人教版八年级数学上册教案《阅读与思考杨辉三角》

《阅读与思考 杨辉三角》

《杨辉三角》只是教材中安排的一篇阅读材料，课程总目标对本节的要求：通过教师在平时教学中渗透或通过学生课外阅读，了解有关杨辉三角的简史，掌握杨辉三角中隐含的基本规律，以拓宽整式乘法.

本节是在学习了整式乘法的基础上进行，是对整式乘法的拓展，为今后学习二项式n b a )( 的展开式奠定基础.通过本节探究杨辉三角规律的教学，既能构建完整知识框架，又能多方位提高学生数学素养.

【知识与能力目标】

通过实验操作，引导学生观察分析，形成数形结合思想.

【过程与方法目标】

（1）通过例题的延伸训练，初步体会运用类比思想研究数学问题.

（2）通过研究杨辉三角的数字规律，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力和发展数学方法（如赋值法等）.在小组讨论、探索过程中初步培养合作意识，发展创造性思维能力.

【情感态度价值观目标】

通过杨辉三角数学史的介绍，增强学生民族自豪感.

◆

教学目标 ◆ 教材分析

【教学重点】

杨辉三角的发现、理解和初步应用.

【教学难点】

难点：3)(b a +的实验操作和结论得出，以及对赋值法验证理解.

一、引入新课

师：请同学们准备好2张正方形、2张长方形的纸片（如图1）.将它们拼成一个大正方形，并运用面积之间的关系，验证完全平方式.

生：动手操作完成（如图2），写出验证完全平方式2222)(b ab a b a ++=+.

师：归纳面积验证的思路，大整块面积＝所有小块面积之和.

师：请同学们准备好2个立方体、8个长方体的纸盒（如图3）.将它们搭成一个棱长为)(b a +的立方体，并运用体积之间的关系，写出一条恒等式.

◆ 教学过程

◆ 教学重难点

◆

生：四人小组合作，动手操作完成(如图4)，写出一条恒等式.

生：3223333)(b ab b a a b a +++=+.（要求按a 的次数从高到低排列）

师：我们已经得到了2)(b a +和3)(b a +展开公式，试想?)(4=+b a

生：学生先独立完成，然后同桌讨论交流.

生1： 生2：

师：我们也知道.)(1b a b a +=+下面将计算结果中各展开式的每项系数排列成下表（简

称系数表）：

1

)(b a +

1 1

2)(b a + 1 2 1

3)(b a + 1 3 3 1

4)(b a + 1 4 6 4 1 【设计意图：通过学生的实验操作，得出恒等式，注重了知识的建构，体验了从平面到立体的空间思维，渗透了数形结合的数学思想. 】

.464)33)(())(()(432234322334b ab b a b a a b ab b a a b a b a b a b a ++++==++++=++=+ .

464)2)(2()()()(4322342222224b ab b a b a a b ab a b ab a b a b a b a ++++==++++=++=+

师：因上表形如三角形，我国古代数学家杨辉对其有过深入研究，所以称它为杨辉三角，并提出课题.

【设计意图：通过合作学习，从不同角度训练学生的思维，既提高学生学习兴趣，又培养合作团队精神和创造能力. 】

二、介绍杨辉、感受成就

杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界.

“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，该书还说明此表源于我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）的“开方作法本源图”，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．因此，我们把此表叫杨辉三角或贾宪三角.

在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年～1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．

【设计意图：了解数学家杨辉及其成就, 增强民族自豪感；让学生体会到研究杨辉三角就是体察杨辉的探索精神，以鼓励学生探究的热情. 】

三、探求规律，形成新知 1 1 b a b a +=+1

)(

1 2 1 2222)(b ab a b a ++=+

1 3 3 1 3223333)(b ab b a a b a +++=+

1 4 6 4 1 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 师：（1）请你找出上述数据上下行之间的规律.（便于发现，可标出“ ”号） 生：下一行中间的各个数分别等于它“肩上”的两数之和.（如：1＋2＝3）

师：（2）说出每项中字母a 和b 的次数排列规律.

生：展开式中每项字母a 的次数从高到低排列，字母b 的次数从低到高排列.

师：（3）展开式中的项数与乘方指数有何关系？

生：展开式中的项数比乘方指数多1.

师：你能按上述规律写出5)(b a +的展开式吗？

生：543223455510105)(b ab b a b a b a a b a +++++=+.（学生同桌校对，一位学生板演.）

师：将上述各展开式的每项系数再整理成如下模型：

【设计意图：虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义.这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程. 】

略 【设计意图：教师用边讲边问的形式，通过让学生自己总结、发现规律，挖掘学习材料潜在的意义，从而使学习成为有意义的学习. 】

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

师：对上表你还有什么规律可发现？

生1：最外侧的系数都是1.

生2：展开式中第二项的系数都等于乘方指数.

生3：展开式中各项的次数等于都乘方指数.

生4：系数成左、右对称排列

……

◆ 教学反思