零，得2－b ＝0，即b ＝2. ∴a －b ＝4－2＝2.13.(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧6－2|x|＝0，（x ＋3）（x －1）≠0，解得x ＝3， ∴当x ＝3时分式的值为0.(2)解(x ＋3)(x －1)＝0，得x ＝－3或x ＝1，∴当x ＝－3或x ＝1时，分式无意义．(3)由(2)可知，当x ≠－3且x ≠1时，分式有意义． 14.。
专题5.1分式的概念与基本性质(专项训练)(原卷版)
专题5.1 分式的概念与基本性质（专项训练）1.（2022春•眉山期末）下列代数式中，属于分式的是（）A．﹣3B．C．+y D．﹣4x3y2.（2022春•辉县市期末）在代数式中，分式有（）A．2个B．3个C．4个D．5个3．（2022春•莲池区期末）若式子有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x≠1C．x≠﹣1或x≠1D．x≠﹣1且x≠1 4.（2022春•子洲县期末）使分式有意义的x的取值范围是（）A．x≠2B．x≠﹣2C．x≠3D．x≠﹣35.（2022春•舞钢市期末）若分式有意义，则x应满足的条件是（）A．x≠3B．x≠﹣3C．x≠3且x≠﹣3D．x≠0 6．（2022春•江阴市校级月考）若分式有意义，则x满足．7．（2022春•泰州期末）当x＝时，分式的值等于0．8．（2022春•泰和县期末）若分式的值为0，则x＝．9.（2021秋•德江县期末）若分式的值为零，则x的值为．10.（2022春•锡山区期末）当x＝时，分式无意义，当x＝时，分式的值为0．11．（2021秋•定陶区期末）若分式的值为0，则x的值为．12．（2022春•西安期末）下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．13.（2022春•岑溪市期末）下列各式中最简分式是（）A．B．C．D．14.（2022春•灌云县期末）把分式中的x和y都扩大2倍，分式的值（）A．不变B．扩大2倍C．缩小2倍D．扩大4倍15．（2022春•广陵区期末）下列分式从左到右变形错误的是（）A．B．C．D．16.（2022春•南安市月考）把分式中的a和b分别扩大为原来的3倍，则分式的值（）A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的C．扩大为原来的9倍D．不变17.（2022•德江县二模）下列变形正确的是（）A．B．C．D．18．（2021秋•汉寿县期末）若分式的值为4，则把x，y的值均扩大为原来的2倍后，这个分式的值为．19.（2021春•秦都区月考）分式中的x、y的值分别扩大为原来的5倍，则此分式的值扩大为原来的倍．20．（2013秋•浦东新区期末）（1）＝；（2）＝．．21．（2014春•北湖区校级月考）在括号里填入适当的整式为：22．（2013秋•云浮期末）利用分式的基本性质填空：（1），（a≠0）；（2）；（）中为（1），（2）．23．（2017春•东台市月考）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得．24．（2012春•将乐县校级期中）根据分式的基本性质填空：．．25．（2022•丰顺县校级开学）约分：＝．26．（2021秋•河西区期末）约分的结果为．27．（2021秋•安仁县校级期末），，的最简公分母是．28．（2014秋•白云区期末）对分式和进行通分，则它们的最简公分母为．29．（2022春•泗阳县期中）（1）约分：（2）通分：与30．（2019秋•玉州区期末）（1）通分：和；（2）约分：．31．（2020春•句容市期中）（1）约分：；（2）通分：、．32．（2017秋•丹江口市期中）通分，，．33．（2017春•东海县校级期中）按要求答题：（1）约分（2）通分，．34.（春•沭阳县期中）（1）通分：；（2）通分：，．35.（秋•邢台期末）通分：（1），（2），．。
17[1].1分式及其基本性质(1)---分式的概念
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类比
被除式
被除式÷ 被除式÷除式 t ÷ (a-x)
= 除式 =
（商式） 商式）
t a-x 整式 整式 分式
分式的概念: 分式的概念:
用A、B表示两个整式，A÷B就可以 表示两个整式，
A 形式。如果B中含有字母， 表示成 形式。如果B中含有字母，B≠0, B
A 就叫做分式 其中， 分式。 式子 就叫做分式。其中，A叫做分式的 B 分子， 叫做分式的分母 分母。 分子，B叫做分式的分母。
10、判断：
√
） （
×）
分析: 分析
2 2 3+ x
取何值， 无论 x 取何值，
2
m−1 (m+ 3)(m2 −1)
x
2
≥0
(m+ 3)(m2 −1) = 0
则
3+ x > 0
(m + 3)(m +1)(m −1) = 0
m+ 3 = 0或m−1 = 0或m+1 = 0
2、a、b、c”中选取若干个数字或字母，组 、 中选取若干个数字或字母， 、 、 、 、 中选取若干个数字或字母 成两个代数式，其中一个是整式，另一个是分式。 成两个代数式，其中一个是整式，另一个是分式。 3、把下列各式写成分式： 、把下列各式写成分式： （1）(x+1)÷x ； ） ÷ （2）x÷(x-2)； ） ÷ ； （3） (2x-1)÷(x2+1) （4）2x:(y+1)。 ） ÷ ） 。
8、把甲、乙两种饮料按质量比x：y混合在一 把甲、乙两种饮料按质量比x 起，可以调制成一种混合饮料。调制1千克这 可以调制成一种混合饮料。调制1 混合饮料 种混合饮料需多少甲种饮料？ 种混合饮料需多少甲种饮料？
分式的基本性质练习题
分式的基本性质练习题分式的基本性质练习题协议一、协议方信息1、出题方：＿___________________________2、答题方：＿___________________________二、练习题的内容和要求1、分式的定义和概念理解11 给出一系列表达式，要求答题方判断哪些是分式，哪些不是分式，并说明理由。
111 设计一些关于分式中字母取值范围的问题，让答题方确定使分式有意义或无意义的条件。
112 提供一些实际情境，要求答题方用分式来表示其中的数量关系。
2、分式的基本性质21 给出一些分式，让答题方根据分式的基本性质进行变形，包括约分和通分。
211 设计一些等式，其中一边是原始分式，另一边是经过变形后的分式，要求答题方判断变形是否正确，并指出错误之处。
212 给出一些复杂的分式，要求答题方利用分式的基本性质进行化简。
3、分式的运算31 安排分式的加法、减法、乘法、除法运算练习题，包括同分母和异分母的情况。
311 给出一些混合运算的式子，要求答题方按照正确的运算顺序进行计算。
312 设计一些含有整数指数幂的分式运算题目，考查答题方对相关知识的掌握。
4、分式方程41 提供一些分式方程，要求答题方求解，并检验解的正确性。
411 安排一些实际问题，让答题方通过设未知数、列出分式方程并求解。
三、练习题的难度和题型分布1、难度分为基础、中等和提高三个层次，基础题目占比约 40%，中等题目占比约 40%，提高题目占比约 20%。
2、题型包括选择题、填空题、计算题和应用题。
四、练习题的提交和批改1、答题方应在规定的时间内完成练习题，并以指定的方式提交。
2、出题方应在收到答题方提交的练习题后，在约定的时间内进行批改和反馈。
3、批改应包括对错判断、错误原因分析和得分情况。
五、成绩评估和奖励1、根据答题方的答题情况进行成绩评估，总成绩为各项练习题得分的总和。
2、设立不同的奖励等级，对成绩优秀的答题方给予相应的奖励。
专题5.23 分式与分式方程(全章基本概念与性质专题)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题5.23分式与分式方程（全章基本概念与性质专题）（专项练习）一、单选题【性质】分式基本性质1．如果将分式xx y2+中的字母x 与y 的值分别扩大为原来的5倍，那么这个分式的值（）A ．扩大为原来的5倍B ．扩大为原来的10倍C ．缩小为原来的15D ．不改变2．如果把分式22x x y-中的x ，y 的值都扩大2倍，那么此分式的值（）A ．扩大2倍B ．扩大4倍C ．扩大6倍D ．不变【概念一】分式3．下列代数式中，属于分式的是（）A ．23-x B ．xπC ．23x +D ．124．在式子1a ，2xy π，2334a b c，56x +，109x y +，78x y +中，分式的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【概念二】最简分式5．下列分式中是最简分式的是（）A ．221x x +B ．42xC ．211x x --D ．11x x --6．下列各分式中是最简分式的是（）A ．()()1215x y x y -+B ．2222x y x y xy ++C ．()222x y x y -+D ．22x y x y-+【概念三】约分7．化简222a b a ab--的结果为（）A ．2a b a-B ．a b a-C ．a b a+D ．a b a b-+8．将分236x xy-约分的结果是（）A ．12y-B ．2x y-C ．2xy-D ．x y-【概念四】最简公分母9．分式1x y +、1x y-、221x y -的最简公分母是（）A ．()()x y x y +-B ．()()()22x y x y x y +--C ．()()22x y x y +-D ．()()22x y x y --10．212a b与2a b ab c +的最简公分母为（）A ．222a b cB ．abC ．222a b D ．2abc【概念五】通分11．把12x -，1(2)(3)x x -+，22(3)x +通分的过程中，不正确的是（）A ．最简公分母是2(2)(3)x x -+B ．221(3)2(2)(3)x x x x +=--+C ．213(2)(3)(2)(3)x x x x x +=-+-+D ．22222(3)(2)(3)x x x x -=+-+12．把2121a a a -++与211a -通分后，2121a a a -++的分母为()()211a a -+，则211a -的分子变为（）A ．1a -B ．1a ＋C ．1a --D ．1a-+【概念六】分式方程的增根13．若分式方程311x mx x -=--有增根，则m 等于（）A ．3B ．3-C ．2D ．2-14．关于x 的方程31111x mx x --=++有增根，则方程的增根是（）A ．1-B ．4C ．4-D ．2【概念七】分式方程的无解15．关于x 的方程6122=---ax x x无解，则a 的值为（）A ．1B ．3C ．1或3-D ．1或316．已知关于x 的分式方程2322x mm x x+=--无解，则m 的值是（）A ．1或13B ．1或3C ．13D ．1二、填空题【性质】分式基本性质17．已知32m n =，则m n n+的值为__________．18．不改变分式10.4210.35-+a ba b 的值，若把其分子与分母中的各项系数都化成整数，其结果为______．【概念一】分式19．下列各式：2a b -，3x x -，5y π+，a ba b+-，1()m x y -中，是分式的共有____个．20．将分式121x x ++写成除法的形式：____________________．【概念二】最简分式21．将分式2244x x +-化为最简分式，所得结果是_______．22．下列分式：①233a a ++；②22x y x y --；③22m m n；④21m +，最简分式有______（填序号）．【概念三】约分23．约分：222315a ba b =________．24．约分：22abc b c=____________．【概念四】最简公分母25．分式22a b ，1ab ，3abc的最简公分母是______________；26．分式212a b 与31ab 的最简公分母是________．【概念五】通分27．2121a a a -++与251a -通分的结果是_______．28．把分式22111221(1)x x x ⋅⋅+--通分，最简公分母是_________________．【概念六】分式方程的增根29．若关于x 的分式方程5233x mx x +=---有增根，则常数m 的值是_________．30．若关于x 的分式方程1222x mx x-=---有增根，则m 的值是_______．【概念七】分式方程的无解31．已知关于x 的分式方程11235a xx x --=+-无解，则a 的值为_____．32．若关于x 的方程301ax x+=-无解，则a 的值为______．参考答案1．D 【分析】将xx y2+的字母x 与y 的值分别扩大为原来的5倍，与原式比较即可．【详解】解：xx y2+的字母x 与y 的值分别扩大为原来的5倍得：()25522555x x xx y x y x y⨯⨯==+++所以，分式的值不变．故选D【点拨】本题考查了分式的基本性质，熟练运用分式的基本性质是解题关键．2．A【分析】根据分式的基本性质进行计算即可得出结果．【详解】解：由题意得：()()2222822==2222x x x x y x yx y ⨯---，∴把x ，y 的值都扩大2倍，分式的值扩大了2倍，故选：A ．【点拨】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．3．C【分析】根据分式的定义逐个判断即可．【详解】解：A ．23-x 分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意；B ．xπ分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意；C ．23x +分母中含字母，是分式，故本选项符合题意；D ．12分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意；故选：C ．【点拨】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，式子AB（A 、B 是整式）中，分母B 中含有字母，则AB叫分式．4．B【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】式子2xyπ，2334a b c，78x y +中的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；1a ，56x+，109x y +中分母中含有字母，因此是分式．故选B ．【点拨】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以2xyπ不是分式，是整式，掌握分母里含有字母是分式区别于整式的标志是解题的关键．5．A【分析】直接利用最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式，进而分析得出答案．【详解】解：A ．221xx +的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式，故此选项符合题意；B ．422x x=，故此选项不符合题意；C ．()()21111111x x x x x x +---==-+，故此选项不符合题意；D ．()11111x x x x ---==---，故此选项不符合题意．故选：A ．【点拨】本题考查最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题的关键．6．B【分析】最简分式是分子，分母中不含有公因式，不能再约分的分式．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．如果有互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．【详解】解：A 、()()()()124155x y x y x y x y --=++，不是最简分式，不符合题意；B 、2222x y x y xy ++是最简分式，符合题意；C 、()()()()2222x y x y x y x yx y x y x y +---==+++，不是最简分式，不符合题意；D 、()()22x y x y x y x y x y x y+--==-++，不是最简分式，不符合题意；故选B ．【点拨】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．7．C【分析】分子、分母分别因式分解，约分即可得到结论．【详解】解：()()()222a b a b a b a ba ab a a b a+--+==--，故选：C ．【点拨】本题考查了分式的化简，解决问题的关键是熟练应用平方差公式．8．C【分析】依据分式的性质约分即可．【详解】解：2362x xxy y-=-故选：C ．【点拨】本题考查了分式的约分；熟练掌握分式的性质是解题的关键．9．A【分析】先把分母因式分解，再找出最简分母即可．【详解】解：221x y-的分母为：()()22x y x y x y -=+-，∴最简公分母为：()()x y x y +-，故选：A ．【点拨】本题主要考查最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解决本题的关键．10．A【分析】根据最简公分母的确定方法：各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积，进行判断即可．【详解】解：212a b与2a b ab c +的最简公分母为222a b c ；故选A ．【点拨】本题考查最简公分母．熟练掌握最简公分母的确定方法，是解题的关键．11．D【分析】按照通分的方法依次验证各选项，找出不正确的答案．【详解】A 、最简公分母为2(2)(3)x x -+，正确，该选项不符合题意；B 、221(3)2(2)(3)x x x x +=--+，通分正确，该选项不符合题意；C 、213(2)(3)(2)(3)x x x x x +=-+-+，通分正确，该选项不符合题意；D 、通分不正确，分子应为()222224(3)(2)(3)x x x x x --=+-+，该选项符合题意；故选：D ．【点拨】本题考查根据分数的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．解题的关键是通分保证（1）各分式与原分式相等；（2）各分式分母相等．12．B【分析】直接利用已知进行通分运算，进而得出答案．【详解】解∶221111(1)(1)(1)(1)aa a a a a +==--+-+，故211a -的分子为1a +．故选∶B ．【点拨】此题主要考查了通分，正确进行通分运算是解题关键．13．D【分析】方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再求出分式方程的增根，然后代入整式方程，解关于m 的方程即可得解．【详解】解：311x mx x -=--，去分母，得3x m -=，由分式方程有增根，得到10x -=，即1x =，把1x =代入3x m -=，并解得2m =-．故选：D ．【点拨】本题考查了分式方程的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．14．C【分析】由分式方程有增根，得到10x +=，求出x 的值，将原方程去分母化为整式方程，将x 的值代入即可求出m 的值．【详解】由分式方程有增根，得到10x +=，解得：=1x -，分式方程31111x m x x --=++，去分母得311x m x --=+，将=1x -代入311x m x --=+中，得：3111m ---=-+，解得：4m =-，故选：C ．【点拨】本题考查了分式方程的增根，关键是求出增根的值，代入到分式方程化简后的整式方程中去求未知数参数的值．15．D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，再分整式方程无解和整式方程的解是分式方程的增根两种情况进行讨论，即可得出答案．【详解】解：分式方程去分母得：26ax x =-+，整理得：()14a x -=，当a −1＝0，即a ＝1时，此时整式方程无解，分式方程无解；当a −1≠0，即a ≠1时，由()14a x -=得x ＝41a -，若此时分式方程无解，则分式方程有增根，即20x -=，增根为x ＝2，∴421a =-，解得：a ＝3，∴关于x 的方程6122=---ax x x无解时，则a 的值为1或3，故选：D ．【点拨】本题考查了分式方程无解问题，理解分式方程无解有整式方程无解和整式方程的解是分式方程的增根两种情况是解决问题的关键．16．A【分析】根据分式方程无解，需要对化简之后的整式进行讨论，可能是整式方程无解，也可能是整式方程的解是原分式方程的增根，即可求解．【详解】解：去分母得，23(2)x m m x -=-，去括号得，236x m mx m -=-，移项得，326x mx m m -=-，合并同类项得，(13)4m x m -=-，∵分式方程2322x m m x x+=--无解，∴1-3m =0或x =2，∴13m =，将x =2代入(13)4m x m -=-，得2(13)4m m -=-，解得m =1，综上，m 的值是1或13．故选A ．【点拨】本题主要考查的是利用分式方程无解求参数的值，理解分式方程无解的解题方法是解题关键．17．52【分析】设3,2m k n k ==，代入m nn+约分化简．【详解】∵32m n =，∴设3,2m k n k ==，∴32522m n k k n k ++==．故答案为：52．【点拨】本题考查了分式的约分，设3,2m k n k ==是解答本题的关键．18．4523a b a b-+【分析】根据分式的性质“分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变”，分子和分母同时乘以10，即可获得答案．【详解】解：分式2110.45221130.35510a b a ba b a b --=++，分子、分母同时乘以10，则有原式4523a b a b -=+．故答案为：4523a ba b-+．【点拨】本题主要考查了分式的性质，理解并掌握分式的性质是解题关键．19．3【详解】解析：判断式子是否是分式就是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．由此可知3x x -，a ba b+-，1()m x y -是分式，共3个．答案：3易错：4错因：误认为π是字母，错误判断5yπ+是分式．满分备考：区分整式与分式的唯一标准就是看分母，分母中不含字母的是整式，分母中含有字母的是分式．注意π是一个数，而不是字母．20．()()121x x +÷+【分析】根据分式的意义将分式写成除法形式即可．【详解】解：将分式121x x ++写成除法的形式为()()121x x +÷+．故答案为：()()121x x +÷+【点拨】本题考查了分式的意义，AB表示A B ÷，其中分数线表示相除的意思．21．22x -【分析】先把分式的分子、分母因式分解，再约分即可．【详解】解：2244x x +-()()()2222x x x +=+-22x =-．故答案为：22x -．【点拨】本题考查的是最简分式，掌握分式的约分法则是解题的关键．22．①④##④①【分析】根据最简分式的定义逐式分析即可．【详解】①233a a ++是最简分式；②22x y x y --=1x y +，不是最简分式；③22m m n =12mn，不是最简分式；④21m +是最简分式．故答案为：①④．【点拨】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．23．15b【分析】根据分式的基本性质解答即可．【详解】解：22231155a b a b b=；故答案为：15b．【点拨】本题考查了分式的约分，属于基础题型，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．24．acb【分析】根据分式的性质，分子分母同时乘以或除以相同因式时分式的值不变即可解题解答．【详解】解：22abc ac bc ac b c b bc b== 故答案为：acb【点拨】本题考查了分式的约分，熟悉分式的性质是解题关键，约分的方法是：若分子分母都是单项式，则直接求取分子分母的公因式再化简；若分子或分母是多项式，需要将分子分母因式分解后求取分子分母的公因式再化简25．2a bc【分析】各分母系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母，据此即可求解．【详解】解：22a b ，1ab ，3abc的最简公分母是2a bc ，故答案为：2a bc ．【点拨】本题考查了最简公分母，解题的关键是掌握最简公分母．26．232a b 【分析】根据确定最简公分母的步骤找出最简公分母即可．【详解】解：2、1的最小公倍数为2，a 的最高次幂为2，b 的最高次幂为3，所以最简公分母为232a b ．故答案为：232a b ．【点拨】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是关键．27．222(1)5(1),(1)(1)(1)(1)a a a a a a --++-+-【分析】找到最简公分母，根据分式的结伴行知进行通分即可；【详解】221121(1)a a a a a --=+++ ，225511a a -==--5(1)(1)a a -+-，∴最简公分母为()()211a a +-，∴通分后分别为222(1)5(1),(1)(1)(1)(1)a a a a a a --++-+-．故答案为：222(1)5(1),(1)(1)(1)(1)a a a a a a --++-+-．【点拨】本题主要考查了分式的通分，准确计算是解题的关键．28．22(1)(1)x x +-【分析】根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式确定；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．【详解】解：∵()2221x x +=+()()2111x x x -=-+，故22x +，21x -，()21x -的最简公分母为：22(1)(1)x x +-．故答案为22(1)(1)x x +-．【点拨】本题主要考查了最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．29．8【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到30x -=，据此求出x 的值，代入整式方程求出m 的值即可．【详解】解：去分母，得：() 523x x m+=-+由分式方程有增根，得到30x -=，即3x =，把3x =代入整式方程，可得： 8m =．故答案为：8．【点拨】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．30．1【分析】先把分式方程去分母变为整式方程，然后把2x =代入计算，即可求出m 的值．【详解】解：∵1222x m x x-=---，去分母，得：12(2)x m x -=---；∵分式方程有增根，∴2x =，把2x =代入12(2)x m x -=---，则122(22)m -=---，解得：1m =；故答案为：1．【点拨】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．31．5或112【分析】根据分式方程的解法步骤，结合分式方程无解的情况即可得到参数a 的值．【详解】解：11235a x x x --=+-，去分母得()()()()()523235x x a x x x --+-=+-，∴()112310a x a -=-，关于x 的分式方程11235a x x x --=+-无解，∴①当1120a -=时，即112a =，此时()112310a x a -=-无解；②当1120a -≠时，即112a ≠，解()112310a x a -=-得310112a x a -=-，此时分式方程无解，必须有32x =-或5x =，则31031122a x a -==--或3105112a x a-==-，i 当31031122a x a -==--时，方程无解；ii 当3105112a x a-==-时，解得5a =；综上所述，a 的值为5或112，故答案为：5或11 2．【点拨】本题考查解分式方程及由分式方程无解求参数问题，熟练掌握分式方程的解法步骤以及无解情况的分类讨论是解决问题的关键．32．0或-3【分析】先去分母化为整式方程，根据分式方程无解得到x=0或x=1或3+a=0，将解代入整式方程求出a即可．【详解】解：去分母，得3x+a（x-1）=0，∴（3+a）x-a=0，∵原分式方程无解，∴x=0或x=1或3+a=0，当x=0时，a=0；当x=1时，3+0=0，无解；∴a=0，当3+a=0时，解得a=-3，故答案为：0或-3．【点拨】此题考查了根据分式方程解的情况求参数，正确掌握解分式方程的解法是解题的关键．。
分式 知识点及典型例题
分式知识点及典型例题正文：分式，又称有理数，是数学中的一个重要概念，它由分子和分母组成，表示两个数的比值关系。
在分式的运算中，我们需要了解一些基本知识点，并且通过典型的例题来加深理解。
一、分式的定义和基本性质分式可以用“a/b”的形式表示，其中a为分子，b为分母。
分子和分母都可以是整数、小数或者其他分式。
分式也可以是正数、负数或者零。
分式的基本性质有：1. 当分子为0时，分式的值为0，即0/b=0。
2. 当分母为1时，分式的值等于分子本身，即a/1=a。
3. 当分子和分母互为相反数时，分式的值为-1，即（-a）/a=-1。
二、分式的运算1. 分式的加减运算分式的加减运算遵循相同分母则分子相加减的原则。
具体步骤如下：（1）将两个分式的分母化为相同的分母；（2）将两个分式的分子按照相同分母相加减；（3）将结果化简为最简形式。
例如：计算1/3 + 1/4 - 1/6。
解：首先将三个分式的分母化为12，得到4/12 + 3/12 - 2/12，再将分子相加减，得到5/12。
2. 分式的乘除运算分式的乘除运算遵循分子相乘除，分母相乘除的原则。
具体步骤如下：（1）将两个分式的分子相乘或相除；（2）将两个分式的分母相乘或相除；（3）将结果化简为最简形式。
例如：计算2/3 × 5/8 ÷ 4/5。
解：根据乘除法的原则，分子相乘得到10，分母相乘得到24，再将结果化简为最简形式，得到5/12。
三、分式的简化分式的简化是将分子和分母的公因式约去，使其达到最简形式。
具体步骤如下：（1）求分子和分母的最大公因数；（2）将分子和分母分别除以最大公因数。
例如：将12/18简化为最简分式。
解：求12和18的最大公因数为6，将分子和分母都除以6，得到最简分式2/3。
四、分式的应用举例1. 问题：小明爸爸买了一块布长3米，要均分给他和他妹妹，他分到几分之几的布？解：设小明分到的布的长度为x米，他妹妹分到的布的长度为y米，则由题意可得分式x/y=3/2。
分式概念与分式基本性质
八年级数学 分式概念与分式的基本性质 一． 填空题1．用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成______的形式，如果除式B 中______，该分式的分式．2．轮船在静水中每小时走a 千米，水流速度是b 千米／时，轮船在逆流中航行s 千米所需要的时间可用式子表示成______小时． 3．分式yx，当字母x 、y 满足______时，值为1；当字母x ，y 满足______时值为－1． 4．当x =______时，分式632-x x无意义． 5.分式2)1(522+++x x 有意义的条件为____6．把分式xy中的 x 和y 都扩大3倍，则分式的值______． 7．化简分式：（1）=--3)(x y yx _____；（2）=+--22699xx x _____． 8．若分式x--76的值为正数，则x 满足______． 二．选择题 9．使得分式1+a a有意义的a 的取值范围是（ ） A ．a ≠0 B ．a ≠1C ．a ≠－1D ．a ＋1＞010．当x ＜0时，xx ||的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．±1D ．不确定11．若x 、y 互为倒数，则用x 表示y 的正确结果是（ ）A ．x ＝－yB ．y x 1=C ．x y 1=D ．xy 1±=12．若分式ba ba 235+-有意义，则a 、b 满足的关系是（ ）A ．3a ≠2bB ．b a 51=/C ．a b 32-=/ D ．b a 32-=/13．若分式1212+-b b的值是负数，则b 满足（ ） A ．b ＜0 B ．b ≥1 C ．b ＜1D ．b ＞114．下列各式中，正确的是（ ）A ．b am b m a =++ B ．0=++b a ba C ．1111--=-+c b ac abD ．y x y x y x +=--12215．如果把分式yx yx ++2中的x 和y 都扩大10倍，那么分式的值（ ） A ．扩大10倍 B ．缩小10倍 C ．是原来的32D ．不变16．下面四个等式：;22;22;22yx y x y x y x y x y x +-=+---=----=+-③②①⋅-+=--22yx y x ④其中正确的有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个三．解答题 19．约分：（1）322)(27)(12b a a b a --（2）62322--++x x x x20．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．（1）x x --21（2）2213m m m ---21．当x 为何整数时，分式124+x 的值为正整数？22．如果分式323||2-+-y y y 的值为0，求y 的值．23．（1）阅读下面解题过程：已知,521=+x x 求142+x x 的值． 解：),0(5212=/=+x x x,5211=+∴xx 即⋅=+251x x ⋅=-=-+=+=+∴1742)25(12)1(1111222242x x x x x x 已知．．,2132=+-x x x求．1242++x x x 的值．．．．。