第01章_质点运动学

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解: 以投出点为原点, 如图建立坐标系:
1 2 根据 y v0 sin t gt 2 1 2 10 20sin 30 t 9.8 t 2 解得 t 2.78s 和 0.74s , 取正数解, 则球在出手后
2.78s 着地
着地点离投射点的水平距离为
[例1.3] 在高出海面30m 的悬崖边上以15m/s 的初速竖直向上抛出一石子, 如图所示, 设石 子回落时不再碰到悬崖并忽略空气的阻力,
求 (1)石子能达到的最大高度; (2)石子
从被抛出到回落触及海面所用的时间; (3)石子触及海面时的速度。
解: 如图取通过抛出点的竖直线
为 x 轴, 向上为正, 抛出点为原点。
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u M 0 t [ln M 0 t 1] M 0 ln M 0 1
其中 M 为火箭发射前的质量， 为燃料的 燃烧速率，u 为燃料燃烧后喷出气体相对火 箭的速率，g 为重力加速度。 求火箭点燃后，它的速度和加速度随时间变
0
化的关系。
dz 解： ln M 0 ln M 0 t gt v u dt u dv g a dt M 0 t
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[例1.2]: 一质点在 xy平面内运动，其运动函 数为 x R cos t 和 y R sin t ，其中 R 和 为正值常量。求质点的运动轨道以及任
第1章 质点运动学
机械运动: 指物体的位置随时间改变 运动学: 描述物体机械运动的理论 为了从最简单的研究开始,引入一个理想 模型 ~ 质点: 具有一定质量的点
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主要内容
参考系
质点的位矢、位移和速度
加速度
匀加速运动 抛体运动 圆周运动 相对运动
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1.1 参考系
⒈参考物 参考物：为了确定物体位置所参考的物体 或物体系 运动的相对性：物体运动的形式随参考物
或 x x(t ), y y (t ), z z (t )
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以 i ，j ， y，z 轴正方向的 k 分别表示沿 x ，
r xi yj zk r (t ) x(t )i y(t ) j z (t )k
这表明质点的实际运动是沿各坐标轴的分运 动的合运动
由于重力加速度和 x 轴正向相反，
故为负。
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（1）由 v2 v2 2 g x 得： 0 能达到的高出抛出点以上的最大高度：
v 0 152 02 x1 11.5 m 2g 2 9.80
2 0 2
( 2 )、( 3 ) 可把上升下落看成一个整体过程
vy v0 y a y t
vz v0 z az t
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1 2 x x0 v0 xt axt 2 1 2 y y0 v0 y t a y t 2 1 2 z z0 v0 z t az t 2
沿各坐标轴的各分量均可正可负, 方向与轴
的正向相同为正, 反之为负
的一个特征频率的光波周期的9192631770倍
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倍数单位: 基本单位的倍数或分数, 用词头
表示倍数或分数，如皮秒(10-12 s)
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1.2 质点的位矢、位移和速度
⒈位矢（位置矢量、径矢） 位矢：从原点向质点位 置引的有向线段，记
Z
作r
r
•P(x, y, z) Y
X
O
质点的运动函数：
r r (t )
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地面参考系 ~ O x y z 地心参考系 ~ O x y z 太阳参考系 ~ Oxyz 实验室参考系 ~ 固定在实验室的参考系
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(3) 相关单位： 长度的基本单位：米 ( m ) SI规定: 1 m 是光在真空中在(1/299792458) s
内所经过的距离 时间的基本单位：秒 ( s ) SI规定: 1 s 是铯的一种同位素 133Cs原子发出
dr dx dy dz v i j k vx vy vz dt dt dt dt
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表明质点的速度是各分速度的矢量和
某些速率
真空中光速 太阳在银河系中的运动 地球的公转 人造地球卫星 现代歼击机 空气中声速(0oC) 猎豹 大陆板块移动
(m/s)
v sin 2 X g
2 0
抛射角等于45 时射程最大

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[例1.4] 有一学生在体育馆阳台上以投射角 和速率 v0 20m / s向台前操场投出一垒 30 球, 球离开手时距离操场水平面高度 h 10m 问球投出后何时着地? 在何处着地? 着地时 速度的大小和方向各如何?
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单位矢量，则
2. 位移
位移 r：指一段时间内的位置的改变 r r (t t ) r (t )
注意: 一般来说,
r r
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3. 速度
r (1) 平均速度： v t r d r (2) 瞬时速度(速度)： v lim t 0 t dt
v v 2( g ) x
2 2 0
触海速度 v v 2 gx 15 2 9.8 30
2 0
2
负号表示速度方向与坐标轴正向相反, 为向下 27
28.5m / s
v v0 ( g )t 所用时间 t v0 v / g 15 28.5 / 9.8
2 y 2
着地时速度的大小为
v v v 17.3 17.2 24.4 m / s
2 x 2
此速度和水平面的夹角
17.2 arctan arctan 44.8 vx 17.3
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vy
3. 抛体运动特例: 上抛运动 属于匀加速直线运动 任意时刻的速度 v v0 gt
一时刻它的位矢、速度和加速度。
2 2 2 解：由题意可得轨道方程： x y R
（这是一个圆心在原点的圆的方程，它表明
质点沿圆周运动。）
位矢： r xi yj R cos ti R sin tj
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dr 速度： v R sin t i R cos t j dt (速率为 v v2 v2 R 是常量，表明质 x y dv 加速度： a dt 2 2 R cos t i R sin t j 2 （可得到： a r
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初始条件: 质点在时刻 t 0 时的位矢 r0 与速度 v0
在已知加速度的情况下, 给定了初始条件, 就 可以求出质点在任意时刻的位置和速度。这 一点对于任意运动都成立。
2. 匀加速直线运动: 若质点沿直线作匀加速运动, 则可以选此直
线为 x 轴, 可得:
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速度
3. 自由落体运动: 只有重力作用, 初速度为0的匀加速直线运动
是竖直的匀加速运动 和水平的匀速运动的 的合成
x v0 cos t 1 2 y v0 sin t gt 2
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易得: 物体从抛出到回落到抛出点高度所用的时间:
2v0 sin T g 2 2 v0 sin 最大高度: Y 2g
射程(回落到与抛出点高度相同时经过的水平距离):
注意:
单位：m/s2
1.3 加速度
不管是速度的大小发生变化还是方向发生变
化，都有加速度
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d v i v j v k x y z dv a dt dt dvx dvy dvz 2 i j k dvx d x dt dt dt ax 2 d t d t 三 ax a y az 2 d v dy 个 y
4.44s
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1.5 抛体运动
⒈定义: 从地面上某点向空中抛出的物体在
空中的运动 ~ 抛体运动
说明:
① 一般抛出速度较小, 故可忽略空气阻力
②其运动轨道一般在二维平面内, 平面由抛
出速度的方向和竖直方向所确定
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2. 分析:
a g 匀加速运动
如图建立坐标系, 从抛出时刻开始计时
vx v0 cos vy v0 sin gt


分 量
ay
dt dt 2 dvz d z az 2 dt dt

2
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某些加速度值 (m/s2)
步枪子弹在枪膛中的加速度 汽车撞坏的加速度 使人晕眩的加速度 5105 1103 710
பைடு நூலகம்地球表面的重力加速度
月球表面的重力加速度
9.8
1.7
由于地球自转在赤道上的加速度
地球公转的加速度
x v0 cos t 20 cos30 2.78 48.1m

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着地时 vx
v0 cos 20 cos30 17.3 m / s vy v0 sin gt 20 sin 30 9.8 2.78

17.2 m / s
位置
1 2 y v0t gt 2
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1.6 圆周运动
1. 速度: (1) 线速度(速率)
的不同而不同
2. 参考系 (1) 坐标系：
X
Z
• P(x, y, z) Y
3
O
为了定量地说明物体位置，在参考物上建
立固定的坐标系，常用笛卡儿直角坐标系 (2) 参考系： 由一个固定在参考物上的坐标系和相应 于各处的一套同步的钟组成。
这样质点在运动中到达各处时，都有各处
的钟给出它到达该处的时刻，由此得到位 置随时间的变化
v v0 at
v0
0
匀加速运动的速度公式
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dr 得: dr vdt 由 v dt r t 两边积分: dr v0 at dt
r0 0
12 得: r r0 v0t at 匀加速运动的位矢公式 2 常用分量式 v v a t x 0x x
1 2 位置 x x0 v0t at 2 若取初位置为原点, 可推得 v2 v 2 2ax 0
v v0 at
a g ~ 重力加速度
地面附近 g=9.81m/s2
若以起点为原点, 取
y 轴正方向向下, 则:
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1 2 2 v gt , y gt , v 2 gy 2
负号表示质点的加速度方向总和位矢的相反，是
指向圆心的）
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点作匀速率圆周运动）
1.4 匀加速运动
⒈匀加速运动: 加速度的大小和方向都不随时间改变的运动
dv 得: 由 a d v a d t dt v t 两边积分: v dv adt 0 0 v t a 为常矢量, 则: dv a dt 得: v v0 at
3.410–2
610–3
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3. 运动学的两类问题: (1)
(2)
r (t ) v(t ) a (t ) a (t ) v(t ) r (t )
(求导的方法) (积分的方法)
4. 例题:
[例1.1]: 竖直向上发射的火箭点燃后,其上升 高度和时间的关系，在不太高的范围内为 1 2 z ut ln M 0 gt 2
3.0108 3.0105 3.0104 7.9103 9 102 3.3102 2.8 10 10– 9
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v(t t ) v(t ) v ⒈平均加速度: a t t 2 2. 瞬时加速度: v dv d r a lim 2 t 0 t dt dt
速度的方向:沿着该时刻质点所在处的运动
轨道的切线而指向运动的前方 单位:
m/s
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(3) 速率 v: 速度的大小
用s表示在 t时间内沿轨道经过的路程,
r xi yj zk
r s d s lim v lim t 0 t t 0 t dt