根与系数关系教案

22.2.4 根与系数的关系（课案：教师用）
一、教学目标:
1.知识与技能:掌握一元二次方程的根与系数之间的关系以及根的判别式的综合运用。

2.过程与方法:经历由公式法推导一元二次方程根与系数的过程，理解一元二次方程的根与系数之间的关系，并利用此关系解题。

3.情感、态度与价值观：在由公式法推导一元二次方程根与系数的关系的过程中，发展观察、分析、发现问题的能力。

二、学情分析：
三、教学重点：根与系数的关系的应用
难点：根与系数的关系和根的判别式的综合应用
突破难点的关键：鼓励学生动手操作，主动探索和讨论交流。

突破方法：通过活动一中的复习引入得出一元二次方程的根与系数的关系，通过例1运用根与系数的关系解题突出本课的重点。

通过例2运用根据系数的关系求待定系数的值，突破本课的难点，通过跟踪训练加强根与系数的应用的理解。

四、教学方法：采用“探究──发现——应用”的教学过程，鼓励学生动脑、动口、动手参与教学活动，感悟知识的形成过程，充分调动学生学习的积极性、主动性。

学习方法：合作交流性学习，探究性学习，概括性学习等方法 五、教师的准备：制作活动一、活动二、活动三中问题的幻灯片
学生的准备：复习一元二次方程的求根公式，及一元二次方程的解法。

六、教学过程
【课前预习】课本P40~P41
【课内探究】复习引入：方程)0(02
≠=++a c bx ax 的求根公式a
ac
b b x 242-±-=。

问题：解方程求出两个解1x 、2x ，并计算两个解的和与积，填入下表
（2）观察表格中方程两个解的和、两个解的积与原方程的系数之间的关系有什么规律?写出你的结论.
分析：这是一道探究一元二次方程根与系数关系的问题，探究性问题为学生提供了广阔的思维空间，有利于调动学生的创新意识和探究兴趣，成为近几年中考的热点题型之一。

首先要根据题意求出已知方程的解，再根据得出的规律，
【解】（1）
3， 0， 2
9
-；
32， 0， 3
2
， 0； 2， 1， 3， 2； b a -
， c
a
. （2）已知：1x 和2x 是方程2
0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根，
那么，12b x x a +=-
， 12c
x x a
⋅=. 【点评】探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的题型，
探究性问题一般分为三类：1、条件探究型题；2、结论探究型题；3、探究存在型题。

条件探究型题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探究型题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比、引申推广，或题目给出条件，要通过归纳总结出一般结论，探究存在型题目是指在一定的前提下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目。

这类问题具有较强的综合性，涉及的数学基础知识较为广泛，既能考查学生对基础知识掌握的熟练程度，又能考查学生的观察、分析、概括能力，能从具体、特殊的事实中探究其存在的规律，把潜在藏在表面现象中的一般规律挖掘出来。

注：牢记利用一元二次方程的根与系数关系的前提条件必须满足042
≥-ac b ，用根与系数的关系求出一元二次方程中待定的常数的值后，一定要把待定的常数的值代入ac b 42-，使042
≥-ac b 的值保留，使042
<-ac b 的值舍去。

【活动二】例1.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根21x x ，的和与积。

（1）01562=--x x ； （2）09732
=-+x x （3）2415x x =- （4）0262
=--x x （5）0122=++x x （6）0132
=--x x
分析：不是一般形式的先化成一般形式，再运用根与系数的关系，即公式：12b x x a +=-， 12c
x x a
⋅=代入进行计算。

例2：已知关于x 的方程012)14(2
=-+++k x k x 。

（1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根。

（2）若21,x x 是方程的两个实数根，且32)2)(2(21-=--k x x ，求k 的值。

分析：（1）要证方程有两个不相等的实数根，即证ac b 42
-≥0.只需将方程中二次项、一次项的系数代入进行化简、验证即可。

（2）要求k 的值，必须先将32)2)(2(21-=--k x x 化简，变形可得：
324)(22121-=++-k x x x x ，再将1221-=k x x ，)14(21+-=+k x x 代入上式，可得
2k-1+2(4k+1)+4=2k-3，求出此一元一次方程的解即可。

跟踪训练：
1.课本P42练习，P43习题2
2.2第7题。

2.已知关于x 的一元二次方程012
=-+kx x （1）求证：方程有两个不相等的实数根。

（2）设方程的两根分别为21,x x ，且满足2121x x x x ⋅=+，求k 的值。

【活动三】思维拓展：
例3：已知21,x x 是关于x 的一元二次方程062
=+-k x x 的两个实数根，且115212
22
1=--⋅x x x x 。

（1）求k 的值；（2）求82
221++x x 的值。

分析：本题很多同学拿到题目首先就运用根与系数的关系和式子115212
22
1=--⋅x x x x 求出k 的值。

再将k 的值代入原方程，根据根与系数的关系解决第（2）问。

事实上，本题有一个隐含条件，即方程有两个实数根，根据这个条件，首先应该求出k 的取值范围，然后根据115212
22
1=--⋅x x x x 求出k 的值，取符合k 取值范围的k 的值，再解决其他问题。

八、课堂作业：
1.设21,x x 是方程03422
=-+x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。

（1）)2)(2(21++x x ；（2）
2
1
12x x x x + 2.已知βα,是方程0242
=++x x 的两个实数根，则50143
++βα=_________.
3.设21,x x 是关于x 的一元二次方程mx n x x =-++22
的两个实数根，且01<x ，123x x -<0,则（ ）
A.⎩⎨⎧>>21n m
B.⎩⎨⎧<>21n m
C.⎩⎨⎧><21n m
D.⎩⎨⎧<<2
1
n m
【课后延伸】
已知21x x ，是方程04322
=-+x x 的两个根，求2
12
1x x x x +的值。

九、教学反思：
通过这节课的学习，可以发现：合作探究性的学习是有利于我学习好数学知识的，其实数学学习是一个由浅入深、由简到繁、环环相扣，不断深入性的过程。

通过启发学生思考，归纳总结所学知识，让学生更加明确本节课的知识点。

同时也培养和锻炼学生的语言表述能力，增强了学生学习数学的信心。

十、教后反思：
22.2.4一元二次方程的根与系数的关系习题
Ⅰ．核心知识扫描
一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0），当240b ac -≥时，方程有实数根，设这两个实数根分别为
12x x 、，这两个根与系数的关系：1212b c x x x x a a
+=-⋅=，。

Ⅱ．知识点全面突破
知识点：○
C 一元二次方程根与系数的关系
【易错警示】：一元二次方程20ax bx c ++=根与系数的关系成立的条件：（1）a ≠0；（2）240b ac -≥。

在解决有关字母的取值范围的问题时，一定要先考虑这两个条件。

例：已知12x x ，是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；
（2）是否存在这样的实数k ，使1212
3
222x x x x +-
=g 成立？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意知，0k ≠且2
44(3)0k ∆=-->g
, 4
3
k ∴>-且0k ≠．
（2）存在．
121243
x x x x k k
+=-=-Q g ，
又12123222x x x x +-
=Q ，∴8
2k k
-+=． 解得14k =，22k =-（不符合题意，舍去）．
∴存在满足条件的k 值，即4k =．
点拨：（1）由于该方程有两个不相等的实数根，因此该方程根的判别式的值大于零，从而列出一个关于k 的一元一次不等式，从而求出k 的取值范围；（2）用含k 的代数式表示12x x +和12x x g 的值，然后代入
1212
3
222x x x x +-
=g ，求出k 的值. Ⅲ．高效解题提升
提升点：根与系数的关系的综合运用
例1. （2008年南通市）设1x 、2x 是关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋n －2＝mx 的两个实数根，且1x ＜0，2x －31x ＜0，则（ ）
A ．12m n >⎧⎨
>⎩ B ．12m n >⎧⎨<⎩ C ．12m n <⎧⎨>⎩ D ．1
2
m n <⎧⎨<⎩
答案：C
点拨：∵12x x +＝m －1，12x x ＝n －2
1x ＜0，2x －31x ＜0，∴2x ＜0
∴12x x +＜0，120x x >． ∵12x x +＝m －1，12x x ＝n －2 ∴m －1＜0，n －2＞0
Ⅴ．分层实战
1.已知一元二次方程x 2
＋2x －7=0的两个根为x 1、x 2，则x 1＋x 2的值是（ ）（知识点）
A ．－2
B ．2
C ．－7
D ．7
2. 若,αβ是方程2220050x x +-=的两个实数根，则2
3ααβ++的值为（ ）（知识点）
A ．2005
B ．2003
C ．－2005
D ．4010 3. 若1x 、2x 是一元二次方程0572
=+-x x
的两根，则
2
11
1x x +的值是（ ）（知识点） A ．
57 B ．57- C ．7
5 D ．75-
4.（2010年包头市）关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且
22
127x x +=，则212()x x -的值是（ ）（提升点）
A ．1
B ．12
C ．13
D ．25 5.（2010江苏南通）设x 1、x 2 是一元二次方程x 2+4x －3=0的两个根，2x 1(x 22+5x 2－3)+a ＝2，则a = ______．（提升点）
6.已知关于x 的一元二次方程x 2
－(k ＋1) x －6=0的一个根是2，求方程的另一根和k 的值．(知识点)
7.（2010广东中山）已知一元二次方程022
=+-m x x ．（提升点）
（1）若方程有两个实数根，求m 的范围；
（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且1x +32x =3，求m 的值。