复变函数的比较论文

关于复变函数的学习小结

本学习我学习了复变函数的一些知识，其中一些知识给了我很大的补充，可以说丰富了数学的见识。从实数到复数的延伸，形成一个全面的知识体系。相对而言，实数上的知识我学的比较坚实，有了这个基础，学习复变函数应该会轻松许多，不过有许多新的知识还是第一次了解，因为比较抽象，理解上就需要多做功。

实数有自己的直角坐标系，而类似的复数也有坐标。复数有实轴和虚轴，用（x,y）表示。应该讲复数包括实数（当虚数为0），这样来说复数就比较全面了，因此学好复变很关键。复数的运算要注意除法，它需要分母有理化。共轭复数即虚数变号，这里面的一些关系运算需要了解。讲到复数不得不提辅角，这里的主值范围为-π＜θ≤π，结合象限来判断角度较好。此外复数的三角表示和指数表示很重要，这里的转化要了解（z=r(cosθ＋isinθ)=re^(iθ)），至于相关的乘幂和方根与实数差不多。

下面讲到复变函数的极限与连续，这两个概念很重要，里面和实函数一样，提到邻域的含义。复函数是高等数学中一元实变函数概念的推广，二者表述几乎一样，但有所不同：1.实变函数是单值函数，而复变中有了多值函数。2.复变函数实现了不同复平面的转化，运用了曲线或图形的映射。3.复变函数好比两个二元实变函数u=u(x,y),v=v(x,y)。至于连续性和极限，只是相当于二元的实变函数，较之一元函数条件苛刻的多。

复变函数的导数和微分定义与实变函数一致，但是前者多了一个

要求，即对极限式要求是与△z →0的路径和方式无关。复变函数在这里又有了新的概念，就是解析函数，判断的标准即u(x,y),v(x,y)在点（x,y ）处可微，且满足柯西-黎曼方程：du/dx=dv/dy,du/dy=-dv/dx.复变函数的导数运算也与实变函数大致相同，不过指数函数（e^z=expz=e^z(cosy+isiny)）和对数函数(Lnz=ln|z|+iArgz)，以及乘幂(a^b=e^bLna)和幂函数求解有些不同，要求注意角度的取值，不过性质仍然相同。

由于复变函数相当于二元实变函数，则积分也是。复变函数的积分许多与高等数学中曲线积分相似的性质，积分可化为第二类曲线积分，也可化为参数方程z=z(t),直接关于t 的积分。这里柯西-古萨基本定理和复合闭路定理运用要娴熟，不定积分则运用原函数（牛顿-莱布尼兹公式），柯西积分公式和高阶导数公式用于求解解析函数f(z)有很大的意义，其中高阶导数表明具有任意阶导数，这不同于可微实变函数。由此引出调和函数：二元实函数u （x ，y ）在区域D 具有二阶连续偏导数并满足拉普拉斯方程。求解此类函数：1.偏积分法2.不定积分法3.线积分法（与路径无关）。这些计算当然还要由实变函数的基础知识来运算，可以说复变函数积分比实变函数要求严格一点，它是实变函数的延伸。

现在谈到级数的性质，复数列极限在定义与性质上与实数列极限相似，可以将复数列极限的计算问题转化到实数列上，这其中的级数的敛散性与和的定义形式都与实数项级数相同。利用实数项的各种敛散准则判定复数项级数的敛散性（如比值法，根值法）。()1

1--=n n n z c z f

为幂级数基础项，|z|=r为收敛圆，圆内收敛，圆外发散，圆上不一定。其半径是由上面的比值法或根值法或奇点法得出，运算可以逐项求导和积分得出，这些都与实数项幂级数求法相同。函数展开式运用泰勒级数（展开式唯一）直接法（求导）或间接法（利用已知公式变换）求解，但是泰勒级数并不能解决定义域是圆环的问题，由此洛朗级数很好的解决它的展开式，双边幂级数运算与幂级数相同。洛朗级数是泰勒级数的推广，解决区域内部定义域不存在的展开式。

通过温习实变函数，加深了对复变函数的理解，两者在一定程度上相通，不过复变函数毕竟延伸到了虚数的领域，要求较之严格了一些。在学习这方面的知识时要注意对比，将两者融会贯通会对学好复变函数有帮助！

21090512

张伟