非寿险精算课后习题答案(中精_主编_韩天雄)

第一章 1T0.09811S ==2T5.6569σ== 3T[]{}()14%,25%, 1.1,()12.5%,20.2%, 2.6%()0.1036()0.456()()0.0051p p p m m F p Fp p Fpp F p m F E R E R R E R R Treynor E R R Sharpe Jensen s alpha E R R E R R σβσβσβ======-==-=='=-+-=度量值度量值度量值4T[]{}()0.099()0.4091()()()()0m Fm m Fmm F m m F m m E R R Treynor E R R Sharpe Jensen s alpha E R R E R R E R E R βσβ-==-=='=-+-=-=度量值度量值度量值5T[]{}()() 1.2%p F p m F Jensen s alpha E R R E R R β'=-+-=-度量值 6T0.950.90.810,10,0ξξξ===7T0.990.990.990.990.99()0.9933330.99109109330.99109332.326109286.53P X X P ξξξξξ≤=--⎛⎫≤= ⎪⎝⎭-⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭-== 8T222()331()109(1)(2)39.65992.2018E X r r Var X r r r θθθ⎧==⎪-⎪⎨⎪==⎪--⎩=⎧⎨=⎩ 0.950.950.990.99()110.95114.9510.99281.48rrrF x x Q Q Q Q θθθθθθ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭⎛⎫-= ⎪+⎝⎭=⎛⎫-= ⎪+⎝⎭=9T()[]011()11p prQ Q p r pE X QF x dx dx x r Q θθθθθ-⎛⎫∧=-= ⎪+⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥=- ⎪ ⎪-+⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰111()()111111111p p p r p pr p pCTE Q E X E X Q p Q p r r Q Q p r Q θθθθθθθ--⎡⎤=+-∧⎣⎦-⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎪⎪⎢⎥=+-- ⎪⎨⎬ ⎪---+⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎣⎦⎩⎭⎛⎫=+••⎪ ⎪--+⎝⎭0.950.990.950.9939.66, 2.20,114.95,281.48243.60548.70r Q Q CTE CTE θ====∴==15T()222212112212|111111p p p p p p x Q x x Q Q Q CTE E X X Q dxp dx dx p p pμσμμσσμσμ-⎛⎫-+∞⎪⎝⎭--⎛⎫⎛⎫--+∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎡⎤=>⎣⎦=-⎡⎤⎢⎥=+-⎢⎥⎣⎦=+--⎰⎰⎰ 0.950.950.950.950.95()0.95330.9510933 1.645109212.29257.89P X Q Q Q Q CTE ≤=-⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭-==∴=第二章 2T（1）从表中可以得出索赔额组中值i i f X 和索赔频率1841600121610122101====∑∑=-=i i i i i i f x X f x X由题知)(~2σ，u LN X ，对数正态分布的期望和方差如下：()()()122222-==++σσσeeX Var X E u u根据矩估计法可知：()2222248.605)(111216222=--=-=++X X n ne e eu u σσσ由此可以求得：47.099.6==∧∧σu（2）()()%27.0748.214000ln 4000ln =-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛->-=>φσσu u P P x x3T每份保单赔款次数X 服从泊松分布，X 的概率密度函数为： ())32,10(!，，==-k k ex f kλλ由极大似然估计可以得到：X nXni ==∑=∧1iλ而且1965.01==∑=ni i i f x X所以1965.0=∧λ 5T韦伯分布的分布函数为：()rcx e X F --=1令7.012.01=-=---rrcx cx ee解得韦伯分布的20%和70%分位数：()()rrc x c x 17.012.03.0ln 8.0ln ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=根据观测数据可以知道 ：8.02.07.02.0==x x令()()8.03.0ln 2.08.0ln 11=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-rrc c 解得12.135.1==r c7T指数分布的概率密度函数为()xex f λλ-=，由极大似然估计得到220011==∧Xλ 2x 分布检验的检验假设：0H ：赔款额分布服从参数22001=λ的指数分布 1H ：赔款额分布不服从参数22001=λ的指数分布显著水平005.0=α，查自由度为41161=--=--k n 的2x 分布表， 得到分位数14.86，所以拒绝域为86.142≥x 赔款额落在0~100的理论概论为：()3653.0220011000022001000==≤≤-⎰dx e X P x同理可得8.2312=E 2.1473=E 4.934=E 3.595=E 1036=E()86.1489.3316122≥=-=∑=i ii i E E Q x在拒绝域围，所以拒绝原假设0H ，不能用指数分布模拟个别理赔分布。

8T假设实际赔款平均额为美元12000=u ，正态分布假设检验：0H ：12000≤u1H ：12000≤u2σ 量未知的大样本检验统计为：-uX Z s =，假定05.0=α 则645.1=a Z ，拒绝域为645.1>Z根据样本数据得到： n=1243 u=1200 s=1497.31 7.1283=X1283.7-12001.971 1.6451497.13Z ==>即拒绝原假设，实际赔款额大于假定的平均赔款额，也就是说有证据说明该公司假定的平均赔款额太低了。

9Tθ的先验分布为Bate(2,200)，损失随机变量的分布服从参数为θ的二项分布则θ的后验分布为：)(∑∑+-+βi i X nm a X Bate ，， 即)20033005(+-，Bateθ的后验分布均值为参数θ的贝叶斯估计：5025)(=+++==∑∧nma x a X E i βθθ10T)(~λP X i ),(~βαλGamma 由此可得：()()202.06.0βαλβαλ====Var E 解得3018==βα λ的后验分布为)70,36(),(Gamma n X Gamma i =++∑βα平方损失下λ的贝叶斯估计为后验分布的数学期望5143.07036)(==X E λ11T（1）赔款次数服从二项分布：()()kn kk n C x f --=θθ1 因为()1,0~U θ ()1=θπ所以因为()()533811|)|(θθθθ-=∏==C x f x f i ni则()()()()⎰⎰--==1053385338111)|()|()|(θθθθθθθπθθπθθπd C C d x f x f x()()()641115353，Beta d =--=⎰θθθθθ（2）当()()θθθ-=12~f 11<<θ时()()()()()⎰⎰---==163385338112112)|()|()|(θθθθθθθθπθθπθθπd C C d x f x f x()()()741116363，Beta d =--=⎰θθθθθ第三章非寿险费率厘定1T该保单期限为6个月，所以所投保的车辆是0.5个危险单位。

由于该保单是在2009年签订的，所以2010年的已签危险量为0。

2009年10月1日参加保险则在2010年的有效期间为3/6=0.5，因此2010年已承担危险量为0.5*0.5=0.25。

另外，该保单到2010年仍然有效，因而有效危险量为0.5。

2T（1）2006年至2008年在2009年7月1日费率下各年均衡已赚保费分别为：2006年：1.9×3570+3.2×1620+1.2×5820+2.3×1280=21895元2007年：1.9×4230+3.2×1910+1.2×6320+2.3×1320=24769元2008年：1.9×5100+3.2×2200+1.2×6930+2.3×1500=28496元则均衡已赚保费之和为：21895+24769+28496=75160元（2）依题意可知：W=L/ER=54867/75160=0.73 而T=0.6则调整因子为A=W/T=0.73/0.6=1.21673T费率水平相对值：2006年之前：12006年10月1日至2007年10月1日：1.12007年10月1日至2008年10月1日：1.1882008年10月1日以后：1.306820469×1.30273+23543×1.2161+28300×1.11983=86987.39元4T将相邻年间的进展因子求算术平均，即为选定因子5T6TG=40000/500000=0.08V=(200000+20000+50000)/1000000+45000/900000=0.32Q=0.05则目标损失率T=(1-V-G)/(1+G)=(1-0.32-0.05)/(1+0.08)=0.58337T1.42868/1.65)=1.0526冲销因子为1/f=1/1.0526=0.9500285 (2)各级别下的新费率级别1 1.2×1.15×1.0526=1.452588 级别2 1.452588×1.28915=1.8726 级别1 1.452588×1.4287=2.07528第四章非寿险费率校正2T由E（X3）=β0+β1E(X1)+β2E(X2)Cov (X1,X3)= β1Cov (X1,X1)+ β2 Cov (X1,X2)Cov (X2,X3)= β1 Cov (X1,X2)+ β2Cov (X2,X2)可得：4=β0+β1+2β2①2=β1+ β2②3=β1+2β2③联立以上各式，求得β0=β1=β2=1所以第三年的信度保费为1+X1+X23T依题意可设X1、X2分别为两份保单的赔款的随机变量，则由它们三年的观测值可计算得到：X=(6+12+9)/3=9X=(3+5+7)/3=5 21结构参数的估计μ =(5+9)/2=7ν=((3-5)^2+(5-5)^2+(7-5)^2+(6-9)^2+(12-9)^2+(9-9)^2)/((3-1) ×2)=6.5 a=((5-7)^2+(9-7)^2)/(2-1)-6.5/3=35/6信度因子z=n/(n+v/a)=3/(3+6.5×6/35)=0.729则两份保单的Buhlmann保费的估计值分别为：P1=(1-0.729)×7+0.729×5=5.542P2=(1-0.729)×7+0.729×9=8.4585T设X1、X2分别为两份保单赔款次数的随机变量，则X= (14+17+16+17)/4=161X= (7+13+11+9)/4=10 2结构参数的估计μ =(10+16)/2=13ν=((7-10)^2+(13-10)^2+(11-10)^2+(9-10)^2+(14-16)^2+(17-16)^2+(16-16) ^2+(17-16)^2)/((4-1)×2)=13/3a=((10-13)^2+(16-13)^2)/(2-1)-13/3/4=203/12信度因子z=n/(n+v/a)=4/(4+13×12/(203×3))=0.9398则两份保单的信度保费的估计值分别为：P1=1000×((1-0.9398)×13+0.9398×10)=10180.6P2=1000×((1-0.9398)×13+0.9398×16)=15819.17Tr=2,n1=n2=3x11=9000/30=300 x12=12000/50=240 x13=18200/70=260m11=30 m12=50 m13=70m1=m11+m12+m13=150X=（9000+12000+18200）/150=261.331x21=25000/100=250 x22=26000/130=200 x23=30000/120=250m21=100 m22=130 m23=120m2=m21+m22+m23=350X=(25000+26000+30000)/350=231.432结构参数的估计μ =(261.33×150+231.43×350)/(150+350)=240.4ν=(30*(300-261.33)^2+50*(240-261.33)^2+70*(260-261.33)^2+100*(250-2 31.43)^2+130*(200-231.43)^2+120*(250-231.43)^2)/((3-1)+(3-1))=68004.7 625a=(150*(261.33-240.4)^2+350*(231.43-240.4)^2-(2-1)*68004.7625)/(500-( 150^2+350^2)/500) =123.1728则第一组的信度因子和第四年的信度保费分别为：Z1=m1/(m1+v/a)=150/(150+68004.7625/123.1728)=0.2136P1=80×((1-0.2136)×240.4+0.2136×261.33)=19589.65第二组的信度因子和第四年的信度保费分别为：Z2=m2/(m2+v/a)=350/(350+68004.7625/123.1728)=0.388P1=100×((1-0.388)×240.4+0.388×231.43)=23691.96410T转移概率矩阵：一年后等级0% 30% 50%初始0% 1-p0p0 0等级30% 1-p0 0 p050% 0 1-p0p011T无赔款发生的概率P0=P(X=0|=)05.0=λ= 05.0-=0.9512若有10000个投保人投保，且全部享受最高折扣率优待，则一年后仍然享有50%折扣率的人数为1000095129512.0=⨯人，在30%折扣率上的人数有10000-9512=488人。