高级微观经济学

Any collection of ordered pairs
R = {( s, t ) some s ∈ S , t ∈ T }
s与t存在特定关系 R
( s, t ) ∈ R 或 sR t
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数学基础（一）
Completeness（完备性）
A relation R on S is complete if, for all elements x,y in S, xR y or yR x
定理1.5：实数子集的上界与下界 1、有界开集不包含上、下确界； 2、有界闭集包含上、下确界。
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数学基础（一）
Compact set （紧集）
有界闭集
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Ch1 消费者理论
1. 消费者理论
消费集 偏好关系与效用函数 消费者问题 间接效用函数与支出函数 需求函数性质
Slide 21
Slide 32
1.2 偏好与效用
理性假设
the consumer can choose
能够判断自己喜欢什么
and choices are consistent
自己的偏好具有一致性
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1.2.1 偏好关系
二元关系(binary relation): ·
如果 x , x ∈ X ，有 x · x , 那么x1 2 至少与 x 一样好。
边际替代率
无差异曲线的斜率 ∆x2 MRS12 = − ∆x1 凸偏好 边际替代率非递增 严格凸偏好 边际替代率递减
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公理5 ：严格凸性 1 0 如果 x ≠ x 和 x1 · x 0 ，那么
tx +(1-t)x f x
1 2 0
∀ t ∈ (0,1)
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1.2.1 偏好关系
严格单调、严格凸性偏好 严格凸向原点的无差异曲线
x2
X1 Xt
f (x )
•x
0
0
p (x )
0
(x )
0
x1
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1.2.1 偏好关系
0
x1 x
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1.2.1 偏好关系
例1：字典序偏好
X = R 2，x f y 如果 设 +
x1 > y1
或 x1 =y1 ，并且 x 2 ≥ y 2
如：奥运会金牌榜
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1.2.1 偏好关系
证明：字典序偏好不连续(反证法)
1 x = ( , 0) n
n
→ x = (0, 0)
1 2
1 2
2
1
定义1.3：indifference relation 1 2 2 1 1 2 x x ⇔ x · x 而且 x · x
读作： 与 x 无差异 x
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1
2
1.2.1 偏好关系
消费集的分划
弱偏好集：
贩(x ) ≡ {x x ∈ X ,x
0
x }
0
严格偏好集： f (x 0 ) ≡ {x x ∈ X ,x f x 0 } 无差异集：
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数学基础（一）
upper and lower bound of S in R
upper bound: u lower bound: l
u ≥ x, ∀x ∈ S 最小上界：上确界（l.u.b.） l ≤ x, ∀x ∈ S 最大下界：下确界（g.l.b.）
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数学基础（一）
1 2
1 2
读作： 偏好于 x 。 x
1
2
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1.2.1 偏好关系
偏好公理1：完备性
∀ x1 ,x 2 ∈ X , 一定存在 x1 · x 2 或 x 2 · x1。
偏好公理2：传递性
∀ x ,x ,x ∈ X , 如果有x · x 和x · x
1 2 3
1 2
2 3
那么一定有x · x 。
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数学基础（一）
集合
实数集 R= {x −∞ < x < ∞} = n 维欧氏空间
R n = {x = ( x1 ,..., xn ) xi ∈ R , i = 1, 2,..n}
x ≥ y iff xi ≥ yi , i = 1,..., n x y iff xi > yi , i = 1,..., n n R + = {(x1 ,...,xn ) xi ≥ 0, i = 1, 2,..n}
1 3
Slide 35
1.2.1 偏好关系
定义1.1：
如果在消费集 X 上的二元关系 · 满足公理1和2，那么我们称它为 偏好关系。
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1.2.1 偏好关系
定义1.2：strict preference relation
x f x ⇔ x · x 而且 x Ç x 1 2 读作： 严格偏好于 x x
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1.1 消费集
·自然约束(physical constraint)
休闲时间 24
X
(i)
பைடு நூலகம்面包
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1.1 消费集
·自然约束(physical constraint)
汽车
3 2 1
(ii)
X
汽油
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1.1 消费集
更具一般性的消费集
X =Ρ2 +
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数学基础（一）
例1：在Ρ 上的邻域
x0 − ε
(
Bε ( x 0 )
x
0
x +ε
0
)
x −ε
[ 0
B* (x0 ) ε
x0
x +ε
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] 0
数学基础（一）
Ρ 上的邻域：
2
Bε ( x 0 ) ≡ {x ∈ Ρ n x - x 0 < ε }
x
0
ε
x
0
ε
Bε (x 0 )
d ( x 1 , x 2 ) = ( x 1 - x 2 )( x 1 - x 2 )
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数学基础（一）
开邻域 Bε ( x ),
0
0 n
ε >0
0
Bε ( x ) ≡ {x ∈ Ρ d ( x , x ) < ε }
闭邻域 Bε (x ) ε > 0
* 0
B * ( x 0 ) ≡ {x ∈ Ρ n d ( x 0 , x ) ≤ ε } ε
Bε* (x 0 )
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数学基础（一）
开集 S ⊂ Ρ
n
如果∀x ∈ S ，都 ∃ε > 0, 使 Bε ( x ) ⊂ S， 那么 S 是 Ρ n 上的开集。
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数学基础（一）
闭集 S
如果 S 的补集 Sc 是开集，那么 S 是 闭集。
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数学基础（一）
定理：
高级微观经济学
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Ch 0. 导论
主流经济学的分析框架
四个层次
经济环境分析 个体行为分析
最优化原则
个体互动结果
均衡分析
福利分析
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数学与经济学
提高经济学争论的效率 ，加速理论的创 新。 形成统一的知识体系，便于交流、传承， 以及知识的积累。
状态:
生产期为1天的面包与生产期为2天的面包
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1.1 消费集
例：跨期消费决策
两种商品： x1 :第一期消费 x2 :第二期消费
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1.1 消费集
消费集：X
消费者可以想象自己可能消费的 各种消费组合的集合。
X = {x : x ∈ Ρ } ⊆ Ρ
n +
n +
——反映自然的约束以及消费者关于商品的信息
使得 x f x 。
——总存在改进福利的可能性
0
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1.2.1 偏好关系 x2
不满足公理4′
X1
f (x )
0
(x )
0
x •
0
p (x )
0
x1
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1.2.1 偏好关系
x2
局部非饱和性 无差异集合是一条曲线， 不存在无差异区域。
f (x )
0
(x )
0
x •
p (x 0 )
1.1 消费集
消费集基本假设
Nonempty： ≠ X ⊆ Ρ n φ + X is closed 凸性 (convex)
0∈ X
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1.1 消费集
可行集 B
在给定环境约束下，所有消费者 实际上可以选择的消费束。
B⊂ X
——反映制度、技术、个人能力等因素
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1.2 偏好与效用
(x 0 ) ≡ {x x ∈ X ,x x 0}
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1.2.1 偏好关系
消费集的分划
x2
f (x )
0
(x )
0
x •
0
p (x )
0
x1
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1.2.1 偏好关系
公理3：连续性
,如果 ∀ n ≥ 1 都有 x n · ∀ {(x ,y )}
n n ∞ n=1
n n
yn ,
1.1 消费集
商品 i 及其数量 xi ∈ Ρ xi ≥ 0 i = 1, 2,..., n
种类有限性 n 数量无限可分
消费组合（束）x ∈ Ρ
x = {x1 , x2 ,..., xn }
n +
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1.1 消费集
商品定义
时点:
今天的面包 VS 每天的面包
地点:
上海的房产与北京的房产
如何描述消费者的偏好？
Betham：效用
可度量、可比较
Jevons等：边际效用递减法则 需求规律 ——基数效用论
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1.2 偏好与效用
序数效用论
Pareto(1896)、Slutsky（1915） Hicks（1939）: Value and Capital Debru（1959）: Theory of Value ——公理化方法
一个集合 A ⊂ X 是一个闭集，当且 m 仅当，对所有的序列 x → x ∈ X ， 如果对任意的m有x m ∈ A ，那么，就 有 x∈A 。
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数学基础（一）
Bounded Sets （有界集）
A set S in Rn is called bounded if it is entirely contained within some ε − ball. That is, ∃ε > 0, x ∈ R n S ⊂ Bε (x)
而且有 x= lim x 和 y= lim y，那么就有 x · y. n→∞ n→∞ 定理： 定理： · 连续 ⇔ · (x 0 ) 和 ¶
(x 0 ) 是闭集。
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1.2.1 偏好关系
x2 x2
(x )
0
ff (x) ) (x
0 0
(x )
0
x •
00
0
p p (xp) (x ) (x )
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数学基础（一）
Convex sets in Rn
is a convex set if for all we have
n
S⊂R
x1 ∈ S
t ⋅ x + (1 − t ) ⋅ x ∈ S
1 2
∀t ∈ [0,1]
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数学基础（一）
R :binary
relation between S and T
0
x1
Slide 46
（好的）商品越多越好！！
x2
f (x )
0
(x )
0
x •
p (x )
0
0
X2
X3
p (x )
0
x1
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1.2.1 偏好关系
公理4：严格单调性 0 1 n， ∀ x ,x ∈ R + 0 1 0 1 如果有 x ≥ x 那么有 x · x ，
如果有 x
0
x
1
，那么有 x 0
1.2.1 偏好关系
公理5′ ：凸性 1 0 如果x · x ，那么
tx +(1-t)x · x
1 2 0
∀ t ∈ [0,1]
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1.2.1 偏好关系
严格单调、凸性偏好 凸向原点的无差异曲线
x2
X1 Xt
f (x )
0
0
p (x )
0
x •
(x )
0
x1
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1.2.1 偏好关系
fx
1
严格单调性 局部非饱和性
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1.2.1 偏好关系
严格单调性 无差异曲线斜率为负
f (x )
0
x2
X
2
X1
•
p (x )
0
x
0
X3
(x )
0
x1
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1.2.1 偏好关系
x2
x = tx +(1-t)x
t 1
2
t ∈ [0,1]
X
2
Xt
X1
•
x
0
0
(x )
x1
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y = (0,1) → y = (0,1)
n
y f x（1）
假设：该偏好关系具有连续性
∀ n ≥1 有 x f y , ——与结论(1)矛盾 假设不成立
n n
连续性
xfy
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1.2.1 偏好关系
公理 4′ :局部非饱和性
∀ x 0 ∈ R n , ∀ε > 0 , ∃ x ∈ Bε (x 0 ), +
Transitivity（传递性）
A relation R on S is transitive if , for any three elements x,y,z in S, xR y and yR z implies xR z。
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数学基础（一）
度量与度量空间 欧氏空间
欧氏度量：∀x 1 , x 2 ∈ Ρ n