中考数学复习：轴对称之最短路径

中考数学复习：轴对称之最短路径
用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系解决问 题．常见的题型有：
1．已知：在直线l 同恻有A ．
l 上找一点P ，使得AP ＋PB 最小．
作法：如图．作点A 关于直线l
的对称点A ’，连结A 'B
，与直线，的交点就是点P
2．已知：在直线l 同侧有A ，B 两点，在l 上找一点P ，使得|AP
－PB |最小
l 的交点就是点P
3．已知：在直线l 同侧有A ，B 两点，在l 上找一点P ．使得|AP －PB |最大
作法：如图，连结BA 并延长，与直线，的交点就是点P
A l A '
A l
l
A l
4．已知：在直线l 同侧有A ，B 两点．在l 上找两点C ，D （其中CD 的长度固定，等于 所给线段d ），使得AC ＋CD ＋DB 最小，
作法：如图，先将点A 向右平移口个单位长度到点A '，作A '关于直线l 的对称点A "， 连结A "B ，与直线l 的交点就是点D ．连结A 'D ，过点A 作AC ∥A 'D ，交直线l 于点C ．则 此时AC '＋CD ＋DB 最小．
5．已知：在∠MON 内有一点P ，在边ON ，OM 上分别找点Q ，R ，使得PQ ＋QR ＋RP 最小．
作法：如图，分别作点P 关于射线OM 的对称点P '，P "，连结P 'P "，与射线ON ， OM 的交点就是点Q ，R ．
6．已知：在∠MON 内有一点P ，在边OM ，ON 上分别找点R ，Q ．使得PR ＋QR 最小
作法：如图，作点P 关于射线OM 的对称点P '，作P 'Q ⊥ON ，垂足为Q ，P 'Q 与射线ON 的交点就是R ．
A l a
l
N
N
7．已知：在 MON内有两点P，Q，在边OM，ON上分别找点R，S．使得PR＋RS＋SQ最小．
作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作点Q关于射线ON的对称点Q'，连
纳P'Q'．与射线OM，ON的交点就是R，S．
例题讲解
例1 （1）如图1，等边△ABC中，AB＝2，E是AB的中点，AD是高，在AD上作出点P，使BP＋EP的值最小，并求BP＋PE的最小值．
（2）如图2，已知⊙O的直径CD为2，»AC的度数为60°，点B是»AC的中点，在直径
CD上作出点P，使BP＋AP的值最小，并求BP＋AP的最小值．
（3）如图3，点P是四边形ABCD内一点，BP＝m，∠ABC＝α，分别在边AB，BC上作出点M，N，使△PMN的周长最小，并求出这个最小值（用含m，α的代数式表示）．
C
D
C
C
B
图1 图2 图3 解
Q N
N
H N
M
F
E P A
C
D
B
P
C D
A
B
C
D
E
（1B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交
AD 于一点，这点就是所求的点P ）；
（2B 关于CD 的对称点E ，连接AE 交CD 于一点，这点就是所求的点P ）；
（3）分别作点P 关于边AB ，BC 的对称点E ，F ，连结EF ，分别与边AB ，BC 交于点M ，N ，线段EF 的长度即为△PMN 的周长的最小值． 如图，连结BE ，BF ，
∠EBF ＝2∠ABC ＝2α，BE ＝BF ＝BP ＝m ． 过点B 作BH ⊥EF 于点H ，
所以∠EBH ＝1
2
∠EBF ＝α，EH ＝FH ．
在Rt △BEH 中，sin α＝
EH
BE
， 所以EH ＝BE ·sin α＝m ·sin α， 所以EF ＝2m ·sin α，
即PM ＋PN ＋MN ＝EF ＝2m ·sin α．
例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，分别以点A （2，3），B （3，4）为圆心，以1，3为半径作⊙A ，⊙B ，M ，N 分别是⊙A ，⊙B 上的动点，点P 为x 轴上的动点，求PM ＋PN 的最小值．
解 如图，作⊙A 关于x 轴的对称图形⊙A ´，连结A ´B ，与x 轴交于点P ，与⊙A ´交点为M ´，与⊙B 交点为N ，连结PA ，PA 与⊙A 交点为M ，则此时PA ＋PB 值最小，从而PM ＋PN 值也最
小，最小值为线段M ´N 的长．
如图，易得A ´（2，－3），由两电间距离公式得A ´B ＝
故M ´N ＝
4，即PM ＋PN ＝
－4．
例3 如图1，等边△ABC 的边长为6，AD ，BE 是两条边上的高，点O 为其交点． P ，N 分别是BE ，BC 上的动点．
Q O N E
P
B
D
C
A
A
C
D
B
P
E
N
O
图1 图2
（1）当PN ＋PD 的长度取得最小值时，求BP 的长度；
（2）如图2，若点Q 在线段BO 上，BQ ＝1，求QN ＋NP ＋PD 的最小值．
Q 'D 'A
C
D
B
P
E
N
O Q D '
O N
E
P
B
D
C
A
图3 图4
解 （1）由等边三角形轴对称的性质可得，点D 关于BE 的对称点D ´在AB 上，且为AB 的中点．
如图3，过点D ´作BC 的垂线，垂足为N ´，D ´N 交BE 于点P ，连结PD ´，则PD ´＝ P D ． 此时D ´N 的长度即为PN ＋PD 长度的最小值． 显然D ´N ∥AD ，即点N 为BD 的中点．
所以BN ＝14BC ＝3
2，
从而BP ＝
cos BN
PBN
∠
（2）如图4，作点Q 关于BC 的对称点Q ´，则BQ ´＝1，∠CBQ ´＝30°． 点D ´是点D 关于BE 的对称点，连接D ´Q ´，交BE 于点P ，交BC 于点N ． 此时D ´Q ´即为QN ＋NP ＋PD 的最小值． 显然∠D ´BQ ´＝90°，
所以D ´Q
即QN ＋NP ＋PD
进阶训练
1．两平面镜OM ，ON 相交于点O ，且OM ⊥ON ，一束光线从点A 出发，经过平面镜反射后，恰好经过点B ，光线可以只经过平面镜OM 反射后过点B ，也可以只经过平面镜ON 反射后过点B ．除了这两种作法外，还有其他方法吗？如果有，请在图中画出光线的行进路线，保留作图痕迹，并简要说明理由．
'
B '
'
答案：
作点A 关于OM 的对称点A ´，作点B 关于ON 的对称点B ´，连接A ´B ´，与OM ，ON 分别交于点D ，C ．光线行进路线如图．
2． （1）在A 和B 两地之间有一条河，现要在这条河上建一座桥CD ，桥建在何处才能使从A 到B 的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直） （2）如图2，在A 和B 两地之间有两条河，现要在这两条河上各建一座桥，分别是MN 和PQ ， 桥分别建在何处才能使从A 到B 的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
解：（1）如图，过点B 作BB ’垂直于河岸，且使BB ’长度等于这条河宽，连接AB ’交河的一岸于点C ，过点C 作CD 垂直于河岸，与另一岸交点为D ，则CD 即为架桥最合适的位置． （2）如图，过点A 作AA ’垂直于距点A 较近的河岸，且使AA ’长等于该河宽，同样，过点B 作BB ’垂直于距点B 较近的河岸，且使BB ’长等于河宽，连接A ’B ’分别交两条河相邻的河岸于点N ， P ， 过点N 作NM 垂直于该河河岸，与另一岸交点为M ， 过P
作PQ
垂直于该河河岸，与另一岸交点为Q ， 则MN ， PQ 即为架桥最合适的位置．
A
B
B
A
图1 图2
3．如图，直线
3
3
4
y x
=+分别与x轴，y轴交于点A，B，抛物线y＝－x2＋2x＋1与y
轴交于点C．若点E在抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE＋EF的最小值．
提示：作点C关于对称轴x＝1的对称点C’，则C’（2，1）．过点C’作C’F⊥AB于点F，且于对称轴交于点E，此时FC’的长为CE＋EF的最小值．连接C’B，C’A，作
C’K⊥x轴于点K，则S△ABC＝S△ABD＋S△梯形C’KOB－S△C’KA＝ABFC’，解得FC’＝14
5
，则CE＋
EF的最小值是14
5
．。