数学物理方程 第五章课件

3 3 ∑ ∂uk ∑ ∂ρ ∂ρ +ρ + uk = 0, ∂t ∂xk k=1 ∂xk k=1 3 p′ (ρ) ∂ρ ∂ui ∑ ∂ui + uk + = 0 (i = 1, 2, 3) ∂t ∂xk ρ ∂xi k=1
( ( )) ∂2 u ∂ ∂u − σ =0 ∂t2 ∂x ∂x p= ∂u ∂u , q= ∂x ∂t
(1.7)
.
∂p ∂q ∂t − ∂x = 0, ∂q ∂σ(p) − =0 ∂t ∂x
(1.8)
齐海涛
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数学物理方程
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. 1 . 2 . 3 . 4 . 5
引言 两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论 二阶线性方程的特征理论 三类方程的比较 先验估计
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一阶偏微分方程组的例子
. .
Example 1.1 (Cauchy-Riemann 方程组)
∂v ∂u = , ∂x ∂y ∂u ∂v = − ∂y ∂x (1.1)
(1.4)
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一阶偏微分方程组的例子
. .
Example 1.4 (一维非线性弹性振动方程)
( ( )) ∂2 u ∂ ∂u − σ =0 ∂t2 ∂x ∂x
(1.7)
.
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一阶偏微分方程组的例子
一阶偏微分方程组的例子
. .
Definition 1.5 (一维非线性弹性振动方程)
PDEs的阶:含出现在方程组中所有偏导数的最高阶数;
.
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一阶偏微分方程组的例子
. .
Definition 1.5 (一维非线性弹性振动方程)
PDEs的阶:含出现在方程组中所有偏导数的最高阶数; PDEs的解:存在u1 , u2 , . . . , uN , 具有方程组中所出现的各阶偏导数, 且偏导 数连续; 将它们及其各阶偏导数带人PDEs得到一组恒等式. (经典解) .
∂m u ∂tm
可明显地解出.
一般形式的一阶偏微分方程组不一定能化成一个高阶方程. 将高阶方程化成一阶方程组时, 高阶方程的定解问题也化成相应的一阶方 程组的定解问题.
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. 1 . 2 . 3 . 4 . 5
引言 两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论 二阶线性方程的特征理论 三类方程的比较 先验估计
(2.7)
ui 就不能利用(2.3)和(2.1)唯一地确定出导数 ∂∂uti , ∂ ∂x (i = 1, . . . , N)沿曲线C的 值. 因此(2.7)就是特征曲线所应满足的条件. . Definition 2.2 . 称(2.7)为方程组(2.1)的特征方程, 把在一点(x, t)满足(2.7)式的方向 dx dt 称为此 点的特征线方向. .
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将严格双曲型方程组化为对角型
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特征方程、特征线
由(2.3)式推出 ∂ui ′ ∂ui ′ t (σ) + x (σ) = f′ i (σ) (i = 1, . . . , N). ∂t ∂x
ui 将(2.1)代入(2.4)可得 ∂ ∂x 的线性方程组, 其系数为
(2.4)
det(aij t′ (σ) − δij x′ (σ)). 故, 如沿曲线 C 成立 det(aij t′ (σ) − δij x′ (σ)) 0,
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一阶方程组与高阶方程的关系
一阶偏微分方程组与高阶方程有密切的关系, 一般来说, 对一个高阶偏微 分方程（或高阶偏微分方程组）, 常可通过引入新的未知函数的方法将它化为 一阶偏微分方程组. 特别是柯瓦列夫斯卡娅型方程组, 总可化成一阶偏微分方 程组. k ∂m u ∂ u = F t, x1 , . . . , xn , u, . . . , ,... (1.9) , m k k n 1 ∂t ∂tk0 ∂x1 . . . ∂xn 其中 k0 + k1 + · · · + kn = k ≤ m, k0 < m. 方程的最高阶数为m阶, 且对选定的自变量 t,
(2.10)
λ −ρ0
− ρ0 0 λ
c2
= λ2 − c2 0 = 0.
知方程组(2.10)是严格双曲型方程组, 其特征方程为x ± c0 t =常数, 过区域中 的每一点均有两根特征线通过.
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将严格双曲型方程组化为对角型
记方程(2.8)的N个相异的实根为 λ1 (x, t) < λ2 (x, t) < · · · < λN (x, t). 微分方程 dx = λi (x, t) (i = 1, . . . , N) dt 的积分曲线为方程组(2.1)的特征曲线. (2.12) (2.11)
∂ui ∂ui ∂t , ∂x
(2.5)
则一定能由(2.3)和(2.1)唯一地确定出沿曲线 C 的一阶偏导数 (i = 1, . . . , N)的值.
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特征方程、特征线
而如果曲线 C 成立 det(aij t′ (σ) − δij x′ (σ)) = 0, 或 ( ) dx det aij − δij = 0, dt (2.6)
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特征方程、特征线
. Definition 2.1 . 在解的弱间断曲线上, 函数 ui (i = 1, . . . , N) 本身连续, 但其一阶偏导数具有 第一类间断. 故一曲线若能作为解的弱间断曲线, 则利用方程组(2.1)及函数 ui (i = 1, . . . , N) 在它上面的数值不能唯一确定其所有一阶偏导数在它上面的 数值. 具有此性质的曲线称为方程组(2.1)的特征曲线(或特征线). . 设一光滑曲线 C: t = t(σ), x = x(σ), 并已知 ui 在曲线 C 上的数值 ui = fi (σ), (i = 1, . . . , N), (2.3) (2.2)
.
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一阶偏微分方程组的例子
. .
Example 1.1 (Cauchy-Riemann 方程组)
∂v ∂u = , ∂x ∂y ∂u ∂v = − ∂y ∂x (1.1)
. . .
Example 1.2 (可压缩等熵流体Euler方程)
(1.3)
.
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一阶偏微分方程组的例子
. .
Example 1.3 (声学方程组)
.
3 ∑ ∂uk ∂ρ + ρ = 0, 0 ∂t ∂xk k=1 p′ (ρ0 ) ∂ρ ∂ui + = 0 (i = 1, 2, 3) ∂t ρ0 ∂xi
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特征方程、特征线
. Definition 2.1 . 在解的弱间断曲线上, 函数 ui (i = 1, . . . , N) 本身连续, 但其一阶偏导数具有 第一类间断. 故一曲线若能作为解的弱间断曲线, 则利用方程组(2.1)及函数 ui (i = 1, . . . , N) 在它上面的数值不能唯一确定其所有一阶偏导数在它上面的 数值. 具有此性质的曲线称为方程组(2.1)的特征曲线(或特征线). .
这里 t(σ), x(σ), fi (σ) 均为一阶连续可导函数, σ 为曲线 C 的参数, 且 (t′ (σ))2 + (x′ (σ))2 0. ui 下面利用(2.3)和(2.1)计算沿曲线 C 的所有一阶偏导数 ∂∂uti , ∂ ∂x (i = 1, . . . , N)的数值.
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学习要求
. 掌握两个自变量的一阶偏微分方程组特征的概念; . 掌握两个自变量的一阶双曲型方程组的定解问题的提法; 2
1
. 掌握求解上述定解问题的沿特征线积分法; . 了解方程组的分类. 4
3
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两个自变量的一阶线性偏微分方程组的分类
. .
Example 2.4 (声学方程组)
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∂u c2 0 ∂ρ ∂t + ρ0 ∂x = 0, ∂ρ ∂u + ρ0 =0 ∂t ∂x
(2.10)
. .
Example 1.4 (一维非线性弹性振动方程)
( ( )) ∂2 u ∂ ∂u − σ =0 ∂t2 ∂x ∂x p= ∂u ∂u , q= ∂x ∂t
(1.7)
.
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一阶偏微分方程组的例子
. .
Example 1.4 (一维非线性弹性振动方程)
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特征方程、特征线
如给定曲线上每一点的切线方向都和此点的特征线方向一致, 此曲线即为 特征曲线; 方程组(2.1)的特征线方向在未知函数的可逆变换下保持不变.
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两个自变量的一阶线性偏微分方程组的分类
(2.1)
其中 aij , bij , ci (i, j = 1, . . . , N) 均为 (x, t) 的连续可微函数. 记 A = (aij ), B = (bij ), C = (c1 , . . . , cN )T , U = (u1 , . . . , uN )T , (2.1) 可写为 ∂U ∂U +A + BU + C = 0 (i = 1, . . . , N), ∂t ∂x (2.1’)
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两个自变量的一阶线性偏微分方程组的分类
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Example 2.4 (声学方程组)
. 因其特征方程(2.8)为
∂u c2 0 ∂ρ ∂t + ρ0 ∂x = 0, ∂ρ ∂u + ρ0 =0 ∂t ∂x
记
dx dt
= λ, 有
det(aij − δij λ) = 0, det(A − λI) = 0,
(2.8) (2.8’)
. Definition 2.3 . 如在一区域 G 中的每一点, 方程(2.8)都有N个相异的实根, 即在区域G中的 每一个点都存在N个两两相异的实特征线方向, 则称 (2.1)在此区域中为严格 双曲型的. 如在一区域 G 中的每一点, 方程(2.8)都不存在任何实根, 从而在区域G中的 每一个点都不存在任何实特征线方向, 则称 (2.1)在此区域中为椭圆型的. .
.
第五章
.
一阶偏微分方程组
First Order PDEs
齐 海 涛
山东大学（威海）数学与统计学院
htqisdu@
齐海涛
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目录
. 1 . 2 . 3 . 4 . 5
引言 两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论 二阶线性方程的特征理论 三类方程的比较 先验估计
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两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论
考虑如下两个自变量的一阶线性偏微分方程组 Li u ≡ ∂ui ∑ ∂uj ∑ + aij + bij uj + ci = 0 (i = 1, . . . , N), ∂t ∂x j=1 j=1
N N