解析几何知识点总结高考复习)

4．双曲线
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
标准方程
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
>
0, b
>
0)
y2 a2
−
x2 b2
= 1(a > 0,b
> 0)
第一定义 第二定义
范围
到两定点 F1 、F2 的距离之差的绝对值等于常数 2a ，即 | MF1 | − | MF2 | = 2a （ 0 < 2a <| F1F2 | ）
虚轴的长 = 2b
关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称
F1 (−c, 0) 、 F2 (c,0)
F1 (0, −c) 、 F2 (0, c)
焦距
F1F2 = 2c (c2 = a2 + b2 )
离心率
e=c = a
c2 a2
=
a2 + b2 a2
=
1+
b2 a2
(e > 1)
准线方程
x = ± a2 c
y=±b x a
若渐近线方程为 y = ± b x ⇒ a
x a
±
y b
=
0
⇒
双曲线可设为
x2 a2
−
y2 b2
=λ
注意
若双曲线与 x 2 − y 2 = 1有公共渐近线，可设为 x 2 − y 2 = λ
a2 b2
a2 b2
注意 ∆PF1F2 中结合定义 PF1 − PF2 = 2a 与余弦定理 cos ∠F1PF2 ，将有关线段
时夹角
θ
=0；
（5）二面角 θ, α ∈ (0, π] ；
（6）l1 到 l2 的角 θ，θ ∈ (0，π)
8、 直线的倾斜角 α 与斜率 k 的关系 a) 每一条直线都有倾斜角 α ，但不一定有斜率。 b）若直线存在斜率 k，而倾斜角为 α ，则 k=tan α 。
y = ± a2 c
渐近线方程
y =±b x a
y =±a x b
焦半径
M (x0, y0 )
M
在右支
左焦：MF1 右焦：MF2
= ex0 + a = ex0 − a
M
在左支
左焦：MF1 右焦：MF2
= −ex0 − a = −ex0 + a
M
在上支
左焦：MF1 右焦：MF2
= ey0 + a = ey0 − a
y2 a2
+
x2 b2
= 1(a
>b
>
0)
到两定点 F1 、F2 的距离之和等于常数 2 a ，即 | MF1 | + | MF2 |= 2a （ 2a >| F1F2 | ）
与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数 e ，即 MF = e (0 < e < 1) d
−a ≤ x ≤ a 且 −b ≤ y ≤ b
x
=
y
=
x1 + x2 2
y1 + y2 2
变形后： λ
=
x − x1 或λ x2 − x
=
y − y1 y2 − y
6、 若直线 l1 的斜率为 k1，直线 l2 的斜率为 k2，则 l1 到 l2 的角为 α, α ∈ (0, π)
适用范围：k1，k2 都存在且 k1k2 ≠ －1 ，
tan α = k2 − k1 1 + k1k2
F1 (−c, 0) 、 F2 (c,0)
F1 (0, −c) 、 F2 (0, c)
F1F2 = 2c (c2 = a2 − b2 )
e=c = a
c2 a2
=
a2 − b2 a2
=
1−
b2 a2
(0 < e < 1)
x = ± a2 c
y = ± a2 c
焦半径
M (x0, y0 )
焦点三角形面积 通径
⑴ l1
// l2
⇔
A1 B2 B1C 2
= ≠
A2 B1 B2C1
；
⑵ l1 和 l2 相交 ⇔ A1B2 ≠ A2 B1 ；
⑶ l1 和 l2 重合 ⇔
BA11CB22
= =
A2 B1 B2C1
；
⑷ l1 ⊥ l2 ⇔ A1 A2 + B1B2 = 0 .
5、两点间距离公式：
P1P2 = (x2 − )x1 2 + (y2 − )y1 2
M
在下支
左焦：MF1 右焦：MF2
= −ey0 − a = −ey0 + a
焦点三角形面积
S∆MF1F2
= b2 cot θ 2
(θ = ∠F1MF2 )
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： HH ′ = 2b2
a
若双曲线方程为 x 2 a2
−
y2 b2
=
1
⇒
渐近线方程：
x a
2 2
−
y2 b2
=0⇒
关于抛 物线焦点弦 的几个结论
则⑴
x1x2
=
p2 4 , y1 y2
= −p2;
⑵
AB
=
2p sin2 θ
;
⑶ 以 AB 为直径的圆与准线相切； ⑷ 焦点 F 对 A 、B 在准线上射影的张角为 π ； 2
⑸ 1 + 1 = 2. | FA | | FB | P
若干公式
1、 两点间距离：若 A(x1, y1), B(x 2 , y2 ) ，则 AB = (x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2
1. 直线与方程
1、倾斜角与斜率： k = tanα = y2 − y1 x2 − x1
2、直线方程：
⑴点斜式： y − y0 = k(x − x0 )
⑵斜截式： y = kx + b
⑶两点式： y − y1 = y2 − y1 x − x1 x2 − x1
பைடு நூலகம்⑷截距式： x + y = 1 ab
⑸一般式： Ax + By + C = 0
（焦点）弦长公式
焦点的位置
左焦半径： MF1 = a + ex0
下焦半径： MF1 = a + ey0
右焦半径： MF2 = a − ex0
上焦半径： MF2 = a − ey0
S∆MF1F2
= b2
tan θ 2
(θ = ∠F1MF2 )
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： HH ′ = 2b2 a
A(x1, y1), B(x2, y2 ) ， AB = 1+ k 2 x1 − x2 = 1+ k 2 (x1 − x2 )2 − 4x1x2
与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数 e ，即 MF = e (e > 1) d
x ≤ −a 或 x ≥ a ， y ∈ R
y ≤ −a 或 y ≥ a ， x ∈ R
顶点 轴长 对称性 焦点
Α1 (−a, 0) 、 Α2 (a, 0)
Α1 (0, −a) 、 Α2 (0, a)
实轴的长 = 2a
3、空间中两点间距离公式：
P1P2 = (x2 − )x1 2 + (y2 − )y1 2 + (z2 − )z1 2
焦点的位置 图形
3．椭圆
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
标准方程 第一定义 第二定义
范围
顶点 轴长 对称性 焦点 焦距 离心率
准线方程
x2 a2
+
y2 b2
= 1( a
>b
> 0)
PF1 、 PF2 、 F1F2 和角结合起来。 5．抛物线
图形
标准方程
y2 = 2 px
(p > 0)
y2 = −2 px
(p > 0)
x2 = 2 py
(p > 0)
x2 = −2 py
(p > 0)
定义
与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)
=
π 2
。
（3）当 l1 与 l2 中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。
7、 （1）倾斜角 α ， α ∈ (0, π) ；
→→
（2） a, b 夹角θ，θ ∈[0，π] ；
（3）直线 l 与平面 α的夹角β，β ∈ [0，π] ； 2
（4）l1
与
l2
的夹角为
θ
，
θ
∈
[0，π 2
]
，其中
l1//l2
其中圆心为 (a,b) ，半径为 r .
⑵一般方程： x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 .
其中圆心为 (− D , − E ) ，半径为 r = 1 D2 + E2 − 4F .
22
2
2、直线与圆的位置关系
直线 Ax + By + C = 0 与圆 (x − a)2 + ( y − b)2 = r 2
−b ≤ x ≤ b 且 −a ≤ y ≤ a
Α1 (−a, 0) 、 Α2 (a, 0)
Α1 (0, −a) 、 Α2 (0, a)
Β1 (0, −b) 、 Β2 (0,b)
Β1 (−b, 0) 、 Β2 (b, 0)
长轴的长 = 2a 短轴的长 = 2b 关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称
3、对于直线：
l1 : y = k1x + b1, l2 : y = k2 x + b2 有：
⑴ l1
// l2
⇔
bk11
= ≠
k2 b2
；
⑵ l1 和 l2 相交 ⇔ k1 ≠ k2 ；
⑶
l1
和 l2
重合
⇔
bk11
= =
k2 b2
；
⑷ l1 ⊥ l2 ⇔ k1k2 = −1.
4、对于直线：
l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0, 有： l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0
顶点
( 0, 0)
离心率 对称轴
e =1
x轴
y轴
范围
x≥0
x≤0
y≥ 0
y≤ 0
焦点
准线方程 焦半径
M (x0, y0 )
F
p 2
,0
x=− p 2
MF
= x0 +
p 2
F
−
p 2
,
0
x= p 2
MF
= −x0 +
p 2
F
0,
p 2
y=− p 2
MF
=
y0 +
p 2
F
0
,
−
p 2
y= p 2
6、点到直线距离公式：
d = Ax0 + By0 + C A2 + B2
7、两平行线间的距离公式：
l1： Ax + By + C1 = 0 与 l2 ： Ax + By + C2 = 0 平行，
则 d = C1 − C2 A2 + B2
2. 圆与方程
1、圆的方程：
⑴标准方程： (x − a)2 + (y − b)2 = r 2
则： AB =
(1 + k 2 )(x2 − x1 ) 2
5、 若 A ( x1, y1), B(x2 , y2 ) ，P（x，y）。P 在直线 AB 上，且 P 分有向线段 AB 所成的比为 λ ，
则
x
y
= =
x1 + λx2 1+ λ y1 + λy2 1+ λ
，特别地：
λ
=1
时，P
为
AB
中点且
2、 平行线间距离：若 l1 : Ax + By + C1 = 0,
l2 :
Ax + By + C2 = 0 ，则： d =
C1 − C2 A2 + B2
3、 点到直线的距离： d = Axo + Byo + C A2 + B2
4、
直线与圆锥曲线相交的弦长公式：
y = kx F(x, y)
+ =
b 0
的位置关系有三种:
d > r ⇔ 相离 ⇔ ∆ < 0 ; d = r ⇔ 相切 ⇔ ∆ = 0 ;
d < r ⇔ 相交 ⇔ ∆ > 0 .
弦长公式： l = 2 r 2 − d 2
= 1+ k 2 (x1 − x2 )2 − 4x1x2
3、两圆位置关系： d = O1O2
⑴外离： d > R + r ； ⑵外切： d = R + r ； ⑶相交： R − r < d < R + r ； ⑷内切： d = R − r ； ⑸内含： d < R − r .
MF
= − y0 +
p 2
通径
过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径： HH ′ = 2 p
焦点弦长 公式
参数 p 的几
何意义
AB = x1 + x2 + p 参数 p 表示焦点到准线的距离， p 越大，开口越阔
设 AB 为过抛物线 y 2 = 2 p x ( p > 0 ) 焦点的弦，A(x1, y1) 、B(x2 , y2 ) ，直线 AB 的倾斜角为θ ，
若 l1 与 l2 的夹角为 θ ，则 tan θ =
k1 − k2 1+ k1k2
， θ ∈ (0, π] 2
注意：（1）l1 到 l2 的角，指从 l1 按逆时针方向旋转到 l2 所成的角，范围 (0, π)
l1 到 l2 的夹角：指 l1、l2 相交所成的锐角或直角。
（2）l1
⊥
l2
时，夹角、到角