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高中数学必修一 解答题专项练习72道

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高中数学必修第1册配套课后练习题含答案解析 1.4.3一元二次不等式的应用

高中数学必修第1册配套课后练习题含答案解析 1.4.3一元二次不等式的应用

1.4.3一元二次不等式的应用一、单选题1．不等式101x x +≤-的解集是（）A ．(,1]-∞-B ．(]1,1-C ．[1,1)-D ．(,1](1,)-∞-⋃+∞2．已知不等式240x ax ++ 的解集为,R 则a 的取值范围是（）A ．[]4,4-B ．()4,4-C ．][(),44,∞∞--⋃+D ．()(),44,-∞-+∞ 3．不等式201x x ->+的解集为（）A ．{2x x <-或}1x >B ．{1x x <-或}2x >C ．{}21x x -<<D ．{}12x x -<<4．已知不等式210ax bx +->的解集为{|34}x x <<，则a b +=（）A ．12B ．12-C ．34D ．34-5．商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售．每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件可定为（）A ．11元B ．16元C ．12元到16元之间D ．13元到15元之间6．关于x 的不等式22(1)(1)10a x a x ----<的解集为R ，则实数a 的取值范围为（）A ．3,15⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3,1{1}5⎛⎤-⋃- ⎥⎝⎦D ．3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦7．下列各组不等式中，解集完全相同的是（）A ．2611x x x x +<++与26x x <+B ．2(2)(1)0x x x x -+<与(2)(1)0x x -+<C ．(2)(1)01x x x +->-与20x +>D ．2232111x x x x x x -+>-+-+与321x x ->+8．已知关于x 的不等式210ax bx +->的解集为()3,4，则实数a ，b 的值是（）A ．12a =，84b =-B ．12a =-，84b =C ．1a =，7b =-D ．1a =-，7b =9．若正实数,x y 满足141x y +=，且234y x a a +>-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．{|14}a a -≤≤B ．{|14}a a -<<C ．{|41}a a -≤≤D ．{|41}a a -<<10．一元二次不等式20ax bx c ++＜的解集为∅，那么（）A ．0a D <＜0,B ．0,0a <∆≤C ．0,0a >∆<D ．0,0a >∆≤二、填空题11．不等式10x x->的解集为___________.12．若不等式210x ax -+>对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是__________.13．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x 件与货价p 元/件之间的关系为1602p x =-，生产x 件所需成本为50030C x =+元，则该厂日产量是____________时，日获利不少于1300元．14．糖水不等式：()0b b c a b a a c+<+>>成立的实数c 是有条件限制的，使糖水不等式：()11222c c c+<≠-+不成立的c 的值可以是_____________________（只需填满足题意的一个值即可）．三、解答题15．已知函数()y f x =为二次函数,(0)3f =-,且关于x 的不等式()4f x <解集为7|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.（1）求函数()f x 的解析式;（2）当11x -<<时,()f x a <恒成立,求实数a 的取值范围.16．已知2()1,f x x ax a R =++∈．（1）若不等式()0f x >对任意的x ∈R 恒成立，求a 的取值范围；（2）若不等式()(5)f x a a x b <--的解集为(1,3)-，求,a b 的值．参考答案1．C 【分析】根据分式不等式的解法，即可得答案.【详解】不等式101x x +≤-，等价于(1)(1)010x x x +-≤⎧⎨-≠⎩，所以11x -≤<.故选：C 2．A 【分析】利用判别式小于等于零列不等式求解即可.【详解】因为不等式240x ax ++ 的解集为,R 所以2Δ4140a =-⨯⨯ ，解得44a -，所以a 的取值范围是[]4,4-，故选：A.3．B 【分析】先将分式不等式化为一元二次不等式，再解不等式，即可得出结果.【详解】因为201x x ->+等价于()()210x x -+>，解得2x >或1x <-，即不等式201x x ->+的解集为{1x x <-或}2x >.故选：B.4．A 【分析】由题意可得：方程210+-=ax bx 的两个根分别为3和4，利用根与系数的关系即可求解.【详解】由题意可得：方程210+-=ax bx 的两个根分别为3和4，则34134b a a ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪⨯=⎪⎩，解得：112712a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以17112122a b +=-+=，故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键点是理解3和4是方程210+-=ax bx 的两个根，利用根与系数的关系得出关于,a b 的方程即可求出,a b 的值.5．C 【分析】设销售价定为每件x 元，利润为y 元，根据题意可得利润的函数解析式.由题意可得关于x 的一元二次不等式，解不等式即可求得每件销售价的范围.【详解】设销售价定为每件x 元,利润为y 元，则()()81001010y x x =---⎡⎤⎣⎦，由题意可得：()()81001010320x x --->⎡⎤⎣⎦，即2281920x x -+<，所以()()12160x x --<，解得：1216x <<，所以每件销售价应定为12元到16元之间，故选：C 6．D 【分析】当210a -=时，得1a =±，而1a =，则原不等式可化为10-<，1a =-，则原不等式可化为210x -<，而不等式的解集为R ，所以取1a =；当210a -≠，可得210a -<且22[(1)]4(1)0a a ∆=--+-<，从而可求得实数a 的取值范围【详解】当210a -=时，1a =±，若1a =，则原不等式可化为10-<，显然恒成立；若1a =-，则原不等式可化为210x -<，不恒成立，所以1a =-舍去；当210a -≠时，因为22(1)(1)10a x a x ----<的解集为R ，所以只需210a -<且22[(1)]4(1)0a a ∆=--+-<，解得315a -<<.综上，实数a 的取值范围为3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦.故选：D.7．D 【分析】逐项分析两个不等式之间是否为等价转化可得正确的选项.【详解】对于A ，2611x x x x +<++等价于()()2160x x x +--<，该不等式与26x x <+不等价，故A 错.对于B ，2(2)(1)0x x x -+<等价于2(2)(1)0x x x -+<即2(2)(1)00x x x -+<⎧⎨≠⎩，此不等式的解为()()1,00,2-⋃，与(2)(1)0x x -+<的解()1,2-不同，故B 错.对于C ，(2)(1)01x x x +->-等价于2(2)(1)0x x +->，此不等式的解为()()2,11,-⋃+∞，与20x +>的解不同，故C 错.对于D ，因为22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，故2232111x x x x x x -+>-+-+等价于321x x ->+，故D 正确.故选：D.8．D 【分析】由不等式的解集可知0a <，且13x =，24x =是方程210+-=ax bx 的两根，利用根与系数的关系可得34b a +=-，12134x x a-=⨯=，即可求解.【详解】因为关于x 的不等式210ax bx +->的解集为()3,4，所以0a <，且13x =，24x =是方程210+-=ax bx 的两根，所以1234bx x a+=+=-，12134x x a -=⨯=，解得112a =-，712b =，故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由题意得出对应方程210+-=ax bx 的两根是13x =，24x =，利用根与系数的关系可得实数a ，b 的值.9．B 【分析】利用基本不等式“1”的代换求4y x +的最小值，根据不等式恒成立有2min (34y x a a +>-即可，进而求a 的取值范围.【详解】∵由题意知：144()()224444y y y x x x x y x y +=++=++≥+=当且仅当2y x =时等号成立，∴234yx a a +>-恒成立，只需234a a -<即可，解得14x -<<，故选：B 【点睛】本题考查了由不等式恒成立求参数范围，运用了基本不等式“1”的代换求最值，属于基础题.10．D 【分析】由题意可得2()f x ax bx c =++的图像开口向上，且在x 轴上方，据此即可得解.【详解】由一元二次不等式20ax bx c ++＜的解集为∅，则20ax bx c ++≥，可得2()f x ax bx c =++的图像开口向上，且在x 轴上方，所以0,0a >∆≤，故选：D.【点睛】本题考查了三个“一元二次”之间的关系，考查了转化思想，属于基础题.11．()()0-∞+∞ ，1，【分析】把分式不等式化整式不等式直接解得.【详解】10x x->同解于()10x x ->，解得：0x <或1x >即原不等式的解集为()()0-∞+∞ ，1，故答案为：()()0-∞+∞ ，1，【点睛】常见解不等式的类型：(1)解一元二次不等式用图像法或因式分解法；(2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则；(3)高次不等式用穿针引线法；(4)含参数的不等式需要分类讨论．12．()2,2-【分析】根据一元二次不等式恒成立，得出判别式小于零，由此可直接求出结果.【详解】因为不等式210x ax -+>对任意实数x 恒成立，所以240a ∆=-<，解得22a -<<，即实数a 的取值范围是()2,2-.故答案为：()2,2-.13．20件至45件【分析】根据题意将实际问题转化为一元二次不等式，解一元二次不等式，注意求解的结果要符合实际，即日产量要为正整数.【详解】由题知(1602)(50030)1300x x x --+≥，*x ∈N 整理得2659000x x -+≤，解得2045x ≤≤，*x ∈N .所以该厂日产量是20件至45件时，日获利不少于1300元．故答案为：20件至45件.14．1（答案不唯一）【分析】解不等式()11222c c c+<≠-+即得解.【详解】因为()11222c c c+<≠-+，所以112220,0,0224242c c c cc c c++--->∴>∴>+++，所以(2)0c c +>，所以0c >或2c <-.使糖水不等式()11222cc c+<≠-+不成立的c 的值可以是1.故答案为：1(答案不唯一)15．（1）2()343f x x x =--（2）[)4,+∞【分析】（1）设函数()()20f x ax bx c a =++≠,根据(0)3f =-,()4f x <解集为7|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,利用根与系数的关系即可求出函数的解析式.（2）根据11x -<<,求出()f x 的值域,即可求出实数a 的取值范围.【详解】解:（1）设函数()()20f x ax bx c a =++≠,那么(0)3f =-,则()23f x ax bx =+-,又因为()4f x <解集为7|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.270ax bx +-=的两根为1271,3x x =-=,故7137713b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨-⎪-⨯=⎪⎩,解得3,4a b ==-,所以2()343f x x x =--.（2）由（1）得2()343f x x x =--,又因为11x -<<,则16()43f x -≤<,当11x -<<时,()f x a <恒成立则实数a 的取值范围为:[)4,+∞.【点睛】本题主要考查根据二次函数的性质求函数解析式,考查二次函数在某区间上恒成立问题,是基础题.16．（1）22a -<<；（2）24a b ==-【分析】（1）利用240a ∆=-<即可求解；（2）由题可得1-和3是方程()22410x a a x b +-++=的两个根，利用韦达定理即可求出.【详解】（1）由题可得210x ax ++>对任意的x ∈R 恒成立，则240a ∆=-<，解得22a -<<；（2）不等式21(5)x ax a a x b ++<--整理可得()22410x a a x b +-++<，不等式的解集为(1,3)-，1∴-和3是方程()22410x a a x b +-++=的两个根，2134131a a b ⎧-+=-+∴⎨-⨯=+⎩，解得24a b ==-.。

高中数学必修第1册配套课后练习题含答案解析 6.4.1样本的数字特征

高中数学必修第1册配套课后练习题含答案解析 6.4.1样本的数字特征

6.4.1样本的数字特征一、选择题1．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是()A．平均数B．中位数C．方差D．众数2．某商家统计了去年P，Q两种产品的月销售额(单位：万元)，绘制了月销售额的雷达图，图中A点表示P产品2月份销售额约为20万元，B点表示Q产品9月份销售额约为25万元．根据图中信息，下面统计结论错误．．的是()A．P产品的销售额极差较大B．P产品销售额的中位数较大C．Q产品的销售额平均值较大D．Q产品的销售额波动较小3．对一组样本数据x i(i＝1，2，…，n)，如将它们改为x i－m(i＝1，2，…，n)，其中m≠0，则下面结论正确的是()A．平均数与方差都不变B．平均数与方差都变了C．平均数不变，方差变了D．平均数变了，方差不变4．以下为甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)甲：912x2427乙：915y1824已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为()A．12,15B．15,15C．15,18D．18,185．王明同学随机抽查某市10个小区所得到的绿化率情况如下表所示：小区绿化率(%)20253032小区个数2431则关于这10个小区绿化率情况，下列说法错误的是()A．方差是13%B．众数是25%C．中位数是25%D．平均数是26.2%二、填空题6．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲乙丙丁平均数x8.58.78.88.0方差s2 3.5 3.5 2.18.7则参加奥运会的最佳人选应为________．7．从观测所得到的数据中取出m个a，n个b，p个c组成一个样本，那么这个样本的平均数是________．8．五个数1，2，3，4，a的平均数是3，则a＝________，这五个数的标准差是________．三、解答题9．为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，现用简单随机抽样从这两个学校高三年级学生中各抽取30名，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据如下：甲：475253535560606163636364656570707171727276767882848485879092乙：455353586060606161626263636570707272727373767679818185858890(1)若甲校高三年级每位学生被抽到的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x1，x2，估计x1－x2的值．10．某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；乙群：54，3，4，4，5，5，6，6，6，57.(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？11．若样本1＋x1，1＋x2，1＋x3，…，1＋x n的平均数是10，方差为2，则对于样本2＋x1，2＋x2，…，2＋x n，下列结论正确的是()A．平均数是10，方差为2B．平均数是11，方差为3C．平均数是11，方差为2D．平均数是10，方差为312．为了普及环保知识，增强保护环境意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(10分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m0，平均值为x，则()A．m e＝m0＝x B．m0<x<m eC．m e<m0<x D．m0<m e<x13．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，方差是4，则xy＝________．14．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4(x1≤x2≤x3≤x4)，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________(从小到大排列).15．高一(3)班有男同学27名、女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分．(1)求这次测验的全班平均分(精确到0.01)；(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人？(3)男同学的平均分与中位数相差较大说明了什么？参考答案1.C[由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度．]2.B[据图可以看出，P产品的销售额的波动较大，Q产品的销售额的波动较小，并且Q产品的销售额只有两个月的销售额比25万元稍小，其余都在25万元至30万元之间，所以P产品的销售额的极差较大，中位数较小，Q产品的销售的平均值较大，销售的波动较小，故选B.]3.D[若x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b(a≠0)的平均数为a x＋b，方差为a2s2，标准差为a2s2，故选D.]4.C[因为甲组数据的中位数为15，所以x＝15，又乙组数据的平均数为16.8，所以9＋15＋y＋18＋245＝16.8，y＝18，选C.]5.A[根据表格数据，众数为25%，选项B正确；中位数为25%，选项C正确；平均数为20×2＋25×4＋30×3＋3210＝26.2，选项D正确；方差为110[2(20－26.2)2＋4(25－26.2)2＋3(30－26.2)2＋(32－26.2)2]＝15.96；选项A错误．故选A.]6.丙[因为丙的平均数最大，方差最小，故应选丙．]7.ma＋nb＋pcm＋n＋p[样本中个体数为m＋n＋p，数据总和为ma＋nb＋pc，故平均数为ma＋nb＋pc m＋n＋p.]8.52[由1＋2＋3＋4＋a5＝3，得a＝5；由s2＝15[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2得，标准差s＝2.]9.[解](1)设甲校高三年级总人数为n，则30n＝0.05，解得：n＝600，又样本中甲校高三年级这次联考数学成绩的不及格人数为5，∴估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为：1－530＝56.(2)用样本估计总体，甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x－1，x－2，由题中数据可知：30x1＝47＋52＋53＋···＋87＋90＋92＝2084；30x2＝45＋53＋53＋···＋85＋88＋90＝2069；∴x1－x2＝2084－206930＝1530＝0.5，∴估计x1－x2的值为0.5.10.[解](1)甲群市民年龄的平均数为13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋1710＝15(岁)，中位数为15岁，众数为15岁．平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．(2)乙群市民年龄的平均数为54＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋6＋5710＝15(岁)，中位数为5.5岁，众数为6岁．由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．11.C[若x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为s，那么x1＋a，x2＋a，…，x n＋a的平均数为x＋a，方差为s.]12.D[由题图知30名学生的得分情况依次为2个人得3分，3个人得4分、10个人得5分、6个人得6分、3个人得7分，2个人得8分、2个人得9分、2个人得10分，中位数为第15，16个数的平均数，即m e＝5＋62＝5.5，5出现次数最多，故m0＝5，x＝130(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10)≈5.97.于是m0<m e<x.]13.91[由题意得10＋11＋x＋y＝5×10，（9－10）2＋（10－10）2＋（11－10）2＋（x－10）2＋（y－10）2]＝4，＋y＝20，x－10）2＋（y－10）2＝18.＝7，＝13＝13，＝7，所以xy＝91.]14.1，1，3，3[不妨设x1≤x2≤x3≤x4且x1，x2，x3，x4为正整数．2，1＋x2＋x3＋x4＝8，2＋x3＝4，又x1，x2，x3，x4为正整数，∴x1＝x2＝x3＝x4＝2或x1＝1，x2＝x3＝2，x4＝3或x1＝x2＝1，x3＝x4＝3.∵s＝14[（x1－2）2＋（x2－2）2＋（x3－2）2＋（x4－2）2]＝1，∴x1＝x2＝1，x3＝x4＝3.由此可得4个数分别为1，1，3，3.]15.[解](1)这次测验全班平均分x＝148(82×27＋80×21)≈81.13(分). (2)因为男同学的中位数是75，所以至少有14人得分不超过75分．又因为女同学的中位数是80分，所以至少有11人得分不超过80分．所以全班至少有25人得分低于80分．(3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学的得分两极分化现象严重，得分高的和得分低的相差较大．。

高中数学必修第1册配套课后练习题含答案解析 1.1.2 集合的基本关系

高中数学必修第1册配套课后练习题含答案解析 1.1.2 集合的基本关系

1.1.2集合的基本关系一、单选题1．已知集合{}21,2,2A a =+，{}1,3B a =，若B A ⊆，则a =（）A ．1或2B ．2C ．3D ．1或2或232．若集合{}1,A x xx Z =≤∈ ∣，则A 的子集个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．83．定义集合A ★B ={,,}xx ab a A b B =∈∈∣，设{2,3},{1,2}A B ==，则集合A ★B 的非空真子集的个数为（）A ．12B ．14C ．15D ．164．下列表述正确的是（）A ．{},x x y ⊆B ．{}{},x x y ∈C ．{}{},,x y y x ⊆D ．0φ∈5．已知集合满足{1,2}{1,2,3}A ⊆⊆，则集合A 可以是（）A ．{3}B ．{1,3}C ．{2,3}D ．{1,2}6．设,a b ∈R ，则集合()(){}()(){}22|10,|10P x x x a Q x x x b =--==+-=，若P Q =，则a b -=（）A ．0B ．2C ．2-D ．17．以下四个关系：∅∈{0}，0∈∅，{∅}⊆{0}，∅≠⊂{0}，其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．48．若集合M 满足{}1M ≠∅ ，{}*3|1M x x ⊆∈N ，则符合条件的集合M 的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．59．设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合A ，则A 的子集个数为（）A ．5B ．6C ．31D ．3210．如果集合S ＝{x |x ＝3n +1，n ∈N}，T ＝{x |x ＝3k ﹣2，k ∈Z}，则（）A ．S ⊆TB ．T ⊆SC ．S ＝TD ．S ⊈T二、填空题11．方程2230x x --=的解集与集合A 相等，若集合A 中的元素是,a b ，则a b +=__________．12．已知集合{15}A x Nx =∈<<∣，则A 的非空真子集有________个．13．已知集合{}1,3,21A m =-，集合{}23,B m =．若B A ⊆，则实数m =________．14．设集合A ＝{x |x 2+x ﹣1＝0}，B ＝{x |ax +1＝0}，若B 是A 的子集，则实数a 的不同取值个数为__个.三、解答题15．设集合{|116}A x x =-≤+≤，{|121}B x m x m =-<<+．（1）当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；（2）若A B ⊇，求m 的取值范围．16．已知集合A ={x |-2≤x ≤5}，（1）若A ⊆B ，B ={x |m -6≤x ≤2m -1}，求实数m 的取值范围；（2）若B ⊆A ，B ={x |m -6≤x ≤2m -1}，求实数m 的取值范围；（3）是否存在实数m ，使得A =B ，B ={x |m -6≤x ≤2m -1}？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案1．D 【分析】利用子集的定义讨论即可.【详解】因为B A ⊆，集合{}21,2,2A a =+，{}1,3B a =，若32a =，则23a =，符合；若223+=a a ，则1a =或2，经检验均符合.故选：D.2．D 【分析】先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.【详解】解：{}1,A x xx Z =≤∈ ∣{}1,0,1=-，则A 的子集个数为328=个，故选：D.3．B 【分析】结合非空真子集个数(22n -)的算法即可.【详解】{2,3,4,6}A B =å，所以集合A B å的非空真子集的个数为42214-=，故选：B .4．C 【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系判断即可；【详解】解：对于A ：{},x x y ∈，故A 错误；对于B ：{}{},x x y ⇐，故B 错误；对于C ：{}{},,x y y x =，故满足{}{},,x y y x ⊆，故C 正确；对于D ：0∉∅，故D 错误；故选：C 5．D 【分析】由题可得集合A 可以是{}1,2，{}1,2,3.【详解】{1,2}{1,2,3}A ⊆⊆，∴集合A 可以是{}1,2，{}1,2,3.故选：D.6．C 【分析】由集合的描述写出集合,P Q ，根据P Q =求,a b ，进而可求-a b .【详解】由题意，得{}{}{}{}1,,11,,1{,{1,11,1a ab b P Q a b ≠-≠-===-=-，∵P Q =，∴仅当1,1a b =-=时符合题意，故2a b -=-.故选：C.7．A 【分析】根据集合的定义及包含关系的相关知识，判断空集与集合的关系.【详解】集合与集合间的关系是⊆，因此∅∈{0}错误；{∅}表示只含有一个元素(此元素是∅)的集合，所以{∅}⊆{0}错误；空集不含有任何元素，因此0∈∅错误；∅≠⊂{0}正确．因此正确的只有1个．故选：A.8．C 【分析】依题可知M 致少有元素1，结合子集定义即可求解．【详解】由题意可知，{}1M =或{1,2}或{1,3}或{1,2,3}．故选：C 9．D 【分析】根据集合元素的特性确定集合集合A 中元素的个数，进而根据子集的概念即可求解.【详解】集合A 中有5个元素，所以A 的子集个数为5232=，故选：D 10．A 【分析】先将两集合元素表示形式统一，再比较确定包含关系．【详解】解：由{|323(1)1T x x k k ==-=-+，}{|3(1)1k Z x x k ∈==-+，1}k Z -∈，令1t k =-，则t Z ∈，所以{|31T x x t ==+，}t Z ∈，通过对比S 、T ，且由常用数集N 与Z 可知N Z ⇐，故S T ⇐．故选：A ．11．2【分析】解一元二次方程求得集合A ，由此可得答案.【详解】由2230x x --=解得121,3x x =-=，所以{}1,3A =-，所以1+32a b +=-=，故答案为：2.12．6【分析】由题意可得集合{}234A =，，，结合求子集个数的计算公式即可.【详解】由题意知，{}15A x N x =∈<<，所以{}234A =，，，所以集合A 的非空真子集的个数为：3226-=.故答案为：613．1-【分析】利用B A ⊆列方程求出m ，注意到集合中元素的互异性，得到正确答案.【详解】集合{}1,3,21A m =-，集合{}23,B m =B A ⊆．①若21m =，解得：1m =或1m =-.当1m =时，{}1,3,1A =与元素的互异性相矛盾，舍去.当1m =-时，{}1,3,3A =-符合题意.②若221m m =-，解得：1m =.舍去.故1m =-.故答案为：-1.14．3【分析】求出集合A ，再由B =∅，12⎧⎪-⎨⎪⎪⎩⎭，12⎧⎪-+⎨⎪⎪⎩⎭，代入即可求解.【详解】集合A ＝{x |x 2+x ﹣1＝0}＝1122⎧⎪--+⎨⎪⎪⎩⎭，∵B 是A 的子集，则B =∅，122⎧⎪--⎨⎪⎪⎩⎭，122⎧⎪-+⎨⎪⎪⎩⎭，当B =∅时，则10ax +=无解，即0a =，当122B ⎧⎪=--⎨⎪⎪⎩⎭时，代入方程可得12a =，当122B ⎧⎪=-+⎨⎪⎪⎩⎭，代入方程可得12a +=-，所以实数a 有3个不同取值.故答案为：3.15．（1）254；（2）{|122}m m m -≤≤-或 ．【分析】对于(1)，根据x 的取值范围，可确定集合A 中所含元素，根据其元素的个数可判断出其子集的个数，若集合含有n 个元素时，则有2n 的子集，当1n >时，其非空真子集的个数为22n -，即可得到答案；对于(2)，由于空集是任何非空集合的子集，故对于B 集合是否为空集需分情况讨论：①集合B 为空集，即121m m -≥+；②集合B 为非空集合，即121m m -<+.【详解】由题意得{|25}A x x =-≤≤．（1）∵x ∈Z ，∴{2,1,0,1,2,3,4,5}A =--，即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集的个数为822254-=．（2）①当121m m -≥+，即2m ≤-时，B A =∅⊆；②当121m m -<+，即2m >-时，{|121}B x m x m =-<<+，因此，要使B A ⊆，则12,12215m m m --⎧⇒-⎨+⎩．综上所述，m 的取值范围{|12m m -≤≤或2}m -．【点睛】本题主要考查的是非空子集和真子集的定义，集合的包含关系及应用，考查不等式的解法，考查学生的计算能力，考查的核心素养是数学运算、逻辑推理，误区警示：（1）确定方程的解的集合或不等式的解集之间的关系时，当其含有参数时，注意要分类讨论，不讨论易导致误判．（2）()A B B ⊆≠∅包含三种可能，①A 为∅；②A 不为必∅，且AB ；③A 不为∅，且A B =．只写其中一种是不全面的，如果A ，B 是确定的，就只有一种可能，此时只能写出一种形式．是基础题.16．（1）3≤m ≤4；（2）5m <-；（3）不存在；答案见解析.【分析】（1）由题得62215m m -≤-⎧⎨-≥⎩，解出即可；（2）分B =∅和B ≠∅两种情况讨论；（3）满足62215m m -=-⎧⎨-=⎩即可.【详解】（1）A B ⊆ ，62215m m -≤-⎧∴⎨-≥⎩，解得34m ≤≤；（2）当B =∅时，621m m ->-，解得5m <-；当B ≠∅时，满足62162215m m m m -≤-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，此时无解，综上，5m <-；（3）要使A B =，则满足62215m m -=-⎧⎨-=⎩，方程组无解，故不存在.【点睛】本题考查由集合的包含关系求参数范围，属于基础题.。

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广铁一中2017学年上学期高一数学期中考试复习资料《必修一》模块必做解答题问题一：含参数分类讨论的集合综合运算问题1. 已知集合，集合.{|64}A x x =-≤≤{|123}B x a x a =-≤≤+（1）当时，判断集合与集合的关系；0a =A B （2）若，求实数的取值范围.B A ⊆a 2. 已知全集为实数集R ，集合A ＝{x |y ＝＋}，B ＝{x |log 2x ＞1}．x －13－x (1) 求A ∩B ，(C R B )∪A ；(2) 已知集合C ＝{x |1＜x ＜a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围．问题二：应用问题3. 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力[f(x)的值越大，表示接受能力越强]，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可以有以下公式：f(x)＝Error!(1)开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？(2)开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？4. 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的产品．已知该单位每月处理二氧化碳最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似表示为y ＝x 2－200x ＋80 000，且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值12为100元．(1)若该单位每月成本支出不超过105 000元，求月处理量x 的取值范围．(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？问题三 函数性质的综合应用（奇偶性和单调性）5.已知指数函数y ＝g (x )满足g (3)＝8，且定义域为R 的函数f (x )＝是奇函数．－g (x )＋ng (x )＋m (1) 求y ＝g (x )与y ＝f (x )的解析式；(2) 判断y ＝f (x )在R 上的单调性并用单调性定义证明．6. 已知函数为奇函数(1)求实数a 的值. (2)探究的单调性,并证明你的结论.(3)求满足的的范围.问题四：抽象函数奇偶性与单调性的综合应用7.设奇函数f(x)的定义域为(－3,3)，且对任意x，y，都有f(x)－f(y)＝f(x－y)，当x<0时，f(x)>0，f(1)＝－2.(1)求f(2)的值；(2)判断f(x)的单调性，并证明；(3)若函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)，求不等式g(x)≤0的解集．8. 设函数y ＝f (x )的定义域为R ，并且满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f ＝1，当x >0时，f (x )>0.(13)(1)求f (0)的值； (2)判断函数的奇偶性；(3)如果f (x )＋f (2＋x )<2，求x 的取值范围．问题五：函数零点的分布及个数问题9.已知是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，.（1）求x >0时，的解析式；（2）若函数有三个不同零点，求实数a 的取值范围．a a x f x g --=22)()(10.(1)为何值时，.①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；(2)若函数有4个零点，求实数a 的取值范围．a x x x f +-=24)(问题六：含参函数分类讨论及范围界定问题11.已知函数其中是自然对数的底数．（1）证明：是上的偶函数；（2）若关于x 的不等式在上恒成立，求实数m 的取值范围.12. 已知,函数，.10≠>a a 且）（x x a a a a x f --=-21)(2)(+-=ax x g（1）指出的单调性(不要求证明)； （2）若有求的值；)(x f ,3)2()2(=+f g )2()2-(-+f g （3）若，求使不等式恒成立的t 的取值范围.2-)()()(x g x f x h +=0)4()(2<-++x h tx x h 参考答案1. 解：（1），又 .{|64}A x x =-≤≤ }31{0≤≤-==x x B a 时， A B ⊆∴（2）当时，则，，此时，满足题意；∅=B 123a a ->+4a ∴<-B A ⊆当时，由，得 . ∅≠B B A ⊆12316234a a a a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩4512a a a ⎧⎪≥-⎪⇒≥-⎨⎪⎪≤⎩142a ⇒-≤≤所以或，即，从而实数的取值范围为.4a <-142a -≤≤12a ≤a 1{|}2a a ≤2. 解：(1)由已知得A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |log 2x ＞1}＝{x |x ＞2}，所以A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}，(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2}∪{x |1≤x ≤3}＝{x |x ≤3}．(2) ①当a ≤1时，此时C ＝，故C ⊆A ；∅②当a ＞1时，此时, 若C ⊆A ，则1＜a ≤3.∅≠C 综合①②，可得a 的取值范围是(－∞，3]．4. 解：(1)设月处理量为x 吨，则每月处理x 吨二氧化碳可获化工产品价值为100x 元，则每月成本支出f (x )为f (x )＝x 2－200x ＋80 000－100x ，x ∈[400,600]．12若f (x )≤105 000，即x 2－300x －25 000≤0，12即(x －300)2≤140 000，∴300－100≤x ≤100＋300.1414∵100＋300≈674>600，且x ∈[400,600]，14∴该单位每月成本支出不超过105 000元时，月处理量x 的取值范围是{x |400≤x ≤600}．(2) f (x )＝x 2－300x ＋80 00012＝(x 2－600x ＋90 000)＋35 00012＝(x －300)2＋35 000，x ∈[400,600]，12∵(x －300)2＋35 000>0，12∴该单位不获利．由二次函数性质得当x ＝400时，f (x )取得最小值．故f (x )min ＝(400－300)2＋35 000＝40000. ∴国家至少需补贴40000元才能使该单位不亏损．125. 解：(1)设g (x )＝a x (a >0，a ≠1)，由g (3)＝8得a ＝2，故g (x )＝2x ，因为y＝2x为R上的单调增函数且x1<x所以f(x)是R上的单调减函数．6.（1）若f(x)为R上的奇函数,则f(0)=0，解得a=1，验证如下：当a=1时, ，所以,即f(x)为奇函数(2) 为R上的单调递增函数，证明过程如下：任取且，则，因为<,所以<，所以,f (x 1)−f (x 2)<0， 即f (x )为R 上的增函数；(3) 此时,不等式,可化为：，又∵为R 上的增函数,∴x <，22 x 解得,，7. (1)在f (x )－f (y )＝f (x －y )中，令x ＝2，y ＝1，代入得：f (2)－f (1)＝f (1)，所以f (2)＝2f (1)＝－4.(2) f (x )在(－3,3)上单调递减．证明如下：设－3<x 1<x 2<3，则x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(－3,3)上单调递减．(3)由g (x )≤0得f (x －1)＋f (3－2x )≤0，所以f (x －1)≤－f (3－2x )． 又f (x )为奇函数，所以f (x －1)≤f (2x －3)，又f (x )在(－3,3)上单调递减，所以Error!解得0<x ≤2，故不等式g (x )≤0的解集是(0,2]．8. 解：(1) 令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)， ∴f (0)＝0.(2) 令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，∴ f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )是R 上的奇函数．(3) 任取x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则x 2－x 1>0.∵f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1＋x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)>0，∴f (x 1)< f (x 2)．故f (x )是R 上的增函数．∵f ＝1， ∴f ＝f ＝f ＋f ＝2，(13)(23)(13＋13)(13)(13)∴ f (x )＋f (2＋x )＝f [x ＋(2＋x )]＝f (2x ＋2)<f .又由y ＝f (x )是定义在R 上的增函数，(23)得2x ＋2<，解之得x <－.2323故x ∈.(－∞，－23)9.解析：10. 解：(1)①有且仅有一个零点⇔方程有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.②设f(x)的两个零点分别为，则＝－2m，＝3m＋4.由题意，知⇔⇔∴－5＜m＜－1.故m的取值范围为(－5，－1)．(2) 令f(x)＝0，得|4x－x2|＋a＝0，则|4x－x2|＝－a.令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a.分别作出g(x)，h(x)的图象．由图象可知，当0＜－a ＜4， 即-4<a <0时，g (x )与h (x )的图象有4个交点.11.解：（1），有，∴是上的偶函数x 对任意 （2）由题意，，即∵，∴，即对恒成立令，则对任意恒成立∵，当且仅当时等号成立∴12. 解：（1）由题意有： ①当时，递减 10<<a ()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x a a a a x f 112 ②当时，递减 1>a ()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x a a a a x f 112当且时，是减函数∴0>a 1≠a ()x f （2）设 则 来源学|科|网Z|X|X|K]2-)()()(x g x f x h +=()ax a a a a x h x x -⎪⎭⎫ ⎝⎛--=112 定义域为，关于原点对称。

高一数学必修一全册练习题(解析版)

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第一章集合与函数的概念1．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的一个是()A．{x|x是小于18的正奇数}B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k＜5}C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5}D．{x|x＝4s－3，s∈N*，且s≤5}解析：选D.A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3,7,11,15；B中k取负数，多了若干元素；C中t＝0时多了－3这个元素，只有D是正确的．2．集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，S＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，a∈P，b∈M，设c＝a＋b，则有()A．c∈P B．c∈MC．c∈S D．以上都不对解析：选B.∈a∈P，b∈M，c＝a＋b，设a＝2k1，k1∈Z，b＝2k2＋1，k2∈Z，∈c＝2k1＋2k2＋1＝2(k1＋k2)＋1，又k1＋k2∈Z，∈c∈M.3．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B 的所有元素之和为()A．0 B．2C．3 D．6解析：选D.∈z＝xy，x∈A，y∈B，∈z的取值有：1×0＝0,1×2＝2,2×0＝0,2×2＝4，故A*B＝{0,2,4}，∈集合A*B的所有元素之和为：0＋2＋4＝6.4．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，C＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，则用列举法表示集合C＝____________.解析：∈C＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，∈满足条件的点为：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)．答案：{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)}1．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( ) A ．方程y ＝2x －1 B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合 答案：D2．设集合M ＝{x ∈R |x ≤33}，a ＝26，则( ) A ．a ∈M B ．a ∈M C ．{a }∈M D ．{a |a ＝26}∈M 解析：选B.(26)2－(33)2＝24－27<0， 故26<3 3.所以a ∈M .3．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x －y ＝9的解集是( )A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y ＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－4，该方程组有一组解(5，－4)，解集为{(5，－4)}．4．下列命题正确的有( ) (1)很小的实数可以构成集合；(2)集合{y |y ＝x 2－1}与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合； (3)1，32，64，|－12|,0.5这些数组成的集合有5个元素；(4)集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：选A.(1)错的原因是元素不确定；(2)前者是数集，而后者是点集，种类不同；(3)32＝64，|－12|＝0.5，有重复的元素，应该是3个元素；(4)本集合还包括坐标轴． 5．下列集合中，不同于另外三个集合的是( ) A ．{0} B ．{y |y 2＝0} C ．{x |x ＝0} D ．{x ＝0}解析：选D.A 是列举法，C 是描述法，对于B 要注意集合的代表元素是y ，故与A ，C 相同，而D 表示该集合含有一个元素，即“x ＝0”．6．设P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{4,5,6,7,8}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q ，a ≠b }，则P *Q 中元素的个数为( )A ．4B ．5C ．19D ．20解析：选C.易得P *Q 中元素的个数为4×5－1＝19.故选C 项．7．由实数x ，－x ，x 2，－3x 3所组成的集合里面元素最多有________个． 解析：x 2＝|x |，而－3x 3＝－x ，故集合里面元素最多有2个． 答案：28．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |4x －3∈Z ，试用列举法表示集合A ＝________. 解析：要使4x －3∈Z ，必须x －3是4的约数．而4的约数有－4，－2，－1,1,2,4六个，则x ＝－1,1,2,4,5,7，要注意到元素x 应为自然数，故A ＝{1,2,4,5,7}答案：{1,2,4,5,7}9．集合{x |x 2－2x ＋m ＝0}含有两个元素，则实数m 满足的条件为________． 解析：该集合是关于x 的一元二次方程的解集，则Δ＝4－4m >0，所以m <1. 答案：m <110. 用适当的方法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数；(2)图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合(不含虚线)； (3)满足方程x ＝|x |，x ∈Z 的所有x 的值构成的集合B .解：(1){x |x ＝3n ，n ∈Z }；(2){(x ，y )|－1≤x ≤2，－12≤y ≤1，且xy ≥0}；(3)B ＝{x |x ＝|x |，x ∈Z }．11．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a ∈R .若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A .解：∈1是集合A 中的一个元素，∈1是关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0的一个根， ∈a ·12＋2×1＋1＝0，即a ＝－3. 方程即为－3x 2＋2x ＋1＝0，解这个方程，得x 1＝1，x 2＝－13，∈集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，1.12．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}，若A 中元素至多只有一个，求实数a 的取值范围． 解：∈a ＝0时，原方程为－3x ＋2＝0，x ＝23，符合题意．∈a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0为一元二次方程． 由Δ＝9－8a ≤0，得a ≥98.∈当a ≥98时，方程ax 2－3x ＋2＝0无实数根或有两个相等的实数根．综合∈∈，知a ＝0或a ≥98.1．下列各组对象中不能构成集合的是( ) A ．水浒书业的全体员工 B ．《优化方案》的所有书刊 C ．2010年考入清华大学的全体学生 D ．美国NBA 的篮球明星解析：选D.A 、B 、C 中的元素：员工、书刊、学生都有明确的对象，而D 中对象不确定，“明星”没有具体明确的标准．2．(2011年上海高一检测)下列所给关系正确的个数是( ) ∈π∈R ；∈3∈Q ；∈0∈N *；∈|－4|∈N *. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选B.∈∈正确，∈∈错误．3．集合A ＝{一条边长为1，一个角为40°的等腰三角形}中有元素( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个解析：选C.(1)当腰长为1时，底角为40°或顶角为40°.(2)当底边长为1时，底角为40°或顶角为40°，所以共有4个三角形．4．以方程x 2－5x ＋6＝0和方程x 2－x －2＝0的解为元素的集合中共有________个元素． 解析：由x 2－5x ＋6＝0，解得x ＝2或x ＝3.由x2－x－2＝0，解得x＝2或x＝－1.答案：31．若以正实数x，y，z，w四个元素构成集合A，以A中四个元素为边长构成的四边形可能是()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形答案：A2．设集合A只含一个元素a，则下列各式正确的是()A．0∈A B．a∈AC．a∈A D．a＝A答案：C3．给出以下四个对象，其中能构成集合的有()∈教2011届高一的年轻教师；∈你所在班中身高超过1.70米的同学；∈2010年广州亚运会的比赛项目；∈1,3,5.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C.因为未规定年轻的标准，所以∈不能构成集合；由于∈∈∈中的对象具备确定性、互异性，所以∈∈∈能构成集合．4．若集合M＝{a，b，c}，M中元素是∈ABC的三边长，则∈ABC一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：选D.根据元素的互异性可知，a≠b，a≠c，b≠c.5．下列各组集合，表示相等集合的是()∈M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；∈M＝{3,2}，N＝{2,3}；∈M＝{(1,2)}，N＝{1,2}．A．∈ B．∈C．∈ D．以上都不对解析：选B.∈中M中表示点(3,2)，N中表示点(2,3)，∈中由元素的无序性知是相等集合，∈中M表示一个元素：点(1,2)，N中表示两个元素分别为1,2.6．若所有形如a ＋2b (a ∈Q 、b ∈Q )的数组成集合M ，对于x ＝13－52，y ＝3＋2π，则有( )A ．x ∈M ，y ∈MB ．x ∈M ，y ∈MC ．x ∈M ，y ∈MD ．x ∈M ，y ∈M 解析：选B.∈x ＝13－52＝－341－5412，y ＝3＋2π中π是无理数，而集合M 中，b ∈Q ，得x ∈M ，y ∈M .7．已知∈5∈R ；∈13∈Q ；∈0＝{0}；∈0∈N ；∈π∈Q ；∈－3∈Z .其中正确的个数为________．解析：∈错误，0是元素，{0}是一个集合；∈0∈N ；∈π∈Q ，∈∈∈正确． 答案：38．对于集合A ＝{2,4,6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的取值是________． 解析：当a ＝2时，6－a ＝4∈A ； 当a ＝4时，6－a ＝2∈A ； 当a ＝6时，6－a ＝0∈A ， 所以a ＝2或a ＝4. 答案：2或49．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b 的可能取值组成的集合中元素的个数为________．解析：当a >0，b >0时，|a |a ＋|b |b ＝2；当a ·b <0时，|a |a ＋|b |b ＝0；当a <0且b <0时，|a |a ＋|b |b＝－2.所以集合中的元素为2,0，－2.即元素的个数为3. 答案：310．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈A ，试求实数a 的值． 解：∈－3∈A ，∈－3＝a －3或－3＝2a －1. 若－3＝a －3，则a ＝0，此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意． 若－3＝2a －1，则a ＝－1，此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.11．集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，试判断12－3是不是集合A 中的元素？解：∈12－3＝2＋3＝2＋3×1，而2,1∈Z ，∈2＋3∈A ，即12－3∈A .12．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，试求a 与b 的值． 解：根据集合中元素的互异性，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b2b ＝2a， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14b ＝12.再根据集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14b ＝12.1．下列六个关系式，其中正确的有( )∈{a ，b }＝{b ，a }；∈{a ，b }∈{b ，a }；∈∈＝{∈}；∈{0}＝∈；∈∈{0}；∈0∈{0}．A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个及3个以下 解析：选C.∈∈∈∈正确．2．已知集合A ，B ，若A 不是B 的子集，则下列命题中正确的是( ) A ．对任意的a ∈A ，都有a ∈B B ．对任意的b ∈B ，都有b ∈A C ．存在a 0，满足a 0∈A ，a 0∈B D ．存在a 0，满足a 0∈A ，a 0∈B解析：选C.A 不是B 的子集，也就是说A 中存在不是B 中的元素，显然正是C 选项要表达的．对于A 和B 选项，取A ＝{1,2}，B ＝{2,3}可否定，对于D 选项，取A ＝{1}，B ＝{2,3}可否定．3．设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则a的取值范围是()A．a≥2 B．a≤1C．a≥1 D．a≤2解析：选A.A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，要使A B，则应有a≥2.4．集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，a∈R}的子集的个数为________．解析：∈Δ＝9－4(2－a2)＝1＋4a2＞0，∈M恒有2个元素，所以子集有4个．答案：41．如果A＝{x|x>－1}，那么()A．0∈A B．{0}∈AC．∈∈A D．{0}∈A解析：选D.A、B、C的关系符号是错误的．2．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则()A．A>B B．A BC．B A D．A∈B解析：选C.利用数轴(图略)可看出x∈B∈x∈A，但x∈A∈x∈B不成立．3．定义A－B＝{x|x∈A且x∈B}，若A＝{1,3,5,7,9}，B＝{2,3,5}，则A－B等于() A．A B．BC．{2} D．{1,7,9}解析：选D.从定义可看出，元素在A中但是不能在B中，所以只能是D.4．以下共有6组集合．(1)A＝{(－5,3)}，B＝{－5,3}；(2)M＝{1，－3}，N＝{3，－1}；(3)M＝∈，N＝{0}；(4)M＝{π}，N＝{3.1415}；(5)M＝{x|x是小数}，N＝{x|x是实数}；(6)M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0}．其中表示相等的集合有()A．2组B．3组C．4组D．5组解析：选A.(5)，(6)表示相等的集合，注意小数是实数，而实数也是小数．5．定义集合间的一种运算“*”满足：A*B＝{ω|ω＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．若集合A＝{0,1}，B ＝{2,3}，则A *B 的子集的个数是( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：选B.在集合A 和B 中分别取出元素进行*的运算，有0·2·(0＋2)＝0·3·(0＋3)＝0,1·2·(1＋2)＝6,1·3·(1＋3)＝12，因此可知A *B ＝{0,6,12}，因此其子集个数为23＝8，选B.6．设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ∈B }，则A 与B 的关系是( ) A ．A ∈B B ．B ∈A C ．A ∈B D ．B ∈A解析：选D.∈B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，∈， ∈A ＝{x |x ∈B }＝{{1}，{2}，{1,2}，∈}，∈B ∈A .7．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|yx ＝1}，则A 、B 间的关系为________．解析：在A 中，(0,0)∈A ，而(0,0)∈B ，故B A .答案：BA8．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ∈B ，则a 的值为________． 解析：A ∈B ，则a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a ，解得a ＝2或a ＝－1或a ＝1，结合集合元素的互异性，可确定a ＝－1或a ＝2.答案：－1或29．已知A ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，B ＝{x |a ≤x ＜a ＋4}，若A B ，则实数a 的取值范围是________．解析：作出数轴可得，要使A B ，则必须a ＋4≤－1或a ＞5，解之得{a |a ＞5或a ≤－5}．答案：{a |a ＞5或a ≤－5}10．已知集合A ＝{a ，a ＋b ，a ＋2b }，B ＝{a ，ac ，ac 2}，若A ＝B ，求c 的值．解：∈若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝ac a ＋2b ＝ac2，消去b 得a ＋ac 2－2ac ＝0， 即a (c 2－2c ＋1)＝0.当a ＝0时，集合B 中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性， 故a ≠0，c 2－2c ＋1＝0，即c ＝1； 当c ＝1时，集合B 中的三个元素也相同， ∈c ＝1舍去，即此时无解．∈若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝ac 2a ＋2b ＝ac ，消去b 得2ac 2－ac －a ＝0，即a (2c 2－c －1)＝0.∈a ≠0，∈2c 2－c －1＝0，即(c －1)(2c ＋1)＝0. 又∈c ≠1，∈c ＝－12.11．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}． (1)若AB ，求a 的取值范围；(2)若B ∈A ，求a 的取值范围． 解：(1)若AB ，由图可知，a >2.(2)若B ∈A ，由图可知，1≤a ≤2.12．若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且B A ，求实数m 的值．解：A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}． ∈BA ，∈mx ＋1＝0的解为－3或2或无解．当mx ＋1＝0的解为－3时， 由m ·(－3)＋1＝0，得m ＝13；当mx ＋1＝0的解为2时， 由m ·2＋1＝0，得m ＝－12；当mx ＋1＝0无解时，m ＝0. 综上所述，m ＝13或m ＝－12或m ＝0.1．(2010年高考广东卷)若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则集合A ∩B ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜1} B ．{x |－2＜x ＜1} C ．{x |－2＜x ＜2} D ．{x |0＜x ＜1}解析：选D.因为A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |0＜x ＜1}． 2．(2010年高考湖南卷)已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}则( ) A ．M ∈N B ．N ∈M C ．M ∩N ＝{2,3} D ．M ∈N ＝{1,4}解析：选C.∈M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}．∈选项A、B显然不对．M∈N＝{1,2,3,4}，∈选项D错误．又M∩N＝{2,3}，故选C.3．已知集合M＝{y|y＝x2}，N＝{y|x＝y2}，则M∩N＝()A．{(0,0)，(1,1)} B．{0,1}C．{y|y≥0} D．{y|0≤y≤1}解析：选C.M＝{y|y≥0}，N＝R，∈M∩N＝M＝{y|y≥0}．4．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∈B＝A，则实数m的取值范围是________．解析：A∈B＝A，即B∈A，∈m≥2.答案：m≥21．下列关系Q∩R＝R∩Q；Z∈N＝N；Q∈R＝R∈Q；Q∩N＝N中，正确的个数是() A．1B．2C．3 D．4解析：选C.只有Z∈N＝N是错误的，应是Z∈N＝Z.2．(2010年高考四川卷)设集合A＝{3,5,6,8}，集合B＝{4,5,7,8}，则A∩B等于() A．{3,4,5,6,7,8} B．{3,6}C．{4,7} D．{5,8}解析：选D.∈A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，∈A∩B＝{5,8}．3．(2009年高考山东卷)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∈B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0 B．1C．2 D．4解析：选D.根据元素特性，a≠0，a≠2，a≠1.∈a＝4.4．已知集合P＝{x∈N|1≤x≤10}，集合Q＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则P∩Q等于() A．{2} B．{1,2}C．{2,3} D．{1,2,3}解析：选A.Q＝{x∈R|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．∈P∩Q＝{2}．5．(2010年高考福建卷)若集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}，则A∩B等于()A．{x|2＜x≤3} B．{x|x≥1}C．{x|2≤x＜3} D．{x|x＞2}解析：选A.∈A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}，∈A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}．6．设集合S ＝{x |x ＞5或x ＜－1}，T ＝{x |a ＜x ＜a ＋8}，S ∈T ＝R ，则a 的取值范围是( )A ．－3＜a ＜－1B ．－3≤a ≤－1C ．a ≤－3或a ≥－1D ．a ＜－3或a ＞－1 解析：选A.S ∈T ＝R ，∈⎩⎪⎨⎪⎧a ＋8＞5，a ＜－1.∈－3＜a ＜－1. 7．(2010年高考湖南卷)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2，m,4}，A ∩B ＝{2,3}，则m ＝________. 解析：∈A ∩B ＝{2,3}，∈3∈B ，∈m ＝3. 答案：38．满足条件{1,3}∈M ＝{1,3,5}的集合M 的个数是________． 解析：∈{1,3}∈M ＝{1,3,5}，∈M 中必须含有5， ∈M 可以是{5}，{5,1}，{5,3}，{1,3,5}，共4个． 答案：49．若集合A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |x ≥a }，且满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝________. 解析：当a ＞2时，A ∩B ＝∈； 当a ＜2时，A ∩B ＝{x |a ≤x ≤2}； 当a ＝2时，A ∩B ＝{2}．综上：a ＝2. 答案：210．已知A ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，B ＝{x |x 2＋cx ＋15＝0}，A ∈B ＝{3,5}，A ∩B ＝{3}，求实数a ，b ，c 的值．解：∈A ∩B ＝{3}，∈由9＋3c ＋15＝0，解得c ＝－8.由x 2－8x ＋15＝0，解得B ＝{3,5}，故A ＝{3}． 又a 2－4b ＝0，解得a ＝－6，b ＝9. 综上知，a ＝－6，b ＝9，c ＝－8.11．已知集合A ＝{x |x －2＞3}，B ＝{x |2x －3＞3x －a }，求A ∈B . 解：A ＝{x |x －2＞3}＝{x |x ＞5}， B ＝{x |2x －3＞3x －a }＝{x |x ＜a －3}． 借助数轴如图：∈当a －3≤5，即a ≤8时，A ∈B ＝{x |x ＜a －3或x ＞5}． ∈当a －3＞5，即a ＞8时，A ∈B ＝{x |x ＞5}∈{x |x ＜a －3}＝{x |x ∈R }＝R . 综上可知当a ≤8时，A ∈B ＝{x |x ＜a －3或x ＞5}； 当a ＞8时，A ∈B ＝R .12．设集合A ＝{(x ，y )|2x ＋y ＝1，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|a 2x ＋2y ＝a ，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∈，求a 的值．解：集合A 、B 的元素都是点，A ∩B 的元素是两直线的公共点．A ∩B ＝∈，则两直线无交点，即方程组无解．列方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝1a 2x ＋2y ＝a ，解得(4－a 2)x ＝2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧4－a 2＝02－a ≠0，即a ＝－2.1．(2010年高考辽宁卷)已知集合U ＝{1,3,5,7,9}，A ＝{1,5,7}，则∈U A ＝( ) A ．{1,3} B ．{3,7,9} C ．{3,5,9} D ．{3,9} 解析：选D.∈U A ＝{3,9}，故选D.2．(2010年高考陕西卷)集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，则A ∩(∈R B )＝( ) A ．{x |x ＞1} B ．{x |x ≥1} C ．{x |1＜x ≤2} D ．{x |1≤x ≤2}解析：选D.∈B ＝{x |x ＜1}，∈∈R B ＝{x |x ≥1}， ∈A ∩∈R B ＝{x |1≤x ≤2}．3. 已知全集U ＝Z ，集合A ＝{x |x 2＝x }，B ＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于( )A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}解析：选A.依题意知A＝{0,1}，(∈U A)∩B表示全集U中不在集合A中，但在集合B中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}．选A.4．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∈U A＝{x|2≤x≤5}，则a＝________.解析：∈A∈∈U A＝U，∈A＝{x|1≤x＜2}．∈a＝2.答案：21．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，且A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，则A∩(∈U B)等于()A．{2} B．{5}C．{3,4} D．{2,3,4,5}解析：选C.∈U B＝{3,4,5}，∈A∩(∈U B)＝{3,4}．2．已知全集U＝{0,1,2}，且∈U A＝{2}，则A＝()A．{0} B．{1}C．∈ D．{0,1}解析：选D.∈∈U A＝{2}，∈2∈A，又U＝{0,1,2}，∈A＝{0,1}．3．(2009年高考全国卷∈)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4，7,8,9}，全集U＝A∈B，则集合∈U(A∩B)中的元素共有()A．3个B．4个C．5个D．6个解析：选A.U＝A∈B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}，∈∈U(A∩B)＝{3,5,8}．4．已知集合U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则()A．M∩N＝{4,6} B．M∈N＝UC．(∈U N)∈M＝U D．(∈U M)∩N＝N解析：选B.由U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，得M∩N＝{4,5}，(∈U N)∈M ＝{3,4,5,7}，(∈U M)∩N＝{2,6}，M∈N＝{2,3,4,5,6,7}＝U，选B.5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∈U(A∈B)中元素个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B.∈A＝{1,2}，∈B＝{2,4}，∈A∈B＝{1,2,4}，∈∈U(A∈B)＝{3,5}．6．已知全集U ＝A ∈B 中有m 个元素，(∈U A )∈(∈U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n解析：选D.U ＝A ∈B 中有m 个元素，∈(∈U A )∈(∈U B )＝∈U (A ∩B )中有n 个元素， ∈A ∩B 中有m －n 个元素，故选D.7．设集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{2,4}，B ＝{3,4,5}，C ＝{3,4}，则(A ∈B )∩(∈U C )＝________. 解析：∈A ∈B ＝{2,3,4,5}，∈U C ＝{1,2,5}， ∈(A ∈B )∩(∈U C )＝{2,3,4,5}∩{1,2,5}＝{2,5}． 答案：{2,5}8．已知全集U ＝{2,3，a 2－a －1}，A ＝{2,3}，若∈U A ＝{1}，则实数a 的值是________． 解析：∈U ＝{2,3，a 2－a －1}，A ＝{2,3}，∈U A ＝{1}， ∈a 2－a －1＝1，即a 2－a －2＝0， 解得a ＝－1或a ＝2. 答案：－1或29．设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2＜x ＜4}，全集U ＝R ，且(∈U A )∩B ＝∈，求实数m 的取值范围为________．解析：由已知A ＝{x |x ≥－m }， ∈∈U A ＝{x |x ＜－m }，∈B ＝{x |－2＜x ＜4}，(∈U A )∩B ＝∈， ∈－m ≤－2，即m ≥2， ∈m 的取值范围是m ≥2. 答案：{m |m ≥2}10．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，求A ∩B ，(∈U B )∈P ，(A ∩B )∩(∈U P )．解：将集合A 、B 、P 表示在数轴上，如图．∈A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，∈A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}． ∈∈U B ＝{x |x ≤－1或x ＞3}， ∈(∈U B )∈P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，(A ∩B )∩(∈U P )＝{x |－1＜x ＜2}∩{x |0＜x ＜52}＝{x |0＜x ＜2}．11．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足B ∩(∈U A )＝{2}，A ∩(∈U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a ，b 的值．解：∈B ∩(∈U A )＝{2}， ∈2∈B ，但2∈A .∈A ∩(∈U B )＝{4}，∈4∈A ，但4∈B .∈⎩⎪⎨⎪⎧42＋4a ＋12b ＝022－2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝87b ＝127.∈a ，b 的值为87，－127.12．已知集合A ＝{x |2a －2<x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∈R B ，求实数a 的取值范围．解：∈R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}≠∈， ∈A∈R B ，∈分A ＝∈和A ≠∈两种情况讨论． ∈若A ＝∈，此时有2a －2≥a ， ∈a ≥2.∈若A ≠∈，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －2<a a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a 2a －2≥2.∈a ≤1.综上所述，a ≤1或a ≥2.第二章 基本初等函数1．下列说法中正确的为( ) A ．y ＝f (x )与y ＝f (t )表示同一个函数 B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)不可能是同一函数 C ．f (x )＝1与f (x )＝x 0表示同一函数D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数解析：选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关，判断两个函数是否相同，主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同．2．下列函数完全相同的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3解析：选B.A 、C 、D 的定义域均不同． 3．函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( ) A ．{x |x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |x ≥1或x ≤0} D ．{x |0≤x ≤1}解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0x ≥0，得0≤x ≤1.4．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有________．解析：由函数定义可知，任意作一条直线x ＝a ，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－1≤a ≤1时，直线x ＝a 与函数的图象仅有一个交点，当a ＞1或a ＜－1时，直线x ＝a 与函数的图象没有交点．从而表示y 是x 的函数关系的有(2)(3)．答案：(2)(3)1．函数y ＝1x 的定义域是( )A ．RB ．{0}C ．{x |x ∈R ，且x ≠0}D ．{x |x ≠1}解析：选C.要使1x 有意义，必有x ≠0，即y ＝1x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}．2．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( ) A ．x ＝y 2＋1 B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6 D ．x ＝y解析：选A.一个x 对应的y 值不唯一． 3．下列说法正确的是( )A ．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域可以是空集C ．函数的定义域和值域一定是数集D ．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了解析：选C.根据从集合A 到集合B 函数的定义可知，强调A 中元素的任意性和B 中对应元素的唯一性，所以A 中的多个元素可以对应B 中的同一个元素，从而选项A 错误；同样由函数定义可知，A 、B 集合都是非空数集，故选项B 错误；选项C 正确；对于选项D ，可以举例说明，如定义域、值域均为A ＝{0,1}的函数，对应关系可以是x →x ，x ∈A ，可以是x →x ，x ∈A ，还可以是x →x 2，x ∈A .4．下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( ) A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方 C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值解析：选A.按照函数定义，选项B 中集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C 中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A 中任意元素都对应唯一函数值的要求；选项D 中，集合A 中的元素0在集合B 中没有元素与其对应，也不符合函数定义，只有选项A 符合函数定义．5．下列各组函数表示相等函数的是( ) A ．y ＝x 2－3x －3与y ＝x ＋3(x ≠3)B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z 解析：选C.A 、B 与D 对应法则都不同．6．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 一定是( ) A ．∈ B ．∈或{1} C ．{1} D ．∈或{2}解析：选B.由f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果B ＝{1,2}，则A ＝{－1,1，－2，2}或A ＝{－1,1，－2}或A ＝{－1,1，2}或A ＝{－1，2，－2}或A ＝{1，－2，2}或A ＝{－1，－2}或A ＝{－1，2}或A ＝{1，2}或A ＝{1，－2}．所以A ∩B ＝∈或{1}．7．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________． 解析：由题意3a －1＞a ，则a ＞12.答案：(12，＋∞)8．函数y ＝x ＋103－2x的定义域是________．解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠03－2x ＞0，即x ＜32且x ≠－1.答案：(－∞，－1)∈(－1，32)9．函数y ＝x 2－2的定义域是{－1,0,1,2}，则其值域是________． 解析：当x 取－1,0,1,2时， y ＝－1，－2，－1,2， 故函数值域为{－1，－2,2}． 答案：{－1，－2,2} 10．求下列函数的定义域： (1)y ＝－x 2x 2－3x －2；(2)y ＝34x ＋83x －2.解：(1)要使y ＝－x 2x 2－3x －2有意义，则必须⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得x ≤0且x ≠－12， 故所求函数的定义域为{x |x ≤0，且x ≠－12}．(2)要使y ＝34x ＋83x －2有意义，则必须3x －2＞0，即x ＞23， 故所求函数的定义域为{x |x ＞23}． 11．已知f (x )＝11＋x(x ∈R 且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )． (1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (2))的值． 解：(1)∈f (x )＝11＋x ，∈f (2)＝11＋2＝13， 又∈g (x )＝x 2＋2， ∈g (2)＝22＋2＝6. (2)由(1)知g (2)＝6， ∈f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17. 12．已知函数y ＝ax ＋1(a ＜0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范围．解：函数y ＝ax ＋1(a ＜0且a 为常数)． ∈ax ＋1≥0，a ＜0，∈x ≤－1a ，即函数的定义域为(－∞，－1a ]．∈函数在区间(－∞，1]上有意义， ∈(－∞，1]∈(－∞，－1a ]，∈－1a ≥1，而a ＜0，∈－1≤a ＜0.即a 的取值范围是[－1,0)．1．下列各图中，不能是函数f (x )图象的是( )解析：选C.结合函数的定义知，对A 、B 、D ，定义域中每一个x 都有唯一函数值与之对应；而对C ，对大于0的x 而言，有两个不同值与之对应，不符合函数定义，故选C.2．若f (1x )＝11＋x ，则f (x )等于( )A.11＋x(x ≠－1) B.1＋x x (x ≠0)C.x1＋x(x ≠0且x ≠－1) D ．1＋x (x ≠－1) 解析：选C.f (1x )＝11＋x＝1x1＋1x(x ≠0)， ∈f (t )＝t1＋t (t ≠0且t ≠－1)，∈f (x )＝x1＋x(x ≠0且x ≠－1)． 3．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3 D ．2x －3解析：选B.设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∈2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，∈⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5k ＋b ＝1，∈⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝－2，∈f (x )＝3x －2. 4．已知f (2x )＝x 2－x －1，则f (x )＝________. 解析：令2x ＝t ，则x ＝t 2，∈f (t )＝⎝⎛⎭⎫t 22－t 2－1，即f (x )＝x 24－x2－1. 答案：x 24－x 2－11．下列表格中的x 与y 能构成函数的是( ) A.x非负数非正数y1 －1B.x 奇数 0 偶数 y1－1C.x 有理数 无理数 y1－1D.x 自然数 整数 有理数 y1－1解析：选C.A 中，当x ＝0时，y ＝±1；B 中0是偶数，当x ＝0时，y ＝0或y ＝－1；D 中自然数、整数、有理数之间存在包含关系，如x ＝1∈N(Z ，Q)，故y 的值不唯一，故A 、B 、D 均不正确．2．若f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f (12)等于( )A ．1B ．3C ．15D ．30解析：选C.法一：令1－2x ＝t ，则x ＝1－t2(t ≠1)，∈f (t )＝4t －12－1，∈f (12)＝16－1＝15. 法二：令1－2x ＝12，得x ＝14，∈f (12)＝16－1＝15. 3．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7解析：选B.∈g (x ＋2)＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1， ∈g (x )＝2x －1.4．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中较符合此学生走法的是( )解析：选D.由于纵轴表示离学校的距离，所以距离应该越来越小，排除A 、C ，又一开始跑步，速度快，所以D 符合．5．如果二次函数的二次项系数为1且图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝x 2－1B ．f (x )＝－(x －1)2＋1C ．f (x )＝(x －1)2＋1D ．f (x )＝(x －1)2－1解析：选D.设f (x )＝(x －1)2＋c ， 由于点(0,0)在函数图象上， ∈f (0)＝(0－1)2＋c ＝0， ∈c ＝－1，∈f (x )＝(x －1)2－1.6．已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的函数解析式为( ) A ．y ＝12x (x >0) B ．y ＝24x (x >0)C ．y ＝28x (x >0) D ．y ＝216x (x >0) 解析：选C.设正方形的边长为a ，则4a ＝x ，a ＝x4，其外接圆的直径刚好为正方形的一条对角线长．故2a ＝2y ，所以y ＝22a ＝22×x 4＝28x . 7．已知f (x )＝2x ＋3，且f (m )＝6，则m 等于________． 解析：2m ＋3＝6，m ＝32.答案：328. 如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f [1f 3]的值等于________．解析：由题意，f (3)＝1， ∈f [1f 3]＝f (1)＝2. 答案：29．将函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得函数y ＝x 2的图象，则函数f (x )的解析式为__________________．解析：将函数y ＝x 2的图象向下平移2个单位，得函数y ＝x 2－2的图象，再将函数y ＝x 2－2的图象向右平移1个单位，得函数y ＝(x －1)2－2的图象，即函数y ＝f (x )的图象，故f (x )＝x 2－2x －1.答案：f (x )＝x 2－2x －110．已知f (0)＝1，f (a －b )＝f (a )－b (2a －b ＋1)，求f (x )． 解：令a ＝0，则f (－b )＝f (0)－b (－b ＋1) ＝1＋b (b －1)＝b 2－b ＋1. 再令－b ＝x ，即得f (x )＝x 2＋x ＋1. 11．已知f (x ＋1x )＝x 2＋1x 2＋1x ，求f (x )．解：∈x ＋1x ＝1＋1x ，x 2＋1x 2＝1＋1x 2，且x ＋1x ≠1，∈f (x ＋1x )＝f (1＋1x )＝1＋1x 2＋1x＝(1＋1x )2－(1＋1x )＋1.∈f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．12．设二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，对于x ∈R 恒成立，且f (x )＝0的两个实根的平方和为10，f (x )的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式．解：∈f (2＋x )＝f (2－x )，∈f (x )的图象关于直线x ＝2对称． 于是，设f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)， 则由f (0)＝3，可得k ＝3－4a ， ∈f (x )＝a (x －2)2＋3－4a ＝ax 2－4ax ＋3. ∈ax 2－4ax ＋3＝0的两实根的平方和为10， ∈10＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16－6a ， ∈a ＝1.∈f (x )＝x 2－4x ＋3.1．已知集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{0,1}，下列对应不是A 到B 的映射的是( )解析：选C.A 、B 、D 均满足映射的定义，C 不满足A 中任一元素在B 中都有唯一元素与之对应，且A 中元素b 在B 中无元素与之对应．2．(2011年葫芦岛高一检测)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3 x ＞10f f x ＋5 x ≤10，则f (5)的值是( )A ．24B ．21C ．18D ．16解析：选A.f (5)＝f (f (10))， f (10)＝f (f (15))＝f (18)＝21， f (5)＝f (21)＝24.3．函数y ＝x ＋|x |x的图象为( )解析：选C.y ＝x ＋|x |x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x >0x －1 x <0，再作函数图象．4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x ＜11x ， x ＞1的值域是________．解析：当x ＜1时，x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34；当x ＞1时，0＜1x ＜1，则所求值域为(0，＋∞)，故填(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)1．设f ：A →B 是集合A 到B 的映射，其中A ＝{x |x ＞0}，B ＝R ，且f ：x →x 2－2x －1，则A 中元素1＋2的像和B 中元素－1的原像分别为( )A.2，0或2 B ．0,2 C ．0,0或2D ．0,0或2答案：C2．某城市出租车起步价为10元，最长可租乘3 km(含3 km)，以后每1 km 为1.6元(不足1 km ，按1 km 计费)，若出租车行驶在不需等待的公路上，则出租车的费用y (元)与行驶的里程x (km)之间的函数图象大致为( )解析：选C.由题意，当0＜x ≤3时，y ＝10；当3＜x ≤4时，y ＝11.6； 当4＜x ≤5时，y ＝13.2； …当n －1＜x ≤n 时，y ＝10＋(n －3)×1.6，故选C.3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 20≤x ≤3x 2＋6x－2≤x ≤0的值域是( )A ．RB ．[－9，＋∞)C ．[－8,1]D ．[－9,1]解析：选C.画出图象，也可以分段求出部分值域，再合并，即求并集． 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ≤－1，x 2－1＜x ＜22x x ≥2，若f (x )＝3，则x 的值是( ) A ．1B ．1或32C ．1，32或± 3D.3解析：选D.该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)， ∈f (x )＝x 2＝3，x ＝±3，而－1＜x ＜2，∈x ＝ 3.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x 为有理数，0， x 为无理数，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0， x 为有理数，1， x 为无理数，当x ∈R 时，f (g (x ))，g (f (x ))的值分别为( )A ．0,1B ．0,0C ．1,1D ．1,0解析：选D.g (x )∈Q ，f (x )∈Q ，f (g (x ))＝1，g (f (x ))＝0.6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12 x ≤－1，2x ＋1 －1<x <1，1x －1 x ≥1，已知f (a )>1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∈⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－12，12 C ．(－∞，－2)∈⎝⎛⎭⎫－12，1D.⎝⎛⎭⎫－12，12∈(1，＋∞) 解析：选C.f (a )>1∈⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－1a ＋12>1或⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <12a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥11a －1>1∈⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1a <－2或a >0或⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1a >－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥10<a <12∈a <－2或－12<a <1.即所求a 的取值范围是(－∞，－2)∈⎝⎛⎭⎫－12，1. 7．设A ＝B ＝{a ，b ，c ，d ，…，x ，y ，z }(元素为26个英文字母)，作映射f ：A →B 为A 中每一个字母与B 中下一个字母对应，即：a →b ，b →c ，c →d ，…，z →a ，并称A 中的字母组成的文字为明文，B 中相应的字母为密文，试破译密文“nbuj ”：________.解析：由题意可知m →n ，a →b ，t →u ，i →j ， 所以密文“nbuj ”破译后为“mati ”． 答案：mati8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，f x －2， x ＞0，则f (4)＝________.解析：f (4)＝f (2)＝f (0)＝0. 答案：09．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0，则不等式x ＋(x ＋2)·f (x ＋2)≤5的解集是________．解析：原不等式可化为下面两个不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0x ＋x ＋2·1≤5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＜0x ＋x ＋2·－1≤5，解得－2≤x ≤32或x ＜－2，即x ≤32.答案：(－∞，32]10．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2 －1≤x ≤11 x ＞1或x ＜－1，(1)画出f (x )的图象；(2)求f (x )的定义域和值域．解：(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示． (2)由条件知， 函数f (x )的定义域为R. 由图象知，当－1≤x ≤1时， f (x )＝x 2的值域为[0,1]， 当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＝1，所以f (x )的值域为[0,1]．11．某汽车以52千米/小时的速度从A 地到260千米远的B 地，在B 地停留112小时后，再以65千米/小时的速度返回A 地．试将汽车离开A 地后行驶的路程s (千米)表示为时间t (小时)的函数．解：∈260÷52＝5(小时)，260÷65＝4(小时)，∈s ＝⎩⎪⎨⎪⎧52t 0≤t ≤5，260 ⎝⎛⎭⎫5＜t ≤612，260＋65⎝⎛⎭⎫t －612 ⎝⎛⎭⎫612＜t ≤1012.12. 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 与x 的函数解析式，并画出大致图象．解：过点A ，D 分别作AG ∈BC ，DH ∈BC ，垂足分别是G ，H . 因为ABCD 是等腰梯形， 底角为45°，AB ＝2 2 cm ， 所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm. 又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm. ∈当点F 在BG 上时， 即x ∈[0,2]时，y ＝12x 2；∈当点F 在GH 上时， 即x ∈(2,5]时，y ＝x ＋x －22×2＝2x －2； ∈当点F 在HC 上时，即x ∈(5,7]时， y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt∈CEF＝12(7＋3)×2－12(7－x )2 ＝－12(x －7)2＋10.综合∈∈∈，得函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2x ∈[0，2]2x －2 x ∈2，5].－12x －72＋10 x ∈5，7]函数图象如图所示．1．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )为增函数，当x ∈(－∞，－2]时，函数f (x )为减函数，则m 等于( )A ．－4B ．－8C ．8D ．无法确定解析：选B.二次函数在对称轴的两侧的单调性相反．由题意得函数的对称轴为x ＝－2，则m4＝－2，所以m ＝－8. 2．函数f (x )在R 上是增函数，若a ＋b ≤0，则有( ) A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )－f (b ) B ．f (a )＋f (b )≥－f (a )－f (b ) C ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )解析：选C.应用增函数的性质判断． ∈a ＋b ≤0，∈a ≤－b ，b ≤－a . 又∈函数f (x )在R 上是增函数， ∈f (a )≤f (－b )，f (b )≤f (－a )． ∈f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )．3．下列四个函数：∈y ＝x x －1；∈y ＝x 2＋x ；∈y ＝－(x ＋1)2；∈y ＝x1－x ＋2.其中在(－∞，0)上为减函数的是( )A ．∈B ．∈C ．∈∈D ．∈∈∈解析：选A.∈y ＝x x －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1.其减区间为(－∞，1)，(1，＋∞)．∈y ＝x 2＋x ＝(x ＋12)2－14，减区间为(－∞，－12)．∈y ＝－(x ＋1)2，其减区间为(－1，＋∞)， ∈与∈相比，可知为增函数．4．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是________． 解析：对称轴x ＝k 8，则k 8≤5，或k8≥8，得k ≤40，或k ≥64，即对称轴不能处于区间内．答案：(－∞，40]∈[64，＋∞)1．函数y ＝－x 2的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞) 解析：选A.根据y ＝－x 2的图象可得．2．若函数f (x )定义在[－1,3]上，且满足f (0)<f (1)，则函数f (x )在区间[－1,3]上的单调性是( )A ．单调递增B ．单调递减C ．先减后增D ．无法判断解析：选D.函数单调性强调x 1，x 2∈[－1,3]，且x 1，x 2具有任意性，虽然f (0)<f (1)，但不能保证其他值也能满足这样的不等关系．3．已知函数y ＝f (x )，x ∈A ，若对任意a ，b ∈A ，当a <b 时，都有f (a )<f (b )，则方程f (x )＝0的根( )A ．有且只有一个B ．可能有两个C ．至多有一个D ．有两个以上解析：选C.由题意知f (x )在A 上是增函数．若y ＝f (x )与x 轴有交点，则有且只有一个交点，故方程f (x )＝0至多有一个根．4．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( ) A ．f (a )＞f (2a ) B ．f (a 2)＜f (a )C ．f (a 2＋a )＜f (a )D ．f (a 2＋1)＜f (a ) 解析：选D.∈a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34＞0，∈a 2＋1＞a ，∈f (a 2＋1)＜f (a )，故选D.5．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( ) ∈y ＝|x |；∈y ＝|x |x ；∈y ＝－x 2|x |；∈y ＝x ＋x|x |.A ．∈∈B ．∈∈C ．∈∈D ．∈∈解析：选C.∈y ＝|x |＝－x (x ＜0)在(－∞，0)上为减函数； ∈y ＝|x |x ＝－1(x ＜0)在(－∞，0)上既不是增函数，也不是减函数；∈y ＝－x 2|x |＝x (x ＜0)在(－∞，0)上是增函数；∈y ＝x ＋x|x |＝x －1(x ＜0)在(－∞，0)上也是增函数，故选C.6．下列说法中正确的有( )∈若x 1，x 2∈I ，当x 1＜x 2时，f (x 1)＜f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ∈函数y ＝x 2在R 上是增函数； ∈函数y ＝－1x在定义域上是增函数；∈y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∈(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选A.函数单调性的定义是指定义在区间I 上的任意两个值x 1，x 2，强调的是任意，从而∈不对；∈y ＝x 2在x ≥0时是增函数，x ≤0时是减函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性；∈y ＝－1x 在整个定义域内不是单调递增函数．如－3＜5，而f (－3)＞f (5)；∈y ＝1x 的单调递减区间不是(－∞，0)∈(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法．7．若函数y ＝－bx 在(0，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．解析：设0＜x 1＜x 2，由题意知 f (x 1)－f (x 2)＝－b x 1＋b x 2＝bx 1－x 2x 1·x 2＞0，∈0＜x 1＜x 2，∈x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0. ∈b ＜0.答案：(－∞，0)8．已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34 )的大小关系为________．解析：∈a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34，∈f (a 2－a ＋1)≤f (34)．答案：f (a 2－a ＋1)≤f (34)9．y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________． 解析： y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x x ＞0x 2－3x x ≤0，作出其图象如图，观察图象知递增区间为[0，32]．答案：[0，32]10．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0. (1)求b 与c 的值；(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数． 解：(1)∈f (1)＝0，f (3)＝0，∈⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝09＋3b ＋c ＝0，解得b ＝－4，c ＝3. (2)证明：∈f (x )＝x 2－4x ＋3， ∈设x 1，x 2∈(2，＋∞)且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－4x 1＋3)－(x 22－4x 2＋3) ＝(x 21－x 22)－4(x 1－x 2) ＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)， ∈x 1－x 2＜0，x 1＞2，x 2＞2， ∈x 1＋x 2－4＞0.∈f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． ∈函数f (x )在区间(2，＋∞)上为增函数．11．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －1)＜f (1－3x )，求x 的取值范围．解：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －1≤1－1≤1－3x ≤1，x －1＜1－3x即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤20≤x ≤23，x ＜12∈0≤x ＜12.12．设函数y ＝f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围．解：设任意的x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1＜x 2， ∈f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1x 2＋2 ＝ax 1＋1x 2＋2－ax 2＋1x 1＋2x 1＋2x 2＋2＝x 1－x 22a －1x 1＋2x 2＋2.∈f (x )在(－2，＋∞)上单调递增， ∈f (x 1)－f (x 2)＜0. ∈x 1－x 22a －1x 1＋2x 2＋2＜0，∈x 1－x 2＜0，x 1＋2＞0，x 2＋2＞0， ∈2a －1＞0，∈a ＞12.1．函数f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上的最大值为( ) A ．9 B ．9(1－a ) C ．9－aD ．9－a 2解析：选A.x ∈[0,3]时f (x )为减函数，f (x )max ＝f (0)＝9. 2．函数y ＝x ＋1－x －1的值域为( ) A ．(－∞， 2 ] B ．(0， 2 ] C ．[2，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选B.y ＝x ＋1－x －1，∈⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0x －1≥0，∈x ≥1.∈y ＝2x ＋1＋x －1为[1，＋∞)上的减函数，∈f (x )max ＝f (1)＝2且y ＞0.3．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2在[0，a ]上取得最大值3，最小值2，则实数a 为( ) A ．0或1 B ．1C ．2D ．以上都不对解析：选B.因为函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2＝(x －a )2－a 2＋a ＋2, 对称轴为x ＝a ，开口方向向上，所以f (x )在[0，a ]上单调递减，其最大值、最小值分别在两个端点处取得，即f (x )max ＝f (0)＝a ＋2＝3，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋a ＋2＝2.故a ＝1.4．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1.则xy 的最大值为________．解析：y 4＝1－x 3，∈0＜1－x3＜1,0＜x ＜3.而xy ＝x ·4(1－x 3)＝－43(x －32)2＋3.当x ＝32，y ＝2时，xy 最大值为3.答案：31．函数f (x )＝x 2在[0,1]上的最小值是( ) A ．1 B ．0 C.14D ．不存在解析：选B.由函数f (x )＝x 2在[0,1]上的图象(图略)知， f (x )＝x 2在[0,1]上单调递增，故最小值为f (0)＝0.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]x ＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对解析：选A.f (x )在x ∈[－1,2]上为增函数，f (x )max ＝f (2)＝10，f (x )min ＝f (－1)＝6. 3．函数y ＝－x 2＋2x 在[1,2]上的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．不存在解析：选A.因为函数y ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1.对称轴为x ＝1，开口向下，故在[1,2]上为单调递减函数，所以y max ＝－1＋2＝1.。

高中数学必修第1册配套课后练习题含答案解析 1.3.1不等式性质

高中数学必修第1册配套课后练习题含答案解析 1.3.1不等式性质

1.3.1不等式性质一、单选题1．设a ，b ，c 为实数，且0a b <<，则下列不等式正确的是（）A ．11a b<B ．22ac bc <C ．b a a b>D ．22a ab b >>2．已知0x a <<，下列不等式一定成立的是（）A ．220x a <<B ．22x ax a >>C ．20x ax <<D ．22x a ax>>3．若,a b c d >>，则下列关系一定成立的是（）A ．ac bd >B ．ac bc >C ．a c b d+>+D ．a c b d->-4．若a ，b ，c R ∈，且a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．a c b c+>-B ．22ac bc>C ．2c a b>-D ．2()0a b c -≥5．若0a b >>，0m <．则下列不等式成立的是（）A ．a m ab m b->-B ．a m ab m b-<-C ．1ma b>-D ．22am bm <6．若0,10a b <-<<，则下列不等关系一定正确的是（）A ．a b<B ．2a b <C ．a b>D ．0a b +>7．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则32x y -的取值范围是（）A ．[]28,B ．[]3,8C ．[]2,7D ．[]5,108．下列结论正确的是（）A ．若a b >，则ac bc >B ．若a b >，则11a b<C ．若22ac bc >，则a b >D ．若a b >，则22a b >9．下列选项正确的是（）A ．a 与b 的差不是正数用不等式表示为a -b <0B ．a 的绝对值不超过3用不等式表示为a ≤3C ．(x -3)2<(x -2)(x -4)D ．x 2+y 2+1>2(x +y -1)10．已知a >b >c ，则1a b -+1b c -+1c a-的值（）A ．为正数B ．为非正数C ．为非负数D ．不确定二、填空题11．已知a ，b 是实数，且a ＞b ，则－a ________－b （填“＞”或“＜”）．12（填<或>）.13．设46,12a b <<<<，则aa b-的取值范围是________（取值范围写成区间形式）14．给出下列命题：①a >b ⇒ac 2>bc 2；②a >|b |⇒a 4>b 4；③a >b ⇒a 3>b 3；④|a |>b ⇒a 2>b 2.其中正确的命题序号是_______.三、解答题15．已知54x -<<，23y <<.求（1）2x y -的取值范围；（2）32x y +的取值范围.16．（1）已知,a b c d ><，求证：a c b d ->-；（2）已知,0a b ab >>，求证：11a b<；（3）已知0,0a b c d >><<，求证：a b c d>.参考答案1．D 【分析】对于ABC ，通过举反例判断即可，对于D ，利用不等式的性质判断【详解】解：对于A ，若2,1a b =-=-，则11112a b=->=-，所以A 错误，对于B ，当0c =时，220ac bc ==，所以B 错误，对于C ，若2,1a b =-=-，则1122221b a a b --==<==--，所以C 错误，对于D ，因为0a b <<，所以2a ab >，2ab b >，所以22a ab b >>，所以D 正确，故选：D 2．B 【分析】根据不等式的性质判断．【详解】220,0,0,x a x a x ax ax a <<<<⇒>>，即22x ax a >>故选：B ．3．C 【分析】利用基本不等式的性质，对选项进行一一验证，即可得到答案；【详解】对A ，当0,0a b c d ac bd >>>>⇒>，故A 错误；对B ，当0c >时，ac bc >，故B 错误；对C ，同向不等式的可加性，故C 正确；对D ，若2,1,0,31,4a b c d a c b d ====-⇒-=-=，不等式显然不成立，故D 错误；故选：C.4．D 【分析】作差法比较大小，再取值验算.【详解】因为()22a c b c a b c c +--=-+>，当取1,0,2a b c ===-时，1a c +=-，2b c -=，有a c b c +<-.故选项A 错误；因为()2220ac bc a b c -=-≥，20c a b≥-，当取0c =时，22ac bc =，20c a b=-，故选项B 错误，选项C 错误，选项D 正确.故选：D.5．B 【分析】根据已知条件，由作差比较法得0a m ab m b--<-，从而可判断选项B 正确.【详解】解：()()()()()a m ab a m a b m m b a b m b b b m b b m -------=---， 0a b >>，0m <，∴0b a -<，0m ->，()0b b m ->，∴0a m ab m b--<-，即a m ab m b -<-，所以选项A 不正确，选项B 正确；而选项C 、选项D ，由不等式的性质易判断不正确．故选：B ．6．B 【分析】根据正负直接选出正确答案.【详解】0a <，20b >，所以2a b <故选：B 7．A 【分析】设()()()()32x y m x y n x y m n x m n y -=+--=-++，利用待定系数法求得,m n ，利用不等式的性质即可求32x y -的取值范围.【详解】设()()()()32x y m x y n x y m n x m n y -=+--=-++，所以32m n m n -=⎧⎨+=-⎩，解得：1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，1532()()22x y x y x y -=+--，因为11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，所以[]1532()()2,822x y x y x y -=+--∈，故选：A.8．C 【分析】根据不等式的性质，对四个选项一一验证：对于A ：利用不等式的可乘性的性质进行判断；对于B ：取1,1a b ==-进行否定；对于C ：利用不等式的可乘性的性质进行证明；对于D ：取1,1a b ==-进行否定.【详解】对于A ：当a b >时，若取0c ≤，则有ac bc ≤.故A 不正确；对于B ：当a b >时，取1,1a b ==-时，有11a b>.故B 不正确；对于C ：当22ac bc >，两边同乘以21c ，则a b >.故C 正确；对于D ：当a b >，取1,1a b ==-时，有22=a b .故D 不正确.故选：C.【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；（2）判断不等式成立的解题思路：①取特殊值进行否定；②利用不等式的性质直接判断.9．D 【分析】用做差法比较大小，即可做出判断.【详解】A.a 与b 的差不是正数用不等式表示为a -b ≤0，故A 错误；B.a 的绝对值不超过3用不等式表示为|a |≤3，故B 错误；C.(x -3)2-(x -2)(x -4)=1>0，所以(x -3)2>(x -2)(x -4)，故C 错误；D .x 2+y 2+1-2(x +y -1)=(x -1)2+(y -1)2+1>0，所以x 2+y 2+1>2(x +y -1)，故D 正确.故选：D 10．A 【分析】利用不等式的性质判断即可【详解】因为a >b >c ，所以a -b >0，b -c >0，a -c >b -c >0，所以1a b ->0，1b c ->0，1a c-<1b c -，所以1b c -+1c a ->0，所以1a b -+1b c -+1c a ->0，所以1a b -+1b c -+1c a-的值为正数.故选：A 11．＜【分析】根据不等式的性质计算可得；【详解】解：因为a b >，所以a b -<-故答案为：<12．<【分析】比较6、6.【详解】6328==Q，6239==，则66<<故答案为：<.13．(0,3)【分析】利用不等式的性质求解即可【详解】解：由12b <<，得1112b<<，所以1112b -<-<-，所以1111112b -<-<-，即11012b <-<，因为46a <<，所以1140(1)62a b ⨯<-<⨯，即03aa b<-<，所以aa b-的取值范围是(0,3)，故答案为：(0,3)14．②③【分析】对于①，举反例判断；对于②，利用不等式的性质判断即可；对于②，作差判断；对于④，举反例即可【详解】解：①当c 2=0时不成立.②因为0a b >≥，所以22a b >，即22a b >，所以44a b >，所以②正确③当a >b 时，a 3-b 3=(a -b )(a 2+ab +b 2)=(a -b )·22324b a b ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦>0成立.④当b <0时，不一定成立.如：|2|>-3，但22<(-3)2.故答案为：②③15．（1）1120x y -<-<；（2）113218x y -<+<.【分析】利用不等式的基本性质求解.【详解】解：（1）因为23y <<，所以624y -<-<-，所以()()56244x y -+-<-<+-，即1120x y -<-<.（2）因为54x -<<，23y <<，所以15312x -<<，426y <<，所以113218x y -<+<.【点睛】本题考查不等式的基本性质及应用，属于简单题.16．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据c d <不等号左右两边同时乘以一个负数,不等号方向改变得到c d ->-,再用同向可加性法则即可得出结果.（2）根据正数的倒数大于0可得10ab>,再用同向同正可乘性得出结果.（3）因为0c d <<，根据（2）的结论，得110c d>>,再用同向同正可乘性得出结果.【详解】证明：（1）因为,a b c d ><，所以,a b c d >->-.则a c b d ->-.（2）因为0ab >，所以10ab>.又因为a b >，所以1a b ab ab 1⋅>⋅，即11b a >，因此11a b<.（3）因为0c d <<，根据（2）的结论，得110c d>>.又因为0a b >>，则11a b c d⋅>⋅，即a b c d>.【点睛】本题考查不等式的基本性质与不等关系,是基础题.。

高中数学必修第1册配套课后练习题含答案解析 7.2.2古典概型的应用(一)

高中数学必修第1册配套课后练习题含答案解析 7.2.2古典概型的应用(一)

7.2.2古典概型的应用(一)一、选择题1．某射手的一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.20，0.30，0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为()A．0.40B．0.30C．0.60D．0.902．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙两人下和棋的概率是()A．60%B．30%C．10%D．50%3．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母按字母顺序恰好是相邻的概率为()A．15B．25C．310D．7104．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为()A．310B．25C．12D．355．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若a＝b或a＝b－1，就称甲、乙“心有灵犀”，现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为()A．736B．14C．1136D．512二、填空题6．甲、乙两人打乒乓球，两人打平的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是________．7．从集合A＝{－3，－2，－1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2，1，2}中随机选取一个数记为b，则k>0，b>0的概率为________．8．如图所示，a，b，c，d，e是处于断开状态的开关，任意闭合其中的两个，则电路接通的概率是________．三、解答题9．学校射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如表：命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12求该选手射击一次．(1)命中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率．10．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.求：(1)“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．11．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋B发生的概率为()A．13B．12C．23D．5612．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则89是下列哪个事件的概率()A．颜色全同B．颜色不全同C．颜色全不同D．无红球13．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为45，那么所选3人中都是男生的概率为____．14．如果事件A与B是互斥事件，且事件A＋B发生的概率是0.64，事件B 发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为________．15．先后抛掷两枚大小相同的骰子．(1)求点数之和为7的概率；(2)求出现两个4点的概率；(3)求点数之和能被3整除的概率．参考答案1.D [从盒中随机抽取2张，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种，取出的2张卡片上的数字之和为奇数的取法有(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，共4种，故取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为46＝23.故选D.]2.B [基本事件的总数为6，构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2，所以所求概率P ＝26＝13.故选B.]3.B [从甲、乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为410＝25.故选B.]4.C [从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫).而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P ＝410＝25.故选C.]5.D [所有的两位数为12，14，21，41，32，34，23，43，52，54，25，45，共12个，能被4整除的数为12，32，52，共3个，故所求概率P ＝312＝14.故选D.]6.35[取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为610＝35.]7.35[设3个红色球为A 1，A 2，A 3，2个黄色球为B 1，B 2，从5个球中，随机取出2个球的事件有：A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 2，A 2A 3，A 2B 1，A 2B 2，A 3B 1，A 3B 2，B 1B 2，共10种．其中2个球的颜色不同的有A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，A 3B 1，A 3B 2，共6种，所以所求概率为610＝35.]8.25[依题意，从2，3，4，5，6这5个数字中任取3个，共有10种不同的取法，其中所取3个数之和为偶数的取法共有1＋3＝4种(包含两种情形：一种情形是所取的3个数均为偶数，有1种取法；另一种情形是所取的3个数中2个是奇数，另一个是偶数，有3种取法)，因此所求的概率为410＝25.]9.[解](1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个．则所求事件的概率为P＝315＝1 5 .(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，则所求事件的概率为P＝29.10.[解](1)100位会员中，至少消费两次的会员有40位，所以估计一位会员至少消费两次的概率为40100＝0.4.(2)该会员第1次消费时，公司获得的利润为200－150＝50(元)，第2次消费时，公司获得的利润为200×0.95－150＝40(元)，所以，公司获得的平均利润为50＋402＝45(元).(3)因为20∶10∶5∶5＝4∶2∶1∶1，所以用分层抽样方法抽出的8人中，消费2次的有4人，分别设为A1，A2，A3，A4，消费3次的有2人，分别设为B1，B2，消费4次和5次及以上的各有1人，分别设为C，D，从中抽出2人，抽到A1的有A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1C，A1D，共7种；去掉A1后，抽到A2的有A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2C，A2D，共6种；…去掉A 1，A 2，A 3，A 4，B 1，B 2后，抽到C 的有：CD ，共1种，总的抽取方法有7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28(种)，其中恰有1人消费两次的抽取方法有4＋4＋4＋4＝16(种)，所以，抽出的2人中恰有1人消费两次的概率为1628＝47.11.B [因为甲、乙两人从五份红包中随机取两份的可能情况有10种，其中所抢到的金额之和大于等于4的情况有(0.61，3.40)，(1.49，3.40)，(2.19，3.40)，(1.31，3.40)，共4种，所以甲、乙两人抢到的金额之和不低于4元的概率为P ＝410＝25.故选B.]12.B [(a ，b )的所有取值情况如下：(2，1)，(2，3)，(4，1)，(4，3)，共4种，记“f (x )在区间(－∞，－1]上是减函数”为事件A ，由条件知f (x )的图象开口一定向上，对称轴为直线x ＝－b a ，则－b a ≥－1，即0<b a≤1，则事件A 包含的情况如下：(2，1)，(4，1)，(4，3)，共3种，则P (A )＝34.故选B.]13.56[将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，…，(6，6)，共36种情况．设事件A ＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件A ＝“出现向上的点数之和大于或等于10”，A 包含的结果有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P (A )＝636＝16，所以P (A )＝1－16＝56.]14.3和4[分别从集合A 和B 中随机取出一个数，确定平面上的一个点P (a ，b )，则有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，共6种情况，a ＋b ＝2的有1种情况，a ＋b ＝3的有2种情况，a ＋b ＝4的有2种情况，a ＋b ＝5的有1种情况，所以可知若事件C n 发生的概率最大，则n 的所有可能值为3和4.]15.[解](1)游客人数在[0，100)范围内的天数共有15天，故a＝15，b＝1530＝12，游客人数的平均值为50×12＋150×13＋250×215＋350×130＝120(百人).(2)从5天中任选两天的选择方法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10种，其中游客拥挤等级均为“优”的有(1，4)，(1，5)，(4，5)，共3种，故所求概率为3 10 .。

高中数学必修第1册配套课后练习题含答案解析 7.2.1古典概型

高中数学必修第1册配套课后练习题含答案解析 7.2.1古典概型

7.2.1古典概型一、选择题1．一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册的排放次序共有()A．3种B．4种C．6种D．12种2．下列是古典概型的是()A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D．抛掷一枚均匀硬币，首次出现正面为止3．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是()A．45B．35C．25D．154．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都当选的概率为()A．25B．210C．310D．355．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，两枚反面的概率等于()A．14B．13C．38D．12二、填空题6．从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率是________．7．在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为________．8．从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．三、解答题9．某种饮料每箱装6听，其中一箱有2听不合格，质检人员依次不放回地从该箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率．10．某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层随机抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．(1)求应从初级教师、中级教师、高级老师中分别抽取的人数；(2)若从分层随机抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析，求抽取的2名教师均为初级教师的概率．11．有五根细木棒，长度分别为1，3，5，7，9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率是()A．320B．25C．15D．31012．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A．16B．14C．13D．1213．从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于________．14．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为________．15．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是1 2 .(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率．参考答案1.C[(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，共6种．]2.C[A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D 项中样本点既不是有限个，也不具有等可能性，故D不是．]3.D[设所取的数中b>a为事件A，如果把选出的数a，b写成一数对(a，b)的形式，则试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)}，共15个，事件A包含的样本点有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个，因此所求的概率P(A)＝315＝15.]4.C[从五个人中选取三人，则试验的样本空间Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，而甲、乙都当选的结果有3种，故所求的概率为3 10 .]5.C[试验的样本空间Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(反，反，反)}，共8种，出现一枚正面，两枚反面的样本点有3种，故概率为P＝3 8 .]6.12[设3件正品为A，B，C，1件次品为D，从中不放回地任取2件，试验的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)}，共6个．其中恰有1件是次品的样本点有：(A，D)，(B，D)，(C，D)，共3个，故P＝36＝12.]7.13[用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则所有可能的次序有(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)，共6种，其中B先于A，C通过的有(B，C，A)和(B，A，C)，共2种，故所求概率P＝2 6＝13.]8.15[从5个数中任意取出两个不同的数，样本点的总数为10，若取出的两数之和等于5，则有(1，4)，(2，3)，共有2个样本点，所以取出的两数之和等于5的概率为210＝1 5 .]9.[解]只要检测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品．分为两种情况：1听不合格和2听都不合格．设合格饮料为1，2，3，4，不合格饮料为5，6，从6听中选2听的基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15种．有1听不合格的有(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，共8种；有2听不合格的有(5，6)，共1种，所以检测出不合格产品的概率为8＋1 15＝35.10.[解](1)由分层随机抽样知识得应从初级教师、中级教师、高级教师中抽取的人数分别为3，2，1.(2)在分层随机抽样抽取的6名教师中，3名初级教师分别记为A1，A2，A3，2名中级教师分别记为A4，A5，高级教师记为A6，则从中抽取2名教师的样本空间为Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，即样本点的总数为15.抽取的2名教师均为初级教师(记为事件B)的样本点为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种．所以P(B)＝315＝15.11.D[设取出的三根木棒能搭成三角形为事件A，试验的样本空间Ω＝{(1、3、5),(1、3、7),(1、3、9),(1、5、7),(1、5、9),(1、7、9),(3、5、7),(3、5、9),(3、7、9),(5、7、9)}，样本空间的总数为10，由于三角形两边之和大于第三边，构成三角形的样本点只有(3、5、7),(3、7、9),(5、7、9)三种情况，故所求概率为P(A)＝3 10 .]12.C[设两位男同学分别为a，b，两位女同学分别为c，d，四人随机站成一列，试验的样本空间Ω＝{abcd，abdc，acbd，acdb，adbc，adcb，bacd，badc，bcad，bcda，bdac，bdca，cabd，cadb，cbad，cbda，cdab，cdba，dabc，dacb，dbac，dbca，dcab，dcba}共24个，其中表示两位女同学相邻的样本点有：abcd，abdc，acdb，dcab，dcba，bacd，badc，bcda，bdca，cdab，cdba，adcb，共12个，故所求的概率为1224＝12.]13.15[用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的样本空间Ω＝{AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc}，其中事件“2名都是女同学”包含样本点的个数为3，故所求的概率为315＝1 5 .]14.25[设袋中红球用a表示，2个白球分别用b1，b2表示，3个黑球分别用c1，c2，c3表示，则试验的样本空间Ω＝{(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)}，则样本空间的总数为15个．两球颜色为一白一黑的样本空间有(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共6个．∴其概率为615＝25.]15.[解](1)由题意可知：n1＋1＋n＝12，解得n＝2.(2)不放回地随机抽取2个小球的样本空间Ω＝{(0，1)，(0，21)，(0，22)，(1，0)，(1，21)，(1，22)，(21，0)，(21，1)，(21，22)，(22，0)，(22，1)，(22，21)}，共12个，事件A包含的样本点为：(0，21)，(0，22)，(21，0)，(22，0)，共4个．∴P(A)＝412＝13.。

高中数学必修第1册配套课后练习题含答案解析 6.3.2频率分布直方图

高中数学必修第1册配套课后练习题含答案解析 6.3.2频率分布直方图

6.3.2频率分布直方图一、选择题1．某地一种植物一年生长的高度如下表：高度(cm)[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60]棵数2030804030则该植物一年生长在[30，40)内的频率是()A.0.80B．0.65C．0.40D．0.252．某商场在今年端午节的促销活动中，对6月9日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为()A.8万元B．10万元C．12万元D．15万元3．为了了解某地区10000名高三男生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17～18岁的高三男生体重(kg)，得到频率分布直方图如图．根据图示，请你估计该地区高三男生中体重在[56.5，64.5]的学生人数是()A.40B．400C．4000D．44004．某校100名学生的数学测试成绩频率分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为20人，则a的估计值是()A.130B．140C．133D．1375．为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间调查了某地10000位居民，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图).为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000位居民中再用分层随机抽样抽出100位居民做进一步调查，则在[2.5，3)(小时)时间段内应抽出的人数是()A.25B．30C．50D．75二、填空题6．为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm)，根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，那么这100株树木中，底部周长小于110cm的树有________株．数据填空：(1)样本数据落在[5，9)内的频率是________；(2)样本数据落在[9，13)内的频数是________．8．为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图所示).已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则抽取的学生人数为________．三、解答题9．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90，100)，[100，110)，…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求分数在[120，130)内的频率；(2)若在同一组数据中，将该组区间的中点值(如：组区间[100，110)的中点值为100＋1102＝105.)作为这组数据的平均分，据此估计本次考试的平均分．10．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100].(1)求图中a的值；(2)若这100名学生的语文成绩在某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数．分数段[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)x∶y1∶12∶13∶44∶5在抽测的60株树木中，树木的底部周长小于100cm的株数为()A.24B．30C．34D．4012．学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查．根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示：()A.抽样表明，该校有一半学生为阅读霸B.该校只有50名学生不喜欢阅读C.该校只有50名学生喜欢阅读D.抽样表明，该校有50名学生为阅读霸13．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为________．14．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为________．15．某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，并测得每个球的直径(单位：mm)，将数据进行分组，得到如下频率分布表：分组频数频率[39.95，39.97)10[39.97，39.99)20[39.99，40.01)50[40.01，40.03]20合计100(1)补充完频率分布表(结果保留两位小数)，并在上图中画出频率分布直方图；(2)若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40.00mm，试求这批乒乓球的直径误差不超过0.03mm的概率；(3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[39.99，40.01)的中点值是40.00)作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数).参考答案1.C[由频率含义可计算其结果．由频率的定义得80÷(20＋30＋80＋40＋30)＝0.40.]2.C[由频率分布直方图知，9时至10时的销售额的频率为0.1，故销售总额为30.1＝30(万元)，又11时至12时的销售额的频率为0.4，故销售额为0.4×30＝12万元．]3.C[依题意得，该地区高三男生中体重在[56.5，64.5]的学生人数是10 000×(0.03＋2×0.05＋0.07)×2＝4000.]4.C[由题意可知优秀的频率为0.2，由频率分布直方图可知第6组的频率为0.1，第5组的频率为0.15，所以a∈(130，140)，则0.1＋0.015(140－a)＝0.2，解得a≈133.]5.A[由频率分布直方图可知，在[2.5，3)的频率为0.25，所以在此范围内应抽出的人数为100×0.25＝25.]6.70[(0.01×10＋0.02×10＋0.04×10)×100＝70.]7.(1)0.32(2)72[频率＝频率组距×组距＝0.08×4＝0.32，频数＝频率×样本容量＝0.09×4×200＝72.]8.48[前3个小组的频率和为1－0.0375×5－0.0125×5＝0.75.又因为前3个小组的频率之比为1∶2∶3，所以第2小组的频率为26×0.75＝0.25.又知第2小组的频数为12，则120.25＝48，即为所抽取的学生人数．]9.[解](1)分数在[120，130)内的频率为1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3.(2)估计平均分为x＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.10.[解](1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.(2)由频率分布直方图知语文成绩在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5，0.04×10×100＝40，0.03×10×100＝30，0.02×10×100＝20.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5，40×12＝20，30×43＝40，20×54＝25.故数学成绩在[50，90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.11.A[底部周长在[80，90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90，100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100cm的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.]12.A[根据频率分布直方图可列下表：阅读时间(分)[0，10)[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60]抽样人数(名)10182225205抽样100名学生中有50名为阅读霸，占一半，据此可判断该校有一半学生为阅读霸．故选A.]13.1009[由频率分布直方图可得第一组的频率是0.08，第二组的频率是0.32，第三组的频率是0.36，则中位数在第三组内，估计样本数据的中位数为10＋0.10.36×4＝1009.]14.(1)0.0044(2)70[(1)由频率分布直方图总面积为1，得(0.0012＋0.0024×2＋0.0036＋x＋0.0060)×50＝1，解得x＝0.0044.(2)用电量在[100，250)内的频率为(0.0036＋0.0044＋0.0060)×50＝0.7，故所求户数为100×0.7＝70.]15.[解](1)频率分布表如下：分组频数频率[39.95，39.97)100.10[39.97，39.99)200.20[39.99，40.01)500.50[40.01，40.03]200.20合计1001频率分布直方图如图：(2)误差不超过0.03mm，即直径落在[39.97，40.03]内，其概率为0.2＋0.5＋0.2＝0.9.(3)整体数据的平均值为39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋40.02×0.20≈40.00(mm)．。

必修一数学练习题及答案

必修一数学练习题及答案

必修一数学练习题及答案必修一数学练习题及答案数学是一门需要不断练习的学科，通过练习题的完成，我们可以巩固所学的知识，提高解题能力。

下面是一些必修一数学练习题及答案，希望对同学们的学习有所帮助。

一、选择题1.已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(3)的值。

A. 4B. 6C. 7D. 8答案：C解析：将x = 3代入函数f(x)中，得到f(3) = 3^2 - 2×3 + 1 = 7。

2.若a + b = 5，a - b = 1，则a的值为多少？A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B解析：将两个方程相加，得到2a = 6，即a = 3。

3.已知三角形ABC中，∠B = 90°，AB = 3，BC = 4，求AC的长度。

A. 5B. 6C. 7D. 8答案：C解析：根据勾股定理，AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25，所以AC = 5。

二、填空题1.已知函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1，求f(2)的值。

答案：9解析：将x = 2代入函数f(x)中，得到f(2) = 2×2^3 - 5×2^2 + 3×2 - 1 = 16 -20 + 6 - 1 = 9。

2.若a + b = 7，a - b = 3，则a的值为多少？答案：5解析：将两个方程相加，得到2a = 10，即a = 5。

3.已知三角形ABC中，∠A = 30°，AB = 5，AC = 10，求BC的长度。

答案：√75解析：根据余弦定理，BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2×AB×AC×cos∠A = 5^2 +10^2 - 2×5×10×cos30° = 75，所以BC = √75。

三、解答题1.已知x + y = 7，x - y = 1，求x和y的值。

高中数学必修第1册配套课后练习题含答案解析 1.1.1集合的概念与表示

高中数学必修第1册配套课后练习题含答案解析 1.1.1集合的概念与表示

1.1.1集合的概念与表示一、单选题1．设集合{}1,2M =，则下列集合中与集合M 相等的是（）A ．{}1B ．{}2C ．{}2,1D ．{}1,2,32．若1{0,}a ∈，则实数a =（）A ．1-B ．0C ．1D ．0或13．已知集合(){},2,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．10C ．12D ．134．给出下列关系，其中正确的个数为（）①0N ∈Q ⊄；③{}0=∅；④(),R =-∞+∞A ．1B ．0C ．2D ．35．下列集合中，结果是空集的是()A ．{x ∈R |x 2-1=0}B ．{x |x >6或x <1}C ．{(x ，y )|x 2+y 2=0}D ．{x |x >6且x <1}6．定义集合运算：{},,A B z z xy x A y B *==∈∈，设{1,2}A =，{1,2,3}B =，则集合A B *的所有元素之和为（）A ．16B ．18C ．14D ．87．下面说法中正确的是（）．A ．集合N +中最小的数是0B ．若N a +-∉，则N a +∈C ．若N a +∈，N b +∈，则a b +的最小值是2D ．244x x +=的解集组成的集合是{}2x =．8．下列四组对象能构成集合的是（）A ．某班所有高个子学生B ．某校足球队的同学C ．一切很大的书D ．著名的艺术家9．不等式2332x x +>+的解集表示正确的是（）A ． x 1>B ． x 1<C ．{}1x x >D ．{}|1x x <A ．1B ．-1C ．1或-1D ．1或12二、填空题11．6,5A xx x *⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N Z ∣，则A =________．12．关于x 的不等式3ax >，当0a <时的解集为_________________________.13．已知集合M ＝{﹣2，3x 2+3x ﹣4，x 2+x ﹣4}，若2∈M ，则满足条件的实数x 组成的集合为_________.14．定义{(,,),,}A B C x y z x A y B z C ⨯⨯=∈∈∈∣．已知{1,2}A =，{3,4}B =，{5}C =，用列举法表示A B C ⨯⨯=________．三、解答题15．若a ，b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭．求：(1)+a b ;(2)20222019a b +．16．已知集合{}2|320A x R ax x =∈-+=，其中a 为常数，且a R ∈.①若A 是空集，求a 的范围；②若A 中只有一个元素，求a 的值；③若A 中至多只有一个元素，求a 的范围.参考答案1．C 【分析】根据集合相等的定义判断选项.【详解】两个集合的元素相同，两个集合相等，集合{}1,2M =中有2个元素，分别是1和2，所以与集合M 相等的集合是{}2,1.故选：C 2．C 【分析】根据集合的确定性，互异性，即可求得答案.【详解】因为1{0,}a ∈，根据集合性质可得：1a =.故选：C 3．D 【分析】利用列举法列举出集合A 中所有的元素，即可得解.【详解】由题意可知，集合A 中的元素有：()2,0-、()1,1--、()1,0-、()1,1-、()0,2-、()0,1-、()0,0、()0,1、()0,2、()1,1-、()1,0、()1,1、()2,0，共13个.故选：D.4．C 【分析】根据元素与集合的关系，逐一分析①②③④，即可得答案.【详解】对于①：0为自然数，所以0N ∈，故①正确；Q ，故②错误；对于③：{}0含有元素0，不是空集，故③错误；对于④：R 为实数集，所以④正确；故选：C 5．D 【分析】分析是否有元素在各选项的集合中，再作出判断.【详解】A 选项：21{|10}x R x ±∈∈-=，不是空集；B 选项：7∃∈{x |x >6或x <1}，不是空集；C 选项：(0,0)∈{(x ，y )|x 2+y 2=0}，不是空集；D 选项：不存在既大于6又小于1的数，即：{x |x >6且x <1}=∅.故选：D 6．A 【分析】由题设，列举法写出集合A B *，根据所得集合，加总所有元素即可.【详解】由题设知：{1,2,3,4,6}A B *=，∴所有元素之和1234616++++=.故选：A.7．C 【分析】根据正整数集的含义即可判断A ，B ，C 的正误，根据集合中列举法即可判断D 选项的正误.【详解】A 选项，N +是正整数集，最小的正整数是1，A 错，B 选项，当0a =时，N a +-∉，且N a +∉，B 错，C 选项，若N a +∈，则a 的最小值是1，若N b +∈，则b 的最小值也是1，当a 和b 都取最小值时，a b +取最小值2，C 对，D 选项，由244x x +=的解集是{}2，D 错.故选：C ．8．B【分析】根据集合的定义，逐项判定，即可求解.【详解】根据集合的定义，可得：对于A 中，某班所有高个子学生，其中元素不确定，不能构成集合；对于B 中，某校足球队的同学，满足集合的定义，能构成集合；对于C 中，一切很大的书，其中元素不确定，不能构成集合；对于D 中，著名的艺术家，其中元素不确定，不能构成集合.故选：B.9．D 【分析】解不等式2332x x +>+得1x <，进而根据描述法表示集合即可.【详解】解不等式2332x x +>+得1x <，故解集可表示为：{} |1x x <.故选：D 10．D 【分析】根据属于的定义，结合代入法和集合元互异性进行求解即可.【详解】因为1A ∈，所以21a =或21a =，当21a =时，解得1a =或1a =-，当1a =时，此时集合{}1,2,2A =-，符合集合元互异性，当1a =-时，22a =-，不符合集合元互异性，当2=1a 时，12a =，此时1,2,14A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，符合集合元互异性，所以a 等于1或12，故选：D 11．{1,2,3,4}-【分析】由题意可知5x -为6的正约数，根据x ∈Z 即可求解.【详解】6,5A x x x *⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N Z ∣，可知5x -为6的正约数，又x ∈Z ，可得1,2,3,4x =-，所以A ={1,2,3,4}-.故答案为：{1,2,3,4}-12．3x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭【分析】当0a <时，解不等式3ax >即可得解.【详解】当0a <时，解不等式3ax >，解得3x a <，即原不等式的解集为3x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.故答案为：3x x a ⎧⎫<⎨⎩⎭.13．{﹣3，2}【分析】由2∈M ，可得22334242x x x x ⎧+-=⎨+-≠⎩，或22334242x x x x ⎧+-≠⎨+-=⎩，求出x 的值，然后利用集中元素的互异性验证即可【详解】解：∵2∈M ；∴22334242x x x x ⎧+-=⎨+-≠⎩，或22334242x x x x ⎧+-≠⎨+-=⎩，解得：x ＝1，﹣2，或2，﹣3；x ＝﹣2，1时不满足集合的互异性；∴实数x 组成的集合为{﹣3，2}.故答案为：{﹣3，2}.14．{(1,3,5),(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5)}．【分析】根据定义，运用列举法可得答案.【详解】因为{1,2}A =，{3,4}B =，{5}C =，所以A B C ⨯⨯={(1,3,5),(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5)}，故答案为：{(1,3,5),(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5)}.15．(1)0;(2)2;【分析】(1)根据{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭可得出0a b +=,(2)由(1)得=-a b ，即1ba=-,根据元素的互异性可得1a =-,1b =,代入20222019a b +计算即可.【详解】(1)根据元素的互异性，得0a b +=或0a =，若0a =，则ba无意义，故0a b +=;(2)由(1)得=-a b ，即1ba =-，据元素的互异性可得：1b a a ==-，1b =，∴()2022202220192019112a b +=-+=.【点睛】本题考查集合中元素的互异性，属于基础题.16．①98a >；②0a =或98a =；③0a =或98a ≥.【分析】①只需方程2320ax x -+=无解即可；②当0a =成立，当0a ≠时，只需0∆=；③由题意可知0a =时成立，当0a ≠时，只需0∆≤即可.【详解】①若A 是空集，则方程2320ax x -+=无解，此时980a ∆=-<，即98a >，②若A 中只有一个元素，则方程2320ax x -+=有且只有一个实根，当0a =时方程为一元一次方程，满足条件当0a ≠，此时980a ∆=-=，解得：98a =.∴0a =或98a =；③若A 中至多只有一个元素，则A 为空集，或有且只有一个元素由①②得满足条件的a 的取值范围是：0a =或98a ≥.【点睛】本题考查根据集合中元素的个数求参，考查方程根的个数问题，较简单.。

人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷含答案解析(72)

人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷含答案解析(72)

人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷4（共30题）一、选择题（共10题）1.已知全集U={1,2,3,4,5}，A={1,3}，则∁U A=( )A．∅B．{1,3}C．{2,4,5}D．{1,2,3,4,5}2.函数y=f(x)的图象如图所示，在区间[a,b]上可找到n（n≥2且n∈N）个不同的数x1，x2，…，x n，使得f(x1)x1=f(x2)x2=⋯=f(x n)x n，则n的取值范围是( )A．{3,4}B．{2,3,4}C．{3,4,5}D．{2,3}3.若α是第四象限角，tanα=−512，则sinα等于( )A．15B．−14C．513D．−5134.已知集合A={x∣ x>0}，B={x∣ −1≤x≤2}，则A∪B=( )A．{x∣ x≥−1}B．{x∣ x≤2}C．{x∣ 0<x≤2}D．{x∣ −1≤x≤2}5.已知集合A={x∣ x2>1}，集合B={x∣ x(x−2)<0}，则A∩B=( )A．{x∣ 1<x<2}B．{x∣ x>2}C．{x∣ 0<x<2}D．{x∣ x≤1,或x≥2}6.设α为锐角，sinα=35，则cosα=( )A．45B．−45C．1625D．−16257.已知集合A={x∣ x2+2x−3≤0}，B={x∣ y=ln(−x)}，则A∩B=( )A．[−3,0]B．[−3,1]C．[−3,0)D．[−1,0)8. 设函数 f (x )={21−x ,x ≤11−log 2x,x >1，则满足 f (x )≤2 的 x 的取值范围是 ( )A ． [−1,2]B ． [0,2]C ． [1,+∞)D ． [0,+∞)9. 若正数 m ，n 满足 2m +n =1，则 1m +1n 的最小值为 ( ) A ． 3+2√2B ． 3+√2C ． 2+2√2D ． 310. 若 x 1，x 2 是方程 x 2−2x −4=0 的两个不相等的实数根，则代数式 2x 12−2x 1+x 22+3 的值是 ( ) A ． 19B ． 15C ． 11D ． 3二、填空题（共10题）11. 通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：a 2+3ab +2b 2= ．12. 下列函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是 ．（填写上所有符合条件的图号）13. 函数 y =sin (2x −π3) 最小正周期 ．14. 已知点 (−2,y ) 在角 α 终边上，且 tan (π−α)=2√2，则 sinα= ．15. 设 x >0，则x 2+x+3x+1的最小值为 ．16. 已知圆心角为 60∘ 的扇形，其半径为 3，则该扇形的面积为 ．17. cos (−2π3)= ．18. 已知 a >b >c ，则 √(a −b )(b −c ) 与 a−c 2的大小关系是 ．19. 设 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x >0 时，f (x )=x 2+1，则 f (−2)+f (0)= ．20. 已知扇形的圆心角为 π6，面积为 π3，则扇形的半径是 ．三、解答题（共10题）21. 判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由．(1) 与定点 A ，B 等距离的点； (2) 高中学生中的游泳能手．22. 写出下列命题的否定：(1) ∀x ∈R ，x 2−2x +1≥0． (2) ∃x ∈R ，x 2+1<0．23. 秸秆还田是当今世界上普遍重视的一项培肥地力的增产措施，在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用．某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田，花 137600 元购买了一台新型联合收割机，每年用于收割可以收入 60000 元（已减去所用柴油费）．该收割机每年都要定期进行维修保养，第一年由厂方免费维修保养，第二年及以后由该农机户付费维修保养，每年用于维修保养的费用 y （元）与使用年数 n 的关系式为 y =kn +b （n ≥2，且 n ∈N ∗），已知第二年付费 1800 元，第五年付费 6000 元．(1) 试求出该农机户每年用于维修保养的费用 y （元）与使用年数 n (n ∈N ∗) 的函数关系式； (2) 这台收割机使用多少年可使年平均收益最大？（收益 = 收入 − 维修保养费用 − 购买机械费用）24. 已知 a >b ，且 ab =1，求证：a 2+b 2a−b≥2√2．25. 已知由实数构成的集合 A 满足：若 x ∈A ，且 x ≠±1,0，则 1+x1−x ∈A ．(1) 求证：当 2∈A 时，A 中还有 3 个元素；(2) 设 ±1,0 均不属于 A ，问：非空集合 A 中至少有几个元素？26. 全集中的元素有何特征？如何理解补集的定义？27. 已知集合 M ={−2,3x 2+3x −4,x 2+x −4}，若 2∈M ，求 x 的值． 28.(1) 计算 (0.25)12−[−2×(37)0]2×[(−2)3]43+(√2−1)−1−212(2) 解方程：lg (x +1)+lg (x −2)=lg4．29. 已知 cos (α+π4)=√210，α∈(0,π2)．(1) 求 sinα 的值；(2) 若 cosβ=13，β∈(0,π)，求 cos (α−2β) 的值．30. 函数 f (x )=sin (ωx +φ)，其中 ω>0，∣φ∣<π2．(1) 若 cos π4cosφ−sin3π4sinφ=0，求 φ 的值；(2) 在（1）的条件下，若函数 f (x ) 图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 π3，求函数 f (x ) 的解析式；并求最小正实数 m ，使得函数 f (x ) 图象向左平移 m 个单位得到的函数是奇函数．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】因为U={1,2,3,4,5}，A={1,3}，所以∁U A={2,4,5}．故选C．【知识点】交、并、补集运算2. 【答案】B【解析】设f(x1)x1=f(x2)x2=⋯=f(x n)x n=k，则y=f(x)的图象与直线y=kx的交点的坐标满足题中等式．由题图易知交点可以有0个，1个，2个，3个或4个，又n≥2且n∈N，故n 的取值可以是2，3，4．【知识点】函数零点的概念与意义3. 【答案】D【知识点】同角三角函数的基本关系4. 【答案】A【解析】如图，借助数轴可知A∪B={x∣ x≥−1}．【知识点】交、并、补集运算5. 【答案】A【知识点】交、并、补集运算6. 【答案】A【解析】因为α为锐角，所以cosα=√1−sin2α=45．【知识点】同角三角函数的基本关系7. 【答案】C【解析】由x2+2x−3≤0有(x−1)(x+3)≤0，即−3≤x≤1，又ln(−x)中−x>0，即x<0，故A∩B=[−3,0)．【知识点】交、并、补集运算8. 【答案】D【解析】当x≤1时，21−x≤2的可变形为1−x≤1，x≥0，所以0≤x≤1．当x>1时，1−log2x≤2的可变形为x≥12，所以x≥1，故答案为[0,+∞)．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质9. 【答案】A【解析】因为2m+n=1，则1 m +1n=(1m+1n)⋅(2m+n)=3+nm+2mn≥3+2√nm⋅2mn=3+2√2,当且仅当n=√2m，即m=2−√22，n=√2−1时等号成立，所以1m +1n的最小值为3+2√2．【知识点】均值不等式的应用10. 【答案】A【解析】因为x1，x2是方程x2−2x−4=0的两个不相等的实数根，所以x12−2x1=4，x1x2=−4，x1+x2=2，所以2x12−2x1+x22+3=x12−2x1+x12+x22+3=x12−2x1+(x1+x2)2−2x1x2+3=4+4+8+3=19.【知识点】函数的零点分布二、填空题（共10题）11. 【答案】(a+2b)(a+b)【解析】由面积可得a2+3ab+2b2=(a+2b)⋅(a+b)．【知识点】二次不等式的解法12. 【答案】①，③【知识点】二分法求近似零点13. 【答案】π【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质14. 【答案】2√23【知识点】诱导公式15. 【答案】 2√3−1【解析】由 x >0，可得 x +1>1， 令 t =x +1(t >1)，即 x =t −1，则x 2+x+3x+1=(t−1)2+(t−1)+3t=t +3t−1≥2√t ⋅3t−1=2√3−1，当且仅当 t =√3，即 x =√3−1 时等号成立． 【知识点】均值不等式的应用16. 【答案】3π2【解析】 60∘ 转化为弧度制是 π3，故扇形的面积为 12αr 2=12×π3×32=3π2．【知识点】弧度制17. 【答案】 −12【知识点】诱导公式18. 【答案】 √(a −b)(b −c)≤a−c 2【知识点】均值不等式的应用19. 【答案】 −5【解析】由题意知，f (−2)=−f (2)=−(22+1)=−5， 又 f (0)=0，所以 f (−2)+f (0)=−5． 【知识点】函数的奇偶性20. 【答案】 2【解析】设扇形的半径是 R ， 因为扇形的圆心角为 π6，面积为 π3，所以由扇形面积公式得：π6⋅πR 22π=π3，解得 R =2，所以扇形的半径是 2． 【知识点】弧度制三、解答题（共10题） 21. 【答案】(1) 是，即线段 AB 的垂直平分线．(2) 不是，因为游泳能手与不是能手没有具体的划分标准．【知识点】集合的概念22. 【答案】(1) ∃x ∈R ，x 2−2x +1<0．(2) ∀x ∈R ，x 2+1≥0．【知识点】全（特）称命题的否定23. 【答案】(1) 依题意知，当 n =2 时，y =1800； 当 n =5 时，y =6000，则 {1800=2k +b,6000=5k +b, 解得 {k =1400,b =−1000,所以 y ={0,n =11400n −1000,n ≥2且n ∈N ∗．(2) 记使用 n 年，年平均收益为 W 元， 则当 n ≥2 时，W=60000−1n [137600+1400(2+3+⋯+n )−1000(n −1)]=60000−1n [137600+1400×(n−1)(n+2)2−1000(n −1)]=60000−1n (137200+700n 2−300n )=60300−(700n +137200n )≤60300−2√700n ⋅137200n=40700,当且仅当 700n =137200n，即 n =14 时取等号，所以这台收割机使用 14 年可使年平均收益最大．【知识点】均值不等式的实际应用问题、建立函数表达式模型24. 【答案】证明：因为 a >b ，且 ab =1，则a 2+b 2a−b=(a−b )2+2aba−b=(a−b )2+2a−b=a −b +2a−b ≥2√2，当且仅当a−b=√2时，等号成立·．所以a 2+b2a−b≥2√2．【知识点】均值不等式的应用25. 【答案】(1) 略(2) 有4n个（其中n∈N∗）．【知识点】元素和集合的关系26. 【答案】若x∈U，则x∈A或x∈∁U A，二者必居其一．∁U A包含三层意思：① A⊆U；②∁U A是一个集合，且∁U A⊆U；③ ∁U A是由U中所有不属于A的元素构成的集合．【知识点】交、并、补集运算27. 【答案】当3x2+3x−4=2时，即x2+x−2=0，则x=−2或x=1．经检验，x=−2，x=1均不合题意，当x2+x−4=2时，即x2+x−6=0，则x=−3或2．经检验，x=−3或x=2均合题意．综上，x=−3或x=2．【知识点】元素和集合的关系28. 【答案】(1)(0.25)12−[−2×(37)]2×[(−2)3]43+(√2−1)−1−212=√14−[−2×1]2×(−2)4+√2−1−√2=12−4×16+√2+1−√2=−1252.(2) 原方程可化为lg[(x+1)(x−2)]=lg4，即(x+1)(x−2)=4，解得x=−2或3，经检验，方程的根为3．【知识点】对数的概念与运算、幂的概念与运算29. 【答案】(1) 因为α∈(0,2π)，所以α+π4∈(π4,3π4)，又因为cos(α+π4)=√210，所以 sin (α+π4)=7√210， 所以sinα=sin [(α+π4)−π4]=√22[sin (α+π4)−cos (α+π4)]=35.(2) 因为 a ∈(0,π2)，sinα=35， 所以 cosα=45，因为 cosβ=13，β∈(0,π)，所以 sinβ=2√23， 所以 sin2β=4√29，cos2β=−79，所以cos (α−2β)=cosα⋅cos2β+sinα⋅sin2β=45×(−79)+35×4√29=12√2−2845.【知识点】两角和与差的正弦、两角和与差的余弦、二倍角公式30. 【答案】(1) π4(2) f (x )=sin (3x +π4)；π12【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、三角函数的图象变换。

高中数学必修第1册配套课后练习题含答案解析 5.2.2用函数模型解决实际问题

高中数学必修第1册配套课后练习题含答案解析 5.2.2用函数模型解决实际问题

5.2.2用函数模型解决实际问题一、选择题1．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是()A．m11B．m12C．12m－1D．11m－12．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为()A．y＝0.2x(0≤x≤4000)B．y＝0.5x(0≤x≤4000)C．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)D．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()A．y＝0.9576x100B．y＝0.9576100xC．y D．y＝1－0.0424x1004．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为()A．x＝15，y＝12B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10D．x＝10，y＝145．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝x<A，x≥A，(A，c为常数).已知工人组装第4件产品用时30min，组装第A件产品用时15min，那么c和A的值分别是()A．75，25B．75，16C．60，25D．60，16二、填空题6．用一根长为12m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是________m2.7．工厂生产某种产品的月产量y(万件)与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份，2月份生产该产品分别为1万件，1.5万件，则此工厂3月份生产该产品的产量为________万件．8．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝12n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．三、解答题9．某公司试销某种“上海世博会”纪念品，每件按30元销售，可获利50%，设每件纪念品的成本为a元．(1)试求a的值；(2)公司在试销过程中进行了市场调查，发现销售量y(件)与每件销售价x(元)满足关系y＝－10x＋800.设每天销售利润为W(元)，求每天销售利润W(元)与每件销售价x(元)之间的函数解析式；当每件售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？10．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15000元．(1)写出每人需交费用y 关于人数x 的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？11．某商场出售一种商品，每天可卖1000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益，每件售价应降低的价格为()A ．2元B ．2.5元C ．1元D ．1.5元12．某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)()A ．2017年B ．2018年C ．2019年D ．2020年13．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (米/秒)和燃料的质量M (千克)、火箭(除燃料外)的质量m (千克)的函数关系式是v ＝2000·ln当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．14．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km 按起步价付费)；超过3km 但不超过8km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.15．经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t ，价格近似满足f (t )＋12t ，（0＜t ≤10），－12t ，（10<t ≤20）.(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0＜t ≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．1.D [设每月的产量增长率为x ，1月份产量为a ，则a (1＋x )11＝ma ，所以1＋x ＝11m ，即x ＝11m －1.]2.C [由题意得y ＝0.3(4000－x )＋0.2x ＝－0.1x ＋1200.]3.A[设镭一年放射掉其质量的t %，则有95.76%＝1·(1－t %)100，1－t %＝0.95761100，∴y ＝(1－t %)x ＝0.9576x100．]4.A [由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180(8≤y <24).∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.]5.D [由题意知，组装第A 件产品所需时间为c A＝15，故组装第4件产品所需时间为c 4＝30，解得c ＝60.将c ＝60代入c A ＝15，得A ＝16.]6.9[设矩形的一边长为x m ，则与这条边垂直的边长为12－2x 2m ，所以矩形面积S ＝x ·12－2x 2＝－x 2＋6x (0<x ≤6)，当x ＝3m 时，S 最大＝9m 2.]7.1．75[＝0.5a ＋b ，＝0.25a ＋b ，＝－2，＝2，∴y ＝－2×0.5x ＋2，∴3月份产量为y ＝－2×0.53＋2＝1.75(万件).]8.7[由题意知，第一年产量为a 1＝12×1×2×3＝3，以后各年产量分别为a n ＝f (n )－f (n －1)＝12n (n ＋1)(2n ＋1)－12n (n －1)(2n －1)＝3n 2(n ∈N *)，令3n 2≤150，得1≤n ≤52⇒1≤n ≤7，故生产期限最长为7年．]9.[解](1)∵按30元销售，可获利50%，∴a (1＋50%)＝30，解得a ＝20.(2)∵销售量y (件)与每件销售价x (元)满足关系y ＝－10x ＋800，则每天销售利润W(元)与每件销售价x(元)满足W＝(－10x＋800)(x－20)＝－10x2＋1000x－16000＝－10(x－50)2＋9000，故当x＝50时，W取最大值9000，即每件销售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是9000元．10.[解](1)当0<x≤30时，y＝900；当30<x≤75，y＝900－10(x－30)＝1200－10x；＝900，0<x≤30，200－10x，30<x≤75.(2)设旅行社所获利润为S元，则当0<x≤30时，S＝900x－15000；当30<x≤75时，S＝x(1200－10x)－15000＝－10x2＋1200x－15000；即Sx－15000，0<x≤30，10x2＋1200x－15000，30<x≤75.因为当0<x≤30时，S＝900x－15000为增函数，所以x＝30时，S max＝12000；当30<x≤75时，S＝－10x2＋1200x－15000＝－10(x－60)2＋21000，即x＝60时，S max＝21000>12000.所以当旅行团人数为60时，旅行社可获得最大利润．11.D[设每件降价0.1x元，则每件获利(4－0.1x)元，每天卖出商品件数为(1 000＋100x)，利润y＝(4－0.1x)·(1000＋100x)＝－10x2＋300x＋4000＝－10(x2－30x＋225－225)＋4000＝－10(x－15)2＋6250.∴当x＝15时，y max＝6250.故每件售价降低1.5元时，可获得最好的经济效益．]12.D[设从2016年起，过了n(n∈N＋)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n≥200，则n≥lg2013lg1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，由题意取n＝4，则n＋2016＝2020.故选D.]13.e6－1[当v＝12000时，2000·ln12000，∴ln6，∴Mm＝e6－1.]14.9[设出租车行驶x km时，付费y元，则y，0<x ≤3，＋2.15（x －3）＋1，3<x ≤8，＋2.15×5＋2.85（x －8）＋1，x >8，由y ＝22.6，解得x ＝9.]15.[解](1)由已知，由价格乘以销售量可得：y80－2t ）（0＜t ≤10）80－2t ）（10<t ≤20）t ＋30）（40－t ）（0＜t ≤10）50－t ）（40－t ）（10<t ≤20）t 2＋10t ＋1200（0＜t ≤10），－90t ＋2000（10<t ≤20）.(2)由(1)知①当0＜t ≤10时，y ＝－t 2＋10t ＋1200＝－(t －5)2＋1225，函数图象开口向下，对称轴为t ＝5，该函数在t ∈(0，5]上递增，在t ∈(5，10]上递减，∴y max ＝1225(当t ＝5时取得)，y min ＝1200(当t ＝10时取得)；②当10<t ≤20时，y ＝t 2－90t ＋2000＝(t －45)2－25，图象开口向上，对称轴为t ＝45，该函数在t ∈(10，20]递减，∴y max ＝1200(当t ＝10时取得)，y min ＝600(当t ＝20时取得).由①②知y max ＝1225(当t ＝5时取得)，y min ＝600(当t ＝20时取得).。

高一数学解答题练习试题集

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高一数学解答题练习试题答案及解析1.设等差数列的前项和为且．（1）求数列的通项公式及前项和公式；（2）设数列的通项公式为，问: 是否存在正整数t，使得成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）当时，；当时，；当时，，使得成等差数列，理由见解析.【解析】（1）等差数列中有，用表示，可得，解方程得，可求出通项公式与前n项和公式；（2）要使成等差数列，必须，由，可得，m，t为正整数，可判断存在.试题解析：解：（1）设等差数列的公差为d. 由已知得 2分即解得 4分.故. 7分（2）由（1）知.要使成等差数列，必须，即， 8分.整理得， 11分因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当时，；当时，；当时，.故存在正整数t，使得成等差数列. 16分【考点】1等差数列的定义；2.等差数列的通项公式.2.在中，角为锐角，已知内角、、所对的边分别为、、，向量且向量共线．（1）求角的大小；（2）如果，且,求.【答案】（1），（2）【解析】（1）由向量共线关系得到一个等量关系：利用二倍角公式化简得：，又，所以=，即（2）结合(1)，本题就是已知角B，所以三角形面积公式选用含B角，即，所以，再结合余弦定理得：，.应用余弦定理时，要注意代数变形，即，这样只需整体求解即可.试题解析：（1）由向量共线有：即， 5分又，所以，则=，即 8分（2）由，得 10分由余弦定理得得 15分故 16分【考点】向量共线，余弦定理3.已知数列的前项和为，且2.（1）求数列的通项公式；（2）若求数列的前项和.【答案】(1);(2).【解析】（1）由2得两式相减得；（2）根据，再利用分组求和即可求出结果.试题解析：解：（1）由2. 2分∴（） 4分又时，适合上式。

6分8分10分12分【考点】1.通项公式和前n项和的关系；2.数列求和.4.已知（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)根据诱导公式进行化简;(2)首先化简，根据第三象限角，同角基本关系式求,确定的值.试题解析：解：（1）；. （6）（2），又是第三象限角,，.. (6)【考点】1.诱导公式；2同角基本关系式.5.已知直三棱柱中，，是中点，是中点.（1）求三棱柱的体积；（2）求证：；（3）求证：∥面.【答案】(1) ;(2)、(3)证明如下：【解析】（1）该棱柱为直棱柱其体积公式为，所以；（2）利用面面垂直来证明线线垂直，∵为直棱柱，∴面面，又，∴面，∴；（3）利用面面平行来证明线面平行，取中点，则∥，∥，∴面∥面，面∴∥面 .试题解析：（1） 3分（2）∵,∴为等腰三角形∵为中点，∴ 4分∵为直棱柱，∴面面 5分∵面面,面，∴面 6分∴ 7分（3）取中点，连结，， 8分∵分别为的中点∴∥，∥， 9分∴面∥面 11分面∴∥面 . 12分【考点】本题考查直棱柱的体积公式；线线垂直、线面垂直、及面面平行、线面平行的证明和转化.6.如图,已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形,记,求当角取何值时, 矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大值.【答案】= 矩形ABCD面积的最大值为。

高中数学必修第1册配套课后练习题含答案解析 1.4.2一元二次不等式及其解法

高中数学必修第1册配套课后练习题含答案解析 1.4.2一元二次不等式及其解法

1.4.2一元二次不等式及其解法一、单选题1．不等式()()140x x -+<的解集为（）A ．{4x x <-或}1x >B ．{}14x x -<<C ．{1x x <-或}4x >D ．{}41x x -<<2．已知不等式240x ax ++>的解集为R ，则a 的取值范围是（）A ．[]4,4-B ．()4,4-C ．(][),44,-∞-+∞ D ．()[),44,-∞-+∞ 3．不等式20ax x c -+>的解集为{21}xx -<<∣，则函数2y ax x c =++的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．4．不等式2430x x -+<的解集是（）．A ．{13}x x <<∣B ．{0}x x <∣C ．{5}x x <∣D ．{7}xx >∣5．已知命题p ：对任意实数m ，有10m +≥；命题q ：存在实数x 使210x mx ++≤，若“”p q ⌝∨⌝为假命题，则实数m 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．[]22-,C ．[)2+∞，D ．(](),21,-∞--+∞ 6．若不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a b +的值为（）A ．14B ．10-C ．12D ．14-7．在R 上定义运算()24a b a b b ⊕=--+，则满足()20x x ⊕-<的取值范围为（）A ．()23，B ．()2-∞，C ．()3+∞，D ．()()23-∞⋃+∞，，8x <的解集是（）A ．(]0,2B ．(2,)+∞C ．(]2,4D ．(,0)(2,)-∞+∞ 9．若210x qx p p++>的解集是{|24}x x <<，则p q ⋅=（）A ．12-B ．10-C ．8-D ．6-10．不等式(x x x +<+的解集为（）A ．((),-∞-+∞B ．((),22-∞---+∞C ．((),22-∞-++∞D ．((),22-∞-+++∞二、填空题11．不等式2340x x --+>的解集为___________.12．关于x 的不等式201x x -≤-的解集是________.13．若关于x 的不等式220x ax +-<的解集是()1,b -，则a b +=______.14．若不等式220ax x c ++<的解集是13⎛⎫∞ ⎪⎝⎭-,-∪12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，则不等220cx x a -+≤的解集是_____三、解答题15．计算：（1）因式分解：()()222812x x x x +-++（2）解不等式：137xx -≥+16．已知命题:p 实数x 满足不等式()()()300x a x a a --<>，命题:q 实数x 满足不等式53x -<.（1）当1a =时，命题p ，q 均为真命题，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.参考答案1．D 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】解：因为()()140x x -+=的实数根为1x =和4x =-，所以根据一元二次不等式与方程的关系得不等式()()140x x -+<的解集为{}41x x -<<.故选：D 2．B 【分析】由判别式小于0得出a 的取值范围【详解】由2160a ∆=-<解得44a -<<故选：B 3．C 【分析】根据不等式的解集求出参数，从而可得22y x x =-++，根据该形式可得正确的选项．【详解】因为不等式20ax x c -+>的解集为{21}xx -<<∣，故021121a c a a ⎧⎪<⎪⎪-⨯=⎨⎪⎪-+=⎪⎩，故1,2a c =-=，故222y ax x c x x =++=-++，令220x x -++=，解得1x =-或2x =，故抛物线开口向下，与x 轴的交点的横坐标为1,2-，故选：C ．4．A 【分析】结合一元二次不等式(不含参)的解法即可由题意知，2430(1)(3)0x x x x -+<⇒--<所以原不等式的解集为{}13x x <<，故选：A 5．C 【分析】根据含有逻辑连接词的否定，由题意可得p q ∧为真命题，解不等式组21040m m +≥⎧⎨∆=-≥⎩即可得解.【详解】由“”p q ⌝∨⌝为假命题可得“p q ∧”为真命题，所以21040m m +≥⎧⎨∆=-≥⎩，解得2m ≥，故选：C 6．D 【分析】根据一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间关系，列出方程组，求得,a b 的值，即可求解.【详解】由不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得11,23-是方程220ax bx ++=的两根，且0a <，所以112311223b a a⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得12,2a b =-=-，所以14a b +=-.故选：D.7．A 【分析】不等式可以化为(4)(2)40x x x ---+<，再解不等式得解.由题得不等式可以化为(4)(2)40x x x ---+<，所以2560,(2)(3)0x x x x -+<∴--<，所以23x <<.故选：A 8．C 【分析】根据无理不等式的解法列出不等式组解之可得答案.【详解】由题意得2220404x x x x x x >⎧⎪-≥⎨⎪-<⎩，解得24x <≤，故选：C.【点睛】()g x 型，可以转化为[]2()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎪⎪>⎨⎪<⎪⎩去解，考查了学生的计算能力.9．D 【分析】化为10p<且2和4是一元二次方程210x qx p p ++=，根据韦达定理可得结果.【详解】因为210x qx p p++>的解集是{|24}x x <<，所以10p<且2和4是一元二次方程210x qx p p ++=，即220x pqx p ++=的两个实根，所以22424pq p +=-⎧⎨⨯=⎩，解得p =-2q =，所以6pq =-.故选：D.【点睛】关键点点睛：化为10p<且2和4是一元二次方程210x qx p p ++=是解题关键.10．B 【分析】根据题意，分x ≥和x <两种情况去绝对值，然后再解一元二次不等式，即可求出结果.【详解】当x ≥(x x x +<+，可得()210x x +-,所以2x >1x <-又x ≥2x >-当x <(x x x -+，可得()210x x ++，解得2x <或1x >-又x <2x <；综上，不等式(x x x <+的解集为((),22-∞---+∞ .故选：B.11．{41}xx -<<∣【分析】直接解一元二次不等式即可【详解】解：由2340x x --+>，得2340x x +-<，(4)(1)0x x +-<，得41x -<<，所以不等式的解集为{41}x x -<<∣，故答案为：{41}xx -<<∣12．(]1,2【分析】根据分式不等式的解法，转化为不等式组，即可得不等式的解集，得到答案.【详解】由不等式201x x -≤-等价于2010x x -≤⎧⎨->⎩或2010x x -≥⎧⎨-<⎩，解得12x <≤，即不等式201x x -≤-的解集为(]1,2.故答案为(]1,2.13．1【分析】由题意可得1,b -是方程220x ax +-=的两个根，所以1b a -+=-，从而可求得结果【详解】解：因为关于x 的不等式220x ax +-<的解集是()1,b -，所以1,b -是方程220x ax +-=的两个根，所以由根与系数的关系可得1b a -+=-，得1a b +=，故答案为：114．[-2，3]【分析】根据函数与方程的思想可知，13-和12是方程220ax x c ++=的两个实数根，再根据根与系数的关系即可求出,a c ，从而解出不等式．【详解】因为不等式的解集是13⎛⎫∞ ⎪⎝⎭-,-∪12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，所以13-和12是方程220ax x c ++=的两个实数根，由112321132ac a⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得：a =-12，c =2，故不等式cx 2-2x +a ≤0，即2x 2-2x -12≤0，即x 2-x -6≤0，解得-2≤x ≤3，所以所求不等式的解集是[-2，3]．故答案为：[-2，3]．15．（1）(3)(2)(2)(1)x x x x +⋅-⋅+⋅-;（2）1{|7}4x x -<≤-【分析】（1）利用十字相乘法进行因式分解；（2）将分式不等式转化为一元二次不等式，即可得答案；【详解】（1）原式()()2262(3)(2)(2)(1)x x x x x x x x =+-+-=+⋅-⋅+⋅-；（2）141300(41)(7)077x x x x x x -+-⇔⇔++++ 且70x +≠，174x ∴-<≤-，∴不等式的解集为1{|7}4x x -<≤-.16．（1）()2,3；（2）82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）分别求出命题p ，q 均为真命题时x 的取值范围，再求交集即可.（2）利用集合间的关系求解即可.【详解】:p 实数x 满足不等式()()()300x a x a a --<>，即3ax a<<命题:q 实数x 满足不等式53x -<，即28x <<（1）当1a =时，命题p ，q 均为真命题，则13x <<且28x <<则实数x 的取值范围为()2,3；（2）若p 是q 的充分不必要条件，则{}|3x a x a <<是{}|28x x <<的真子集则2a ≥且38a ≤解得823a ≤≤故a 的取值范围为82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.。

高中数学必修一练习题及解析非常全

高中数学必修一练习题及解析非常全

—－可编辑修改，可打印——别找了你想要的都有！精品教育资料——全册教案，，试卷，教学课件，教学设计等一站式服务——全力满足教学需求，真实规划教学环节最新全面教学资源，打造完美教学模式必修一数学练习题及解析第一章练习一、选择题(每小题5分，共60分)1．集合{1,2,3}的所有真子集的个数为( )A．3 B．6C．7 D．8解析：含一个元素的有{1}，{2}，{3}，共3个；含两个元素的有{1,2}，{1,3}，{2,3}，共3个；空集是任何非空集合的真子集，故有7个．答案：C2．下列五个写法，其中错误．．写法的个数为( )①{0}∈{0,2,3}；②Ø{0}；③{0,1,2}⊆{1,2,0}；④0∈Ø；⑤0∩Ø＝ØA．1 B．2C．3 D．4解析：②③正确．答案：C3．使根式x－1与x－2分别有意义的x的允许值集合依次为M、F，则使根式x－1＋x－2有意义的x的允许值集合可表示为( )A．M∪F B．M∩F C．∁M F D．∁F M解析：根式x－1＋x－2有意义，必须x－1与x－2同时有意义才可．答案：B4．已知M＝{x|y＝x2－2}，N＝{y|y＝x2－2}，则M∩N等于( )A．N B．M C．R D．Ø解析：M＝{x|y＝x2－2}＝R，N＝{y|y＝x2－2}＝{y|y≥－2}，故M∩N＝N.答案：A5．函数y＝x2＋2x＋3(x≥0)的值域为( )A．R B．[0，＋∞) C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)解析：y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，∴函数在区间[0，＋∞)上为增函数，故y≥(0＋1)2＋2＝3.答案：D6．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰的长x的函数，则y等于( )A．20－2x(0<x≤10) B．20－2x(0<x<10)C．20－2x(5≤x≤10) D．20－2x(5<x<10)解析：C＝20＝y＋2x，由三角形两边之和大于第三边可知2x>y＝20－2x，x>5.答案：D7．用固定的速度向图1甲形状的瓶子注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是图1乙中的( )甲乙图1解析：水面升高的速度由慢逐渐加快． 答案：B8．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) ①y ＝f (|x |) ②y ＝f (－x ) ③y ＝xf (x ) ④y ＝f (x )＋x A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④解析：因为y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．①y ＝f (|x |)为偶函数；②y ＝f (－x )为奇函数；③令F (x )＝xf (x )，所以F (－x )＝(－x )f (－x )＝(－x )·[－f (x )]＝xf (x )．所以F (－x )＝F (x )．所以y ＝xf (x )为偶函数；④令F (x )＝f (x )＋x ，所以F (－x )＝f (－x )＋(－x )＝－f (x )－x ＝－[f (x )＋x ]．所以F (－x )＝－F (x )．所以y ＝f (x )＋x 为奇函数．答案：D9．已知0≤x ≤32，则函数f (x )＝x 2＋x ＋1( )A ．有最小值－34，无最大值B ．有最小值34，最大值1C ．有最小值1，最大值194D ．无最小值和最大值解析：f (x )＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34，画出该函数的图象知，f (x )在区间[0，32]上是增函数，所以f (x )min ＝f (0)＝1，f (x )max ＝f (32)＝194.答案：C10．已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，函数y ＝f (x )的图象如图2甲所示，则函数f (|x |)的图象是图2乙中的( )甲乙图2解析：因为y ＝f (|x |)是偶函数，所以y ＝f (|x |)的图象是由y ＝f (x )把x ≥0的图象保留，再关于y 轴对称得到的．答案：B11．若偶函数f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )A ．f (－32)<f (－1)<f (2)B ．f (－1)<f (－32)<f (2)C ．f (2)<f (－1)<f (－32)D ．f (2)<f (－32)<f (－1)解析：由f (x )是偶函数，得f (2)＝f (－2)，又f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2<－32<－1，则f (2)<f (－32)<f (－1)． 答案：D12.已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤f (52)的值是( )A ．0 B.12 C ．1 D.52解析：令x ＝－12，则－12f (12)＝12f (－12)，又∵f (12)＝f (－12)，∴f (12)＝0；令x ＝12，12f (32)＝32f (12)，得f (32)＝0；令x ＝32，32f (52)＝52f (32)，得f (52)＝0；而0·f (1)＝f (0)＝0，∴f ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤f (52)＝f (0)＝0，故选A.答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题(每小题5分，共20分)13．设全集U ＝{a ，b ，c ，d ，e }，A ＝{a ，c ，d }，B ＝{b ，d ，e }，则∁U A ∩∁U B ＝________. 解析：∁U A ∩∁U B ＝∁U (A ∪B )，而A ∪B ＝{a ，b ，c ，d ，e }＝U . 答案：Ø14．设全集U ＝R ，A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |－1≤x <2}，则∁U (A ∩B )＝________. 解析：A ∩B ＝{x |1≤x <2}，∴∁R (A ∩B )＝{x |x <1或x ≥2}． 答案：{x |x <1或x ≥2}15．已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，3]上为减函数，求实数a 的取值范围为________．解析：函数f(x)的对称轴为x＝1－a，则由题知：1－a≥3即a≤－2.答案：a≤－216．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)、f(1)、f(－2)从小到大的顺序是__________．解析：∵f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，∴m＝0.∴f(x)＝－x2＋2.∴f(0)＝2，f(1)＝1，f(－2)＝－2，∴f(－2)<f(1)<f(0)．答案：f(－2)<f(1)<f(0)三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)设A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，(1)当x∈N*时，求A的子集的个数；(2)当x∈R且A∩B＝Ø时，求m的取值范围．解：(1)∵x∈N*且A＝{x|－2≤x≤5}，∴A＝{1,2,3,4,5}．故A的子集个数为25＝32个．(2)∵A∩B＝Ø，∴m－1>2m＋1或2m＋1<－2或m－1>5，∴m<－2或m>6.18．(12分)已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠Ø且B⊆A，求a，b 的值．解：(1)当B＝A＝{－1,1}时，易得a＝0，b＝－1；(2)当B含有一个元素时，由Δ＝0得a2＝b，当B＝{1}时，由1－2a＋b＝0，得a＝1，b＝1当B ＝{－1}时，由1＋2a ＋b ＝0，得a ＝－1，b ＝1.19．(12分)已知函数f (x )＝xax ＋b(a ，b 为常数，且a ≠0)，满足f (2)＝1，方程f (x )＝x有唯一实数解，求函数f (x )的解析式和f [f (－4)]的值．解：∵f (x )＝xax ＋b且f (2)＝1，∴2＝2a ＋b .又∵方程f (x )＝x 有唯一实数解． ∴ax 2＋(b －1)x ＝0(a ≠0)有唯一实数解．故(b －1)2－4a ×0＝0，即b ＝1，又上式2a ＋b ＝2，可得：a ＝12，从而f (x )＝x12x ＋1＝2xx ＋2，∴f (－4)＝2×(－4)－4＋2＝4，f (4)＝86＝43，即f [f (－4)]＝43.20．(12分)已知函数f (x )＝4x 2－4ax ＋(a 2－2a ＋2)在闭区间[0,2]上有最小值3，求实数a 的值．解：f (x )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －a 22＋2－2a .(1)当a2<0即a <0时，f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2＝3，解得：a ＝1－2.(2)0≤a2≤2即0≤a ≤4时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2＝2－2a ＝3，解得：a ＝－12(舍去)．(3)a2>2即a >4时，f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18＝3，解得：a ＝5＋10，综上可知：a 的值为1－2或5＋10.21．(12分)某公司需将一批货物从甲地运到乙地，现有汽车、火车两种运输工具可供选择．若该货物在运输过程中(含装卸时间)的损耗为300元/小时，其他主要参考数据如下：问：如何根据运输距离的远近选择运输工具，使运输过程中的费用与损耗之和最小？ 解：设甲、乙两地距离为x 千米(x >0)，选用汽车、火车运输时的总支出分别为y 1和y 2. 由题意得两种工具在运输过程中(含装卸)的费用与时间如下表：于是y 1＝8x ＋1000＋(x50＋2)×300＝14x ＋1600，y 2＝4x ＋1800＋(x100＋4)×300＝7x ＋3000. 令y 1－y 2<0得x <200.①当0<x <200时，y 1<y 2，此时应选用汽车； ②当x ＝200时，y 1＝y 2，此时选用汽车或火车均可； ③当x >200时，y 1>y 2，此时应选用火车．故当距离小于200千米时，选用汽车较好；当距离等于200千米时，选用汽车或火车均可；当距离大于200千米时，选用火车较好．22．(12分)已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且满足f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )，又当x 2>x 1>0时，f (x 2)>f (x 1)．(1)求f (1)、f (4)、f (8)的值；(2)若有f (x )＋f (x －2)≤3成立，求x 的取值范围．解：(1)f (1)＝f (1)＋f (1)，∴f (1)＝0，f (4)＝f (2)＋f (2)＝1＋1＝2，f (8)＝f (2)＋f (4)＝2＋1＝3.(2)∵f (x )＋f (x －2)≤3，∴f [x (x －2)]≤f (8)，又∵对于函数f (x )有x 2>x 1>0时f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0x －2>0x (x －2)≤8⇒2<x ≤4.∴x 的取值范围为(2,4]．第二章 练习一、选择题(每小题5分，共60分) 1．计算log 225·log 322·log 59的结果为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：原式＝lg25lg2·lg22lg3·lg9lg5＝2lg5lg2·32lg2lg3·2lg3lg5＝6.答案：D2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则f (f (2))的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：f (2)＝log 3(22－1)＝1，f (f (2))＝2e 1－1＝2e 0＝2. 答案：C3．如果log 12x >0成立，则x 应满足的条件是( )A ．x >12B.12<x <1 C ．x <1D ．0<x <1解析：由对数函数的图象可得．4．函数f (x )＝log 3(2－x )在定义域区间上是( ) A ．增函数B ．减函数C ．有时是增函数有时是减函数D ．无法确定其单调解析：由复合函数的单调性可以判断，内外两层单调性相同则为增函数，内外两层的单调性相反则为减函数．答案：B5．某种放射性元素，100年后只剩原来的一半，现有这种元素1克，3年后剩下( ) A ．0.015克B ．(1－0.5%)3克C ．0.925克 D.1000.125克解析：设该放射性元素满足y ＝a x (a >0且a ≠1)，则有12＝a 100得a ＝(12)1100.可得放射性元素满足y ＝[(12)1100]x ＝(12)x 100.当x ＝3时，y ＝(12)3100＝100(12)3＝1000.125. 答案：D6．函数y ＝log 2x 与y ＝log 12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于y ＝x 对称解析：据图象和代入式判定都可以做出判断，故选B.7．函数y＝lg(21－x－1)的图象关于( )A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．y＝x对称解析：f(x)＝lg(21－x－1)＝lg1＋x1－x，f(－x)＝lg1－x1＋x＝－f(x)，所以y＝lg(21－x－1)关于原点对称，故选C.答案：C8．设a>b>c>1，则下列不等式中不正确的是( )A．a c>b c B．log a b>log a cC．c a>c b D．log b c<log a c解析：y＝x c在(0，＋∞)上递增，因为a>b，则a c>b c；y＝log a x在(0，＋∞)上递增，因为b>c，则log a b>log a c；y＝c x在(－∞，＋∞)上递增，因为a>b，则c a>c b.故选D.答案：D9．已知f(x)＝log a(x＋1)(a>0且a≠1)，若当x∈(－1,0)时，f(x)<0，则f(x)是( )A．增函数B．减函数C．常数函数D．不单调的函数解析：由于x∈(－1,0)，则x＋1∈(0,1)，所以a>1.因而f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．答案：A10．设a＝424，b＝312，c＝6，则a，b，c的大小关系是( )A．a>b>c B．b<c<aC ．b >c >aD ．a <b <c解析：a ＝424＝12243，b ＝12124，c ＝6＝1266.∵243<124<66，∴12243<12124<1266，即a <b <c .答案：D11．若方程a x ＝x ＋a 有两解，则a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(0，＋∞)D ．Ø解析：分别作出当a >1与0<a <1时的图象． (1)当a >1时，图象如下图1，满足题意．图1 图2(2)当0<a <1时，图象如上图2，不满足题意． 答案：A12．已知f (x )是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )>f (1)，则x 的取值范围是( )A ．(110，1)B ．(0，110)∪(1，＋∞) C ．(110，10) D ．(0,1)∪(0，＋∞)解析：由于f (x )是偶函数且在(0，＋∞)上是减函数，所以f (－1)＝f (1)，且f (x )在(－∞，0)上是增函数，应有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1<lg x <1，解得110<x <10.答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题(每小题5分，共20分)13．若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(2，－1)，则a ＝________.解析：由互为反函数关系知，f (x )过点(－1,2)，代入得a －1＝2⇒a ＝12. 答案：1214．方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为________．解析：log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)⇔log 2(x －1)＝log 24x ＋1，即x －1＝4x ＋1，解得x ＝±5(负值舍去)，∴x ＝5.答案：515．设函数f 1(x )＝x 12，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则f 1(f 2(f 3(2007)))＝________.解析：f 1(f 2(f 3(2007)))＝f 1(f 2(20072))＝f 1((20072)－1)＝[(20072)－1]12＝2007－1.答案：1200716．设0≤x ≤2，则函数y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值是________，最小值是________．解析：设2x ＝t (1≤t ≤4)，则y ＝12·4x －3·2x ＋5＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12.当t ＝3时，y min ＝12；当t ＝1时，y max ＝12×4＋12＝52.答案：52 12三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(10分)已知a ＝(2＋3)－1，b ＝(2－3)－1，求(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2的值． 解：(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2＝(12＋3＋1)－2＋(12－3＋1)－2＝(3＋32＋3)－2＋(3－32－3)－2＝16(7＋432＋3＋7－432－3)＝16[(7＋43)(2－3)＋(7－43)(2＋3)]＝16×4＝23.18．(12分)已知关于x 的方程4x ·a －(8＋2)·2x ＋42＝0有一个根为2，求a 的值和方程其余的根．解：将x ＝2代入方程中， 得42·a －(8＋2)·22＋42＝0，解得a ＝2.当a ＝2时，原方程为 4x ·2－(8＋2)2x ＋42＝0，将此方程变形化为2·(2x )2－(8＋2)·2x ＋42＝0.令2x ＝y ，得2y 2－(8＋2)y ＋42＝0.解得y ＝4或y ＝22.当y ＝4时，即2x ＝4，解得x ＝2；当y ＝22时，2x ＝22，解得x ＝－12.综上，a ＝2，方程其余的根为－12.19．(12分)已知f (x )＝2x －12x ＋1，证明：f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数．证明：设任意x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－12x 1＋1－2x 2－12x 2＋1＝(2x 1－1)(2x 2＋1)－(2x 2－1)(2x 1＋1)(2x 1＋1)(2x 2＋1)＝2x 1－2x 2－(2x 2－2x 1)(2x 1＋1)(2x 2＋1)＝2(2x 1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 2＋1).∵x 1<x 2，∴2x 1<2x 2，即2x 1－2x 2<0.∴f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数．20．(12分)已知偶函数f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，且f (12)＝0，求不等式f (log a x )>0(a >0，且a ≠1)的解集．解：f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上递增，f (12)＝0，∴f (x )在(－∞，0)上递减，f (－12)＝0，则有log a x >12，或log a x <－12.(1)当a >1时，log a x >12，或log a x <－12，可得x >a ，或0<x <a a；(2)当0<a <1时，log a x >12，或log a x <－12，可得0<x <a ，或x >a a.综上可知，当a >1时，f (log a x )>0的解集为(0，a a)∪(a ，＋∞)；当0<a <1时，f (log a x )>0的解集为(0，a )∪(a a，＋∞)．21．(12分)已知函数f (x )对一切实数x ，y 都满足f (x ＋y )＝f (y )＋(x ＋2y ＋1)x ，且f (1)＝0， (1)求f (0)的值； (2)求f (x )的解析式；(3)当x ∈[0，12]时，f (x )＋3<2x ＋a 恒成立，求a 的范围．解：(1)令x ＝1，y ＝0，则f (1)＝f (0)＋(1＋1)×1，∴f (0)＝f (1)－2＝－2. (2)令y ＝0，则f (x )＝f (0)＋(x ＋1)x ，∴f (x )＝x 2＋x －2.(3)由f (x )＋3<2x ＋a ，得a >x 2－x ＋1.设y ＝x 2－x ＋1，则y ＝x 2－x ＋1在(－∞，12]上是减函数，所以y ＝x 2－x ＋1在[0，12]上的范围为34≤y ≤1，从而可得a >1.22．(12分)设函数f (x )＝log a (1－a x)，其中0<a <1.(1)求证：f (x )是(a ，＋∞)上的减函数； (2)解不等式f (x )>1.解：(1)证明：设任意x 1，x 2∈(a ，＋∞)且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log a (1－ax 1)－log a (1－a x 2)＝log a1－a x 11－a x 2＝log a1－a x 2＋a x 2－ax 11－ax 2＝log a ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋a x 2－ax 11－a x 2＝log a (1＋ax 1－ax 2x 1x 2－ax 1)＝log a[1＋a (x 1－x 2)x 1(x 2－a )]．∵x 1，x 2∈(a ，＋∞)且x 1<x 2，∴x 1－x 2<0,0<a <x 1<x 2，x 2－a >0.∴a (x 1－x 2)x 1(x 2－a )<0，∴1＋a(x1－x2)x1(x2－a)<1，又∵0<a<1，∴log a[1＋a(x1－x2)x1(x2－a)]>0，∴f(x1)>f(x2)，所以f(x)＝log a(1－ax)在(a，＋∞)上为减函数．(2)因为0<a<1，所以f(x)>1⇔log a(1－ax)>log a a⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－a x>0，①1－ax<a.②解不等式①，得x>a或x<0.解不等式②，得0<x<a1－a.因为0<a<1，故x<a1－a，所以原不等式的解集为{x|a<x<a1－a}．第三章 练习一、选择题(每小题5分，共60分)1．二次函数f (x )＝2x 2＋bx －3(b ∈R )的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4解析：∵Δ＝b 2＋4×2×3＝b 2＋24>0，∴函数图象与x 轴有两个不同的交点，从而函数有2个零点． 答案：C2．函数y ＝1＋1x的零点是( )A ．(－1,0)B ．－1C ．1D ．0解析：令1＋1x＝0，得x ＝－1，即为函数零点．答案：B3．下列给出的四个函数f (x )的图象中能使函数y ＝f (x )－1没有零点的是( )解析：把y ＝f (x )的图象向下平移1个单位后，只有C 图中图象与x 轴无交点． 答案：C4．若函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f (x )＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f (－1)·f (1)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．无法判断D ．等于零解析：由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部． 答案：C5．函数f (x )＝e x －1x的零点所在的区间是( )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，32)D ．(32，2)解析：f (12)＝e －2<0，f (1)＝e －1>0，∵f (12)·f (1)<0，∴f (x )的零点在区间(12，1)内．答案：B6．方程log 12x ＝2x －1的实根个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无穷多个解析：方程log 12x ＝2x －1的实根个数只有一个，可以画出f (x )＝log 12x 及g (x )＝2x －1的图象，两曲线仅一个交点，故应选B.答案：B7．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝0.1x 2－11x ＋3000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x等于( )A．55台B．120台C．150台D．180台解析：设产量为x台，利润为S万元，则S＝25x－y＝25x－(0.1x2－11x＋3000)＝－0.1x2＋36x－3000＝－0.1(x－180)2＋240，则当x＝180时，生产者的利润取得最大值．答案：D8．已知α是函数f(x)的一个零点，且x1<α<x2，则( )A．f(x1)f(x2)>0 B．f(x1)f(x2)<0C．f(x1)f(x2)≥0 D．以上答案都不对解析：定理的逆定理不成立，故f(x1)f(x2)的值不确定．答案：D9．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费，每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水( )A．10吨B．13吨C．11吨D．9吨解析：设该职工该月实际用水为x吨，易知x>8.则水费y＝16＋2×2(x－8)＝4x－16＝20，∴x＝9.答案：D10．某工厂6年来生产甲种产品的情况是：前3年年产量的增大速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来生产甲种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象为( )答案：A11．函数f(x)＝|x2－6x＋8|－k只有两个零点，则( )A．k＝0 B．k>1C．0≤k<1 D．k>1，或k＝0解析：令y1＝|x2－6x＋8|，y2＝k，由题意即要求两函数图象有两交点，利用数形结合思想，作出两函数图象可得选D.答案：D12．利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：那么方程2x＝x2的一个根所在区间为( )A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)解析：设f(x)＝2x－x2，由表格观察出x＝1.8时，2x>x2，即f(1.8)>0；在x＝2.2时，2x<x2，即f(2.2)<0.综上知f(1.8)·f(2.2)<0，所以方程2x＝x2的一个根位于区间(1.8,2.2)内．答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题(每小题5分，共20分)13．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x 1＝3，则下一个有根区间是__________．解析：设f (x )＝x 3－2x －5，则f (2)<0，f (3)>0，f (4)>0，有f (2)f (3)<0，则下一个有根区间是(2,3)．答案：(2,3)14．已知函数f (x )＝ax 2－bx ＋1的零点为－12，13，则a ＝__________，b ＝__________.解析：由韦达定理得－12＋13＝ba ，且－12×13＝1a .解得a ＝－6，b ＝1.答案：－6 115．以墙为一边，用篱笆围成一长方形的场地，如图1.已知篱笆的总长为定值l ，则这块场地面积y 与场地一边长x 的关系为________．图1解析：由题意知场地的另一边长为l －2x ，则y ＝x (l －2x )，且l －2x >0，即0<x <l2.答案：y ＝x (l －2x )(0<x <l2)16．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求？(已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)解析：设过滤n 次才能达到市场要求，则2%(1－13)n ≤0.1%即(23)n ≤0.12，∴n lg 23≤－1－lg2， ∴n ≥7.39，∴n ＝8. 答案：8三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知二次函数f (x )的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x ＝2，且f (x )的两个零点的平方和为10，求f (x )的解析式．解：设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意知：c ＝3，－b2a＝2.设x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，则x 21＋x 22＝10，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝10，∴(－b a)2－2ca＝10，∴16－6a＝10，∴a ＝1.代入－b2a ＝2中，得b ＝－4.∴f (x )＝x 2－4x ＋3.18．(12分)求方程x 2＋2x ＝5(x >0)的近似解(精确度0.1)． 解：令f (x )＝x 2＋2x －5(x >0)． ∵f (1)＝－2，f (2)＝3，∴函数f (x )的正零点在区间(1,2)内．取(1,2)中点x 1＝1.5，f (1.5)>0.取(1,1.5)中点x 2＝1.25，f (1.25)<0.取(1.25,1.5)中点x3＝1.375，f(1.375)<0.取(1.375,1.5)中点x4＝1.4375，f(1.4375)<0.取(1.4375,1.5)．∵|1.5－1.4375|＝0.0625<0.1，∴方程x2＋2x＝5(x>0)的近似解为x＝1.5(或1.4375)．19．(12分)要挖一个面积为800 m2的矩形鱼池，并在四周修出宽分别为1 m,2 m的小路，试求鱼池与路的占地总面积的最小值．解：设所建矩形鱼池的长为x m，则宽为800xm，于是鱼池与路的占地面积为y＝(x＋2)(800x＋4)＝808＋4x＋1600x＝808＋4(x＋400x)＝808＋4[(x－20x)2＋40]．当x＝20x，即x＝20时，y取最小值为968 m2.答：鱼池与路的占地最小面积是968 m2.20．(12分)某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产的年利润分别为P和Q(万元)，这两项利润与投入的资金x(万元)的关系是P＝x3，Q＝103x，该集团今年计划对这两项生产共投入资金60万元，其中投入养殖业为x万元，获得总利润y(万元)，写出y关于x的函数关系式及其定义域．解：投入养殖加工生产业为60－x万元．由题意可得，y＝P＋Q＝x3＋10360－x，由60－x≥0得x≤60，∴0≤x≤60，即函数的定义域是[0,60]．21．(12分)已知某种产品的数量x(百件)与其成本y(千元)之间的函数关系可以近似用y ＝ax2＋bx＋c表示，其中a，b，c为待定常数，今有实际统计数据如下表：(1)试确定成本函数y ＝f (x )；(2)已知每件这种产品的销售价为200元，求利润函数p ＝p (x )；(3)据利润函数p ＝p (x )确定盈亏转折时的产品数量．(即产品数量等于多少时，能扭亏为盈或由盈转亏)解：(1)将表格中相关数据代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧36a ＋6b ＋c ＝104100a ＋10b ＋c ＝160，400a ＋20b ＋c ＝370解得a ＝12，b ＝6，c ＝50.所以y ＝f (x )＝12x 2＋6x ＋50(x ≥0)．(2)p ＝p (x )＝－12x 2＋14x －50(x ≥0)．(3)令p (x )＝0，即－12x 2＋14x －50＝0，解得x ＝14±46，即x 1＝4.2，x 2＝23.8，故4.2<x <23.8时，p (x )>0；x <4.2或x >23.8时，p (x )<0， 所以当产品数量为420件时，能扭亏为盈； 当产品数量为2380件时由盈变亏．22．(12分)某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前8年在正常情况下，该产品产量将平衡增长．已知2000年为第一年，头4年年产量f (x )(万件)如表所示：(1)画出2000～2003年该企业年产量的散点图；(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量发展变化的函数模型，并求之．(3)2006年(即x ＝7)因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2006年的年产量应该约为多少？解：图2(1)散点图如图2：(2)设f (x )＝ax ＋b .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝43a ＋b ＝7，解得a ＝32，b ＝52，∴f (x )＝32x ＋52. 检验：f (2)＝5.5，|5.58－5.5|＝0.08<0.1；f (4)＝8.5，|8.44－8.5|＝0.06<0.1.∴模型f (x )＝32x ＋52能基本反映产量变化．(3)f (7)＝32×7＋52＝13， 由题意知，2006年的年产量约为13×70%＝9.1(万件)，即2006年的年产量应约为9.1万件．全册书综合练习题及解析一、选择题(每小题5分，共60分)1．集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝( ) A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}解析：∵A∩B＝{1,2}，∴(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}．答案：D2．如图1所示，U表示全集，用A，B表示阴影部分正确的是( )图1A．A∪B B．(∁U A)∪(∁U B)C．A∩B D．(∁U A)∩(∁U B)解析：由集合之间的包含关系及补集的定义易得阴影部分为(∁U A)∩(∁U B)．答案：D3．若f(x)＝1－2x，g(1－2x)＝1－x2x2(x≠0)，则g⎝⎛⎭⎪⎪⎫12的值为( )A．1 B．3 C．15 D．30解析：g (1－2x )＝1－x 2x 2，令12＝1－2x ，则x ＝14，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝1－116116＝15，故选C.答案：C4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2(x <1)，4－x －1(x ≥1)，则使得f (－1)＋f (m －1)＝1成立的m 的值为( )A ．10B ．0，－2C ．0，－2,10D ．1，－1,11解析：因为x <1时，f (x )＝(x ＋1)2，所以f (－1)＝0.当m －1<1，即m <2时，f (m －1)＝m 2＝1，m ＝±1.当m －1≥1，即m ≥2时，f (m －1)＝4－m －2＝1，所以m ＝11.答案：D5．若x ＝6是不等式log a (x 2－2x －15)>log a (x ＋13)的一个解，则该不等式的解集为( ) A ．(－4,7)B ．(5,7)C ．(－4，－3)∪(5,7)D ．(－∞，－4)∪(5，＋∞)解析：将x ＝6代入不等式，得log a 9>log a 19，所以a ∈(0,1)．则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15>0，x ＋13>0，x 2－2x －15<x ＋13.解得x ∈(－4，－3)∪(5,7)．答案：C6．若函数f (x )＝12x ＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最大值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值解析：2x ＋1在(－∞，＋∞)上递增，且2x ＋1>0，∴12x ＋1在(－∞，＋∞)上递减且无最小值．答案：A7．方程(13)x ＝|log 3x |的解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：图2在平面坐标系中，画出函数y 1＝(13)x 和y 2＝|log 3x |的图象，如图2所示，可知方程有两个解．答案：C8．下列各式中，正确的是( ) A ．(－43)23<(－54)23B ．(－45)13<(－56)13C ．(12)12>(13)12D ．(－32)3>(－43)3解析：函数y ＝x 23在(－∞，0)上是减函数，而－43<－54，∴(－43)23>(－54)23，故A 错；函数y ＝x 13在(－∞，＋∞)上是增函数，而－45>－56，∴(－45)13>(－56)13，故B 错，同理D错．答案：C9．生物学指出：生态系统在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，在H 1→H 2→H 3这个食物链中，若能使H 3获得10 kJ 的能量，则需H 1提供的能量为( )A ．105 kJB ．104 kJC ．103 kJD ．102 kJ解析：H 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1102＝10，∴H 1＝103.答案：C10．如图3(1)所示，阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的图象是如图3(2)所示的( )图3解析：当h ＝H2时，对应阴影部分的面积小于整个图形面积的一半，且随着h 的增大，S随之减小，故排除A ，B ，D.答案：C11．函数f (x )在(－1,1)上是奇函数，且在(－1,1)上是减函数，若f (1－m )＋f (－m )<0，则m 的取值范围是( )A ．(0，12)B ．(－1,1)C ．(－1，12)D ．(－1,0)∪(1，12)解析：f (1－m )<－f (－m )，∵f (x )在(－1,1)上是奇函数，∴f (1－m )<f (m )，∴1>1－m >m >－1，解得0<m <12，即m ∈(0，12)．答案：A12．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(1－x )，f (x －1)－f (x －2)，x ≤0x >0，则f (2009)的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：由题意可得：x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，从而f (x －1)＝f (x －2)－f (x －3)． 两式相加得f (x )＝－f (x －3)，f (x －6)＝f [(x －3)－3]＝－f (x －3)＝f (x )， ∴f (2009)＝f (2003)＝f (1997)＝…＝f (5)＝f (－1)＝log 22＝1. 答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题(每小题5分，共20分)13.log 2716log 34的值是________．解析：log 2716log 34＝23log 34log 34＝23.答案：2314．若函数y ＝kx ＋5kx 2＋4kx ＋3的定义域为R ，则实数k 的取值范围为__________．解析：kx 2＋4kx ＋3恒不为零．若k ＝0，符合题意，k ≠0，Δ<0，也符合题意．所以0≤k <34.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫k ⎪⎪⎪⎪0≤k <34 15．已知全集U ＝{x |x ∈R }，集合A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，集合B ＝{x |k <x <k ＋1，k ∈R }，且(∁U A )∩B ＝Ø，则实数k 的取值范围是________．解析：∁U A ＝{x |1<x <3}，又(∁U A )∩B ＝Ø， ∴k ＋1≤1或k ≥3， ∴k ≤0或k ≥3.答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)16．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区成立于1986年，第一年(即1986年)只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要灭绝的动物只数y (只)与时间x (年)的关系可近似地由关系式y ＝a log 2(x ＋1)给出，则到2016年时，预测麋鹿的只数约为________．解析：当x ＝1时，y ＝a log 22＝a ＝100，∴y ＝100log 2(x ＋1)，∵2016－1986＋1＝31，即2016年为第31年， ∴y ＝100log 2(31＋1)＝500， ∴2016年麋鹿的只数约为500. 答案：500三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)用定义证明：函数g (x )＝k x(k <0，k 为常数)在(－∞，0)上为增函数．证明：设x 1<x 2<0，则g (x 1)－g (x 2)＝k x 1－k x 2＝k (x 2－x 1)x 1x 2.∵x 1<x 2<0，∴x 1x 2>0，x 2－x 1>0，又∵k <0，∴g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)，∴g (x )＝k x(k <0，k 为常数)在(－∞，0)上为增函数．18．(12分)已知集合P ＝{x |2≤x ≤5}，Q ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，当P ∩Q ＝Ø时，求实数k 的取值范围．解：当Q ≠Ø，且P ∩Q ＝Ø时，⎩⎪⎨⎪⎧2k －1<2，2k －1≥k ＋1，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1>5，2k －1≥k ＋1.解得k >4；当Q＝Ø时，即2k －1<k ＋1，即k <2时，P ∩Q ＝Ø.综上可知，当P ∩Q ＝Ø时，k <2或k >4.19．(12分)已知f (x )为一次函数，且满足4f (1－x )－2f (x －1)＝3x ＋18，求函数f (x )在[－1,1]上的最大值，并比较f (2007)和f (2008)的大小．解：因为函数f (x )为一次函数，所以f (x )在[－1,1]上是单调函数，f (x )在[－1,1]上的最大值为max{f (－1)，f (1)}．分别取x ＝0和x ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧4f (1)－2f (－1)＝18，4f (－1)－2f (1)＝24，解得f (1)＝10，f (－1)＝11，所以函数f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝11.又因为f (1)<f (－1)，所以f (x )在R 上是减函数，所以f (2007)>f (2008)．20．(12分)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . ①当a >0时，f (x )在[2,3]上单调递增．故⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2f (3)＝5，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4a －4a ＋2＋b ＝29a －6a ＋2＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0②当a <0时，f (x )在[2,3]上单调递减．故⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝5f (3)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧4a －4a ＋2＋b ＝59a －6a ＋2＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3.(2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2，g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2，由题意知2＋m 2≤2或2＋m2≥4，∴m ≤2或m ≥6.21．(12分)设函数y ＝f (x )，且lg(lg y )＝lg3x ＋lg(3－x )． (1)求f (x )的解析式和定义域； (2)求f (x )的值域； (3)讨论f (x )的单调性．解：(1)lg(lg y )＝lg[3x ·(3－x )]，即lg y ＝3x (3－x )，y ＝103x (3－x )．又⎩⎪⎨⎪⎧3x >0，3－x >0，所以0<x <3，所以f (x )＝103x (3－x )(0<x <3)．(2)y ＝103x (3－x )，设u ＝3x (3－x )＝－3x 2＋9x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－3x ＋94＋274＝－3(x －32)2＋274.当x ＝32∈(0,3)时，u 取得最大值274，所以u ∈(0，274]，y ∈(1,10274]．(3)当0<x ≤32时，u ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －322＋274是增函数，而y ＝10u 是增函数，所以在⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，32上f (x )是递增的；当32<x <3时，u 是减函数，y ＝10u 是增函数，所以f (x )是减函数．22．(12分)已知函数f (x )＝lg(4－k ·2x )(其中k 为实数)， (1)求函数f (x )的定义域；(2)若f (x )在(－∞，2]上有意义，试求实数k 的取值范围． 解：(1)由题意可知：4－k ·2x >0，即解不等式：k ·2x <4， ①当k ≤0时，不等式的解为R ，②当k >0时，不等式的解为x <log 24k，所以当k ≤0时，f (x )的定义域为R ；当k >0时，f (x )的定义域为(－∞，log 24k)．(2)由题意可知：对任意x ∈(－∞，2]，不等式4－k ·2x >0恒成立．得k <42x ，设u ＝42x ，又x ∈(－∞，2]，u ＝42x 的最小值1.所以符合题意的实数k 的范围是(－∞，1)．THANKS !!!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。

高中数学必修第1册配套课后练习题含答案解析 4.1对数的概念

高中数学必修第1册配套课后练习题含答案解析 4.1对数的概念

4.1对数的概念一、单选题1．下列说法中错误的是（）A ．零和负数没有对数B ．任何一个指数式都可化为对数式C ．以10为底的对数叫做常用对数D ．以e 为底的对数叫做自然对数2．若2(0,1)a b b b =>≠，则有（）A ．2log a b=B ．2log b a=C ．log 2a b =D ．log 2b a =3．已知4log 2x =，则x 等于（）A ． 4±B ．4C ．16D ．24．下列指数式与对数式的互化中，不正确的是（）A ．100＝1与lg1＝0B ．131273-=与log 2713＝﹣13C ．log 39＝2与129＝3D ．log 55＝1与51＝55．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a m ＋n 的值为（）A ．2B ．12C ．12D ．66．log b N ＝a (b >0，b ≠1，N >0)对应的指数式是（）A ．a b ＝NB ．b a ＝NC ．a N ＝bD ．b N ＝a7．已知log 92a =-，则a 的值为（）A ．3-B ．13-C ．3D ．138．在b ＝log 3a －1(3－2a )中，实数a 的取值范围是（）A ．13,,32⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．1223,,3332⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．13,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．32,23⎛⎫ ⎪⎝⎭9．2327lg 0.01+=（）A ．11B ．7C ．0D ．610．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（） 1.259≈）A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.6二、填空题11．计算2log 3322log 13lg103ln1+-+=___________.12．已知2log 3x =，则12x -=________.13．若23x =，则x =___________．14．已知在地球上，大气压p 和海拔高度h 之间的关系可以表达为0khp p e -=，其中k和e 是常数，0p 是海平面的大气压的值．当飞行员用大气压的值来判断高度时，需使用的公式为__________.三、解答题15．求下列各式的值：（1）1(2log (2-+；（2）271log 9；（3）lg5lg1lg1010++；（4）ln 3ln 1e e ++.16．若(1)log (1)1x x ++=成立，求x 的取值范围．参考答案1．B 【分析】根据对数的性质、定义、常用对数的定义、自然对数的定义进行判断即可.【详解】由对数的概念知，指数式x a 中，只有0a >，且1a ≠的指数式才可以化为对数式，因此零和负数没有对数，把以10为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数叫做自然对数，故选：B 2．D 【分析】利用指数式与对数式的互化即可求解.【详解】若2(0,1)a b b b =>≠，则log 2b a =.故选：D 3．C 【分析】根据对数与指数的运算即可求得结果.【详解】由对数与指数式运算可得2416x ==.故选：C.4．C 【分析】根据对数的定义进行互化即可.【详解】解：在A 中，0101lg10=⇔=，故A 正确；在B 中，132711127log 333-=⇔=-，故B 正确；在C 中，23log 9239=⇔=，故C 错误；在D 中，15log 5155=⇔=，故D 正确．故选：C ．【点睛】本题考查对数的定义（指数对数的互化）.一般地，log (0,10,)ba a N Nb a a N b =⇔=>≠>∈R ，.5．D 【分析】将对数式转化为指数式后可得所求的值.【详解】因为log 2,log 3a a m n ==，故2,3m n a a ==，故6m n a +=，故选：D.6．B 【分析】利用指数式与对数式的互化即可求解.【详解】由log b N ＝a (b >0，b ≠1，N >0)，则b a ＝N 故选：B 【点睛】本题考查了指数式与对数式的互化，属于基础题.7．D 【分析】直接将对数式化为指数式求解即可.【详解】∵log 92a =-，0a >，∴29a -=，解得13a =，故选：D.【点睛】本题主要考查了对数的概念，属于基础题.8．B 【分析】根据对数的底数大于0且不等于1，真数大于0，列式可解得结果.【详解】要使式子b ＝log 3a －1(3－2a )有意义，则310311320a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得1233a <<或2332a <<.故选：B.【点睛】本题考查了对数的概念，属于基础题.9．B 【分析】直接利用分数指数幂的性质以及对数的性质求解即可【详解】222327lg 0.013lg10927-+=+=-=故选:B 【点睛】本题主要考查分数指数幂的性质以及对数的性质，属于基础题.10．C 【分析】根据,L V 关系，当 4.9L =时，求出lg V ，再用指数表示V ，即可求解.【详解】由5lg L V =+，当 4.9L =时，lg 0.1V =-，则10.110110100.81.259V --===≈≈.故选：C.11．0【分析】根据对数的性质及指对数的关系，即可求值.【详解】由对数的基本性质、指对数的关系，知：2log 3322log 13lg103ln132031300+-+=+⨯-⨯+⨯=.故答案为：0.12．4【分析】由已知可得8x =，即可求出12x -.【详解】因为2log 3x =，所以328x ==，所以124x-==.故答案为：4.13．2log 3【分析】由指数式与对数式的转化即可得解.一般的，()1,00log xa a N a a N N x =>≠>⇔=，.【详解】∵23x =，∴x =2log 3，故答案为：2log 3.14．01lnph k p =-【分析】根据指数与对数的关系，将0khp p e -=转化为用k 和e 、0p 、p 表示h 的函数形式即可.【详解】由0khp p e -=，则0khep p -=，∴0lnh p k p =-，即01ln p h k p =-.故答案为：01ln ph k p =-.15．（1）1；（2）23-；（3）6；（4）5.【分析】（1）令1(2log (2x -=，根据指对数的关系得(22x =-x 即可；（2）令271log 9x =，根据指对数的关系得3233x -=，求x 即可；（3）（4）根据对数的性质，即可求值【详解】（1）设1(2log (2x -=，则1(2(22x -==-，所以1x =；（2）设271log 9x =，则1279x =，即3233x -=，所以23x =-；（3）lg5lg1lg10100156++=++=；（4）ln 3ln 11135e e ++=++=.16．(1,0)(0,)-+∞ 【分析】利用对数的定义列出不等式即可求解【详解】由已知得10x +>且11x +≠，所以1x >-且0x ≠所以x 的取值范围为(1,0)(0,)-+∞。

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69.在平面直角坐标系中，点 是角 终边上的一点．
（1）求 ， ；
（2）求 ．
70.已知集合 ，集合 ，集合 ， ．
（1）求集合 ， ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
71.已知 ， ，求 ．
72.已知集合 ， ，试分别求出满足下列条件的实数 的取值范围．
（1） ；
（2） ．
答案
第一部分
1.（1）
（2）
（2）在 上任取 ，
则 ．
因为 ，所以 ， ，
故 ，所以 ，
所以 在 上单调递增．
（3）由（Ⅰ）（Ⅱ）得 在 上单调递增，
所以 ， ．
21.（1）
（2）
22.（1）令 ，得 ，
所以 ．
（2）令 ，得 ，
所以 ，
所以 为奇函数．
（3）由题知： ，
又 是定义在 上的增函数，
所以 对任意 恒成立，
所以 ，
（1）求 的值，并补充作出函数 在 上的图象，说明作图的理由；
（2）根据图象指出（不必证明）函数的单调区间与值域；
（3）若方程 恰有两个不等实根，求实数 的取值范围．
34.计算下列各式的值：
（1） ；
（2） ．
35.设函数 ．
（1）当 ， 时，求函数 的零点；
（2）若对任意 ，函数 恒有两个不同零点，求实数 的取值范围．
所以 ，
令 ， ，则 ，
所以 ，
当 时， ，
所以 ．
23.（1）
（2）
24.（1）当 时， ；当 时， ；
由条件可知 ，即
解得
， ．
（2）当 时，
即
， ，
， ，故 的取值范围是 ．
25.（1）
（2）
26.（1）
（2）因为 ，
，
，
，
所以
27.（1） ，其图象如图，
由图象可知： 单调递增区间为： ， ．
（2）因为函数 有 个零点，
有 个实根，
有 个实根，
函数 与函数 的图象有 个交点，
由图可知： ，
解得： ，
故实数 的取值范围是 ．
28.由已知得 ， ，
所以 ．
29.（1）当 时，对任意 ， 恒成立，
令 ， ，
则 ，
且 ， ，
所以 在 上为减函数，在 为增函数，
因为 为增函数，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
① ；
② ．
50.某租赁公司拥有汽车 辆．当每辆车的月租金为 元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加 元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费 元，未租出的车每辆每月需要维护费 元．
（1）当每辆车的月租金定为 元时，能租出多少辆车?
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
故 的单调减区间为 ，单调增区间为 ．
（2）由（ ）的单调性知， 在 处取得最小值，在 取得最大值，
所以 ，
解得 ，
所以 ．
30.（1）
（2）
31.（1）由题意，得
解得 ，
故 的定义域为 ，
关于原点对称，
且
故 为奇函数．
（2）由 得 ，
即
解得 ，
所以所求的 的集合 ．
32.（1）
（2） ．
33.（1）因为由图象可知 ，
（1）求 和 的解析式；
（2）证明： ．
54.设函数 ，且 ， ．
（1）求 解析式；
（2）利用定义判断 在区间 上的单调性．
55.已知定义在 上的奇函数 的图象经过点 ，且当 时， ．
（1）求 的值；
（2）求函数 的解析式．
56.已知函数 ， ．
（1）求 的单调区间；
（2）求 的值域．
57.求解析式：
（3）若 ，求函数的最大值和最小值．
21.计算下列各题：
（1） ；
（2） ．
22.定义在 上的增函数 对任意 都有 ．
（1）求 的值；
（2）求证 为奇函数；
（3）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
23.计算：
（1） ；
（2） ．
24.已知函数 ，
（1）若 ，求 的值；
（2）若 对于 恒成立，求实数 的取值范围．
（1）写出函数 的增区间；
（2）写出函数 的解析式；
（3）若函数 ，求函数 的最小值．
64.已知函数 （ ），且 ．
（1）作出函数 的图象；
（2）根据图象指出函数 的单调递减区间；
（3）求当 时函数 的值域．
65.已知函数 ．
（1）用分段函数的形式表示该函数；
（2）画出该函数的草图；
（3）利用图象写出该函数的值域、单调递减区间．
（2）
41.（1）
（2）
42.（1）
（2）
43.（1）
（2）
44.（1）
（2）因为 ，所以 ，所以 ．
45.（1）
（2）
46.（1）
（2）
47.（1）因为 ，所以 ，所以 ．
（2）
（3）
48.（1）
（2）
49.（1）因为 ， ，
所以 ， ， ．
（2）
50.（1）当每辆车的月租金定为 元时，未租出的车辆数为 ，所以这时租出了 辆车．
36.（1）求值： ．
（2）已知 ，求 的值．
37.已知 为奇函数．
（1）求 的值；
（2）求实数 的值．
38.（1）求值： ；
（2）求值： ．
39.求下列各式的值：
（1） ；
（2） ．
40.（1）化简： ；
（2）求值： ．
41.（1）计算： ；
（2）计算 ．
42.化简或求值：
（1）
（2）计算 ．
43.计算下列各题：
15.（1）
（2）
16.（1）（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 ；
（3）若 ，则 .
所以，由（1）（2）（3）可知
．
（2）因为 ，所以 （元）．
17.（1）
（2）因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
18.（1）因为 ， ，全集为 ，
所以 ， ， ；
（2） ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
19.
20.（1） ，故 为奇函数．
14. ， ，
（1）求 的解析式；
（2）画出函数 的图象，并写出其单调区间．
15.计算下列各式的值：
（1） ；
（2） ．
16.铁路运输托运行李，从甲地到乙地，规定每张客票托运费计算方法为：行李质量不超过 ，按 计算；超过 而不超过 时，其超过部分按 计算；超过 时，其超过部分按 计算.设行李质量为 ，托运费用为 元.
9.计算下列各式的值：
（1） ；
（2） ．
10.已知函数 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的取值范围．
11.化简计算．
（1） ；
（2） ．
12.已知函数 的解析式为 ．
（1）画出这个函数的图象；
（2）求函数 的值域；
（3） ，有两个不相等的实数根，求 的取值范围．
13.化简求值：
（1） ；
（2） ．
必修一 一天两道解答题练习72道题有答案
不用抄题，写好番号，作作业本上。请每天自觉完成。
1.计算下列各式的值：
（1） ．
（2） ．
2.已知函数
（1）求 的定义域；
（2）判断 的奇偶性并予以证明；
（3）当 时，求使 的 的取值范围；
3.求下列各式的值：
（1） ；
（2） ．
4.已知函数 为二次函数，且 ．
25.计算下列各式的值．
（1） ；
（2） ．
26.不用计算器，求下列各式的值．
（1） ；
（2） ．
27.已知函数 ．
（1）在所给坐标系中，画出函数 的图象并写出 的单调递增区间；
（2）若函数 有 个零点，求 的取值范围．
28.已知集合 ， ，求 ， ．
29.设 ，函数 ， ．
（1）求函数 的单调区间；
66.通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用 表示学生掌握和接受概念的能力（ 的值越大，表示接受能力越强）， 表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下公式：
2.（1）因为 ，所以 ．
（2）因为 ．
所以 为奇函数．
（3）任取 ，令 ，
则
．
所以 为增函数
当 时， ，解得 ．
因为 为增函数，则 时， ，
的定义域为 ，所以 ．
3.（1）
（2）
4.（1）设 ，
所以
所以
解得所以
所以 ；
（2）因为 的对称轴为 ；
当 即 时 ；
当 时， 在 上单调递增， ；
当 时， 在 上单调递减， ；
61.设函数 ，若 ， ．
（1）求函数 的解析式；
（2）画出函数 的图象，并指出函数的定义域、值域、单调区间．
62.已知函数 ．
（1）计算 的值；
（2）讨论函数 的单调性，并写出 的单调区间；
（3）设函数 ，若函数 有三个零点，求实数 的取值范围．
63.已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时， ．现已画出函数 在 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：
综上： ．
5.
6.（1）因为函数 ，
所以 ．
（2）若函数 （ ）是奇函数，当 时， ，
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