结构动力学(运动方程的建立)

将以上两式代入Hamilton原理的变分公式，得：
t2 [muu cuu kuu p(t)u]dt 0 t1
对上式中的第一项进行分部积分
t2 muudt t1
t2 mu( d u)dt
t1
dt
t2 mud (u)dt
t1
粘性(滞)阻尼力可表示为：
f D cu
fD
u fD
fD
c 1
u
D — 表示阻尼（Damping）
(a)
c — 阻尼系数（Damping coefficient）
u— 质点的运动速度
(b)
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2.1 基本概念
阻尼系数 c 的确定：
不能像结构刚度k那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸和 材料的力学性质等来获得，因为c是反映了多种耗能因 素综合影响的系数，阻尼系数一般是通过结构原型振 动试验的方法得到。
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2.1 基本概念
2.1.5 弹簧的恢复力（Resisting Force of Spring）
对弹性体系，弹簧的恢复力也被称为弹性恢复力 弹性恢复力：大小等于弹簧刚度与位移(弹簧变形)的乘积
方向指向体系的平衡位置。
fs ku
fs
k
1
a
d
-u0
O
b
u u0
fs k
1
u
s— 表示弹簧（Spring） c (a)
单质点体系的受力分析
p(t) fI fD fs 0
f I mu f D cu
fs ku
mu cu ku p(t)
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2.2 基本力学原理与运动方程的建立
2.2.1 D’Alembert原理
D’Alembert原理的优点： 静力问题是人们所熟悉的，有了D’Alembert 原理之后， 形式上动力问题就变成了静力问题，静力问题中用来 建立控制方程的方法，都可以用于建立动力问题的平 衡方程，使对动力问题的思考有一定的简化。对很多 问题，D’Alembert原理是用于建立运动方程的最直接、 最简便的方法。
2.2 基本力学原理与运动方程的建立
2.2.3 Hamilton原理 t2 (T V )dt t2 Wncdt 0
t1
t1
Hamilton原理的优点：不明显使用惯性力和弹性力，而
分别用对动能和位能的变分代替。因而对这两项来讲，
仅涉及处理纯的标量，即能量。
而在虚位移中，尽管虚功本身是标量，但用来计算虚功 的力和虚位移则都是矢量。
对如下图所示结构体系，用虚位移原理建立方程更简便一些
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2.2 基本力学原理与运动方程的建立
2.2.3 Hamilton原理
➢ 可以应用变分法（原理）建立结构体系的运动方程。 在数学上，变分问题就是求泛函的极值问题。 在这里，泛函就是结构体系中的能量（功）。 变分法是求体系能量（功）的极值。
t2 (T V )dt t2 Wncdt 0
t1
t1
体系的动能：T 1 mu2 位能(弹簧应变能)：V 1 ku2
2
2
因此能量的变分： (T V ) muu kuu
非保守所做的功的变分(等于非保守力在位移变分上作的功)
Wnc p(t)u cuu
基本动力体系： 应包括结构动力分析中涉及的所有物理量。 质量；弹簧；阻尼器。
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基本动力体系
两个典型的单自由度体系
(a) 单层框架结构 (b) 弹簧―质点体系
物理元件： 质量
阻尼器 弹簧
集中质量m 阻尼系数c 弹簧刚度k
两个力学模型完全等效 因为两个体系的运动方程相同
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2.2 基本力学原理与运动方程的建立
动能：集中质量
T 1 mu2 2
转动质量
T 1 J2 2
位能：拉伸弹簧
V 1 ku2 2
转动弹簧
V

1 2
k 2
多自由度体系： 动能
T1 2
i
j
mij ui uj

1 2
j
m juj 2
位能 V 1 2i
kijuiu j
j
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2.2 基本力学原理与运动方程的建立 用Hamilton原理建立体系的运动方程
t2 (T V )dt t1
t2 t1
Wncdt

0
Wnc Pncju j
j
T — 体系的总动能； V — 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Wnc— 作用于体系上非保守力(包括阻尼力及任意外荷载)
所做的功； δ— 在指定时间段内所取的变分。
对于静力问题 : （V Wnc) 0 —最小势能原理。 25/43
2.2 基本力学原理与 运动方程的建立
◆ 牛顿（Newton）第二定律 ◆ D’Alembert原理 ◆ 虚位移原理 ◆ Hamilton原理 ◆ Lagrange方程
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2.2 基本力学原理与运动方程的建立
运动方程：
描述结构中力与位移(包括速度和加速度)关系 的数学表达式。（有时也称为动力方程）
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2.1 基本概念
2.1.4 惯性力（Inertial Force）
惯性：保持物体运动状态的能力。 惯性力：大小等于物体的质量与加速度的乘积，
方向与加速度的方向相反。
f I mu
I — 表示惯性（Inertial）； m— 质量（mass）； ü — 质点的加速度。
坐标方向：向右为正
dt
t2 t1
mud (u)

muu
t2 t1

Байду номын сангаас
t2 u mudt t2 muudt
t1
t1
t2 [mu cu ku p(t)]udt 0 t1
mu cu ku p(t)
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2.2 基本力学原理与运动方程的建立 2.2.4 Lagrange方程
❖运动方程是进行结构动力分析的基础 ❖运动方程的建立是结构动力学的重点和难点
本章首先通过对简单结构体系(单自由度体系)的讨论介 绍结构动力分析中存在的基本物理量及建立运动方程 的方法，然后介绍更复杂的多自由度体系运动方程的 建立。
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单自由度体系： SDOF (Single-Degree-of-Freedom) System 结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定
k— 弹簧的刚度（Spring Stiffness） u— 质点位移
(b)
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2.1 基本概念
单层框架结构的水平刚度
k

24EIc h3

6 6
1 4
;
hIb / LIc
h—框架结构的高度 L—梁的长度
:
E—弹性模量 Ib和Ic—梁和柱的截面惯性矩
0 :
k

24 EI c h3
D’Alembert原理的贡献： 建立了动力平衡（简称：动平衡）的概念。
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2.2 运动方程的建立
[可能位移；实位移；虚位移]
2.2.2 虚位移原理
虚位移原理：在一组外力作用下的平衡系统发生一个虚位移时，
外力在虚位移上所做的虚功总和恒等于零。
虚位移是指满足体系约束条件的无限小位移。
设体系发生一个虚位移u，则平衡力系在u上做的总虚功为:
2.1 基本概念
2.1.1 广义坐标与动力自由度
广义坐标：能决定质点系几何位置的彼此独立的量称为 该质点系的广义坐标。 广义坐标可以取长度量纲的量，也可以用角度甚至面 积和体积来表示。
静力自由度的概念：确定结构体系在空间中位置所需的 独立参数的数目称为结构的自由度。
动力自由度的定义：结构体系在任意瞬时的一切可能的 变形中，决定全部质量位置所需的独立参数的数目称 为结构的动力自由度。
k

6 EI c h3
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2.1 基本概念
2.1.6 阻尼力（Damping Force）
阻尼：引起结构能量的耗散，使结构振幅逐渐变小的一种作用。
阻尼的来源（物理机制）：
(1)固体材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散； (2)结构连接部位的摩擦，结构构件与非结构构件之间的摩擦； (3)结构周围外部介质引起的阻尼。例如，空气、流体等。
2.1.8 非弹性体系 (Inelastic System)
结构构件的力—变形关系为非线性关系，结构刚度不再为常数。 构件（或弹簧）的恢复力可表示为
fs fs (u ,u)
fs是位移和速度的 非线性函数。
图2.6 非弹性体系中结构构件的力与位移关系
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第2章 分析动力学基础及运动方程的建立
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2.1 基本概念
2.1.2 功和能 功的定义 有势力和势能 动能
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2.1 基本概念
2.1.3 实位移、可能位移和虚位移
可能位移： 满足所有约束方程的位移称为体系的可能位移。
实位移： 如果位移不仅满足约束方程，而且满足运动方程 和初始条件，则称为体系的实位移。
虚位移： 在某一固定时刻，体系在约束许可的情况下可能 产生的任意组微小位移，称为体系的虚位移。
(Linearly Elastic System and Viscous Elastic System)
线弹性体系：由线性弹簧（或线性构件）组成的体系。
—最简单的理想化力学模型。
粘弹性体系：当线弹性系统中进一步考虑阻尼（粘性阻 尼）的影响时的体系。
—结构动力分析中的最基本力学模型。
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2.1 基本概念
2.2.0 牛顿（Newton）第二定律