小波分析全章节讲解
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f1(t)f2 *(t)d t2 1 F 1()F 2 *()d
特别当 f1t f2t 时，有
f1 ( t)2 d t 2 1 F ()2 d F (f)2 d f
上式实际上给出了信号的能量关系。 在时域和频域的总能量是相等的，故 也称为能量守恒定理。
（6）框架 设H为Hilbert空间，{ k } 为H中的一个函数 序列，若 f H ，都存在实数A,B使得
Af2 f,kBf2 k
则称为框架，其中A,B分别称为框架的上、 下界。 当A=B时，此框架称为紧框架; 尤其当A=B=1时，此紧框架就变 为规范正交基。
定义内积为
f,gf(x)g*(x)dx
例2:在n维欧氏空间 R 中n ， f , g R，n f (f1 ,f2 ,...,fn ) ,g ( g 1 ,g 2 ,...g n )
定义内积为
n
f,gf1g1...fngn figi i1
2.基底及展开
（1）由函数序列张成的空间
设 {e k (t )} 为函数序列，令集合 X 为
x[n]21
X()ejnd
2.DFT
X [k ] N 1 x [n ]e j2 N n k N 1 x [n ]W N n k,k 0 ,1 ,...,N 1
n 0
n 0
x [n ] N 1 N n 0 1 X [k ]e j2 N n k N 1 N n 0 1 X [k ] W N n k ,n 0 ,1 ,...,N 1
经验的建立了反演公式，当时未能得
到数学家的认可。
小波分析的应用是与小波分析的
理论研究紧密地结合在一起地。
小波分析的应用领域十分广泛，它包括:
数学领域的许多学科;信号分析、图象处理；量子 力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算 机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊 断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面； 例如：
在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、 曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。
在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。
在图象处理方面的图象压缩、分类、
识别与诊断，去污等。
在医学成像方面的减少B超、CT、
核磁共振成像的时间，提高分辨率等。
• 傅里叶（Fourier)分析是数字信号处理 的基础，也是现代信号处理的出发点。 它将信号分析从时间域变换到了频率域 。
5.尺度伸缩
在小波分析中，有着大量涉及信号 在时域和频域的伸缩和变尺度分析 。
f
t a
a
F(a)
信号在一个域内的伸缩会导致在 另一个域的相反方向上的伸缩。
傅里叶变换(离散)
时域离散信号也可以根据是否为周期性，分为离 散时间序列傅里叶变换（DTFT）和离散傅里叶 变换（DFT）。
1.DTFT
X() x[n]ejn n
X akek(t),t,akR,kZ
k
即 X 为函数序列{e k (t )} 的所有可能的
线性组合构成的集合，则称 X 为
序列 {e k (t )} 张成的线性空间，简记为
Xspan{ek}
（2）基底 若序列{e k (t )} 线性无关，则 g X ，式 中的系数 a k 的取值是惟一的。此时，就 称 {e k (t )}为空间 X 的一组基底。
2.位移 时域位移将导致信号频谱增加一个 附加相位，但是幅频特性不变，即
f(ta) F F()eja
3.卷积 卷积特性分为时域卷积和频域 卷积，即
f1(t)*f2(t) F F 1()F 2()
f1(t)f2(t) F 21 F1()F2()
4.Parseval定理（内积定理）
它表明两个信号在时域和频域中的 内积之间的关系，即
小波小讲
小波的发展
傅里叶分析
wk.baidu.com
傅里叶级数
傅里叶变换
泛函数分析
窗口傅里叶变换
小波的基本概念
小波分析
小波变换
多分辨率分析
小波算法
小波的应用
图像压缩
小波去噪
边缘检测
一、小波的发展
小波分析是当前数学中一个迅速发展的新 领域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的 双重意义。
小波变换的概念是由法国从事石油信号处 理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通 过物理的直观和信号处理的实际需要
（3）正交（直交） 设x,y为内积空间中的两个元素， 若内积 x, y0 ，则称x,y 相
互正交，简记为 x y 。
（4）规范正交基
若内积空间 X 中的基底 { e n } 满足
em,en(mn) 0 1,,m m nn 则称{ e n }为 X 中的规范正交基（标准正交
基）。
故 xX都可以展开成为
二、傅里叶分析(连续)
1、傅里叶变换
（1）傅里叶（FT）定义
F （）=f(t)ejtdt （1.1）
f(t)1 F()ejtd（1.2）
2
其中，式（1.2）称为傅里叶反变换（IFT)
(2)FT的性质
1.对偶性 利用对偶性可以方便地得到一 些函数的傅里叶变换或反变换 公式，即
F(t) F 2f()
三、泛函分析
1.函数空间 （1）线性空间 例:平方可积函数空间
L 2(R )f(x) f(x)2d x
（2）赋范线性空间
例：
n
x 1
k
k 1
1
x
2
n
2 k
k 1
2
x
max 1kn
k
（3）巴拿赫（Banach)空间
（4）希尔伯特（Hilbert）空间
例1:对于线性空间 L2(R),f,gL2(，R)
• 泛函分析是20世纪初开始发展起 来的一个重要的数学分支，它是 以集合论为基础的现代分析手段， 它用更加抽象的概念来描述熟知 的对象。
• 小波理论是建立在傅里叶分析和 泛函分析基础之上的视频分析工 具之一。
• 小波变换是对傅里叶变换与短时 傅里叶变换的发展，为信号分析、 图像处理、量子物理及其他非线 性科学的研究域带来革命的影响。
x x,en en n1
并且有Parseval等式，即
x 2
x,en 2
n1
（5）双正交基
对于不满足规范正交条件的基底 { e k } 来说 ，如果存在另一组对偶基底{ e n } 使得
en,em(mn) 0 1,,m m n n
对应的傅里叶展开式为
f f ,en en n1
规范正交性存在于原基底与对偶基底之间， 展开式也相应的由原基底和对偶基底构成， 这种基称为双正交基，与互为对偶基底。
特别当 f1t f2t 时，有
f1 ( t)2 d t 2 1 F ()2 d F (f)2 d f
上式实际上给出了信号的能量关系。 在时域和频域的总能量是相等的，故 也称为能量守恒定理。
（6）框架 设H为Hilbert空间，{ k } 为H中的一个函数 序列，若 f H ，都存在实数A,B使得
Af2 f,kBf2 k
则称为框架，其中A,B分别称为框架的上、 下界。 当A=B时，此框架称为紧框架; 尤其当A=B=1时，此紧框架就变 为规范正交基。
定义内积为
f,gf(x)g*(x)dx
例2:在n维欧氏空间 R 中n ， f , g R，n f (f1 ,f2 ,...,fn ) ,g ( g 1 ,g 2 ,...g n )
定义内积为
n
f,gf1g1...fngn figi i1
2.基底及展开
（1）由函数序列张成的空间
设 {e k (t )} 为函数序列，令集合 X 为
x[n]21
X()ejnd
2.DFT
X [k ] N 1 x [n ]e j2 N n k N 1 x [n ]W N n k,k 0 ,1 ,...,N 1
n 0
n 0
x [n ] N 1 N n 0 1 X [k ]e j2 N n k N 1 N n 0 1 X [k ] W N n k ,n 0 ,1 ,...,N 1
经验的建立了反演公式，当时未能得
到数学家的认可。
小波分析的应用是与小波分析的
理论研究紧密地结合在一起地。
小波分析的应用领域十分广泛，它包括:
数学领域的许多学科;信号分析、图象处理；量子 力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算 机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊 断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面； 例如：
在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、 曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。
在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。
在图象处理方面的图象压缩、分类、
识别与诊断，去污等。
在医学成像方面的减少B超、CT、
核磁共振成像的时间，提高分辨率等。
• 傅里叶（Fourier)分析是数字信号处理 的基础，也是现代信号处理的出发点。 它将信号分析从时间域变换到了频率域 。
5.尺度伸缩
在小波分析中，有着大量涉及信号 在时域和频域的伸缩和变尺度分析 。
f
t a
a
F(a)
信号在一个域内的伸缩会导致在 另一个域的相反方向上的伸缩。
傅里叶变换(离散)
时域离散信号也可以根据是否为周期性，分为离 散时间序列傅里叶变换（DTFT）和离散傅里叶 变换（DFT）。
1.DTFT
X() x[n]ejn n
X akek(t),t,akR,kZ
k
即 X 为函数序列{e k (t )} 的所有可能的
线性组合构成的集合，则称 X 为
序列 {e k (t )} 张成的线性空间，简记为
Xspan{ek}
（2）基底 若序列{e k (t )} 线性无关，则 g X ，式 中的系数 a k 的取值是惟一的。此时，就 称 {e k (t )}为空间 X 的一组基底。
2.位移 时域位移将导致信号频谱增加一个 附加相位，但是幅频特性不变，即
f(ta) F F()eja
3.卷积 卷积特性分为时域卷积和频域 卷积，即
f1(t)*f2(t) F F 1()F 2()
f1(t)f2(t) F 21 F1()F2()
4.Parseval定理（内积定理）
它表明两个信号在时域和频域中的 内积之间的关系，即
小波小讲
小波的发展
傅里叶分析
wk.baidu.com
傅里叶级数
傅里叶变换
泛函数分析
窗口傅里叶变换
小波的基本概念
小波分析
小波变换
多分辨率分析
小波算法
小波的应用
图像压缩
小波去噪
边缘检测
一、小波的发展
小波分析是当前数学中一个迅速发展的新 领域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的 双重意义。
小波变换的概念是由法国从事石油信号处 理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通 过物理的直观和信号处理的实际需要
（3）正交（直交） 设x,y为内积空间中的两个元素， 若内积 x, y0 ，则称x,y 相
互正交，简记为 x y 。
（4）规范正交基
若内积空间 X 中的基底 { e n } 满足
em,en(mn) 0 1,,m m nn 则称{ e n }为 X 中的规范正交基（标准正交
基）。
故 xX都可以展开成为
二、傅里叶分析(连续)
1、傅里叶变换
（1）傅里叶（FT）定义
F （）=f(t)ejtdt （1.1）
f(t)1 F()ejtd（1.2）
2
其中，式（1.2）称为傅里叶反变换（IFT)
(2)FT的性质
1.对偶性 利用对偶性可以方便地得到一 些函数的傅里叶变换或反变换 公式，即
F(t) F 2f()
三、泛函分析
1.函数空间 （1）线性空间 例:平方可积函数空间
L 2(R )f(x) f(x)2d x
（2）赋范线性空间
例：
n
x 1
k
k 1
1
x
2
n
2 k
k 1
2
x
max 1kn
k
（3）巴拿赫（Banach)空间
（4）希尔伯特（Hilbert）空间
例1:对于线性空间 L2(R),f,gL2(，R)
• 泛函分析是20世纪初开始发展起 来的一个重要的数学分支，它是 以集合论为基础的现代分析手段， 它用更加抽象的概念来描述熟知 的对象。
• 小波理论是建立在傅里叶分析和 泛函分析基础之上的视频分析工 具之一。
• 小波变换是对傅里叶变换与短时 傅里叶变换的发展，为信号分析、 图像处理、量子物理及其他非线 性科学的研究域带来革命的影响。
x x,en en n1
并且有Parseval等式，即
x 2
x,en 2
n1
（5）双正交基
对于不满足规范正交条件的基底 { e k } 来说 ，如果存在另一组对偶基底{ e n } 使得
en,em(mn) 0 1,,m m n n
对应的傅里叶展开式为
f f ,en en n1
规范正交性存在于原基底与对偶基底之间， 展开式也相应的由原基底和对偶基底构成， 这种基称为双正交基，与互为对偶基底。