函数、极限、连续、知识点概况

使用，否则后果会很严重。 ② ∞ ± ∞ 型、 0 ⋅ ∞ 。此种类型可统称为和积型，要转化为商型来做，具体的，对于前者和型， 1 1 1 1 ) ， lim ( + 2 )） 一般可通过通分，或分子有理化可做到， （例 lim( − 。而对于后 x →1 x − 1 x → −1 x + 1 ln x x −1 者积型，一般要把其中之一拿到下面来，即 0 ⋅ ∞ ⇒ ∞
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断具体是哪一类间断点。
e x − 1 ~ x, a x − 1 ~ x ln a,
其推广（用的较多）为
x → *时，u ( x) → 0 sin u ( x) ~ u ( x), arcsin u ( x) ~ u ( x), tan u ( x) ~ u ( x), arctan u ( x) ~ u ( x), 1 1 − cos u ( x) ~ u ( x) 2 , ln(1 + u ( x)) ~ u ( x), e u ( x ) − 1 ~ u ( x), a u ( x ) − 1 ~ u ( x) ln a, (1 + u ( x))α − 1 ~ αu ( x) 2
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针对
0 型可考虑的方法有：约去公因式（若是在 x → x0 下求极限，其公因式就是 x − x0 ） ，而 0
x→ 4
对于找公因式是关键，可考虑分解因式（例 lim
3
x 2 − 3x + 2 x2 − 6x + 8 ， lim ） ，分子或分母有 x 2 − 5 x + 4 x→2 x 2 − 4
等价无穷小应用原则：用在乘积或做商因子中代换，一般在做和因子中要满足一定得条件，所以不提倡直 接用，要先转化为乘积或做商因子。 分段函数求在分段点处的极限。若函数解析式在该点左右表达式不一样，必须用单侧极限。否则，可以不 用。 注：求极限与函数在该点有无定义无任何关系，即使无定义，极限也可能存在。 函数 f ( x) 在 x0 ：有定义
（没有其他好的做法了，再考虑使用） 。即使使用，最好能结合第一、第二重要极限和等价无 穷小， 尤其是等价无穷小， 用了可达事半功倍之效果。 （例 lim
x →0
2 − e x − e− x x − sin x lim ， lim ）再就是使用罗比达法则的时候要抓本质，和本质没关系的，可 x → 0 cos x − 1 x →0 x3 脱离出来单独求极限，否则会带来很多出乎想象的麻烦，切记切记！ ！ ！ ！ ！ ！另需注意，同一个 题目可多次使用罗比达法则。
利用第二重要极限的推广来最，且很简单。 常见等价无穷小：
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x → 0时 sin x ~ x, ln(1 + x) ~ x, arcsin x ~ x, tan x ~ x, arctan x ~ x, (1 + x)α − 1 ~ αx 1 − cos x ~ 1 2 x 2
x → * 时 u ( x) → 0 。 （例 lim
前提，就很可能导致错误。
a0 x n + a1 x n−1 + L + an a0 x n ∞ b. lim = lim 此法称为“抓大头” ，其本质是 型。 x→∞ b x n + b x n −1 + L + b x →∞ b x n ∞ 0 1 n 0 （例 lim 3x 3 − 2 x 2 + 1 x 3 + 3x + 2 ， lim ）同样，注意用此法的前提一定是 x → ∞ ，不要盲目 x →∞ 2 x 3 + 4 x 2 + 1 x→∞ ( x + 2)3
1 0
⇔
∞ 0 0 或0⋅∞ ⇒ 1 ⇔ 。 ∞ 0 ∞
③ 0 0 型、 ∞ 0 型、 1∞ 型。此种类型可统称为幂指型，要转化为和积型进而再转化为商型，或一 步到位转化为商型来做，其转化的方法为：利用 lim u ( x) v ( x ) = lim e ln u ( x )
x→* x→*
v( x)
= lim (1 + u ( x) ) u ( x )
1
x→*
[
]
u ( x)v ( x)
= lim(1 + u ( x) ) u ( x )
1
[
x→*
]
x →*
lim u ( x ) v ( x )
=e
lim u ( x ) v ( x ) x →*
，
1
即
lim(1 + u ( x) )
x →* x
= e x→*
lim v ( x ) ln u ( x )
。
1 1 注 ： 第 二 重 要 极 限 lim(1 + x) x = e 或 lim(1 + ) x = e ， 其 本 质 为 1∞ 型 。 要 注 意 其 推 广 ： x →∞ x →0 x
lim(1 + u ( x) )
x→*
v( x)
v( x)
=e
lim u ( x ) v ( x ) x →*
，其成立的前提是： x → * 时 u ( x) → 0, v( x) → ∞ 。 （例 lim(1 + 2 x) x ，
x →0
x −1 ∞ lim 只有前提成立了才可以用，否则只看形式而不验证前提，就很可能导致错误。多数 1 型都可 x→ ∞ x + 1
理化，有时要同时有理化（例 lim
x→ 4
2x − 2 ） 。等等。 x −2
注： a.第一重要极限 lim 0 sin x sin u ( x) 要注意其推广：lim = 1， 其本质为 型。 = 1, 其成立的前提是： x →0 x→* x 0 u ( x) sin 8 x sin 3 x ）只 0 有前提成立了才可以用，否则只看形式而不验证 ，lim x →0 x → 0 sin 4 x 2x
极限存在
连续
可导
可微分
函数 f ( x) 在点 x0 连续本质为 lim ∆y = 0 ，即自变量的增量 ∆x 趋于 0 时，函数值的增量也趋于
∆x →0
0. 也可以写为 lim f ( x) = f ( x0 ) ，隐含要满足的三要素：即
x→ x0
① 函数 f ( x) 在点 x0 有定义（即有函数值 f ( x0 ) ） ② 函数 f ( x) 在点 x0 极限存在（即存在 A 使得 lim f ( x) = A ）
x→ x0
③ 极限值等于函数值（即 A = f ( x0 ) ） 三个要素缺一不可。 间断点类型： 第一类间断点（函数 f ( x) 在 x0 的左右极限都存在） ⇒ x0为可去间断点（此时函 数f ( x)在x0要么无定义，要么极限 值不等于函数值） 左极限 = 右极限， ⇒ x0为跳跃间断点 左极限 ≠ 右极限， 第二类间断点（函数 f ( x) 在 x0 的左右极限至少一个不存在） lim f ( x) = ∞ ⇒ x0为无穷间断点 x→ x0 震荡间断点 其他 要判断间断点，若函数在该点无定义，必须首先指出由于无定义，所以是间断点，然后再判
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1. 函数定义域求法： 1）分式： P( x) ，要求分母 Q( x) ≠ 0 Q( x)
2）偶次根式： 2 n Q( x) ，要求 Q( x) ≥ 0
(x) 3）对数式：Βιβλιοθήκη Baidulog Q ，要求 Q( x) > 0 a
4）反正弦、反余弦： arcsin Q( x) , arccos Q( x) ，要求 | Q( x) |≤ 1 π ， cot Q( x) ，要求 Q( x) ≠ kπ 2 注意： （1）在一个函数解析式中若出现以上多个情况的，要求其交集，才得函数的定义域。 （2）分段函数的定义域为各段的并集。 2. 定义域表示要求必须用区间或集合的形式。 3. 复合函数的定义域求法。 4. 简单函数的复合。 5. 求极限：只介绍课本上常见类型的解法，对于其他的一些解法如利用级数、定积分定义 taylor 展式等是对研究生考试时做的要求，我们不提。 （1）确定型。 ①利用函数的连续性（可直接代入型，最简单，一般不考） ②利用无穷小与无穷大的关系求极限，即：无穷大的倒数是无穷小。这种类型的极限是确定 k 型，即分母极限是 0，而分子极限是不为 0 的常数 k ，这种类型的极限可称为 , (k ) 型，其极 0 限为 ∞ 。 ③利用有界变量与无穷小的乘积仍然是无穷小（即一部分是有界函数，而另一部分求极限是 5）正切、余切： tan Q( x) , 要求 Q( x) ≠ kπ + 0，则其极限为 0） 。一般函数式子中出现 sin u ( x), cos u ( x), arccos u ( x), arctan u ( x) 等的可考虑用 之。 （2）待定型： 0 ∞ 此种类型也可统称为商型，为最基本的待定型，一般可用罗比达法则求之（例 ① 型、 型。 0 ∞ lim a x − xa (a > 0, a ≠ 1) ） ， 但是很多时候罗比达并非是很好的做法，利用罗比达是“无奈之举” x→a x − a x3 + tan x − sin x tan x − x ， lim ， 3 x →0 x − sin x sin x