数学模型第十章插值和拟合方法建模--101数据插值方法及应用共29页文档
数据插值与拟合讲课文档
（3）三次样条插值
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2、曲线拟合的最小二乘法
给定平面上的点
进行曲线拟合有多种方法，最小二乘法是解决曲线拟合最常 用的一种方法 最小二乘法的原理是求f(x),使
达到最小 简单地说，最小二乘法准则就是使所有散点到曲线的距离平 方和最小
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线性最小二乘法
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例2 气旋变化情况的可视化
下表是气象学家测量得到的气象资料，它们分别表示在南半球地时 按不同纬度。不同月份的平均气旋数字．根据这些数据，绘制出气 旋分布曲面图形
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y=5:10:85;x=1:12;
[x,y]=meshgrid(x,y); plot(x,y,'*'); pause
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y iinetr1(p x,y,x,i'met')hod
表示采用的插值方法 MATLAB提供的插值方法有几种
：分段线性插值
' p c h ip ' ：三次Hermite插值（立方插值）
：三次分段样条插值
'nearest ' ：最近点等值方式
缺省时表示线性插值
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一、实例及其模型
1、船在该海域会搁浅吗 在某海域测得一些点(x，y)处的水深z（单位：英尺）由下表给 出，水深数据是在低潮时测得的．船的吃水深度为5英尺，问 在矩形区域(75,200)*(-50，150）里的哪些地方船要避免进人．
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分析 由于测量点是散乱分布的，先在平面上作出测量点的分布 图，再利用二维插值方法补充一些点的水深，然后作出海 底曲面图和等高线图，并求出水深小于5的海域范围．
数学建模插值及拟合详解Word版
数学建模插值及拟合详解Word版插值和拟合实验⽬的：了解数值分析建模的⽅法，掌握⽤Matlab进⾏曲线拟合的⽅法，理解⽤插值法建模的思想，运⽤Matlab⼀些命令及编程实现插值建模。
实验要求：理解曲线拟合和插值⽅法的思想，熟悉Matlab相关的命令，完成相应的练习，并将操作过程、程序及结果记录下来。
实验内容：⼀、插值1．插值的基本思想·已知有n +1个节点（xj,yj），j = 0,1,…, n，其中xj互不相同，节点(xj, yj)可看成由某个函数 y= f（x）产⽣；·构造⼀个相对简单的函数 y=P(x)；·使P通过全部节点，即 P (xk) = yk，k=0,1,…, n ；·⽤P (x)作为函数f ( x )的近似。
2．⽤MATLAB作⼀维插值计算yi=interp1(x，y，xi，'method')注：yi—xi处的插值结果；x，y—插值节点；xi—被插值点；method—插值⽅法（‘nearest’：最邻近插值；‘linear’：线性插值；‘spline’：三次样条插值；‘cubic’：⽴⽅插值；缺省时：线性插值）。
注意：所有的插值⽅法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。
练习1：机床加⼯问题x035791112131415y0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6⽤程控铣床加⼯机翼断⾯的下轮廓线时每⼀⼑只能沿x⽅向和y⽅向⾛⾮常⼩的⼀步。
表3-1给出了下轮廓线上的部分数据但⼯艺要求铣床沿x⽅向每次只能移动0.1单位.这时需求出当x坐标每改变0.1单位时的y坐标。
试完成加⼯所需的数据，画出曲线.步骤1：⽤x0，y0两向量表⽰插值节点；步骤2：被插值点x=0:0.1:15; y=y=interp1(x0,y0,x,'spline');步骤3：plot(x0,y0,'k+',x,y,'r')grid on答：x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ];y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ];x=0:0.1:15;y=interp1(x0,y0,x,'spline');plot(x0,y0,'k+',x,y,'r')grid on0510150.511.522.53．⽤MATLAB 作⽹格节点数据的插值(⼆维) z=inte rp2(x0,y0,z0,x,y,’method’) 注：z —被插点值的函数值；x0，y0，z0—插值节点；x ，y —被插值点；method —插值⽅法（‘nearest’ ：最邻近插值；‘linear’ ：双线性插值； ‘cubic’ ：双三次插值；缺省时：双线性插值）。
数学建模插值与拟合
数学建模插值与拟合数据插值与拟合插值与插值函数：已知由(可能未知或⾮常复杂)产⽣的⼀批离散数据，且个互异插值节点，在插值区间内寻找⼀个相对简单的函数，使其满⾜下列插值条件：再利⽤已求得的计算任⼀⾮插值节点的近似值，这就是插值。
其中称为插值函数，称为被插函数。
最⼩⼆乘拟合：已知⼀批离散的数据，互不相同，寻求⼀个拟合函数，使与的误差平⽅和在最⼩⼆乘意义下最⼩。
在最⼩⼆乘意义下确定的称为最⼩⼆乘拟合函数。
1）Lagrange插值法a．待定系数法：假设插值多项式，利⽤待定系数法即可求得满⾜插值条件的插值函数。
关键在于确定待定系数。
b．利⽤基函数的构造⽅法⾸先构造个满⾜条件：的次插值基函数，再将其线性组合即可得如下的Lagrange插值多项式：其中c．Lagrange插值余项注：上述两种构造⽅法所得的Lagrange插值多项式是⼀样的，即满⾜插值条件的Lagrange插值多项式是唯⼀的。
2）分段线性插值作分段线性插值的⽬的在于克服Lagrange插值⽅法可能发⽣的不收敛性缺点。
所谓分段线性插值就是利⽤每两个相邻插值节点作线性插值，即可得如下分段线性插值函数：其中特点：插值函数序列具有⼀致收敛性，克服了⾼次Lagrange插值⽅法的缺点，故可通过增加插值节点的⽅法提⾼其插值精度。
但存在于节点处不光滑、插值精度低的缺点。
3）三次样条插值三次样条插值的⽬的在于克服Lagrange插值的不收敛性和提⾼分段线性插值函数在节点处的光滑性。
所谓三次样条插值⽅法就是在满⾜下列条件：a．b．在每个⼦区间上是三次多项式的三次样条函数中寻找满⾜如下插值条件：以及形如等边界条件的插值函数的⽅法。
特点：三次样条插值函数序列⼀致收敛于被插函数，因此可通过增加节点的⽅法提⾼插值的精度。
4）插值⽅法的Matlab实现⼀维数据插值MATLAB中⽤函数interp1来拟合⼀维数据，语法是YI = INTERP1(X,Y,XI,⽅法)其中（X，Y）是已给的数据点，XI 是插值点，其中⽅法主要有'linear' -线性插值，默认'pchip' -逐段三次Hermite插值'spline' -逐段三次样条函数插值其中最后⼀种插值的曲线⽐较平滑例：x=0:.12:1; x1=0:.02:1;y=(x.^2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x);plot(x,y,'o'); hold on;y1=interp1(x,y,x1,'spline');plot(x1,y1,':')如果要根据样本点求函数的定积分，⽽函数⼜是⽐较光滑的，则可以⽤样条函数进⾏插值后再积分，在MATLAB 中可以编写如下程序：function y=quadspln(x0,y0,a,b)f=inline(‘interp1(x0,y0,x,’’spline’’)’,’x’,’x0’,’y0’);y=quadl(f,a,b,1e-8,[],x0,y0);现求six(x)在区间[0，pi]上的定积分，只取5点x0=[0,0.4,1,2,pi];y0=sin(x0);I=quadspln(x0,y0,0,pi)结果得到的值为 2.01905，精确值为2⼆元函数插值：MATLAB中⽤函数interp2来拟合⼆维⽹格（X，Y）上的数据Z，语法是YI = INTERP2(X,Y, Z，XI, YI，⽅法)其中（X，Y，Z）是已给的数据点，（XI，YI）是插值点坐标，其中⽅法主要有'linear' -线性插值，默认'pchip' -逐段三次Hermite插值'spline' -逐段三次样条函数插值其中最后⼀种插值的曲⾯⽐较平滑例：[x,y]=meshgrid(-3:.6:3,-2:.4:2);z=(x.^2-2*x).*exp(-x.^2-y.^2-x..*y);[x1,y1]=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2);%⽣成⽹格，x1和y1均为同样size的矩阵z1=interp2(x,y,z,x1,y1,’spline’); %z1是矩阵，size 和x1，y1相同surf(x1,y1,z1);axis([-3,3,-2,2,-0.7,1.5]);-33如果数据不是在⽹格上取的，则可⽤函数griddata 来解决语法是YI = griddata(X,Y, Z ，XI, YI ，‘v4’)其中（X ， Y ，Z ）是已给的数据点，（XI ，YI ）是插值点坐标，其中除了⽅法‘v4’外还有 'linear' -线性插值，默认 'cublc' -逐段三次Hermite 插值 'nearest' 其中‘v4’⽅法⽐较好例x=-3+6*rand(200,1); %⽣成随机点的x坐标向量xy=-2+4*rand(200,1); %⽣成随机点的y坐标向量yz=(x.^2-2*x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y); % 上述点的样本值向量z[x1,y1]=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2); %⽣成⽹格，x1和y1均为同样size的矩阵z1=griddata(x,y,z,x1,y1,’v4’);surf(x1,y1,z1);axis([-3,3,-2,2,-0.7,1.5]);⽣成的图类似上图。
插值与拟合
且 f(1.5) ≈L1(1.5) = 0.885。
Lagrange插值法的缺点
• 多数情况下，Lagrange插值法效果是不错的， 但随着节点数n的增大，Lagrange多项式的次 （Runge）现象。
• 例：在[-5,5]上用n+1个等距节点作插值多项 式Ln(x),使得它在节点处的值与函数y = 1/(1+25x2)在对应节点的值相等，当n增大时， 插值多项式在区间的中间部分趋于y(x)，但 对于满足条件0.728<|x|<1的x， Ln(x)并不趋 于y(x)在对应点的值，而是发生突变，产生 剧烈震荡，即Runge现象。
总结
• 拉格朗日插值：其插值函数在整个区间 上是一个解析表达式；曲线光滑；收敛 性不能保证，用于理论分析，实际意义 不大。
• 分段线性插值和三次样条插值：曲线不 光滑（三次样条已有很大改进）；收敛 性有保证；简单实用，应用广泛。
1.2 二维插值
• 二维插值是基于一维插值同样的思想， 但是它是对两个变量的函数Z=f(x,y)进 行插值。
• n=5; • x0=-1:1/(n-1):1;y0=1./(1+25*x0.^2);y1=lagr(x0,y0,x); • subplot(2,2,2), • plot(x,z,'r-',x,y,'m-'),hold on %原曲线 • plot(x,y1,'b'),gtext('L8(x)','FontSize',12),pause %Lagrange曲线
基函数为
l0 (x)
x x1 x0 x1
x2 1 2
2
x
l1(x)
线性插值函数为
十讲插值与拟合ppt课件
关系，且过原点。
2019/7/27
mathworks
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10.6 曲线拟合
• 所以选取 r1(x)x2,r2(x)x ，用
ya1x2 a2x
作拟合．若无法知道y与x之间的关系，
通常可以将数据（xi，yi），i＝1，2，…，
n作图，直观地判断应该用什么样的曲线 去作拟合．人们常用的曲线有（参见图7）
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10.6 曲线拟合
• 1．线性最小二乘法
• 曲线拟合问题的提法是，已知一组 （二维）数据，即平面上的n个点（xi,yi)， i=1，2，…，n，xi互不相同，寻求一个 函数（曲线）y=f(x)，使f(x)在某种准则 下与所有数据点最为接近，即曲线拟合 得最好，如下图， 图中δi为（x i ，y i） 与y=f(x)的距离）．
• 拟合准则是使n个点（xi，yi），i=1，2，…，
n，与y＝f（xi）的距离δi的平方和最小，称最 小二乘准则．
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10.6 曲线拟合
2．函数rk (x) 的选取
• 面对一组数据（xi，yi）， i = 1， 2，…n，用
线性最小二乘法作曲线拟合时，首要的、也是 关键的一步是恰当地选取 r1(x)r,2(x) , rm (x) 如果通过机理分析、能够知道 y与 x之间应 该有什么样的函数关系，则 r1(x)r,2(x) , rm (x)
• 格式 yi = interp1(x,Y,xi) %返回插值向量yi， 每一元素对应于参量xi，同时由向量x与Y的内 插值决定。参量x指定数据Y的点。若Y为一矩 阵 ， 则 按 Y 的 每 列 计 算 。 yi 是 阶 数 为 length(xi)*size(Y,2)的输出矩阵。
插值、拟合与回归
都是n次 l k (x)
的零点,故可设
jkhh
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lk ( x) Ak ( x x0 )(x x1 )( x xk 1 )(x xk 1 )( x xn )
其中 Ak 为待定常数。由条件 lk ( xk ) 1 ,可求得 Ak
Ak ( xk x j ) 1
( xi ) f ( xi )
(i 1,2,, n)
(1)
则称 (x) 为f(x)的一个插值函数, f(x)为被插函数, 点
xi为插值节点, 称(5.1)式为插值条件, 而误差函数
R(x)= f ( x) ( x) 称为插值余项, 区间[a, b]称为插值 区间, 插值点在插值区间内的称为内插, 否则称外插
2013-7-18
l0 ( x0 ) 1, l0 ( x1 ) 0 l1 ( x0 ) 0 , l1 ( x1 ) 1
jkhh
l0 ( x) l1 ( x) 1
7
l k ( xi ) ki
1 0
k 0,1
(i k ) (i k )
l 0 ( x) 与 l1 ( x) 称为线性插值基函数。且有
插值、拟合与回归
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jkhh
1
插值、曲线拟合与回归
引. 问题的提出
函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即在某个区 间[a, b]上给出一系列点的函数值 yi= f(xi) 或者给出函数表
x
y
x0
y0
x1
y1
x2
y2
……
……
xn
yn
y=p(x)
y=f(x)
数学建模之插值与拟合
matlab中拟合的函数
非线性曲线拟合 Matlab中对于多项式拟合，有现成的函数
c = lsqcurvefit ( ′fun′, x0, xdata, ydata)
matlab中拟合的函数
非线性曲线拟合例题
对下面的x、y进行数据拟合
x=[3.6,7.7,9.3,4.1,8.6,2.8,1.3,7.9,10,5.4]; y=[16.5,150.6,263.1,24.7,208.5,9.9,2.7,163.9,325,54.3];
最小二乘法
线性最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法，基本 思路是，令
f (x) a1r1(x) a2r2 (x) amrm (x) • 其中,rk(x)是事先选定的一组线性无关的函数,ak是待定系
数(k=1,2,...,m,m<n)。拟a合准则是使yi，i=1,2,3...,n，与f (xi )
• 求：利用最小二乘法求得上述拟合函数
求解方法
（1）做散点图，通过散点图判断函数为：y=ax+b
（2）根据最小二乘法原理可知，即使下式中M最小
10
M yi axi b2
i 1
（3）把M看作是自变量为a和b的函数，由多元函数取最值
的条件可知:
M M
a b
a, a,
b b
0 0
M
a
M
b
目录
1
插值法与拟合法
2 matlab中插值的函数
3 matlab中拟合的函数 4 插值与拟合的运用
插值法与拟合法的基本介绍
插值法：求过已知有限个数据点的近似函数。
拟合法：已知有限个数据点，求近似函数，不要求
过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上 的总偏差最小。
插值与数据拟合模型
第二讲 插值与数据拟合模型函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。
而面对一个实际问题，究竟用插值还是拟合，有时容易确定，有时则并不明显。
在数学建模过程中，常常需要确定一个变量依存于另一个或更多的变量的关系，即函数。
但实际上确定函数的形式（线性形式、乘法形式、幂指形式或其它形式）时往往没有先验的依据。
只能在收集的实际数据的基础上对若干合乎理论的形式进行试验，从中选择一个最能拟合有关数据，即最有可能反映实际问题的函数形式，这就是数据拟合问题。
一、插值方法简介插值问题的提法是，已知1+n 个节点n j y x j j ,,2,1,0),,( =，其中j x 互不相同，不妨设b x x x a n =<<<= 10，求任一插值点)(*j x x ≠处的插值*y 。
),(j j y x 可以看成是由某个函数)(x g y =产生的，g 的解析表达式可能十分复杂，或不存在封闭形式。
也可以未知。
求解的基本思路是，构造一个相对简单的函数)(x f y =，使f 通过全部节点，即),,2,1,0()(n j y x f j j ==，再由)(x f 计算插值，即*)(*x f y =。
1．拉格朗日多项式插值 插值多项式从理论和计算的角度看，多项式是最简单的函数，设)(x f 是n 次多项式，记作0111)(a x a x a x a x L n n n n n ++++=-- （1）对于节点),(j j y x 应有n j y x L j j n ,,2,1,0,)( == （2）为了确定插值多项式)(x L n 中的系数011,,,,a a a a n n -，将（1）代入（2），有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++---n n n n n n nn nn n n nn n n ya x a x a x a y a x a x a x a y a x a x a x a 01110111110001010（3） 记Tn T n n n nn nn n n ny y y Y a a a A x x x x x x X ),,,(,),,,(,11110011111100==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---- 方程组（3）简写成Y XA = （4）注意X det 是Vandermonde 行列式，利用行列式性质可得∏≤<≤-=nk j j kx xX 0)(det因j x 互不相同，故0det ≠X ，于是方程（4）中A 有唯一解，即根据1+n 个节点可以确定唯一的n 次插值多项式。
数学建模插值与拟合课件
设函数 y f (x) 在 n 1个相异点 x0 , x1, x2 , , xn 上的值为 y 0 , y1, y2 , , yn ，要求一个次数≤n 的代数多
项式
Pn (x) a0 a1x a2 x 2 an x n
使在节点 xi 上成立 Pn (xi ) yi (i 0,1,2, , n) ，称此为 n 次代数插值问题，Pn (x) 称为插值多项式。可以证明 n
如果不要求近似函数通过所有数据点， 而是要求它能较好地反映数据变化规律的近 似函数的方法称为数据拟合。（必须有函数 表达式）
近似函数不一定（曲线或曲面）通过所 有的数据点。
三、插值与拟合的区别和联系
1、联系 都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够 反映数据变化规律的近似函数的方法。 2、区别 插值问题不一定得到近似函数的表达形式，仅 通过插值方法找到未知点对应的值。数据拟合 要求得到一个具体的近似函数的表达式。
图所示，当n 增大时，pn x在两端会发出激烈
的振荡，这就是所谓龙格现象。
龙格现象
2
y=1/(1+x2) y=p4(x) y=p10(x) 1.5
1
0.5
0
-0.5
-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
x
To MATLAB lch(larg1)
分段插值的概念
所谓分段插值，就是将被插值函数逐段 多项式化。一般来说，分段插值方法的处理 过程分两步，先将所考察的区间作一分划
y1
lj(x)
当n =2 时，有三点二次（抛物线）插值多项式：
P2
(x)
(x (x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
插值与拟合（最小二乘法）
二者区别：插值必须精确的经过所给定的点 x,f(x); 但是拟合不需要，拟合允许f(x) , p(x) 之间有误差的存在，但是误差不能太大，要尽可能的 小， 到底怎么来最小化误差，可以： error = |f(x) - p(x)|, min(error), 或者 min(error^2)........ 因为最小化误差的平方和， 所以叫 least square method, 其实翻译的不好，应该叫 最小平方和法。。。。。。
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插值与拟合（最小二乘法）
插值与拟合都是给பைடு நூலகம்一组y = f(x)数据的前提下，用函数 p(x) 近似表示 f(x)的方法；
插值用很多种方法，比如多项式插值，三角函数插值等，意思就是选取哪种函数作为插值的函数； 拟合方法很多，其中包括最小二乘法等；
数学建模精选经典课件之插值与拟合
可以看出这些点大致分 布在一条直线附近。
我们不妨用插值法，和拟合法两种方法对比 的看看他们的图像，找出他们的差别。
对这样的数据采用上一节介绍的插值方法近 似求描述物理规律的解析函数，必然存在下 列缺点：
在一个包含有很多数据点的区间内构 造插值函数，必然使用高次多项式。而 高次插值多项式是不稳定的。
700 850 950 1010 1070 1550 980
通过此例对最近邻点插值、双线性插值方法和双三次插值 方法的插值效果进行比较。
散乱节点定义
已知n个节点
其中
互不相同，
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
Matlab中网格节点插值的函数
cz=griddata(x0,y0,z0,cx,cy,’method’)
插值&拟合
一.插值法（内插，外插）
内插:是数学领域数值分析中的通过已知的离散数据 求未知数据的过程或方法。
在这里我们所讲的插值法指的就是内插法!
二.拟合法
科学和工程问题可以通过诸如采样、实验等方法获 得若干离散的数据，根据这些数据，我们往往希望得到 一个连续的函数（也就是曲线）或者更加密集的离散方 程与已知数据相吻合，这过程就叫做拟合 (fitting)。
数据的插值与拟合问题在很多赛题中都有应用。
与图形有关的问题很多和插值与拟合有关系，例如98 年美国赛的A题，生物组织切片的三位插值处理，94 年的A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算。2001 年的公交调度拟合问题，2003年的饮酒驾车拟合问题， 2005年的雨量预报的评价的插值计算。甚至是上次的 东北三省赛的A题人口预测问题也涉及到了拟合计算。
互不相xj
xn
数学建模——拟合与插值
即要求 出二次多项式: f(x)a1x2a2xa3
11
中 的 A(a1,a2,a3) 使得:
[f (xi)yi]2 最小
i1
fun是一个事先建立的 定义函数F(x,xdata) 的 M-文件, 自变量为x和 xdata
选项见无 迭代初值 已知数据点 约束优化
18
25.03.2020
2. lsqnonlin
已知数据点： xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan） ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）
+
+
y=f(x) +
x i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
6
25.03.2020
线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ …+amrm(x)中 函数{r1(x), …rm(x)}的选取 1. 通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)；
2. 将数据 (xi,yi) i=1, …n 作图，通过直观判断确定 f(x)：
2）计算结果：Ａ = [-9.8108, 20.1293, -0.0317]
f(x) 9.81x0 2 8 2.1 02x9 0 3 .0317
16
25.03.2020
用MATLAB作非线性最小二乘拟合
两个求非线性最小二乘拟合的函数：
lsqcurvefit、lsqnonlin。
相同点和不同点：两个命令都要先建立M-文件fun.m，定义函 数f(x)，但定义f(x)的方式不同。
(完整版)数学建模 插值和拟合
x
xn
x
4.2 MATLAB实现插值
Matlab 实现：实现插值不需要编制函 数程序，它自身提供了内部的功能函数 interp1(一维分段插值) interp2(二维) interp3(三维) intern(n维)
4.3.1一维插值
用MATLAB作插值计算
一维插值函数： yi=interp1(x，y，xi，'method')
h=1:0.1:12;
t=interp1(hours,temps,h,'spline');
plot(hours,temps,'+',h,t,'r:')
xlabel('Hour'),ylabel('Degrees Celsius’)
例1：从1点12点的11小时内，每隔1小时测量一次温度， 测得的温度的数值依次为：5，8，9，15，25，29， 31，30，22，25，27，24．试估计(1)每隔1/10小时 的温度值;（2）估计1点30分和13的温度值。
例1：从1点到12点的11小时内，每隔1小时测量一次温 度，测得的温度的数值依次为：5，8，9，15，25， 29，31，30，22，25，27，24．试估计(1)每隔 1/10小时的温度值;（2）估计1点30分和13的温度值。
hours=1:12;
temps=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24];
x x0 y y0
x1 … xn y1 … yn
其中x0,x1, …xn是n+1个互不相同的点，求一个 近似函数 (x) ，使得
( xi ) f ( xi ) i 0,1 …n
第十章 数据拟合与插值
li ( x ) 是 n 次多项式且满足
j ≠ i, 0, li ( x j ) = j = i, i, j = 0,1, , n 。 1, l ( x) 为节点 x 0 , x1 ,, x n 上的 n 次插值基函数。令 称 n 次多项式 i Ln ( x ) = ∑ y i l i ( x )
x 0 , x1 ,, x n
互异，满足插值条件（10.1）的
插值多项式（10.2）存在唯一。 从几何上看，上述多项式插值就是过 n + 1 个数据点 项式曲线 y = f ( x) 近似原有曲线 y = g ( x ) 。 当 x ∈ [ a, b] 且 （多项式） f ( x) 之间的差
(x j , y j )
第十章第十章数据拟合与插值数据拟合与插值101引言引言在解决实际问题的生产或工程实践和科学实验过程中通常需要通过研究某些变量之间的函数关系来帮助我们认识事物的内在规律和本质属性而这些变量之间的未知函数关系又常常隐含在从试验观测得到的一组数据之中
第十章
数据拟合与插值
§10.1 引言
在解决实际问题的生产（或工程）实践和科学实验过程中，通常需要通过研究某些变量之 间的函数关系来帮助我们认识事物的内在规律和本质属性，而这些变量之间的未知函数关系又 常常隐含在从试验、 观测得到的一组数据之中。 因此，能否根据一组试验观测数据找到变量之间 相对准确的函数关系就成为解决实际问题的关键。 例如在工程实践和科学实验中，常常需要从一组试验观测数据 ( xi , y j ) ， i = 0,1, , n 之 中找到自变量 x 与因变量 y 之间的函数关系，一般可用一个近似函数 y = f ( x) 来表示。函数
， i = 0,1, , n 。
i = 0,1, , n 。在这种情况下，通常要求观测数据相对比较准确，即不考虑观测误差的影响。
数学模型第十章插值和拟合方法建模--101数据插值方法及应用 29页PPT文档
水位 10.210 9.936 9.653 9.409 9.180 8.921 8.662
时刻 19.959 20.839 22.015 22.958 23.880 24.986 25.908
水位 8.433 8.220 // 10.820 10.591 10.354 10.180
05.09.2019
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课件
9
若只要求得函数在插值点处数值，可用下列
Lagrange 插值公式
Pn (x)
n i0
n
yi (
j0, ji
x xj ) xi x j
多项式插值光滑但不具有收敛性，一般不宜采用高
次多项式（如 m>7）插值。
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10
例 2、在万能拉拨机中有一个园柱形凸轮，其底园半 径 R=300mm，凸轮的上端面不在同一平面上，而要 根据动杆位移变化的需要进行设计制造。按设计要 求，将底园周 18 等分，旋转一周。第 i 个分点对应柱 高 yi (i 0,1,2,,18) ，数据见下表。为了数控加工，需要 计算出园周上任一点的柱高。
流速 38.455 32.122 41.718 //
// 73.686 76.434
时刻 12.954 13.875 14.982 15.903 16.826 17.931 19.037
流速 71.686 60.190 68.333 59.217 52.011 56.626 63.023
时刻 19.959 20.839 22.015 22.958 23.880 24.986 25.908
5 188.6
11 191.6
17 458.3
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数学模型第十章插值与拟合方法建模--102数据拟合方法及应用共21页文档
y 45 51 54 61 66 70 74 ( % ) 78 85 89
要求拟合出它们的函数关系。
30.11.2019
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4
x=[100 110 120 130 140 150 160 170 180 190]; y=[45 51 54 61 66 70 74 78 85 89]; close; plot(x,y,’o’);
close; plot(x,y,’ko’,xi,z,’r-’)
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课件
18
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
30.131.42019
36
38
40 课件 42
44
46
4198
若多项式次数太高，则会影响到拟合的精度， 这时可考虑用分段多项式拟合。
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课件
20
30.11.2019
课件
13
例 3、某种产品在生产过程中的废品率 y 与它所含
的某种物质量 x 有关，现将试验所得 16 组数据记录
列于下表。
x
34 36 37 38 39 39 39 40
y
1.30 1.00 0.73 0.90 0.81 0.70 0.60 0.50
x
40 41 42 43 43 45 47 48
最小二乘法就是求 c 使得残差平方和
达到最小。
n
Q(c) ( yi f (c, xi )) 2 i 1
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2
1、线性函数
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n
S
lim
n
[
i 1
f 2 (i )
f1 (i )]xi
式中，i [xi1, xi ] 。
这里19.04线.2020性插值和面积计算课源件 程序如下：
6
clear all
x=[7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 61.0 68.5 76.5
80.5 91.0 96.0 101.0 104.0 106.5 111.5 118.0 123.5 136.5 142.0
项式或分段多项式函数）通过已知各数据点（节点），
即 yi P(xi ) , i 0,1, , n ，或要求得函数在另外一些点
（插19.0值4.20点20 ）处的数值，这课便件 是插值问题。
2
1、分段线性插值
这是最通俗的一种方法，直观上就是将各数据
点用折线连接起来。如果
a x0 x1 xn b
19.04.2020
课件
1
§1 数据插值方法及应用
在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：
由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此
建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与
此有关的一类问题是当原始数据 (x0 , y0 ), (x1, y1), , (xn , yn ) 精度较高，要求确定一个初等函数 y P(x) （一般用多
在生产实际中，常常要处理由实验或
测量所得到的一批离散数据，插值与拟合 方法就是要通过这些数据去确定某一类已 经函数的参数，或寻求某个近似函数使之 与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟 合的方法很多，这里主要介绍线性插值方 法、多项式插值方法和样条插值方法，以 及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。 相应的理论和算法是数值分析的内容，这 里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。
最后计算的面积约为 19.04.2020
424课1件4
平方公里。
7
2、多项式插值
设有 m 次多项式
P(x) a0 x m a1x m1 am1x am
通过所有 n 1个点 (x0 , y0 ), (x1, y1), , (xn , yn ) ，那么就有
a0 xi m a1xi m1 am1xi am yi , i 0,1, , n
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课件
10
凸轮高度的数据（单位：mm）
i 0 和 18
yi 502.8
i
6
yi 92.2
i
12
yi 236.0
1 525.0
7 59.6 13 280.5
2 514.3
8 62.2 14 324.9
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5
根据地图的比例，18 mm 相当于 40 km。
根据测量数据，利用 MATLAB 软件对上下边界
进行线性多项式插值，分别求出上边界函数 f2 (x) ，
下边界函数 f1(x) ，利用求平面图形面积的数值积分 方法—将该面积近似分成若干个小长方形，分别求
出这些长方形的面积后相加即为该面积的近似解。
124 121 121 121 122 116 83 81 82 86 85 68];
newx=7:0.1:158;
newy1=interp1(x,y1,newx,’linear’);
newy2=interp1(x,y2,newx,’linear’);
Area=sum((newy2- newy1)*0.1/18^2*1600)
次多项式（如 m>7）插值。
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例 2、在万能拉拨机中有一个园柱形凸轮，其底园半 径 R=300mm，凸轮的上端面不在同一平面上，而要 根据动杆位移变化的需要进行设计制造。按设计要 求，将底园周 18 等分，旋转一周。第 i 个分点对应柱 高 yi (i 0,1,2, ,18) ，数据见下表。为了数控加工，需要 计算出园周上任一点的柱高。
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4
x 7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 y1 44 45 47 50 50 38 30 30 34 y2 44 59 70 72 93 100 110 110 110 x 61.0 68.5 76.5 80.5 91.0 96.0 101.0 104.0 106.5 y1 36 34 41 45 46 43 37 33 28 y2 117 118 116 118 118 121 124 121 121 x 111.5 118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0 y1 32 65 55 54 52 50 66 66 68 y2 121 122 116 83 81 82 86 85 68
那么分段线性插值公式为
P(x)
x xi xi1 xi
yi1
x xi1 xi xi1
yi
, xi1
x
xi
, i 1,2,
,n
可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛
的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。
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3
例 1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土 面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为 x 轴，由南向北方向为 y 轴，选择方便的原点，并将 从最西边界点到最东边界点在 x 轴上的区间适当的 分为若干段，在每个分点的 y 方向测出南边界点和北 边界点的 y 坐标 y1 和 y2，这样就得到下表的数据（单 位：mm）。
可以证明当 m n 且 x0 x1 xn 时，这样的多项式 存在且唯一。若要求得到函数表达式，可直接解上 面方程组。
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若只要求得函数在插值点处数值，可用下列
Lagrange 插值公式源自Pn (x) n i0
n
yi (
j0, ji
x xj ) xi x j
多项式插值光滑但不具有收敛性，一般不宜采用高
146.0 150.0 157.0 158.0];
y1=[44 45 47 50 50 38 30 30 34 36 34 41 45 46 43 37 33 28 32
65 55 54 52 50 66 66 68];
y2=[44 59 70 72 93 100 110 110 110 117 118 116 118 118 121