江苏省灌南高级中学高二数学(必修五)学案 基本不等式的证明2

主备人：汪昌梅 审核人：赵雪华 包科人：马兆金
一：自主导学
1．当0>>a b 时，比较b
a a
b b a ab b a a b + + + 22222，，，，，的大小． （运用基本不等式及比较法）
2．若0>y x ，；
（1）当9=xy 时，则y x +的最____值为______，此时=x _____；=y _____．
（2）当6=+y x 时，则xy 的最____值为______，此时=x _____；=y _____．
猜想：若+
∈R y x ，；
（1）当P xy =时，则y x +的最____值为______，此时=x _____；=y _____． （2）当S y x =+时，则xy 的最____值为______，此时=x _____；=y _____． 二：例题剖析
已知+
∈R y x ，； （1）9=xy 时，则y x 2+的最____值为______，此时=x _____；=y _____．
（2）14=+y x ，则xy 的最____值为______，此时=x _____；=y _____．
反思：利用基本不等式求最值，必须满足三条：一正二定三相等．
已知函数)2(2
16∞+ -∈++
=，，x x x y ，求此函数的最小值．
反思：若)3[∞+ ∈，
x ，求此函数最小值．
例1 例2
求)(4522R x x x y ∈++=
的最小值．
（1）已知0>x ，0>y ，12=+y x ，求y
x 11+的最小值； （2）已知+∈R y x ，，且191=+y
x ，求y x +的最小值．
反思：利用基本不等式求最大值或最小值时注意：（一正二定三相等）
（1）x ，y 一定是 ；（2）求积xy 的最大值，应看和y x +是否为 ；求和y x +的最小值时，看积xy 是否 ；（3）等号是否能够成立．
三：巩固练习：
1．若+
∈R y x ，；
（1）当182=+y x 时，则y x +的最____值为______，此时=x _____；=y _____． （2）已知0>x ，0>y ，且20=+y x ，求xy 的最大值___．
2．（1）若0>x 时，x x y 312+=
的最小值为_____；此时=x _____． （2）若0<x 时，x x y 312+=
的最大值为______；此时=x _____． （3）函数)3(3
1> -+=x x x y 的最小值为______；此时=x _____．
5．求证：（1）11122>++x x ； （2）223
22>++x x ；
例3 例4
6．已知函数θ
θθsin cos tan +
=y ，)20(πθ ∈，，求函数的最小值及取最小值时的θ值．
7.（1）求函数)0(4≠+=x x
x y 的值域． （2） 求函数=y 182-+x x )1(>x 的最小值．。