高中数学数列求和课件

复习
数 列 {an}的 前 n项 和S n a 1 a 2 L a n
1.等差数列前n项和:
Sn
na1an
2
na1nn21d
2.等比数列前n项和:
当q1时 Hale Waihona Puke Baidun na1
当q1时
Sn
a1 1qn 1q
a1 an q 1 q
基础训练 一、公式法
1 . 2 4 6 2 n _ n(n_ 1) _
解:设 Sn2 22 4 22 6 32 2n n
①
1
2 4 2 ( n 1 ) 2 n
2 S n 2 2 2 3 2 n 2 n 1 （②设计错位）
①－②得 ( 1 1 2 )S n 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 n 2 2 n n （1错位相减）
221 n1
2n 2n1
变式训练
变式训练1：求和
1(12)(1222)···(1222··· 2n1)
解：设 an12···2n1
1 2 n 2n 1
1 2
Sna1a2···an
分组求和
( 2 1 ) ( 2 2 1 ) ( 2 n 1 )
222···2n n
2(12n) n 2n1n2
12
三、倒序相加法
A n项之和为Sn，则Sn的值等于(
)
(A)
n2
1
1 2n
(C)
n2
1
1 2n-1
(B) 2n2 n1 1
2n
(D) n2 n121n
3.练习：求下列数列前n项的和Sn：
(1)113，214，315， L， nn12,
1
(2)
,
1 ,
1 ,,
1 ,
1 2 2 3 3 4 n n1
例5、（2003北京）已知数列{an}是等差数列， 且a1=2，a1 +a2 +a3=12 （1）求数列{an}的通项公式； （2）令bn=anxn（x∈R），求数列{bn}的前n 项和的公式.
S n (1 2 1 3 ) (1 3 1 4 ) (1 4 1 5 ) L (n 1 1 n 1 2 )
(1 1 ) n
2 n2 2(n 2)
裂项相消
变式训练
求1 1 1 1 1 ,(nN*)。 12 123 1234 123n
解：由题意设 an 2
2 1
n(n 1)
n(n 1)
Sn 1 1 ···
1
12 22
212··3· ···2n
12 23 34
n(n 1)
2[111 1 ] 12 23 34 n(n1)
2•(1111··· 1 1 )
223
n n 1
2•(1 1 )
n 1
2n n 1
变式训练
已知 an
1 n n1
，若 an
前n
项和为10，则项数n为___1_2_0_____.
∴ Sn 4n2n12
即时小结
在什么情况下，用错位相减法求和？
cn anbn其中 an是等差数列 bn是等比数列
变式训练
变式训练5
求 S12x3x24x3 (n1)xn的值
【解析】
1 当 x＝ 1 时 ， S ＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ ＋ ( n＋ 1)＝ n 1 n 2 ；
2
例题分析
例2 求Sn
裂项相消法
S n21 33 144 15 (n 1 )1 n ( 2 )
分析：此数列为特殊数列，其通项的分母是两 个因式之积，且两数相差1,若把通项作适当变 形为
1 1 1
裂项
(n1)n(2) n1 n2
五、裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，即数列的每 一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些 正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若 干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.
如果一个数列{an}，与首末两项等距离的两
项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与
倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的 和，这一求和的方法称为倒序相加法.
例、（2003上海春）设
f (x) 1 2x
2
，
利用课本中推导等差数列前n项和的公式的
方法，可求得
f ( 5 ) f ( 4 ) f ( 0 ) f ( 5 ) f ( 6 )
技巧小结：常见的裂项变形
1
nn1
1 n
1 n+1
1
nnk
1(1 1 ) k n n+k
2n11 2n11 2 2n 1 12n 1 1
1 1 ( a b) a b ab
例题分析
111
1
求和 S n2 33 44 5 (n 1 )n ( 2 )
解: Qan(n1)1 (n2)n1 1n 12
2. 11 21 421n _2 _21n___
即时小结
在什么情况下，用公式法求和？ 公式法求和的前提是由已知条件能得到 此数列是等差或等比数列，因此，要求不仅 要牢记公式，还要计算准确无误。
例题分析 二、分组求和法
例1 求 Sn
11
1
Sn(22)(44)(2n2n)
1 . 2 4 6 2 n ____ 2. 11 21 421n _____
例题分析
解：Sn
(21)(41)··· 24
(2n
1 2n
)
=(2+4+···+2n)
(
1 2
1 4
···
1 2n )
分组求和
n(22n) 2
1 [1 (1)n ] 22
1 1
n(n1)1(1)n 2
n2 n(1)n 1 2
2
即时小结
求前n项和关键的第一步：
在什么情况下，用分组求和？
cn anbn其中 an是等差数列 bn是等比数列
例题分析
例3.求数列 22,242,263,,22nn ,
前n项的和
分析: { 2 n }的通项是等差数列{2n}的通项
2n
与等比数列{
1 2
n
}的通项之积
六、错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列与一 个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采 用错位相减法.
例题分析
例3.求数列 22,242,263,,22nn , 前n项的和
当x=1时： Sn n(n1)
当x≠1时： Sn 2(x1(1xx)2n)21nxnx1
课堂小结
1.公式法: 直接利用等差等比数列的求和公式
2.分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，
也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分 为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和， 再将其合并即可. 3.裂项相消法： 把数列的通项拆成两项之差，即数 列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一 些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少 数项之和，这一求和方法称为裂项相消法. 4.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数 列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采 用错位相减法.
＝ 1 x n 1 － ( n＋ 1 ) x n ＋ 1， 1 x
所
以
S＝
1 x n1 1 x 2
－
n
1 x n1 1 x
1、求Sn=1+11+111+···+11···1 n个
an
1 (10n 9
1)
1 9
10n
1 9
10(10n 1) n
Sn
81
9
练习
2.数列 11 2， 31 4， 51 8， 71 1， 6 ， 2n12 1 n， 的前
2当 x 0且 x 1时 ，
因 为 S ＝ 1 ＋ 2 x＋ 3 x 2＋ 4 x 3＋ ＋ ( n＋ 1) x n， ① 所 以 x S ＝ x＋ 2 x 2＋ 3 x 3＋ ＋ n x n＋ ( n＋ 1) x n＋ 1 .② 由 ① － ② 得 (1 － x ) S ＝ 1 ＋ x＋ x 2＋ x 3＋ ＋ x n－ ( n＋ 1) x n＋ 1
的值为
.
四、并项求和法
把数列中的相邻几项合并，进而求和的方 法称为并项求和法.
例 1.求 数 列 12, 22,32, 42,52,,( 1 )n 1n 2, 的 前 100 项 和 .
点评：此题的关键是把相邻两项分别合并、分 解因式后，转化为等差数列求和.
练 习 . 1 3 5 7 9 9 5 9 7 9 9