江苏省南京市金陵中学2021届高三年级学情调研测试(10月)数学试题
江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高三上学期10月检测数学试题
江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高三上学期10月检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌.为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据，则（）三、填空题①当(]x ¥p Î--，时，12a £<Q ，ax p \-³，()e sin 10x f x x p \³++->，无零点．②当()0x p Î-，时，sin 0x <Q ，设()()u x f x ¢=，()e sin 0x u x x ¢=->，()f x ¢\在(),0p -上递增，又()020f a ¢=->Q ，()e 10f a p p -¢-=--<，\存在唯一零点()0,0x p Î-，使得()00f x ¢=．当()0,x x p Î-时，()0f x ¢<，()f x 在()0,x p -上递减；当()0,0x x Î时，()0f x ¢>，()f x 在()0,0x 上递增．又()e 10f a p p p --=+->，()00f =，所以，函数()f x 在(),0p -上有且仅有1个零点．综上，当12a £<时，函数()()()2g x x f x =-有且仅有3个零点．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
2021届江苏省南京市金陵中学高三上学期学情调研测试(一)数学试题含答案
金陵中学2021届高三年级学情调研测试（一）数学试卷命题人：审核：一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知集合A ＝{x |x 2－3x －4＞0}，B ＝{x |ln x ＞0}，则(∁R A )∩B ＝ ( )A ．B ．(0，4]C ．(1，4]D ．(4，＋∞)2. 设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的 ( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3. 下列命题中正确的是 ( )A ．若a ＞b ，则ac ＞bcB ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －dC ．若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1bD ．若a ＞b ，c ＞d ，则a c ＞bd4. 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18，S 3－a 1＝34，则S 5＝ ( )A ．3132B ．3116C ．318D ．3145. (x －1)(2x ＋1)10的展开式中x 10的系数为 ( )A ．－512B ．1024C ．4096D ．51206. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N (105，σ2)(σ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( ) A ．150B ．200C ．300D ．4007. 如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为 ( ) A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x8. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：4x －3y ＝0与椭圆C 相交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝6，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是 ( ) A ．(0，59]B ．(0，32]C ．(0，53]D ．(13，32]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 若函数f (x )＝sin(2x －π3)与g (x )＝cos(x ＋π4)都在区间(a ，b )(0＜a ＜b ＜π)上单调递减，则b －a 的可能取值为 ( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．5π1210. 下列说法中正确的是 ( )A ．设随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)＝516B ．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)且P (X ＜4)＝0.9，则P (0＜X ＜2)＝0.4C ．E (2X ＋3)＝2E (X )＋3；D (2X ＋3)＝2D (X )＋3D ．已知随机变量ξ满足P (ξ＝0)＝x ，P (ξ＝1)＝1－x ，若0＜x ＜12，则E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而增大11. 下列四个命题中，是真命题的是 ( )A ．∀x ∈R ，且x ≠0，x ＋1x ≥2 B ．若x ＞0，y ＞0，则x 2＋y 22≥2xy x ＋yC ．函数f (x )＝x ＋2－x 2值域为[－2，2]D ．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋9x ＋a －a 在区间[1，9]上的最大值是10，则实数a 的取值范围为[－8，＋∞)12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是 ( ) A ．a 6＝8B ．S 7＝33C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2019＝a 2022D ．a 21＋a 22＋…＋a 22019a 2019＝a 2020三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量→a ＝(2，－6)，→b ＝(3，m )，若|→a ＋→b |＝|→a －→b |，则m ＝▲________．14. 三月份抗疫期间，我校团委安排高一学生2人、高二学生2人、高三学生1人参加A 、B 、C 三个社区志愿点的活动，要求每个活动点至少1人，最多2人参与，同一个年级的学生不去同一个志愿点，高三学生不去A 志愿点，则不同的安排方法有▲________种(用数字作答)．15. 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个与各个面均相切的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，则AA 1的长度为▲________．16. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k (1－2x)，x ＜0，x 2－2k ，x ≥0，若函数g (x )＝f (－x )＋f (x )有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是▲________．四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．17. 现给出两个条件：①2c －3b ＝2a cos B ，②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，________． (1)求A ；(2)若a ＝3－1，求△ABC 周长的最大值．18. 已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S n 2＝a n (S n －12)．(1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．19. 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点． (1)证明：MN ∥平面PAB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．20. 成都市现在已是拥有1 400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人中约40%拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[30，100]范围内，规定分数在80以上(含80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．拥有驾驶证 没有驾驶证 总计具有很强安全意识 不具有很强安全意识58 总计200驾驶证有关?(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附表及公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．21. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，点(1，32)在椭圆C上，点A (－3c ，0)满足以AF 2为直径的圆过椭圆的上顶点B ． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线过右焦点F 2且与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点P (t ，0)使得PM →·PN →为定值?如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由．22. 已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a ＞0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )． (1)求函数f (x )的极小值；(2)若g (x )＝xf '(x )，且存在x ∈[1，2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围； (3)若g (x )＝ln x ，试讨论函数h (x )(x ＞0)的零点个数．金陵中学高三年级学情调研测试（一）数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知集合A ＝{x |x 2－3x －4＞0}，B ＝{x |ln x ＞0}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．B ．(0，4]C ．(1，4]D ．(4，＋∞)答案：C2. 设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：C3. 下列命题中正确的是( )A ．若a ＞b ，则ac ＞bcB ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －dC ．若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1bD ．若a ＞b ，c ＞d ，则a c ＞bd答案：C4. 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18，S 3－a 1＝34，则S 5＝( )A ．3132B ．3116C ．318D ．314答案：B5. (x －1)(2x ＋1)10的展开式中x 10的系数为( )A ．－512B ．1024C ．4096D ．5120答案：C6. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N (105，σ2)(σ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( ) A ．150B ．200C ．300D ．400答案：C7. 如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为( ) A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x答案：B8. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：4x －3y ＝0与椭圆C 相交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝6，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．(0，59]B ．(0，32]C ．(0，53]D ．(13，32]答案：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 若函数f (x )＝sin(2x －π3)与g (x )＝cos(x ＋π4)都在区间(a ，b )(0＜a ＜b ＜π)上单调递减，则b －a 的可能取值为( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．5π12答案：AB10. 下列说法中正确的是( )A ．设随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)＝516B ．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)且P (X ＜4)＝0.9，则P (0＜X ＜2)＝0.4C ．E (2X ＋3)＝2E (X )＋3；D (2X ＋3)＝2D (X )＋3D ．已知随机变量ξ满足P (ξ＝0)＝x ，P (ξ＝1)＝1－x ，若0＜x ＜12，则E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而增大 答案：ABD11. 下列四个命题中，是真命题的是( )A ．∀x ∈R ，且x ≠0，x ＋1x ≥2 B ．若x ＞0，y ＞0，则x 2＋y 22≥2xy x ＋yC ．函数f (x )＝x ＋2－x 2值域为[－2，2]D ．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋9x ＋a －a 在区间[1，9]上的最大值是10，则实数a 的取值范围为[－8，＋∞) 答案：BCD12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是( ) A ．a 6＝8B ．S 7＝33C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2019＝a 2022D ．a 21＋a 22＋…＋a 22019a 2019＝a 2020 答案：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量→a ＝(2，－6)，→b ＝(3，m )，若|→a ＋→b |＝|→a －→b |，则m ＝▲________． 答案：114. 三月份抗疫期间，我校团委安排高一学生2人、高二学生2人、高三学生1人参加A 、B 、C 三个社区志愿点的活动，要求每个活动点至少1人，最多2人参与，同一个年级的学生不去同一个志愿点，高三学生不去A 志愿点，则不同的安排方法有▲________种(用数字作答)． 答案：4015. 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个与各个面均相切的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，则AA 1的长度为▲________． 答案：416. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k (1－2x)，x ＜0，x 2－2k ，x ≥0，若函数g (x )＝f (－x )＋f (x )有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是▲________． 答案：(27，＋∞)四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．17. 现给出两个条件：①2c －3b ＝2a cos B ，②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，________． (1)求A ；(2)若a ＝3－1，求△ABC 周长的最大值．解析：若选择条件①2c －3b ＝2a cos B ．(1)由余弦定理可得2c －3b ＝2a cos B ＝2a ·a 2＋c 2－b 22ac ，整理得c 2＋b 2－a 2＝3bc ，………2分可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32．…………………………………………………3分 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π6． …………………………………………………………5分 (2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得(3－1)2＝b 2＋c 2－2bc ·32，………6分 即4－23＝b 2＋c 2－3bc ＝(b ＋c )2－(2＋3)bc ，亦即(2＋3)bc ＝(b ＋c )2－(4－23)， 因为bc ≤(b ＋c )24，当且仅当b ＝c 时取等号， 所以(b ＋c )2－(4－23)≤(2＋3)×(b ＋c )24，解得b ＋c ≤22，…………………………………………………………8分 当且仅当b ＝c ＝2时取等号． 所以a ＋b ＋c ≤22＋3－1，即△ABC 周长的最大值为22＋3－1．…………………………………………………10分 若选择条件②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ． (1)由条件得2b cos A ＝3a cos C ＋3c cos A ，由正弦定理得2sin B cos A ＝3(sin A cos C ＋sin C cos A )＝3sin(A ＋C )＝3sin B ．………2分 因为sin B ≠0，所以cos A ＝32，…………………………………………………3分 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π6． (2)同上18. 已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S n 2＝a n (S n －12)．(1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解析：(1)因为S n 2＝a n (S n －12)，当n ≥2时，S n 2＝(S n －S n －1)(S n －12)，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ．①…………2分 由题意得S n －1·S n ≠0，所以1S n －1S n －1＝2， 即数列{1S n }是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．…………5分所以1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，得S n ＝12n －1． …………………………………………7分(2)易得b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)……………………………8分 ＝12(12n －1－12n ＋1)，……………………………10分所以T n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1． …………………………………12分19. 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点． (1)证明：MN ∥平面PAB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．(1)证明：取BP 的中点T ，连接AT ，TN ．由N 为PC 的中点，知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2．又AD ∥BC ，AM ＝23AD ＝2，所以TN _∥AM ，因此四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT ． …………………………………3分因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB ． …………………………………5分(2)取BC 的中点E ，连接AE ．由AB ＝AC ，得AE ⊥BC ，因为AD ∥BC ，所以AE ⊥AD ，AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－⎝⎛⎭⎫BC 22＝5．以A 为原点，AE ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A －xyz ．由题意知，P (0，0，4)，M (0，2，0)，C (5，2，0)，N ⎝⎛⎭⎫52，1，2，PM →＝(0，2，－4)，PN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，－2，AN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，2．…………………………………7分设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0，2，1)．……………………………………………………………………9分于是|cos ＜n ，AN →＞|＝|n ·AN →||n |·|AN →|＝8525．…………………………………11分设AN 与平面PMN 所成角为θ，则sin θ＝8525，即直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8525． …………………………………12分20. 成都市现在已是拥有1 400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人中约40%拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[30，100]范围内，规定分数在80以上(含80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．拥有驾驶证 没有驾驶证 总计具有很强安全意识 不具有很强安全意识58 总计200(1)补全上面的驾驶证有关?(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附表及公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．解：(1)200人中拥有驾驶证的占40%，有80人，没有驾驶证的有120人；具有很强安全意识的占20%，有40人，不具有很强安全意识的有160人．补全的2×2列联表如表所示：计算得K 2＝200×(22×102－18×58)240×80×160×120＝7516＝4.6875＞3.841， 所以有超过95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关． …………………………………5分(2)由频率分布直方图中数据可知，抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为15，所以X ＝0，1，2，3，4，且X ~B ⎝⎛⎭⎫4，15．于是P (X ＝k )＝C k 4·⎝⎛⎭⎫15k ·⎝⎛⎭⎫454－k(k ＝0，1，2，3，4)，X 的分布列为0分 所以E (X )＝4×15＝45．答：X 的数学期望为45． …………………………………12分 21. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，点(1，32)在椭圆C上，点A (－3c ，0)满足以AF 2为直径的圆过椭圆的上顶点B ． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线过右焦点F 2且与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点P (t ，0)使得PM →·PN →为定值?如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由． 解析：(1)因为点(1，32)在椭圆C 上，所以1a 2＋94b 2＝1．又点A (－3c ，0)满足以AF 2为直径的圆过椭圆的上顶点B ，所以AB ⊥BF 2，即AB →·BF 2→＝(3c ，b )·(c ，－b )＝0，即b 2＝3c 2．又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3．所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1． …………………………………4分 (2)易得右焦点F 2(1，0)，假设存在点P (t ，0)满足要求．①当直线MN 的斜率不为0时，设直线MM 的方程为x ＝my ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧x ＝my ＋1，3x 2＋4y 2＝1，整理可得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0，则y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1·y 2＝－94＋3m 2，所以x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝84＋3m 2，x 1x 2＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝－9m 24＋3m 2＋－6m 24＋3m 2＋1＝4－12m 24＋3m 2．…………………………………6分因为PM →·PN →＝(x 1－t ，y 1)·(x 2－t ，y 2)＝x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2＋y 1y 2＝4－12m 24＋3m 2－8t 4＋3m 2＋t 2－94＋3m 2 ＝t 2(4＋3m 2)－12m 2－8t －54＋3m 2＝3m 2(t 2－4)＋4t 2－8t －54＋3m 2．…………………………………9分 要使PM →·PN →为定值，则t 2－41＝4t 2－8t －54，解得t ＝118，此时PM →·PN →＝－13564为定值． …………………………………11分②当直线MM 的斜率为0时，则M (－2，0)，N (2，0)，P (118，0)，此时PM →·PN →＝(－2－118，0)·(2－118，0)＝－13564． …………………………………12分综上，所以存在P (118，0)，使PM →·PN →为定值．22. 已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a ＞0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )． (1)求函数f (x )的极小值；(2)若g (x )＝xf'(x )，且存在x ∈[1，2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围； (3)若g (x )＝ln x ，试讨论函数h (x )(x ＞0)的零点个数．解析：(1)求导得f'(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f'(x )＝0，得x 1＝0或x 2＝2a ．…………………………………1分因为a ＞0，所以x 1＜x 2，列表如下：所以f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫2a ＝8a 2－12a 2＋1＝1－4a 2．…………………………………3分(2)g (x )＝xf'(x )＝3ax 3－6x 2．因为存在x ∈[1，2]使h (x )＝f (x )，所以f (x )≥g (x )在x ∈[1，2]上有解，即ax 3－3x 2＋1≥3ax 3－6x 2在x ∈[1，2]上有解，即不等式2a ≤1x 3＋3x 在x ∈[1，2]上有解．………………………5分设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1x 3，x ∈[1，2]．因为y'＝－3x 2－3x 4＜0对x ∈[1，2]恒成立，所以y ＝1x 3＋3x 在[1，2]上递减，故当x ＝1时，y max＝4．所以2a ≤4，即a ≤2，故a 的取值范围为(－∞，2]．…………………………………7分(3)由(1)知，f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2a ＝1－4a 2．①当1－4a 2＞0，即a ＞2时，f (x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，所以h (x )＝max{f (x )，g (x )}≥f (x )＞0，因此h (x )在(0，＋∞)上无零点．…………………………………8分②当1－4a 2＝0，即a ＝2时，f (x )min ＝f (1)＝0，又g (1)＝0，所以h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋∞)上有且仅有一个零点．…………………………………9分③当1－4a 2＜0，即0＜a ＜2时，设φ(x )＝f (x )－g (x )＝ax 3－3x 2＋1－ln x ，0＜x ＜1． 因为φ'(x )＝3ax 2－6x －1x ＜6x (x －1)－1x ＜0，所以φ(x )在(0，1)上单调递减．又φ(1)＝a －2＜0，φ⎝⎛⎭⎫1e ＝a e 3＋2e 2－3e 2＞0，所以存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫1e ，1，使得φ(x 0)＝0． (i )当0＜x ≤x 0时，因为φ(x )＝f (x )－g (x )≥φ(x 0)＝0，所以h (x )＝f (x )且h (x )为减函数． 又h (x 0)＝f (x 0)＝g (x 0)＝ln x 0＜ln1＝0，f (0)＝1＞0，所以h (x )在(0，x 0)上有一个零点． (ii )当x 0＜x ＜1时，因为φ(x )＝f (x )－g (x )＜φ(x 0)＝0，所以h (x )＝g (x )且h (x )为增函数．因为g(1)＝0，又h(x)＝max{f(x)，g(x)}≥g(x)＝ln x＞0在x＞1上恒成立，所以h(x)在(x0，＋∞)上有且仅有一个零点．从而h(x)＝max{f(x)，g(x)}在(0，＋∞)上有两个零点．综上，当0＜a＜2时，h(x)有两个零点；当a＝2时，h(x)有一个零点；当a＞2时，h(x)无零点．…………………………………12分。
2020-2021学年江苏省南京市金陵中学高一(上)第一次月考数学试卷(10月份)及答案
2020-2021学年江苏省南京市金陵中学高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．（5分）已知全集U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，1，2}，N＝{2，3}，则（∁U M）∩N＝（）A．{2，3，4}B．{3}C．{2}D．{0，1，2，3，4} 2．（5分）设点P（x，y），则“x＝2且y＝﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1＝0上”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设a＞b，c＞d，则下列不等式中一定成立的是（）A．a+c＞b+d B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a+d＞b+c4．（5分）已知集合A＝，B＝{m，2，8}，若A∪B＝B，则m＝（）A．1B．2C．3D．55．（5分）不等式x2+ax+4＜0的解集为空集，则a的取值范围是（）A．[﹣4，4]B．（﹣4，4）C．（﹣∞，﹣4）]∪[4，+∞]）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）6．（5分）已知x＞2，则函数的最小值是（）A．6B．8C．12D．167．（5分）设全集U是实数集R，M＝{x|x＜﹣2，或x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}，如图，则阴影部分所表示的集合为（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|﹣2≤x≤3}C．{x|x≤2，或x＞3}D．{x|﹣2≤x≤2} 8．（5分）定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P（A），用n（A）表示有限集A的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合A，都有A⊆P（A）；②存在集合A，使得n[P（A）]＝3；③若A∩B＝∅，则P（A）∩P（B）＝∅；④若A⊆B，则P（A）⊆P（B）；⑤若n（A）﹣n（B）＝1，则n[P（A）]＝2×n[P（B）]．其中正确的命题个数为（）A．5B．4C．3D．2二、多项选择题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．（5分）下列命题中是真命题的是（）A．∀x∈R，2x2﹣3x+4＞0B．∀x∈{1，﹣1，0}，2x+1＞0C．∃x∈N，使D．∃x∈N+，使x为29的约数10．（5分）已知p：x2+x﹣6＝0；q：ax+1＝0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的值可以是（）A．﹣2B．C．D．11．（5分）已知函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，则（）A．a2﹣b2≤4B．a2+≥4C．若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为（x1，x2），则x1x2＞0D．若不等式x2+ax+b＜c的解集为（x1，x2），且|x1﹣x2|＝4，则c＝4三、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分．请把答案填写在答题卡相应位置上）12．（5分）集合A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|x2﹣ax+b＝0}，若A∪B＝{2，3，5}，A∩B ＝{3}，则ab＝．13．（5分）若关于x的不等式ax+b＞0的解集为（1，+∞），则a﹣+1的最小值为．14．（5分）若不等式成立的一个充分非必要条件是，则实数m的取值范围是．15．（5分）若存在两个互不相等的实数a，b，使得成立，则实数m的取值范围是．16．（5分）已知正实数x，y满足5x2+4xy﹣y2＝1，则12x2+8xy﹣y2的最小值为四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）计算：；（2）解不等式：6﹣2x≤x2﹣3x＜18．18．（12分）若x1和x2分别是函数y＝2x2+4x﹣3的两个零点．（1）求|x1﹣x2|的值；（2）求的值．19．（12分）设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，集合B＝{x|2m＜x＜1}．（1）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围；（2）若B∩∁R A中只有一个整数，求实数m的取值范围．20．（12分）精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量w万件（生产量与销售量相等）与推广促销费x万元之间的函数关系为w＝（其中推广促销费不能超过5万元）．已知加工此农产品还要投入成本3（w+）万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为（4+）元/件．（1）试将该批产品的利润y万元表示为推广促销费x万元的函数；（利润＝销售额﹣成本﹣推广促销费）（2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？21．（12分）已知y＝﹣3x2+a（6﹣a）x+12．（1）若不等式y＞b的解集为（0，3），求实数a，b的值；（2）若a＝3时，对于任意的实数x，都有y≤3x+9m2﹣6m，求m的取值范围．22．（12分）设函数y＝ax2+x﹣b（a∈R，b∈R）．（1）若b＝a﹣，且集合{x|y＝0}中有且只有一个元素，求实数a的取值集合；（2）求不等式y＜（2a+2）x﹣b﹣2的解集；（3）当a＞0，b＞1时，记不等式y＞0的解集为P，集合Q＝{x|﹣2﹣t＜x＜﹣2+t}．若对于任意正数t，P∩Q≠∅，求的最大值．2020-2021学年江苏省南京市金陵中学高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．（5分）已知全集U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，1，2}，N＝{2，3}，则（∁U M）∩N＝（）A．{2，3，4}B．{3}C．{2}D．{0，1，2，3，4}【分析】利用全集求出M的补集，然后求出与N的交集．【解答】解：全集U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，1，2}，N＝{2，3}，则∁U M＝{3，4}，所以（∁U M）∩N＝{3}．故选：B．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，常考题型，基础题．2．（5分）设点P（x，y），则“x＝2且y＝﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1＝0上”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】当x＝2且y＝﹣1”可以得到“点P在直线l：x+y﹣1＝0上”，当点P在直线l：x+y﹣1＝0上时，不一定得到x＝2且y＝﹣1，得到x＝2且y＝﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1＝0上”的充分不必要条件．【解答】解：∵x＝2且y＝﹣1”可以得到“点P在直线l：x+y﹣1＝0上”，当“点P在直线l：x+y﹣1＝0上”时，不一定得到x＝2且y＝﹣1，∴“x＝2且y＝﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1＝0上”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查条件问题，本题解题的关键是看出点P在直线l：x+y﹣1＝0上时，不能确定这个点的坐标的大小，本题是一个基础题．3．（5分）设a＞b，c＞d，则下列不等式中一定成立的是（）A．a+c＞b+d B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a+d＞b+c【分析】本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行检验，很快问题得以解决．【解答】解：∵b＜a，d＜c，∴设b＝﹣1，a＝﹣2，d＝2，c＝3选项B，（﹣2）×3＞（﹣1）×2，不成立选项C，﹣2﹣3＞﹣1﹣2，不成立选项D，﹣2+2＞﹣1+3，不成立故选：A．【点评】本题主要考查了基本不等式，基本不等式在考纲中是C级要求，本题属于基础题．4．（5分）已知集合A＝，B＝{m，2，8}，若A∪B＝B，则m＝（）A．1B．2C．3D．5【分析】可求出集合A＝{2，3}，根据A⊆B即可得出m＝3．【解答】解：∵集合A＝＝{2，3}，且B＝{m，2，8}，A∪B＝B，∴m＝3，故选：C．【点评】本题主要考查描述法、列举法的定义，子集的定义，以及分次不等式的解法．5．（5分）不等式x2+ax+4＜0的解集为空集，则a的取值范围是（）A．[﹣4，4]B．（﹣4，4）C．（﹣∞，﹣4）]∪[4，+∞]）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）【分析】利用一元二次函数图象，分析不等式解集为空集的条件，再求解即可．【解答】解：∵不等式x2+ax+4＜0的解集为空集，∴△＝a2﹣16≤0⇒﹣4≤a≤4．故选：A．【点评】本题考查一元二次不等式的解集．6．（5分）已知x＞2，则函数的最小值是（）A．6B．8C．12D．16【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．【解答】解：因为x＞2，所以x﹣2＞0，所以y＝＝+8+8＝16，当且仅当即x＝3时取等号，故选：D．【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题7．（5分）设全集U是实数集R，M＝{x|x＜﹣2，或x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}，如图，则阴影部分所表示的集合为（）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|﹣2≤x≤3}C．{x|x≤2，或x＞3}D．{x|﹣2≤x≤2}【分析】先观察Venn图，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件即可求解．【解答】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合∁R N中，又在集合∁R M中，即∁R N∩∁R M．又M＝{x|x＜﹣2，或x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}，∴图中阴影部分表示的集合是：∁R N∩∁R M＝{x|﹣2≤x≤2}∩{x|x＜1，或x＞3}＝{x|﹣2≤x＜1}，故选：A．【点评】本小题主要考查V enn图表达集合的关系及运算、V enn图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．8．（5分）定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P（A），用n（A）表示有限集A的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合A，都有A⊆P（A）；②存在集合A，使得n[P（A）]＝3；③若A∩B＝∅，则P（A）∩P（B）＝∅；④若A⊆B，则P（A）⊆P（B）；⑤若n（A）﹣n（B）＝1，则n[P（A）]＝2×n[P（B）]．其中正确的命题个数为（）A．5B．4C．3D．2【分析】根据集合与元素的关系可判断①③④，根据集合的子集个数公式可判断②⑤．【解答】解：对于①，对于任意集合A，都有A⊆A，故A∈P（A），故①错误；对于②，设n（A）＝m，则A的子集个数为2m，故n[P（A）]＝2m，显然2m＝3无非负整数解，故②错误；对于③，若A∩B＝∅，则A，B的公共子集只有空集∅，故P（A）∩P（B）＝{∅}，故③错误；对于④，若A⊆B，则A的所有子集都是B的子集，故P（A）⊆P（B），故④正确；对于⑤，若n（A）﹣n（B）＝1，不妨设n（A）＝m，则n（B）＝m﹣1，∴n[P（A）]＝2m，n[P（B）]＝2m﹣1，显然n[P（A）]＝2×n[P（B）]，故⑤正确．故选：D．【点评】本题考查集合与集合，元素与集合的关系，考查集合的子集计算，属于基础题．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．（5分）下列命题中是真命题的是（）A．∀x∈R，2x2﹣3x+4＞0B．∀x∈{1，﹣1，0}，2x+1＞0C．∃x∈N，使D．∃x∈N+，使x为29的约数【分析】利用二次不等式的解集判断A；特殊值判断B；特例判断C；特例判断D．【解答】解：因为y＝2x2﹣3x+4，开口向上，△＝9﹣32＜0，所以2x2﹣3x+4＞0恒成立，所以A是真命题；因为x＝﹣1时，2x+1＝﹣1＜0，所以∀x∈{1，﹣1，0}，2x+1＞0，不成立，所以B不是真命题；∃x∈N，使，x＝0或x＝1时成立，所以C是真命题；∃x∈N+，使x为29的约数，例如x＝29，所以D是真命题；故选：ACD．【点评】本题考查命题的真假的判断，是基本知识的考查．10．（5分）已知p：x2+x﹣6＝0；q：ax+1＝0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的值可以是（）A．﹣2B．C．D．【分析】求解一元二次方程化简p，由p是q的必要不充分条件，可得方程ax+1＝0的解集是方程x2+x﹣6＝0的解集的非空真子集，由此求解实数a的值．【解答】解：由x2+x﹣6＝0，得x＝﹣3或x＝2，即p：x＝﹣3或x＝2；q：ax+1＝0，∵p是q的必要不充分条件，∴方程ax+1＝0的解集是集合{2，﹣3}的非空真子集，则＝2，或，即a＝或a＝．故选：BC．【点评】本题考查充分必要条件的判定及应用，是基础题．11．（5分）已知函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，则（）A．a2﹣b2≤4B．a2+≥4C．若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为（x1，x2），则x1x2＞0D．若不等式x2+ax+b＜c的解集为（x1，x2），且|x1﹣x2|＝4，则c＝4【分析】由函数的零点的定义和二次方程有两个相等的实数解的条件可得a，b的关系式，由二次函数的最值求法，可判断A；由基本不等式可判断B；由二次方程的韦达定理可判断C，D．【解答】解：根据题意，函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，必有a2﹣4b＝0，即a2＝4b，（b＞0），依次分析选项：对于A，a2﹣b2﹣4＝4b﹣b2﹣4＝﹣（b2﹣4b+4）＝﹣（b﹣2）2≤0，b＝2时，等号成立，即有a2﹣b2≤4，故A正确；对于B，a2+＝4b+≥2＝4，当且仅当b＝时，取得等号，故B正确；对于C，由x1，x2为方程x2+ax﹣b＝0的两根，可得x1x2＝﹣b＜0，故C错误；对于D，由x1，x2为方程x2+ax+b﹣c＝0的两根，可得x1+x2＝﹣a，x1x2＝b﹣c，则|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝a2﹣4（b﹣c）＝a2﹣4b+4c＝4c＝16，解得c＝4，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查二次函数的性质和二次不等式的解集、二次方程的韦达定理的运用，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题．三、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分．请把答案填写在答题卡相应位置上）12．（5分）集合A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|x2﹣ax+b＝0}，若A∪B＝{2，3，5}，A∩B ＝{3}，则ab＝30．【分析】先求出A＝{3，5}，根据交集、并集的定义即可得出a，b．【解答】解：∵A＝{x|x2﹣8x+15＝0}＝{3，5}；若A∪B＝{2，3，5}，A∩B＝{3}，则B＝{2，3}；∴；∴a＝5，b＝6；∴ab＝30，故答案为：30．【点评】本题主要考查并集与交集的定义，描述法与列举法表示集合，属于基础题．13．（5分）若关于x的不等式ax+b＞0的解集为（1，+∞），则a﹣+1的最小值为3．【分析】由题意可得a＝﹣b＞0，a﹣+1＝a++1，再利用基本不等式求得a﹣+1的最小值．【解答】解：∵关于x的不等式ax+b＞0的解集为（1，+∞），∴，即a＝﹣b＞0．则a﹣+1＝a++1≥2+1＝3，当且仅当a＝1时，取等号，故a﹣+1的最小值为3，故答案为：3．【点评】本题主要考查一次不等式的解法，基本不等式的应用，属于基础题．14．（5分）若不等式成立的一个充分非必要条件是，则实数m的取值范围是．【分析】由已知中不等式＜0成立的一个充分非必要条件是＜x＜，我们分别讨论2m＝m﹣1时，2m＜m﹣1时，2m＞m﹣1时满足条件的实数m的取值范围，最后综合讨论结果，即可得到答案【解答】解：∵设不等式＜0的解集为A∵不等式＜0成立的一个充分非必要条件是＜x＜，则（，）⫋A①当2m＝m﹣1时，A＝∅，不成立；②当2m＜m﹣1，即m＜﹣1时，不等式解为A＝（2m，m﹣1），不符合条件，舍去；③当2m＞m﹣1时，不等式解为A＝（m﹣1，2m），则m﹣1≤且2m≥，解得≤m≤，即m取值范围是≤m≤．故答案为：≤m≤【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，不等式的基本性质，其中根据已知条件分讨论，并在每种情况下构造关于m的不等式组，是解答本题的关键15．（5分）若存在两个互不相等的实数a，b，使得成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【分析】根据条件可知a，b为方程x2﹣mx+1＝0的两个不相等的实根，然后由Δ＞0，求出m的取值范围．【解答】解：由存在两个互不相等的实数a，b，使得成立，可知a，b为方程x2﹣mx+1＝0的两个不相等的实根，∴Δ＝m2﹣4＞0，∴m＞2或m＜﹣2，∴m的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的性质，考查了转化思想，属基础题．16．（5分）已知正实数x，y满足5x2+4xy﹣y2＝1，则12x2+8xy﹣y2的最小值为【分析】由5x2+4xy﹣y2＝（5x﹣y）（x+y），设5x﹣y＝m，x+y＝n，（m＞0，n＞0），求出x，y，12x2+8xy﹣y2＝表示为m，n的式子，运用基本不等式可得最小值．【解答】解：∵5x2+4xy﹣y2＝（5x﹣y）（x+y）＝1，设5x﹣y＝m，x+y＝n，（m＞0，n＞0），可得x＝，y＝，∴12x2+8xy﹣y2＝＝（m2+9n2）+≥×2+＝，当且仅当m＝3n，即x＝2y时，上式取得等号，故12x2+8xy﹣y2的最小值为，故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了转化能力和运算能力，属于较难题．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）计算：；（2）解不等式：6﹣2x≤x2﹣3x＜18．【分析】（1）利用根式与分数指数幂的运算法则，计算即可；（2）不等式等价于，求出解集即可．【解答】解：（1）＝﹣++＝﹣++＝4；（2）不等式6﹣2x≤x2﹣3x＜18等价于，化简得；即，解得；即﹣3＜x≤﹣2或3≤x＜6，所以原不等式的解集为{x|﹣3＜x≤﹣2或3≤x＜6}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了有理数指数幂的化简问题，是基础题．18．（12分）若x1和x2分别是函数y＝2x2+4x﹣3的两个零点．（1）求|x1﹣x2|的值；（2）求的值．【分析】由题意求得x1+x2＝﹣2，，（1）由求解；（2）由，进一步变形整理得答案．【解答】解：由题知，x1和x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两根，∴x1+x2＝﹣2，，（1）＝；（2）＝＝＝﹣17．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，集合B＝{x|2m＜x＜1}．（1）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围；（2）若B∩∁R A中只有一个整数，求实数m的取值范围．【分析】（1）“x∈A”是“x∈B”的必要条件，等价于B⊆A，据此列式可得；（2）B∩∁R A中只有一个整数，只能是﹣2这个整数．【解答】解：（1）因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以“x∈B“是“x∈A“的充分条件，所以B⊆A，所以或2m≥1，解得：﹣≤m或m≥，所以m；（2）因为A＝[﹣1，2]，所以∁R A＝（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），又B∩∁R A中只有一个整数，所以这个整数必定是﹣2，故2m∈[﹣3，﹣2），所以m∈[﹣，﹣1）【点评】本题考查了集合关系中的参数取值问题．属基础题．20．（12分）精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量w万件（生产量与销售量相等）与推广促销费x万元之间的函数关系为w＝（其中推广促销费不能超过5万元）．已知加工此农产品还要投入成本3（w+）万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为（4+）元/件．（1）试将该批产品的利润y万元表示为推广促销费x万元的函数；（利润＝销售额﹣成本﹣推广促销费）（2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？【分析】（1）根据利润公式得出y关于x的函数；（2）利用基本不等式得出最大利润【解答】解：（1）由题意知y＝（4+）w﹣3（w+）﹣x＝w+30﹣﹣x＝﹣﹣（0≤x≤5）．（2）∵y＝﹣﹣＝33﹣[（x+3）+]≤33﹣•2＝27（0≤x ≤5）．当且仅当x＝3时，上式取“＝”∴当x＝3时，y取最大值27．答：当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元．【点评】本题考查了函数模型的应用，基本不等式求最值，属于中档题21．（12分）已知y＝﹣3x2+a（6﹣a）x+12．（1）若不等式y＞b的解集为（0，3），求实数a，b的值；（2）若a＝3时，对于任意的实数x，都有y≤3x+9m2﹣6m，求m的取值范围．【分析】（1）利用一元二次不等式与对应方程的关系，即可求出a、b的值；（2）解法一、不等式化为x2﹣2x﹣4+3m2﹣2m≥0恒成立，利用判别式△≤0，列不等式求出m的取值范围．解法二、不等式化为3m2﹣2m≥﹣2x2+2x+4恒成立，求出右边最小值，转化为关于m的不等式，求出解集即可．【解答】解：（1）y＝﹣3x2+a（6﹣a）x+12，由不等式y＞b的解集为（0，3），即方程﹣3x2+a（6﹣a）x+12﹣b＝0的两根为0和3；由根与系数的关系知，，；经检验知，a＝3，b＝12时，不等式y＞b的解集为（0，3）；所以a＝3，b＝12；（2）解法一：当a＝3时，y＝﹣3x2+9x+12，由y≤3x+9m2﹣6m恒成立，得﹣3x2+6x+12≤9m2﹣6m，即x2﹣2x﹣4+3m2﹣2m≥0恒成立；又二次不等式对应的函数为y＝x2﹣2x﹣4+3m2﹣2m开口向上，只需△＝4﹣4（﹣4+3m2﹣2m）≤0，化简得3m2﹣2m﹣5≥0，解得m≤﹣1或m≥；综上知，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）．解法二：当a＝3时，y＝﹣3x2+9x+12，由y≤3x+9m2﹣6m恒成立，得9m2﹣6m≥﹣3x2+6x+12，即3m2﹣2m≥﹣x2+2x+4恒成立，又﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，即3m2﹣2m≥5，解得m≤﹣1或m≥；所以m的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）．【点评】本题考查了一元二次不等式解法与应用问题，也考查了转化思想，是中档题．22．（12分）设函数y＝ax2+x﹣b（a∈R，b∈R）．（1）若b＝a﹣，且集合{x|y＝0}中有且只有一个元素，求实数a的取值集合；（2）求不等式y＜（2a+2）x﹣b﹣2的解集；（3）当a＞0，b＞1时，记不等式y＞0的解集为P，集合Q＝{x|﹣2﹣t＜x＜﹣2+t}．若对于任意正数t，P∩Q≠∅，求的最大值．【分析】（1）由题意可得y＝ax2+x﹣a+，分类讨论，即可求出a的值；（2）不等式转化为（ax﹣1）（x﹣2）＜0，分类讨论即可求出不等式的解集；（3）根据不等式解集对应的关系，得到﹣2∈P，然后利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：（1）当b＝a﹣时，y＝ax2+x﹣a+，∵集合{x|y＝0}中有且只有一个元素，①当a＝0时，x＝﹣，此时满足题意，②当a≠0时，令ax2+x﹣a+＝0，则△＝1+4a（a﹣）＝0，解得a＝1或，综上所述a的取值集合为{0，，1}；（2）由y＜（2a+2）x﹣b﹣2可得ax2﹣（2a+1）x+2＜0，即（ax﹣1）（x﹣2）＜0，1°当a＞0时，则不等式可化为（x﹣）（x﹣2）＜0，①若0＜a＜，则＞2，此时不等式的解集为（2，），②若a＞，则＜2，此时不等式的解集为（，2），③若a＝，此时不等式的解集为∅，2°当a＝0时，不等式即为﹣x+2＜0，此时不等式的解集为（2，+∞），3°当a＜0时，则不等式可化为（x﹣）（x﹣2）＞0，此时不等式的解集为（﹣∞，）∪（2，+∞），综上所述：当a＜0时，不等式的解集为（﹣∞，）∪（2，+∞），当a＝0时，不等式的解集为（2，+∞），当0＜a＜时，不等式的解集为（2，），当a＝时，不等式的解集为∅，当a＞时，不等式的解集为（，2），（3）∵集合Q＝{x|﹣2﹣t＜x＜﹣2+t}，对于任意正数t，﹣2∈Q，∵P∩Q≠∅，∴﹣2∈P，即f（﹣2）≥0，则4a﹣2﹣b≥0，∴4a≥b+2＞3，则﹣≤﹣＝，令t＝3b﹣2＞1，此时b＝，则﹣≤＝≤，当且仅当t＝4，即a＝1，b＝2时，取等号，故的最大值为．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，不等式的解法，根据集合关系进行等价转化是解决本题的关键．综合性较强，属于中档题．。
江苏省2021年高三10月阶段数学(文)试卷(附答案)
江苏省 高三10月阶段数学（文）试卷一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上．．．．．．．．．． 1．复数z 1=3+i ，z 2=1-i ,则复数21z z 的虚部为___▲____． 2．“x >1”是“1x<1”的__▲__条件．(如：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要)3．已知集合A ＝{1,2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，则A ∪B ＝ ___▲____．4．函数6()12log f x x =-的定义域为___▲___．5．已知x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，则y x z +=2的最大值为___▲____．6．已知2)tan(-=-απ,则221sin 2cos αα=- ___▲__．7．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于___▲____．8．在等差数列{}n a 中,28149a a a ++=，则15S =__▲__．9．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )．当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是 ▲ ．10. 已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)＝ ▲ ．11．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为___▲____． 12．将边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD ＝2，则三棱锥D －ABC 的体积为___▲____．13．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是____▲____．14．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若不等式a 2n ＋S 2n n2≥ma 21对任意等差数列{a n }及任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为___▲____.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程活盐酸步骤．15．已知集合{}]3,2[,2∈-==x y y A x ，{}03322>--+=a a x x x B （1）当4a =时，求A B ； （2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．16．如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，,//,2,4AD CD AB CD AB AD CD ⊥===,M 为CE 的中点．（1）求证：BM ∥平面ADEF ； （2）求证：平面BDE ⊥平面BEC .17． 已知函数()()2cos 3cos sin 222xx x f x =-．（1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()31f θ=+，求θ的值； （2）若⎪⎭⎫⎝⎛∈22ππθ，－，求函数)(x f 值域；（3）在△ABC 中，AB =1，()31f C =+，且△ABC 的面积为32，求sin A +sin B 的值．18． 某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB 至少长2.8米，C 为AB 的中点，B 到D 的距离比CD 的长小0.5米，3BCD π∠=，若建筑支架各部分的材料每米的价格已确定，且AB 部分的价格是CD部分价格的两倍.设BC x =米,CD y =米. (1)求y 关于x 的函数；(2)问怎样设计AB 的长，可使建造这个支架的成本最低？19．已知函数2()ln (0,1)xf x a x x a a a =+->≠.（1）求证：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）若函数|()|1y f x t =--有三个零点，求t 的值；（3）若存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，试求a 的取值范围.20．已知()x f x m =（m 为常数，0>m 且1≠m ）．BACD 地面设))((,),(),(*21N n a f a f a f n ∈ 是首项为4，公比为2的等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若)(n n n a f a b ⋅=，且数列{}n b 的前n 项和n S ，当2=m 时，求n S ；（3）若()n n c a f n =⋅，问是否存在实数m ，使得数列{}n c 中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．1． 2; 2．充分不必要; 3． ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，－1，12; 4． (0,6]; 5． 12; 6． 52; 7． π4; 8． 45;9． 0或－14; 10. 6; 11． 17250; 12． 22313． [－2，－1]; 14． 1515．解：（1） [8,7A B =--）（2）{}()(3)0B x x a x a =-++> ①当32a =-时，3,2B x x R x ⎧⎫=∈≠-⎨⎬⎩⎭A B ∴⊆恒成立； ②当32a <-时，{}3--><=a x a x x B 或 ,A B ⊆∴4->a 或83-<--a 解得4a >-或5>a （舍去） 所以-<<-a 423 ③当32a >-时，{}a x a x x B >--<=或3 ,34A B a ⊆∴-->-或8-<a （舍去）解得312a -<<综上，当A B ⊆，实数a 的取值范围是(4,1)-．16． 证明：（1）取DE 中点N ，连结,MN AN ．在EDC ∆中，,M N分别为,EC ED 的中点，所以//MN CD ，且12MN CD =．由已知1//,2AB CD AB CD =，所以//MN AB ，且MN AB =．所以四边形ABMN 为平行四边形，所以//BM AN ． 又因为AN ⊂平面ADEF ，且BM ⊄平面ADEF ，所以//BM 平面ADEF ． ------------------------- 6分 （2）在正方形ADEF 中，ED AD ⊥．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，所以ED ⊥平面ABCD ．所以ED BC ⊥． ------------------------------------------ 8分 在直角梯形ABCD 中，2,4AB AD CD ===，可得22BC =．在BCD ∆中，22,4BD BC CD ===，所以BC BD ⊥． ----------------------- 10分 又,,,ED BD D ED BDE BD BDE =⊂⊂面面所以BC ⊥平面BDE ． --------------------------------- 12 又因为BC ⊂平面BCE ，所以平面BDE ⊥平面BEC .---------------------------- 14分17． （1）2()232sin cos 222x x xf x =-3(1cos )sin x x +-=()π2cos 36x ++ 3分由()π2cos 3316x +，得()π1cos 62x +=，MFCDA于是ππ2π()63x k k +=±∈Z ，因为ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ26x =-或． 5分 （2）3263πππ≤+≤-x ，所以值域为(]32,31++- 9分 （3）因为(0π)C ∈，，由（1）知π6C =． 因为△ABC 的面积为32，所以31πsin 226ab =，于是23ab =. ① 10分在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b . 由余弦定理得2222π12cos66a b ab a b =+-=+-，所以227a b +=． ② 11分 由①②可得23a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，或32.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，于是23a b +=+由正弦定理得sin sin sin 112A B C a b ===， 所以()31sin sin 12A B a b +=+=+．14分18． 解：(1)由题 BC x =,CD y =.连结BD ，则在CDB ∆中，2221()2cos23y y x xy π-=+-，整理得：214.1x y x -=-( 1.4)x ≥ ----------6分 （注：不注明定义域扣2分）(2)设金属支架CD 每米价格为a 元，金属支架AB 每米价格为2a 元， 则总成本为()()224y a x a a y x ⋅+⋅=+214441x y x x x -+=+- ----------8分 设 2.81,10.4,2t x t =-≥-= ---------10分则34564y x t t +=++ ----------12分 令()3564g t t t=++，在[)+∞,4.0上单调增,所以当4.0=t 时,即 1.4x =时,取得最小值.------14分答：当m AB 8.2=时，建造这个支架的成本最低.-------16分19．解：（Ⅰ）()ln 2ln 2(1)ln xxf x a a x a x a a '=+-=+-…………………3分由于10<<a 或1a >，故当(0,)x ∈+∞时，ln 0,10xa a >->，所以()0f x '>，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增 ………………………………………5分 （Ⅱ）当0,1a a >≠时，因为(0)0f '=，且()f x '在R 上单调递增， 故()0f x '=有唯一解0x =…………………………………………7分 所以,(),()x f x f x '的变化情况如下表所示：x(,0)-∞(0,)+∞()f x ' － 0 ＋ ()f x 递减 极小值 递增而11t t +>-，所以min 1(())(0)1t f x f -===，解得2t = ……………11分（Ⅲ）因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，所以当[1,1]x ∈-时，max min max min |(())(())|(())(())1f x f x f x f x e -=-≥-…12分 由（Ⅱ）知，()f x 在[1,0]-上递减，在[0,1]上递增，所以当[1,1]x ∈-时，{}min max (())(0)1,(())max (1),(1)f x f f x f f ===-，而11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=+--++=--， 记1()2ln (0)g t t t t t =-->，因为22121()1(1)0g t t t t '=+-=-≥（当1t =时取等号），所以1()2ln g t t t t=--在(0,)t ∈+∞上单调递增，而(1)0g =，所以当1t >时，()0g t >；当01t <<时，()0g t <，也就是当1a >时，(1)(1)f f >-；当01a <<时，(1)(1)f f <-………14分 ①当1a >时，由(1)(0)1ln 1f f e a a e a e -≥-⇒-≥-⇒≥，②当01a <<时，由11(1)(0)1ln 10f f e a e a a e--≥-⇒+≥-⇒<≤，综上知，所求a 的取值范围为[)10,,a e e ⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦……………………………16分20． 解：（1）由题意11()422n n n f a -+=⨯=，即12na n m+=，∴1log 2n n m a += ……………………3分（2）由题意()()111()log 2212log 2n n n n n n m m b a f a n +++==⨯=+，当2m =()()()112212log 212log212n n n n m b n n n +++=+=+=+． ∴25432)1(242322+⋅+++⋅+⋅+⋅=n n n S ① …………5分 ①式两端同乘以2，得326542)1(22423222++⋅++⋅++⋅+⋅+⋅=n n n n n S ② ②－①并整理，得3265432)1(222222++⋅++-----⋅-=n n n n S 3254332)1(]2222[2++⋅++++++--=n n n=3332)1(21]21[22+⋅++----n n n 3332)1()21(22+⋅++-+-=n n n 32n n +=⋅ …………9分（3）由题意()()()1log 21log 2n n n n n m m c a f n m n m +==⨯=+， 要使1n n c c +<对一切1n ≥成立，即()()11log 22log 2n n m m n m n m ++<+对一切1n ≥ 成立，①当1m >时，()()12n n m +<+对一切1n ≥ 成立； …………12分 ②当01m <<时，()()12n n m +>+，∴12n m n +<+一切1n ≥ 成立， 即23m <，考虑到01m <<，∴203m <<． ………15分 综上，当203m <<或1m >时，数列{c n }中每一项恒小于它后面的项． ………16分。
江苏省南京市金陵中学2021-2022学年高三上学期学情检测热身数学试卷(解析版)
攒尖．也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．辽宁省实验中学校园内的 明心亭，为一个八角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，设正八棱锥 的侧面等腰三角形的顶角为 2θ，它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为（ ）
A．
B．
C．
Байду номын сангаасD．
7．已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x）＝f（2﹣x），当 x∈[﹣1，1]时，f（x）＝3x，
辽宁省实验中学校园内的明心亭为一个八角攒尖它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为为正八棱锥sabcdefgh底面内切圆的圆心连接oaob取ab的中点m连接smom则om是底面内切圆半径r如图所示
2021-2022 学年江苏省南京市金陵中学高三（上）学情检测热身
若函数 g（x）＝f（x）﹣k（x﹣2）的所有零点为 xi（i＝1，2，3，…，n），当
时，
＝（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
8．已知实数 m，n 满足（m+5）2+n2＝1，则对于任意实数 a，（a2﹣m）2+（a﹣n）2 的最小
值为（ ）
A．4
B．16
C．17
D．25
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.每题全选对的得 5 分，部分选对的
21．已知点 B（﹣2，0），C（2，0），△ABC 的周长等于 4+4 ，点 M 满足 ＝2 ． （1）求点 M 的轨迹 E 的方程； （2）是否存在过原点的直线 l 与曲线 E 交于 P，Q 两点，与圆 F：（x﹣ ）2+y2＝ 交 于 R，S 两点（其中点 R 在线段 PQ 上），且|PR|＝|QS|，若存在，求出直线 l 的方程；若 不存在，请说明理由．
江苏省南京市金陵中学2021届高三上学期学情调研测试(10月)数学试题含答案解析
19.如图，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的{倍，p为侧棱SD上的点•(L )求证：A C上SD;(2)若SD 上平而PAC,求二而角P -AC -S 的大小；s20.某公司开发了一种产品，有一项质蜇指标为＇长度”（记为I'单位:cm),先从中随机抽取100件，测噩发现全部介于?Scm和155c�之间，得到如下频数分布表·分组I (85.95)I [95. 105) I (105. 115) I (115. 125) I (125. 135) 频数 2 9 22 33 24已知该批产品的该项质霆指标值服从正态分布N(µ,a 2), 其中µ近似为样本平均数了，a 2近似为样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．(l)求P (l 32.2<!< 144.4);(2)公司规定：当l 匀15时，产品为正品；当/<115时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记:为生产一件这种产品的利润，求随机变痲:的分布列和数学期望．参考数据：寸丽：：：：：：：：12.2.若X -N(µ,a 2), 则P(µ一a<X::s;;µ+a)::::::::0.6827,P(µ 一2a<x::s;;µ+2a)：：：：：：：： 0.9545, P (µ-3a <X ::s;;µ+3a)::::::::0.9973.1. 2. 3. 4.5. 6.7. 8. 9.10.11.12.13.14.15.16.17..18.19.20.21.22.。
江苏省南京市金陵中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试卷(无答案)
2．设 为 所在平面内一点，满足 ，则 的面积与 的面积的比值为
A．6B． C． D．4
3．函数 的部分函数图象如图所示，为了得到函数 的图象，只需将 的图象
A．向右平移 个单位长度
B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度
D．向左平移 个单位长度
4．已知双曲线 的左、右焦点分别为 , 是 右支上的一点， 与 轴交于点 ， 的内切圆在边 上的切点为 ，若 ，则 的离心率是
C．平面 与平面 不可能垂直D．四边形 面积的最大值为
三、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．已知 满足对任意 成立，那么 的取值范围是_______
14．两圆相交于 ， 两点，若两圆的圆心均在直线 上，则 的值为__________.
15．如图，六边形 的六个内角均相等， ，M，N分别是线段 ， 上的动点，且满足 ，现将 ， 折起，使得B，F重合于点G，则二面角 的余弦值的取值范围是.
A． B． C． D．
5．已知 、 分别是曲线 的左、右焦点，点 是曲线 上的点，且 ，若坐标原点 到线段 的距离等于 ，则该椭圆的离心率为
A． B． C． D．
6．若直线 经过点 ，且在 轴上的截距的取值范围是 ，则其斜率的取值范围是
A． B． 或
C． 或 D．
7．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别是边AB，CD的中点，将正方形ADFE沿EF折到A1D1FE位置，使得二面角A1﹣EF﹣B的大小为120°，则异面直线A1F与CE所成角的余弦值为
C．当 时，有 个零点D．当 时，有 个零点
10．已知函数 的图象的一条对称轴为 ，则下列结论中正确的是
A． 是最小正周期为 的奇函数
A01 2021届江苏省南京市高三年级学情调研数学试题
南京市2021届高三年级学情调研数 学 2016.09注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． 锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{x |x 2－x ≤0}，则A ∩B ＝ ▲ ．2．设复数z 满足(z ＋i)i ＝－3＋4i (i 为虚数单位)，则z 的模为 ▲ ． 3．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60)内的汽车有 ▲ 辆．4．若函数f (x )＝sin(ωx ＋π6) (ω＞0)的最小正周期为π，则f (π3)5．右图是一个算法的流程图，则输出k 的值是 ▲ ．6．设向量a ＝(1，－4)，b ＝(－1，x )，c ＝a ＋3b ．若a ∥c 7．某单位要在4名员工（含甲、乙两人）中随机选2至少有一人被选中的概率是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2a 2 － y 24＝1（a ＞0y ＝2x ＋1平行，则实数a 的值是 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是 ▲ ．10．已知圆柱M 的底面半径为2，高为6；圆锥N 的底面直径和母线长相等．若圆柱M 和（第5题）（第3题）0.0.0.0.圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的高为 ▲ ．11．各项均为正数的等比数列{a n }，其前n 项和为S n ．若a 2－a 5＝－78，S 3＝13，则数列{a n }的通项公式a n ＝ ▲ ．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －x 3，x ≤0，－2x ，x ＞0．当x ∈(－∞，m ] 时，f (x )的取值范围为 [－16，＋∞)，则实数m 的取值范围是 ▲ ．13.在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2，D 在AB 上，AD →＝13AB →．若DB →·DC →＝3，则AC 的长是 ▲ ．14．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )＋g (x )＝(12)x ．若存在x 0∈[12，1]，使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A ，B ．若点A 的横坐标．．．是31010，点B 的纵坐标．．．是255． （1）求cos(α－β)的值； （2）求α＋β的值．16．（本小题满分14分）（第15题）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．（1）求证：MN∥平面BB1C1C；（2）若D在边BC上，AD⊥DC1，求证：MN⊥AD．17．（本小题满分14分）如图，某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现计划对其进行改建．在AB的延长线上取点D，OD＝80 m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S m2．设∠AOC＝x rad．（1）写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．18．（本小题满分16分）（第17题）AB CDM NA1B1 C1（第16题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点（在x 轴上方），连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，设PF 1→＝λF 1Q →．（1）若点P 的坐标为 (1，32)，且△PQF 2的周长为8，求椭圆C 的方程；（2）若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈[12，22]，求实数λ的取值范围．19．（本小题满分16分）（第18题）已知数列{a n}是公差为正数的等差数列，其前n项和为S n，且a2·a3＝15，S4＝16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b1＝a1，b n＋1－b n＝1a n·a n+1．①求数列{ b n}的通项公式；②是否存在正整数m，n(m≠n)，使得b2，b m，b n成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝ax 2－bx ＋ln x ，a ，b ∈R ．（1）当a ＝b ＝1时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程； （2）当b ＝2a ＋1时，讨论函数f (x )的单调性；（3）当a ＝1，b ＞3时，记函数f (x )的导函数f ′(x )的两个零点是x 1和x 2 (x 1＜x 2)．求证：f (x 1)－f (x 2)＞34－ln2．南京市2017届高三年级学情调研数学附加题2016.0921．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图， AB 为 圆O 的一条弦，C 为圆O 外一点． CA ，CB 分别交圆O 于D ，E 两点． 若AB ＝AC ，EF ⊥AC 于点F ，求证：F 为线段DC 的中点．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －2 1 －3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0 0 －1 ，设M ＝AB ．（1）求矩阵M ； （2）求矩阵M 的特征值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ，直线l 的极坐标方程为 ρ sin(θ＋π6)＝m ．若直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求实数m 的值．（第21题A ）D．选修4—5：不等式选讲解不等式|x－1|＋2|x|≤4x．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，点E 是线段PC的中点．（1）求异面直线AP与BE所成角的大小；（2）若点F在线段PB上，使得二面角F－DE－B的正弦值为33，求PFPB的值．23．（本小题满分10分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜．投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为25，乙每次投篮命中的概率为23，且各次投篮互不影响．现由甲先投．（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时甲的投篮次数X的分布列与期望．AC DFPE（第22题）南京市2017届高三年级学情调研数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．{0，1} 2．2 5 3．80 4．12 5．5 6．47．56 8．1 9.－1 10．6 11．3n －1 12．[－2，8] 13． 10 14．[22，522]二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）解： 因为锐角α的终边与单位圆交于A ，且点A 的横坐标是31010，所以，由任意角的三角函数的定义可知，cos α＝31010，从而sin α＝1－cos 2α＝1010． ……………… 2分 因为钝角β的终边与单位圆交于点B ，且点B 的纵坐标是255，所以sin β＝255，从而cos β＝－1－sin 2β＝－55． …………… 4分（1）cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝31010×(－55)＋1010×255＝－210． ……………… 8分 （2）sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1010×(－55)＋31010×255＝22． ……… 11分因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈(π2，3π2)，所以α＋β＝3π4． …………… 14分16．（本小题满分14分） 证明：（1）如图，连结A 1C ．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形． 又因为N 为线段AC 1的中点， 所以A 1C 与AC 1相交于点N ，即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点． ……………… 2分 因为M 为线段A 1B 的中点，所以MN ∥BC ． ……………… 4分 又MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C ． …………………… 6分 （2）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ．又AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD ． ………… 8分 因为AD ⊥DC 1，DC 1⊂平面BB 1C 1C ，CC 1⊂平面BB 1C 1C ，CC 1∩DC 1＝C 1， 所以AD ⊥平面BB 1C 1C ． ……………… 10分 又BC ⊂平面BB 1C 1C ，所以AD ⊥BC ． …………… 12分 又由（1）知，MN ∥BC ，所以MN ⊥AD ． …………… 14分 17．（本小题满分14分）解：（1）因为扇形 AOC 的半径为 40 m ，∠AOC ＝x rad ，所以 扇形AOC 的面积S 扇形AOC ＝x ·OA 22＝800x ，0＜x ＜π． …………… 2分在△COD 中，OD ＝80，OC ＝40，∠COD ＝π－x ，所以△COD 的面积S △COD ＝12·OC ·OD ·sin ∠COD ＝1600sin(π－x )＝1600sin x ．…………… 4分从而 S ＝S △COD ＋S 扇形AOC ＝1600sin x ＋800x ，0＜x ＜π． …………… 6分 （2）由（1）知， S (x )＝1600sin x ＋800x ，0＜x ＜π．S ′(x )＝1600cos x ＋800＝1600(cos x ＋12)． ………… 8分A BCDMNA 1B 1C 1（第16题）由 S ′(x )＝0，解得x ＝2π3．从而当0＜x ＜2π3时，S ′(x )＞0；当2π3＜x ＜π时， S ′(x )＜0 ．因此 S (x )在区间(0，2π3)上单调递增；在区间(2π3，π)上单调递减． …………… 11分所以 当x ＝2π3，S (x )取得最大值．答：当∠AOC 为2π3时，改建后的绿化区域面积S 最大． …………… 14分18．（本小题满分16分）解：（1）因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点，所以PF 1＋PF 2＝QF 1＋QF 2＝2a ，从而△PQF 2的周长为4a ．由题意，得4a ＝8，解得a ＝2． …………… 2分 因为点P 的坐标为 (1，32)，所以1a 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1． …………… 5分（2）方法一：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0．设Q (x 1，y 1)．因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P (c ，b 2a )． ………… 7分因为F 1(－c ，0)，所以PF 1→＝(－2c ，－b 2a )，F 1Q →＝(x 1＋c ，y 1)．由PF 1→＝λF 1Q →，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－b 2a＝λy 1，解得x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b 2λa ，所以Q (－λ＋2λc ，－b 2λa )． …………… 11分因为点Q 在椭圆上，所以(λ＋2λ)2e 2＋b 2λ2a 2＝1，即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1， 因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3． ………… 14分 因为e ∈[12，22]，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5．所以λ的取值范围为[73，5]． ……………… 16分方法二：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0．因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P (c ，b 2a )． ………… 7分因为F 1(－c ，0)，故直线PF 1的方程为y ＝b 22ac (x ＋c )．由⎩⎨⎧y ＝b 22ac(x ＋c )，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(4c 2＋b 2)x 2＋2b 2cx ＋c 2(b 2－4a 2)＝0．因为直线PF 1与椭圆有一个交点为P (c ，b 2a)．设Q (x 1，y 1)，则x 1＋c ＝－2b 2c 4c 2＋b 2，即－c －x 1＝2b 2c4c 2＋b 2． ………… 11分因为PF 1→＝λF 1Q →，所以λ＝2c －c －x 1＝4c 2＋b 2b 2＝3c 2＋a 2a 2－c 2＝＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3． ………… 14分因为e ∈[12，22]，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5．所以λ的取值范围为[73，5]． …………………… 16分19．（本小题满分16分）解：（1）设数列{a n }的公差为d ，则d ＞0．由a 2·a 3＝15，S 4＝16，得⎩⎨⎧(a 1＋d )(a 1＋2d )＝15，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2， 或 ⎩⎨⎧a 1＝7，d ＝－2．（舍去）所以a n ＝2n －1． …………………… 4分 （2）①因为b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n ·a n +1，所以b 1＝a 1＝1，b n +1－b n ＝1a n ·a n +1＝1 (2n －1)·(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)， …………… 6分即 b 2－b 1＝12(1－13)，b 3－b 2＝12(13－15)，……b n －b n －1＝12(12n －3－12n －1)，（n ≥2）累加得：b n －b 1＝12(1－12n －1)＝n －12n －1， ……………… 9分所以b n ＝b 1＋n －12n －1＝1＋n －12n －1＝3n －22n －1．b 1＝1也符合上式．故b n ＝3n －22n －1，n ∈N*． …………… 11分②假设存在正整数m 、n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列， 则b 2＋b n ＝2b m ．又b 2＝43，b n ＝3n －22n －1＝32－14n －2，b m ＝32－14m －2，所以43＋(32－14n －2)＝2(32－14m －2)，即1 2m －1＝16＋14n －2，化简得：2m ＝7n －2n ＋1＝7－9n ＋1． …………………… 14分当n ＋1＝3，即n ＝2时，m ＝2，（舍去）； 当n ＋1＝9，即n ＝8时，m ＝3，符合题意．所以存在正整数m ＝3，n ＝8，使得b 2，b m ，b n 成等差数列． …………… 16分 20．（本小题满分16分）解：（1）因为a ＝b ＝1，所以f (x )＝x 2－x ＋ln x ，从而f ′(x )＝2x －1＋1x．因为f (1)＝0，f ′(1)＝2，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －0＝2(x －1)， 即2x －y －2＝0． ……………… 3分 （2）因为b ＝2a ＋1，所以f (x )＝ax 2－(2a ＋1)x ＋ln x ，从而f ′(x )＝2ax －(2a ＋1)＋1x ＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x ，x ＞0． …… 5分当a ≤0时，x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，所以，f (x )在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．…………… 7分 当0＜a ＜12时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜1或x ＞12a ，由f ′(x )＜0得1＜x ＜12a， 所以f (x )在区间(0，1)和区间(12a ，＋∞)上单调递增，在区间(1，12a )上单调递减．当a ＝12时，因为f ′(x )≥0（当且仅当x ＝1时取等号）， 所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增． 当a ＞12时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜12a 或x ＞1，由f ′(x )＜0得12a＜x ＜1，所以f (x )在区间(0，12a )和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(12a，1)上单调递减．…… 10分（3）方法一：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－bx ＋ln x ，从而f ′(x )＝2x 2－bx ＋1x(x ＞0)．由题意知，x 1，x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根，故x 1x 2＝12．记g (x ) ＝2x 2－bx ＋1，因为b ＞3，所以g (12)＝3－b2＜0，g (1)＝3－b ＜0，所以x 1∈(0，12)，x 2∈(1，＋∞)，且bx i ＝2x 2i ＋1 (i ＝1，2)． …… 12分 f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－x 22)－(bx 1－bx 2)＋ln x 1x 2＝－(x 21－x 22)＋ln x 1x 2． 因为x 1x 2＝12，所以f (x 1)－f (x 2)＝x 22－14x 22－ln(2x 22)，x 2∈(1，＋∞)． ……… 14分 令t ＝2x 22∈(2，＋∞)，φ(t )＝f (x 1)－f (x 2)＝t 2－12t －ln t ． 因为φ′(t )＝(t －1)22t 2≥0，所以φ(t )在区间(2，＋∞)单调递增，所以φ(t )＞φ(2)＝34－ln2，即f (x 1)－f (x 2)＞34－ln2． ………… 16分方法二：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－bx ＋ln x ，从而f ′(x )＝2x 2－bx ＋1x(x ＞0)．由题意知，x 1，x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根．记g (x ) ＝2x 2－bx ＋1，因为b ＞3，所以g (12)＝3－b2＜0，g (1)＝3－b ＜0，所以x 1∈(0，12)，x 2∈(1，＋∞)，且f (x )在[x 1，x 2]上为减函数． (12)分所以f (x 1)－f (x 2)＞f (12)－f (1)＝(14－b 2＋ln 12)－(1－b )＝－34＋b2－ln2．因为b ＞3，故f (x 1)－f (x 2)＞－34＋b 2－ln2＞34－ln2． (16)南京市2017届高三年级学情调研 数学附加参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲证明：因为点A 、D 、E 、B 在圆O 上，即四边形ADEB 是圆内接四边形，所以∠B ＝∠EDC ． ……………………… 3分 因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C ． ………… 5分 所以∠C ＝∠EDC ，从而ED ＝EC ． ………… 7分 又因为EF ⊥DC 于点F ，所以F 为线段DC 中点． ……………… 10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）M ＝AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －2 1 －3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0 0 －1 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 2 1 3 ． ……………… 5分 （2）矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －2 －1 λ－3 ＝(λ－2)(λ－3)－2令f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝4，所以矩阵M 的特征值为1或4． …………… 10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程 解：曲线C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ．即(x －1)2＋y 2＝1，表示以(1，0)为圆心，1为半径的圆． ……………… 3分 直线l 的极坐标方程是 ρ sin(θ＋π6)＝m ，即12ρcos θ＋32ρsin θ＝m ，化为直角坐标方程为x ＋ 3y －2m ＝0． …… 6分 因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点， 所以|1－2m |2＝1，解得m ＝－12或m ＝32．所以，所求实数m 的值为－12 或 32． ………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲 解：原不等式等价于⎩⎨⎧x ≤0，1－x －2x ≤4x 或⎩⎨⎧0＜x ≤1，1－x ＋2x ≤4x 或⎩⎨⎧x ＞1，x －1＋2x ≤4x ．……………… 6分 解⎩⎨⎧x ≤0，1－x －2x ≤4x ，得x ∈∅； 解⎩⎨⎧0＜x ≤1，1－x ＋2x ≤4x ，得 13≤x ≤1；解⎩⎨⎧x ＞1，x －1＋2x ≤4x ．得x ＞1． 所以原不等式的解集为 [13，＋∞)． ……………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，所以DA 、DC 、DP 两两垂直，故以{DA →，DC →，DP →}为正交基底，建立空间直角坐标系D －xyz ．因为PD ＝DC ，所以DA ＝DC ＝DP ，不妨设DA ＝DC ＝DP ＝2，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，P (0，0，2)因为E 是PC 的中点，所以E (0，1，1)． 所以AP →＝(－2，0，2)，BE →＝(－2，－1，1)， 所以cos<AP →，BE →>＝AP →·BE →|AP →|·|BE →|＝32，从而<AP →，BE →>＝π6．因此异面直线AP 与BE 所成角的大小为π6． …………… 4分（2）由（1）可知，DE →＝(0，1，1)，DB →＝(2，2，0)，PB →＝(2，2，－2)．设PF →＝λPB →，则PF →＝(2λ，2λ，－2λ)，从而DF →＝DP →＋PF →＝(2λ，2λ，2－2λ)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面DEF 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·DF →＝0， m ·DE →＝0，即⎩⎨⎧λx 1＋λy 1＋(1－λ)z 1＝0，y 1＋z 1＝0，（第22题）取z 1＝λ，则y 1＝－λ，x 1＝2λ－1．所以m ＝(2λ－1，－λ，λ)为平面DEF 的一个法向量． ………… 6分 设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面DEB 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DE →＝0，即⎩⎨⎧2x 2＋2y 2＝0，y 2＋z 2＝0，取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝1．所以n ＝(1，－1，1)为平面BDE 的一个法向量． …………… 8分 因为二面角F －DE －B 的正弦值为33，所以二面角F －DE －B 的余弦的绝对值为63， 即 |cos<m ，n >|＝63， 所以|m ·n || m |·| n |＝63， |4λ－1|3·(2λ－1)2＋2λ2＝63， 化简得，4λ2＝1，因为点F 在线段PB 上，所以0≤λ≤1，所以λ＝12，即PF PB ＝12． ………………………… 10分23．（本小题满分10分）解：（1）设甲第i 次投中获胜的事件为A i (i ＝1，2，3)，则A 1，A 2，A 3彼此互斥．甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3． P (A 1)＝25；P (A 2)＝35×13×25＝225；P (A 3)＝(35)2×(13)2×25＝2125．所以P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝25＋225＋2125＝62125．答：甲获胜的概率为62125． ……………………… 4分（2）X 所有可能取的值为1，2，3．则 P (X ＝1)＝25＋35×23＝45；P (X ＝2)＝225＋35×13×35×23＝425；P (X ＝3)＝(35)2×(13)2×1＝125．即X 的概率分布列为…………… 8分所以X 的数学期望E (X )＝1×45＋2×425＋3×125＝3125． ………… 10分。
江苏省南京市2021届高三年级学情调研数学试卷(解析版)含解析
南京市2021届高三年级学情调研数学2020.09注意事项：1．本试卷共6页，包括单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题(第13题~第16题）、解答题(第17题~第22题)四部分．本试卷满分为150分,考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．已知集合A＝{x|x2－x－2＜0｝，B＝｛x｜1＜x＜3 }，则A∩B ＝A．｛x|－1＜x＜3} B．｛x｜－1＜x＜1} C．｛x｜1＜x＜2｝D．｛x|2＜x＜3｝2．已知(3－4i）z＝1＋i，其中i为虚数单位，则在复平面内z对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量a，b满足｜a｜＝1，|b|＝2，且|a＋b|＝错误!，则a与b的夹角为A．错误!B．错误!C．错误! D．错误!4．在平面直角坐标系xOy中,若点P(4错误!,0）到双曲线C：错误!－错误!＝1的一条渐近线的距离为6,则双曲线C的离心率为A．2 B．4 C． 2 D．错误! 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b,c．若2b cos C≤2a －c,则角B的取值范围是A．(0,错误!] B．(0，错误!] C．［错误!，π) D．[错误!，π）6．设a＝log4 9，b＝2－1。
2,c＝(错误!)－错误!,则A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b7．在平面直角坐标系xOy中,已知圆A:(x－1)2＋y2＝1，点B(3，0），过动点P引圆A的切线，切点为T．若PT＝错误!PB，则动点P 的轨迹方程为A．x2＋y2－14x＋18＝0 B．x2＋y2＋14x＋18＝0C．x2＋y2－10x＋18＝0 D．x2＋y2＋10x ＋18＝08．已知奇函数f (x）的定义域为R,且f (1＋x)＝f (1－x)．若当x∈（0，1]时，f（x）＝log2（2x＋3)，则f（错误!)的值是A．－3 B．－2 C．2D．3二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9．5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展,创造出更多的经济增加值．如图,某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出做出预测．由上图提供的信息可知A．运营商的经济产出逐年增加B．设备制造商的经济产出前期增长较快,后期放缓C．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势10．将函数f(x）＝sin2x的图象向左平移错误!个单位后，得到函数y＝g（x）的图象，则A．函数g（x）的图象关于直线x＝错误!对称B．函数g（x）的图象关于点（错误!，0)对称C．函数g(x)在区间(－错误!，－错误!）上单调递增D．函数g（x)在区间(0，错误!）上有2个零点11．已知（2＋x)（1－2x）5＝a0＋a1x＋a2x错误!＋a3x错误!＋a4x错误!＋a5x错误!＋a6x错误!，则A．a0的值为2 B．a5的值为16 C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为－5 D．a1＋a3＋a5的值为12012．记函数f(x）与g（x）的定义域的交集为I．若存在x0∈I,使得对任意x∈I,不等式[f(x）－g（x）]（x－x0）≥0恒成立，则称（f（x），g（x))构成“M函数对”．下列所给的两个函数能构成“M函数对”的有（）A．f（x)＝ln x，g（x）＝错误!B．f(x）＝e x,g （x）＝e xC．f（x）＝x3，g（x)＝x2 D．f(x)＝x＋错误!，g(x）＝3错误!三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球（小球完全浸入水中）升高错误!，则错误!＝▲ ．14．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287－前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积,等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝4与抛物线C：y＝错误!x2交于A，B两点，则弦AB与抛物线C所围成的封闭图形的面积为▲ ．15．已知数列{a n｝的各项均为正数，其前n项和为S n，且2S n＝a n a n，n∈N＊，则a4＝▲ ；若a1＝2，则S20＝▲ ．（本＋1题第一空2分，第二空3分）16．若不等式（ax2＋bx＋1)e x≤1对一切x∈R恒成立,其中a，b∈R，e为自然对数的底数，则a＋b的取值范围是▲ ．四、解答题：本大题共6小题,共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知向量m＝（2cos x，－1），n＝(3sin x，2cos2x)，x∈R．设函数f(x）＝m·n＋1．（1)求函数f(x）的最小正周期;（2）若α∈[错误!，错误!]，且f（α)＝错误!，求cos2α的值．18．（本小题满分12分)已知数列{a n}是公比为2的等比数列，其前n项和为S n．(1）在①S1＋S3＝2S2＋2,②S3＝错误!,③a2a3＝4a4这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列｛a n}的通项公式，并判断此时数列{a n}是否满足条件P：任意m，n∈N*,a m a n均为数列｛a n}中的项，说明理由；(2）设数列｛b n}满足b n＝n（错误!）n－1，n∈N*，求数列｛b n}的前n项和T n．注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生(男生60人，女生40人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间）,结果如下:E DAP（1）是否有99%的把握认为课外阅读达标与性别有关？附：χ2＝错误! ,（2)如果用这100名学生生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立．现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量X 表示“3人中课外阅读达标的人数”，试求X 的分布列和数学期望．20．（本小题满分12分）如图,在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD //BC ，AB ＝BC ＝PA ＝1,AD ＝2，∠PAD ＝∠DAB ＝90°，点E 在棱PC 上，设CE ＝λCP ．（1)求证:CD ⊥AE ；（2)记二面角C －AE －D 的平面角为θ，且｜cosθ|＝错误!,求实数λ的值．21．(本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x24＋y2＝1．(1）设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2,T是椭圆C上的一个动点，求错误!·错误!的取值范围；（2）设A(0，－1),与坐标轴不垂直．．．的直线l交椭圆C于B，D 两点．若△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程．22．（本小题满分12分）已知函数f (x）＝kx－x ln x，k∈R．（1）当k＝2时，求函数f（x）的单调区间；（2）当0＜x≤1时,f（x）≤k恒成立，求k的取值范围；（3)设n∈N*，求证：错误!＋错误!＋…＋错误!≤错误!．南京市2021届高三年级学情调研测试数学试卷考点扫描一、单项选择题：整体分析：1-6题较为基础;第7题需要掌握切线长的转换,进而表示PA与PB的表达式，通过设P点求出轨迹方程;第8题需要利用已知条件中的关系式（关于直线x=1对称）、奇函数得出周期,进而求出对应区间的函数值。
江苏省南京市金陵中学2021-2022高一数学上学期10月月考试题（含解析）.doc
江苏省南京市⾦陵中学2021-2022⾼⼀数学上学期10⽉⽉考试题（含解析）.doc江苏省南京市⾦陵中学2021-2022⾼⼀数学上学期10⽉⽉考试题（含解析）⼀、单选题：本⼤题共 12⼩题，每题 4 分，共 48 分． 1.集合A ={1,2,3},B ={2,3,4},则A B =()A. {1,2,3,4}B. {2,3}C. {2,3,4}D. {1,3,4}【答案】B 【解析】【分析】先观察两集合中的公共元素，再求交集即可得解. 【详解】解：因为集合{}1,2,3A =,{}2,3,4B =, 所以{}2,3A B ?=，故选B.【点睛】本题考查了集合交集的运算，属基础题.2.⼀元⼆次不等式2201920200x x --<的解集为（）. A. (1,2020)- B. (2020,1)- C. (,1)(2020,)-∞-+∞ D.(,2020)(1,)-∞-+∞【答案】A 【解析】【分析】根据⼀元⼆次不等式的解法，直接求解，即可得出结果.【详解】由2201920200x x --<得(1)(2020)0+-【点睛】本题主要考查解不含参数的⼀元⼆次不等式，熟记⼀元⼆次不等式的解法即可，属于基础题型.3. 下列各函数在其定义域中，既是奇函数，⼜是增函数的是（） A. y ＝x ＋1 B. y ＝－x 3 C. 1y x=-D. y ＝x|x|【答案】D 【解析】试题分析：A 中函数是增函数但不是奇函数；B 中函数是奇函数但不是增函数；C 中函数是奇函数但不是增函数；D 中函数既是奇函数⼜是增函数考点：函数奇偶性单调性4.若集合A ＝｛x ｜mx 2＋2x ＋m ＝0，m ∈R ｝中有且只有⼀个元素，则m 的取值集合是 A. ｛1｝ B. ｛1-｝ C. ｛0，1｝ D.｛1-，0，1｝【答案】D 【解析】【分析】分类讨论0m =及0m ≠时0?=．【详解】当0m =时，{}{|20}0A x x ===，满⾜题意；当0m ≠时，2440m ?=-=，解得1m =±．综上m 的取值集合是{1,0,1}-．点睛：集合的元素具有互异性，当⼆次⽅程的两根相等时，⽅程的解集只有⼀个元素，另外⼀元⼀次⽅程有解也最多只能有⼀个解．5.函数1()2f x x =+的定义域是（） A. [3,)-+∞ B. [3,2)--C. [3,2)(2,)--?-+∞D. (2,)-+∞【答案】C 【解析】分析：根据定义域求法即可. 详解：由题可得：30{320x x x +≥?≥-+≠且2x ≠-，故选C.点睛：考查函数的定义域，属于基础题.6.已知函数23,0(),0x x f x x x ≥?=?，则((2))f f -的值为（）.A. 4B. 12C. 16D. 36【答案】B 【解析】【分析】根据函数解析式，由内到外逐步代⼊，即可得出结果.【详解】因为23,0(),0x x f x x x ≥?=?故选：B【点睛】本题主要考查求分段函数值，由内到外逐步代⼊即可求解，属于基础题型. 7.若对任意的[1,3]x ∈，不等式230x x m --<都成⽴，则实数m 的取值范围为（）. A. (2,)-+∞ B. 9(,)4-+∞C. 9(,0)4-D. (0,)+∞【答案】D 【解析】【分析】先由题意得到23m x x >-在[1,3]x ∈恒成⽴，记2()3g x x x =-，根据⼆次函数求出2()3g x x x =-的最⼤值，即可得出结果.【详解】由题知，23m x x >-在[1,3]x ∈恒成⽴，记2()3g x x x =-，则函数()g x 开⼝向上，对称轴为32x =；⼜[1,3]x ∈，所以函数()g x 在31,2??上单调递减，在3,32上单调递增；因为(1)132=-=-g ，(3)990=-=g ，所以max ()(3)0g x g ==；所以0m >. 故选：D【点睛】本题主要考查由不等式恒成⽴求参数的问题，熟记⼆次函数的性质即可求解，属于常考题型.8.已知{2A x x =<-或}3x >，{}21B x a x a =≤≤-，若A B A ?=，则实数a 的取值范围为（）.A. 1(,)(3,)2-∞-+∞B. (,1)(3,)-∞+∞C. 1(,)(1,)2-∞-?+∞ D. (,1][3,)-∞+∞【答案】B 【解析】【分析】根据A B A ?=得B A ?，分别讨论B =?和B ≠?两种情况，即可求出结果. 【详解】因为A B A ?=，所以B A ?. 若B =?，则21a a >-，解得1a <；若B ≠?，则1212a a ≥??-<-?或13a a ≥??>?，解得3a >；综上，实数a 的取值范围是(,1)(3,)-∞+∞.故选：B【点睛】本题主要考查由集合的并集结果求参数的问题，熟记集合间的基本关系即可，属于常考题型.9.若2()(3)1f x ax a x =++-在区间(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围为（）. A. [1,)-+∞ B. [1,0]-C. [0,1]D. [0,)+∞【答案】D 【解析】【分析】当0a =时，得到()31f x x =-满⾜题意；当0a ≠时，根据⼆次函数性质，得到0312a a a>??+?-≤??，求解，即可得出结果.【详解】若0a =，则()31f x x =-，符合题意；若0a ≠，由2()(3)1f x ax a x =++-在区间(1,)+∞上是增函数，可得：0312a a a>??+?-≤??，解得0a >.综上，a 的取值范围为[0,)+∞. 故选：D【点睛】本题主要考查由函数在给定区间的单调性求参数的问题，熟记⼆次函数性质，灵活运⽤分类讨论的思想即可，属于常考题型. 10.已知函数()y f x =是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，且当0x <时，函数的图像如图所⽰，则不等式()0xf x >的解集为（）.A. (2,1)(1,2)--?B. (2,1)(0,1)(2,)--??+∞C. (,2)(1,0)(1,2)-∞--D. (,2)(1,0)(0,1)(2,)-∞--+∞【答案】A 【解析】【分析】先由题意，以及函数图像，得到0x <时，不等式的解集；再由函数奇偶性，即可求出结果. 【详解】当0x <时，由()0xf x >得()0f x <；由函数图像可知，(2,1)x ∈--；由函数()y f x =是定义在(,0)(0,)-∞+∞上奇函数，所以当(1,2)x ∈时，()0f x >，此时也满⾜()0xf x >；综上，不等式()0xf x >的解集为(2,1)(1,2)--?. 故选：A【点睛】本题主要考查由函数奇偶性解不等式，熟记奇函数的性质即可，属于常考题型.11.设3()2kf x x x=++，其中k 为参数，k ∈R .若函数()y f x =在区间[2,1]--上的最⼤值为4，则函数()y f x =在区间[1,2]上有（）.A. 最⼩值2-B. 最⼩值0C. 最⼩值4D. 最⼤值2【答案】B 【解析】【分析】先设3()kg x x x=+，则()()2g x f x =-，根据题意得到()g x 在区间[2,1]--上的最⼤值为2，再判断函数()g x 是奇函数，求出()g x 在区间[1,2]上的最⼩值为2-，即可得出结果.【详解】设3()kg x x x=+，则()()2g x f x =-，因为函数()y f x =在区间[2,1]--上的最⼤值为4，所以()g x 在区间[2,1]--上的最⼤值为2.⼜3()()-=--=-kg x x g x x，所以()g x 是奇函数，所以()g x 在区间[1,2]上的最⼩值为2-，此时()()2f x g x =+有最⼩值0. 故选：B【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数最值，熟记奇函数的性质即可，属于常考题型.12.已知266,0()34,0x x x f x x x ?-+≥=?+，若互不相等的实数123,,x x x 满⾜123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（）.A. 11(,6)3B. 18(,)33-C. 11(,6]3D. 18(,]33-【答案】A 【解析】【分析】先作出函数图像，由题意得互不相等的实数123,,x x x 满⾜123()()()===f x f x f x k ，根据函数图像确定34-<(,0)3x ∈-，进⽽可求出结果.【详解】作出函数266,0()34,0x x x f x x x ?-+≥=?+若互不相等的实数123,,x x x 满⾜123()()()===f x f x f x k ，由图像可得：34-<不妨设123x x x <<，则236x x +=，由13344-<+(,0)3x ∈-；所以123x x x ++的取值范围为11(,6)3. 故选：A【点睛】本题主要考查函数与⽅程的综合应⽤，根据转化与化归的思想，将问题转化为函数交点问题，利⽤数形结合的⽅法即可求解，属于常考题型. ⼆、填空题：本⼤题共 4⼩题，每题 4 分，共 16 分． 13.若21{2,}x x ∈+，则实数x 的值为________.【答案】1 【解析】【分析】分别讨论21x +=和21x =两种情况，即可得出结果.【详解】若21x +=，则1x =-，所以21x =，此时22x x =+，不符合集合中元素的互异性；若21x =，则1x =±，当1x =时，223+=≠x x ，满⾜题意；综上，1x =. 故答案为：1【点睛】本题主要考查由元素与集合间的关系求参数的问题，熟记元素的特征即可，属于基础题型.14.若定义运算2,,a a b a b b a b≥??=?值域为________.【答案】[1,)+∞ 【解析】【分析】先由题意得到2,1()(2),1x x f x x x ≥?=?-【详解】因为2,,a a b a b b a b ≥??=?，所以22,2,1()(2)=(2),2(2),1x x x x x f x x x x x x x x ≥-≥??=?-=?-<--，当1x ≥时，()1=≥f x x ；当1x <时，2()(2)=-f x x 单调递减，所以()(1)1f x f >=；综上，所求函数值域为[1,)+∞. 故答案为：[1,)+∞【点睛】本题主要考查求分段函数的值域，熟记⼀次函数以及⼆次函数的性质即可，属于常考题型.15.若函数2()()1f x a a x =++在区间[,1]a a +上的最⼤值与最⼩值的差为2，则实数a 的值为________. 【答案】1或2- 【解析】【分析】先由题意得到20a a +≠，推出()f x 为⼀次函数，所以有()(1)2f a f a -+=，求解，即可得出结果.【详解】因为函数2()()1f x a a x =++在区间[,1]a a +上的最⼤值与最⼩值的差为2，所以20a a +≠，因此()f x 为⼀次函数，则()(1)2f a f a -+=，即()()()221112++-++-=a a a a a a ，即22+=a a ，所以22+=±a a ，解得1a =或2-. 故答案为：1或2-【点睛】本主要考查由函数最值的差求参数的问题，熟记函数单调性即可，属于常考题型.16.已知函数21()21f x x x =--+，若(2)(2)f a f a ≤-，则实数a 的取值范围为________. 【答案】2[2,]3-【解析】【分析】先由奇偶性的定义，判断函数()f x 为偶函数，再由0x >时，21()21f x x x =--+，根据⼆次函数与反⽐例函数的单调性，得出21()21f x x x =--+单调递增，进⽽原不等式可化为：22a a ≤-，求解即可得出结果.【详解】因为21()21f x x x =--+，所以21()2()1-=--=+f x x f x x ，因此函数21()21f x x x =--+为偶函数，⼜当0x >时，21()21f x x x =--+，显然单调递增；所以(2)(2)f a f a ≤-等价于22a a ≤-，解得2[2,]3a ∈-.故答案：2[2,]3-【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性解不等式，熟记函数奇偶性，以及基本初等函数的单调性即可，属于常考题型.三、解答题：本题共 6⼩题，共 56 分． 17.在实数范围内解下列不等式或⽅程.（1）2340x x -->；（2）3210x x -+=【答案】（1）4(,1)(,)3-∞-?+∞ （2）1231,x x x ===. 【解析】【分析】（1）根据⼀元⼆次不等式的解法，直接求解，即可得出结果；（2）先由3210x x -+=得到2(1)(1)0x x x -+-=，推出1x =或210x x +-=，进⽽可求出结果.【详解】（1）由2340x x -->得(1)(34)0x x +->，解得43x >或1x <-；所以不等式的解集为：4(,1)(,)3-∞-?+∞. （2）由3210x x -+=，得2(1)(1)0x x x -+-=，所以1x =或210x x +-=，解得1x =或12x -=或12x -+=；因此原⽅程的解为：1231,x x x ==. 【点睛】本题主要考查解不含参数的⼀元⼆次不等式，以及三次⽅程，熟记不等式的解法，以及因式分解的⽅法即可，属于常考题型.18.已知集合{}2870A x x x =-+<，{}22220B x x x a a =---<. （1）当4a =时，求AB ；（2）若A B B ?=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}16x x <<；（2）(,5][7,)a ∈-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）先化简集合A ，根据4a =，化简集合B ，再由交集的概念，即可求出结果；（2）先由A B B ?=，则A B ?，将原问题化为对任意(1,7)x ∈，2222a a x x ->-恒成⽴，令2()2g x x x =-，根据⼆次函数性质，求出2()2g x x x =-在(1,7)x ∈上的最⼤值，解不等式，即可得出结果.【详解】（1）因为{}{}287017A x x x x x =-+<=<<，当4a =时，{}{}{22240(6)(4)046}B x x x x x x x x =--<=-+<=-<<，所以{}16A B x x ?=<<；（2）若A B B ?=，则A B ?.所以对任意(1,7)x ∈，2222a a x x ->-恒成⽴.令2()2g x x x =-，则函数2()2g x x x =-开⼝向上，对称轴为1x =，⼜因为(1,7)x ∈，所以2()2g x x x =-单调递增，因此2()2(1,35)=-∈-g x x x ，所以只需2235a a -≥，解得(,5][7,)a ∈-∞-+∞.【点睛】本题主要考查集合交集的运算，以及由集合的包含关系求参数的问题，熟记集合交集的概念，以及集合间的基本关系即可，属于常考题型.19.如图，OAB ?是边长为2的正三⾓形，记OAB ?位于直线()0x t t =>左侧的图形的⾯积为()f t ，试求函数()f x 的解析式，并画出函数()y f t =的图象.【答案】2()23f t =,图象见解析. 【解析】【分析】分三种情况讨论，在求()f t 的解析式时,关键是要根据图象,对t 的取值进⾏恰当的分类,然后分类讨论,给出分段函数的解析式后,再根据解析式画出函数的图象.【详解】当01t <≤时,如图,设直线x t =与OAB 分别交于C 、D 两点,则|Ot|=t , ⼜3,||3CD BCCD t OC OE==∴= 2113()||||322f t OC CD t t ∴=== (2)当12t <≤时,如图,设直线x t =与OAB 分别交于M 、N 两点,则||=2AN t -,⼜|||33,||3(2)||||MN BE MN t AN AE ==∴=- 221133()23||||3)23322f t AN MN t t ∴==-=+(3)当2t >时,()3f t =综上所述223,0123()233,123,2t f t t t t <≤=+<≤??>,图象如图，【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数的图象，意在考查综合运⽤所学知识解答问题的能⼒，属于中档题. 20.设函数()af x x x=+，其中0a >. （1）证明：函数()y f x =在a 上是单调减函数，在,)a +∞上是单调增函数；（2）若函数()y f x =在区间(0,]a 上的最⼩值为4，求实数a 的值. 【答案】（1）证明见解析（2）4a = 【解析】【分析】（1）先设120x x <<，作差法得到12121212()()()--=-x x af x f x x x x x ，分别讨论120x x a <<≤12a x x ≤<两种情况，根据函数单调性的定义，即可得出结论；（2）分别讨论01a <≤，1a >两种情况，根据（1）的结论，结合函数最⼩值，即可得出结果.【详解】（1）设120x x <<，则211212121212121212()()()()()a x x x x a a af x f x x x x x x x x x x x x x ---=+-+=-+=-，若120x x <<≤120x x -<，且12所以12())0(f x f x ->，因此函数()y f x =在上是单调减函数，12x x ≤<，则120x x -<，且1212,0x x a x x a >->，所以12())0(f x f x -<，因此函数()y f x =在上是单调增函数；综上，函数()y f x =在上是单调减函数，在)+∞上是单调增函数；（2）若01a <≤，则a ≤1）可得：()f x 在(0,]a 上单调减，所以min ()()14f x f a a ==+=，解得3a =，不合题意，舍去；若1a >，则a 1）得()f x 在上单调减，)+∞上单调增，所以min ()4f x f ===，解得4a =，经检验，符合题意. 综上，4a =.【点睛】本题主要考查由单调性的定义判断函数单调性，以及由函数最值求参数，熟记函数单调性的定义，灵活运⽤分类讨论的思想即可，属于常考题型.21.已知函数()()22,*f x ax x c a c N =++∈，满⾜①()15f =；②()6211f <<．（1）求a ，c 的值．（2）设()()231g x f x x x =--+-，求()g x 的最⼩值．【答案】（1）1，2；（2）14-．【解析】【分析】（1）根据条件列不等式与⽅程，根据正整数的限制条件求a ，c 的值．（2）先根据绝对值定义将函数化为分段函数，再根据各段单调性求各段最⼩值，最后⽐较两个最⼩值得函数最⼩值.【详解】（1）()125f a c =++=，()()2446,11f a c =++∈，⼜523c a a =--=-，∴443a a ++-()376,11a =+∈，∴1433a -<<，⼜*a N ∈，∴1a =，2c =．（2）()222f x x x =++，∴()()231g x f x x x =--+-222231x x x x =++--+- 211x x =+--，1x ≥时，()22g x x x =+-，此时()g x 在[]1,+∞上单调递增，∴()()min 11120g x g ==+-=，1x <时，()2g x x x =-，()g x 在1,2-∞ ??上单调递减，在1,12上单调递增，∴()min 11112424g x g ??==-=-，⼜104-<，∴()min 1124g x g ??==-．【点睛】本题考查⼀元⼆次函数解析式以及单调性应⽤，考查基本分析求解能⼒. 22.函数2()4ax bf x x -=-是定义在(2,2)-上的奇函数，且1(1)3f =.（1）确定()f x 的解析式；（2）判断并证明()f x 在(2,2)-上的单调性；（3）解不等式(1)()0f t f t -+<. 【答案】(1)2()4xf x x =-，(2,2)x ∈-；(2) ()f x 是(2,2)-上增函数，证明见解析；(3)1(1,)2-. 【解析】试题分析：（1）若奇函数在x=0处有定义，则f （0）=0，代⼊即可得b ，再由1(1)3f =代⼊即可得a 值；（2）因为函数为奇函数，故只需判断x ＞0时函数的单调性即可，利⽤单调性定义即可证明；（3）利⽤函数的单调性和奇偶性将不等式中的f 脱去，等价转化为关于t 的不等式组，解之即可. 试题解析：(1)由函数2()4ax bf x x -=-是定义在(2,2)-上的奇函数知(0)04b f -==，所以0b =，经检验，0b =时2()4axf x x=-是(2,2)-上的奇函数，满⾜题意. ⼜21(1)413a f ==-，解得1a =，故2()4xf x x =-，(2,2)x ∈-. (2) ()f x 是(2,2)-上增函数.证明如下：在(2,2)-任取12,x x 且12x x <，则210x x ->，1240x x +>，2140x ->，2240x ->，所以2121122122222121()(4)()()44(4)(4)x x x x x x f x f x x x x x -+-=-=----0>，即21()()f x f x >，所以()f x 是(2,2)-上增函数.(3) 因为()f x 是(2,2)-上的奇函数，所以由(1)()0f t f t -+<得，(1)()()f t f t f t -<-<-，⼜()f x 是(2,2)-上增函数，所以1,212,22,t t t t -<-??-<-解得112t -<<，从⽽原不等式的解集为1(1,)2-.试题点睛：本题综合考查了函数的奇偶性和函数的单调性，奇函数的性质，函数单调性的判断⽅法，利⽤函数性质解不等式.。
2024-2025学年江苏省南京市金陵中学高一(上)学情调研数学试卷(10月份)(含答案)
2024-2025学年江苏省南京市金陵中学高一（上）学情调研数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设a，b∈R，集合A={0,a}，集合B={−1,b}，若A=B，则a+b的值为( )A. 1B. 0C. −1D. −22.命题“∀x>1，x2+x−2>0”的否定为( )A. ∃x>1，x2+x−2≤0B. ∃x≤1，x2+x−2≤0C. ∀x≤1，x2+x−2≤0D. ∀x>1，x2+x−2≤03.设x>0，y>0且x+y=2，则4x +1y的最小值为( )A. 9B. 52C. 4 D. 924.满足{a1,a2}⊆A⊆{a1,a2,a3,a4,a5}的集合A的个数为( )A. 5B. 4C. 8D. 75.设全集U=A∪B={1,2,3,5,8}，A∩(∁U B)={1,5}，B∩(∁U A)={2}，则集合A为( )A. {1,2,5}B. {1,3,5,8}C. {3,8}D. {1,5}6.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )A. a2+b2>2abB. a+b≥2abC. 1a +1b>2abD. ba+ab≥27.已知关于x的不等式(a−2)x2+2(a−2)x+1≤0的解集是⌀，则实数a的取值范围是( )A. [2,3)B. (−∞,2)∪(3,+∞)C. (2,3)D. (−∞,2]∪(3，+∞)8.设集合A={x|(x−2)(x−a)≤0}，B={x|3<x<7}，若A∩B中恰含有3个整数，则实数a的取值范围是( )A. (5,6]B. [6,+∞)C. [6,7)D. (6,7]二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a>b>c>0，下列不等式一定成立的是( )A. b<a+b2<a B. ca>cbC. ba−b>cb−cD. ab>a+cb+c10.下列叙述正确的是( )A. 已知a，b，c是实数，则“ac2>bc2”成立的充分不必要条件是“a>b”B. “x∈A∩B”是“x∈A∪B”的充分不必要条件C. “x>0且y>0”是“xy>0”的充分不必要条件D. “a2>1”是“a>1”的必要不充分条件11.关于x的不等式|x−a|≤2成立的必要不充分条件是−3<x≤316，则下列叙述正确的是( )A. 4−a+94−a的最小值为6B. 关于x的不等式x2−2ax+a2+a+1≤0的解集为⌀C. 关于x的不等式(x−a)(x−8)<0的解集中整数解最少3个D. {x|x≤a+1}∪{x|x≥2a−136}=R三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
南京市2021届高三年级学情调研(数学)参考答案
南京市2021届高三年级学情调研 数学参考答案 2020.09一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．B 3．D 4．A 5．A 6．C 7．C 8．B 二、多项选择题：本大题共4小题，每题5分，共20分． 9．ABD 10．ACD 11．ABC 12．AC 三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．2 14．643 15．4；220 16．(－∞，－1]四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（本小题满分10分）解：因为 m ＝(2cos x ，－1)，n ＝(3sin x ，2cos 2x )，所以f (x )＝m ·n ＋1＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1＝3sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π6)． ……………………… 4分（1）T ＝2π2＝π． ……………………… 5分（2）由f (α)＝85，得sin(2α－π6)＝45．由α∈[π3，7π12]，得π2≤2α－π6≤π，所以cos(2α－π6)＝－1－sin 2(2α－π6)＝－1－(45)2＝－35，……………… 7分从而 cos2α＝cos[(2α－π6)＋π6]＝cos(2α－π6)cos π6－sin(2α－π6)sin π6＝－35×32－45×12＝－4－3310． …………………… 10分18．（本小题满分12分） 解：（1）选①，因为S 1＋S 3＝2S 2＋2，所以S 3－S 2＝S 2－S 1＋2，即a 3＝a 2＋2， 又数列{a n }是公比为2的等比数列，所以4a 1＝2a 1＋2，解得a 1＝1，因此a n ＝1×2n －1＝2n －1． …………………………………… 4分此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝2m －1·2n －1＝2m＋n －2，由于m ＋n －1∈N *，所以a m a n 是数列{a n }的第m ＋n －1项，因此数列{a n }满足条件P ． ……………………………………7分 选②，因为S 3＝73，即a 1＋a 2＋a 3＝73，又数列{a n }是公比为2的等比数列， 所以a 1＋2a 1＋4a 1＝73，解得a 1＝13，因此a n ＝13×2n －1． ………………………………… 4分此时a 1a 2＝29＜a 1≤a n ，即a 1a 2不为数列{a n }中的项，因此数列{a n }不满足条件P ． ………………………………… 7分 选③，因为a 2a 3＝4a 4，又数列{a n }是公比为2的等比数列，所以2a 1×4a 1＝4×8a 1，又a 1≠0，故a 1＝4，因此a n ＝4×2n －1＝2n ＋1． …………………………………4分 此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝2m ＋1·2n ＋1＝2m＋n ＋2，由于m ＋n ＋1∈N *，所以a m a n 是为数列{a n }的第m ＋n ＋1项，因此数列{a n }满足条件P ． ……………………………………7分 （2）因为数列{a n }是公比为2的等比数列，所以a n ＋1a n＝2，因此b n ＝n ×2n －1．所以T n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1，则2T n ＝ 1×21＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ，两式相减得－T n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n ………………………10分 ＝1－2n1－2－n ×2n＝(1－n )2n －1，所以T n ＝(n －1)2n ＋1． ……………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（1）假设H 0：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得χ2＝100×(36×30－24×10)2(36＋24)×(10＋30)×(36＋10)×(24＋30)＝2450207≈11.836＞6.635，因为当H 0成立时，χ2≥6.635的概率约为0.01，所以有99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关． …………………… 4分 （2）记事件A 为：从该校男生中随机抽取1人，课外阅读达标；事件B 为：从该校女生中随机抽取1人，课外阅读达标．由题意知：P (A )＝2460＝25，P (B )＝3040＝34． ……………………… 6分随机变量X 的取值可能为0，1，2，3． P (X ＝0)＝(1－25)2×(1－34)＝9100，P (X ＝1)＝C 12×25×(1－25)×(1－34)＋34×(1－25)2＝39100， P (X ＝2)＝(25)2×(1－34)＋C 12×25×(1－25)×34＝25， P (X ＝3)＝(25)2×34＝325．所以随机变量X 的分布列为：………………………… 10分 期望E (X )＝0×9100＋1×39100＋2×25＋3×325＝1.55． ………………………… 12分20．（本小题满分12分）（1）证明：因为∠P AD ＝90°，所以P A ⊥AD ．因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，P A ⊂平面P AD ， 所以P A ⊥平面ABCD ． ………………………… 2分 又CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥P A ．在四边形ABCD 中，AD //BC ，∠DAB ＝90°，所以∠ABC ＝90°，又AB ＝BC ＝1，所以△ABC 是等腰直角三角形，即∠BAC ＝∠CAD ＝45°，AC ＝2．在△CAD 中，∠CAD ＝45°，AC ＝2，AD ＝2，所以CD ＝ AC 2＋AD 2－2×AC ×AD ×cos ∠CAD ＝2，从而AC 2＋CD 2＝4＝AD 2．所以CD ⊥AC ． ………………………… 4分 又AC ∩P A ＝A ，AC ，P A ⊂平面P AC ，所以CD ⊥平面P AC ．又AE ⊂平面P AC ，所以CD ⊥AE ． ………………………… 6分 （2）解：因为P A ⊥平面ABCD ，BA ⊥AD ，故以{→AB ，→AD ，→AP }为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．因为AB ＝BC ＝P A ＝1，AD ＝2， 所以 A (0，0，0)，P (0，0，1)，C (1，1，0)，D (0，2，0)， 则→CD ＝(－1，1，0)，→AD ＝(0，2，0)．因为点E 在棱PC 上，且CE ＝λCP ， 所以→CE ＝λ→CP ，设E (x ，y ，z )，则(x －1，y －1，z )＝λ(－1，－1，1)，故E (1－λ，1－λ，λ)，所以→AE ＝(1－λ，1－λ，λ)．由（1）知，CD ⊥平面P AC ，所以平面ACE 的一个法向量为n ＝→CD ＝(－1，1，0)． 设平面AED 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·→AE ＝0，m ·→AD ＝0，得⎩⎨⎧(1－λ)x 1＋(1－λ)y 1＋λz 1＝0，y 1＝0，令z 1＝1－λ，所以平面AED 的一个法向量为m ＝(－λ，0，1－λ)．………………………… 9分因此 |cos θ|＝|cos<m ，n >|＝|m ·n|m ||n ||＝|λ2·λ2＋(1－λ)2|＝105，化简得3λ2－8λ＋4＝0，解得λ＝23或2．因为E 在棱PC 上，所以λ∈[0，1]，所以λ＝23．所以当|cos θ|＝105时，实数λ的值为23． ………………………… 12分 21．（本小题满分12分）解：（1）因为椭圆C ：x 24＋y 2＝1，所以F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设T (x 0，y 0)，则 TF 1→·TF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 02＋y 02－3．因为点T (x 0，y 0)在椭圆C 上，即x 024＋y 02＝1，所以TF 1→·TF 2→＝34x 02－2，且x 02∈[0，4]，所以TF 1→·TF 2→的取值范围是[－2，1]． ………………………… 4分 （2）因为直线l 与坐标轴不垂直，故设直线l 方程y ＝kx ＋m (m ≠－1，k ≠0)．设B (x 1，y 1)，Ｄ(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1．得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1) 1＋4k 2． ………………………… 6分因为△ABD 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB ⊥AD ，即 AB →·AD →＝0， 因此 (y 1＋1)( y 2＋1)＋x 1x 2＝0，即(kx 1＋m ＋1)( kx 2＋m ＋1)＋x 1x 2＝0， 从而 (1＋k 2) x 1x 2＋k (m ＋1)( x 1＋x 2)＋(m ＋1)2＝0， 即(1＋k 2)×4(m 2－1)1＋4k 2－k (m ＋1)×8km1＋4k2＋(m ＋1)2＝0， 也即 4(1＋k 2)( m －1)－8k 2m ＋(1＋4k 2) (m ＋1)＝0，解得m ＝35． ………………………… 9分又线段BD 的中点M (－4km 1＋4k 2，m1＋4k 2)，且AM ⊥BD ，所以m1＋4k 2＋1－4km 1＋4k 2＝－1k ，即3m ＝1＋4k 2，解得k ＝± 5 5．又当k ＝±5 5，m ＝35时，△＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)( 4m 2－4)＝57625＞0， 所以满足条件的直线l 的方程为y ＝± 5 5x ＋35. ……………………… 12分 22．（本小题满分12分）解：（1）当k ＝2时，f (x )＝2x －x ln x ，f ′(x )＝1－ln x ， 由f ′(x )＞0，解得0＜x ＜e ；由f ′(x )＜0，解得x ＞e ，因此函数f (x )单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．……… 2分 （2）f (x )＝kx －x ln x ，故f ′(x )＝k －1－ln x ．当k ≥1时，因为0＜x ≤1，所以k －1≥0≥ln x ， 因此f ′(x )≥0恒成立，即f (x )在(0，1]上单调递增，所以f (x )≤f (1)＝k 恒成立． …………………………… 4分 当k ＜1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝e k －1∈(0，1)．当x ∈(0，e k －1)，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(e k －1，1)，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 于是f (e k －1)＞f (1)＝k ，与f (x )≤k 恒成立相矛盾．综上，k 的取值范围为[1，＋∞)． …………………………… 7分 （3）由（2）知，当0＜x ≤1时，x －x ln x ≤1．令x ＝1n 2(n ∈N *)，则 1n 2＋2n 2ln n ≤1，即2ln n ≤n 2－1，因此ln n n ＋1≤n －12． ……………………………………10分所以ln12＋ln23＋…＋ln n n ＋1≤02＋12＋…＋n －12＝n (n －1)4． …………………12分。
江苏省南京市2021届高三年级学情调研数学试卷(解析版)
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A
D
B
C
高三数学试题第 4页
21．（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2＋ y2＝ 1． 4 （1）设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，T 是椭圆 C 上的一个动点，求T→F1·→ TF2的
取值范围； （2）设 A(0，－1)，与坐标轴不．垂．直．的直线 l 交椭圆 C 于 B，D 两点．若△ABD 是以 A
升高r，则R＝ ▲ ． 3r
r 3
r
14．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前 287－前 212），是古希腊伟大的物理学家、数学
家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的
封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三
分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在
2．已知(3－4i)z＝1＋i，其中 i 为虚数单位，则在复平面内 z 对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，且|a＋b|＝ 3，则 a 与 b 的夹角为
A．π 6
B．π 3
C．5π 6
D．2π 3
4．在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P(4 3，0)到双曲线 C：ax22－y92＝1 的一条渐近线的距离
2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置． 3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信
息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，
2021-2022学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高三(上)期初调研数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高三（上）期初调研数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−x −2≤0}，B ={x|2−x >0}，则A ∩B =( )A. [−1,2)B. (−1,2)C. (−1,2]D. (−∞,−1)2. 已知z =2+i ，则z(z −−i)=( )A. 6+2iB. 4−2iC. 6−2iD. 4+2i3. 已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则它的体积为( )A. 2√33π B. 4√33π C. 8√33π D. 2√3π4. 已知α∈(−π2,π2)，且3cos2α−8sinα=5，则cosα=( )A. 13B. 2√23C. 23D. 2√295. 2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(简称“强基计划”)，明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45，34，34，那么三人中恰有两人通过的概率为( )A. 2180B. 2780C. 3380D. 27406. 已知O 为椭圆C 的中心，F 为C 的一个焦点，点M 在C 外，MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，经过M 的直线l 与C 的一个交点为N ，△MNF 是有一个内角为120°的等腰三角形，则C 的离心率为( )A. √34B. √33C. √3−1D. √3+147. 设函数f(x)的定义域为R ，f(x)为奇函数，f(x +1)为偶函数，当x ∈[1,2]时，f(x)=ax 2+b.若f(3)=3，则f(172)=( )A. 94B. −74C. 32D. −1548. 若函数f(x)=1−ax 2(a >0)与g(x)=1−lnx 的图象存在公切线，则实数a 的最小值为( )A. 12eB. 1e 2C. 2eD. 1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 为了解目前全市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩X ～N(70,100)，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是( )附：若X ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X <μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ≤X <μ+2σ)=0.9544．A. 该校学生体育成绩的方差为10B. 该校学生体育成绩的期望为70C. 该校学生体育成绩的及格率不到85%D. 该校学生体育成绩的优秀率超过4%10. 已知向量a ⃗ =(1,3),b ⃗ =(2,−4)，则下列结论正确的是( )A. (a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗B. |2a ⃗ +b ⃗ |=√10C. 向量a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为3π4D. b ⃗ 在a⃗ 方向上的投影是√10 11. 已知点P(2,4)，若过点Q(4,0)的直线l 交圆C ：(x −6)2+y 2=9于A ，B 两点，R 是圆C 上动点，则( )A. |AB|的最小值为2√5B. P 到l 的距离的最大值为2√5C. PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PR⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为12−2√5 D. |PR|的最大值为4√2+312. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=3，点M ，N 分别在棱AB 和BB 1上运动(不含顶点)，若D 1M ⊥MN ，下列命题正确的是( )A. MN ⊥A 1MB. MN ⊥平面D 1MCC. 线段BN 长度的最大值为34D. 三棱锥C 1−A 1D 1M 体积不变三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=log 2(x +1)，若f(m 2+2)<f(3m)，则实数m 的取值范围是______． 14. 在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x −2)2+(y −2)2=1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx +y +3=0上，则实数k 的最大值为______． 15. 在△ABC 中，B =60°，AB =1，M 是BC 的中点，AM =√3，则AC =______，cos∠MAC =______．16.已知函数f(x)={3x 2,x≤0−4|x−1|+4,x>0.若存在唯一的整数x，使得x(f(x)−a)>0成立，则实数a的取值范围为______．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.设函数f(x)=sinx+cosx(x∈R)．(1)求函数y=[f(x+π4)]2的最小正周期；(2)求函数y=f(x)f(x−π4)在区间[0,π4]上的最大值．18.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，且S n=a n+1−2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{(2n+1)⋅a n}的前n项和T n．19.2021年2月1日教育部办公厅《关于加强中小学生手机管理工作的通知》中明确“中小学生原则上不得将个人手机带入校园”，为此某学校开展了一项“你能否有效管控手机”调查，并从调查表中随机抽取200名学生(其中男、女生各占一半)的样本数据，其2×2列联表如下：性别能管控不能管控总计男30女总计90200(1)完成上述2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为能否管控手机与性别有关？(2)若学生确因需要带手机进入校园需向学校有关部门报告，该校为做好这部分学生的手机管理工作，学校团委从能管控的学生中按样本中的比例抽取了6名学生组成一个团队．(ⅰ)从该团队中选取2名同学作个人经验介绍，求选取的2人中恰有一名女生的概率．(ⅱ)从这6人中随机抽取4人，设抽到的女生的人数为X，求X的分布列与数学期望．，其中n=a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.82820.如图，在四棱锥A−BCDE中，△BCE为等边三角形，平面ACD⊥平面CDE，AC⊥CD，二面角D−AC−E的大小为60°．(1)求证：CD//平面ABE；(2)若AC=BC=2，点G为线段AB上的点，若直线CB与平面CEG所成角的正弦值为√21，求线段AG的长度．721.已知F1是椭圆C：x2a2+y23=1(a>√3)的左焦点，经过点P(0,−2)作两条互相垂直的直线l1和l2，直线l1与C交于点A，B.当直线l1经过点F1时，直线l2与C有且只有一个公共点．(1)求C的标准方程；(2)若直线l2与椭圆C有两个公共点，求线段AB的取值范围．22.已知函数f(x)=xe x+12ax2+ax，g(x)=12ax2−alnx(a∈R)．(1)讨论f(x)在区间(0,+∞)上的单调性；(2)若关于x的不等式f(x)>g(x)在区间(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|x2−x−2≤0}={x|−1≤x≤2}，B={x|2−x>0}={x|x<2}，∴A∩B={x|−1≤x<2}=[−1,2)．故选：A．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵z=2+i，∴z(z−−i)=(2+i)(2−2i)=4−4i+2i+2=6−2i，故选：C．直接利用复数代数形式的四则运算即可求解．本题考查复数代数形式的四则运算，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵圆锥的轴截面是正三角形ABC，边长等于4，如图：∴圆锥的高AO=√32×4=2√3，圆锥的底面半径r=12×4=2，因此，该圆锥的体积V=13πr2⋅AO=13π×22×2√3=8√3π3．故选：C．根据圆角轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，则不难得到本题的答案．本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的体积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等知识，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：α∈(−π2,π2)，且3cos2α−8sinα=5，即3(1−2sin 2α)−8sinα=5，求得sinα=−1(舍去)，或sinα=−13， ∴cosα=√1−sin 2α=2√23， 故选：B ．由题意利用二倍角的余弦公式求得sinα的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得cosα的值．本题主要考查二倍角的余弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45，34，34， 则三人中恰有两人通过的概率为：P =45×34×(1−34)+45×(1−34)×34+(1−45)×34×34=3380． 故选：C ．利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出三人中恰有两人通过的概率．本题考查概率的运算，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．6.【答案】B【解析】解：不妨设F(c,0)，MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则M(−3c,0)， 易知△MNF 中只能∠MNF =120°，△MNF 是有一个内角为120°的等腰三角形，则N(−c,±2√33c)， 将N 代入椭圆方程得到c 2a 2+43c 2b 2=1，即e 2+4e 23(1−e 2)=1，解得e 2=13或e 2=3(舍去)， 故e =√33，故选：B ．不妨设F(c,0)，计算M 的坐标，根据等腰三角形得到N 点坐标，代入椭圆方程化简即可求出离心率．本题主要考查了椭圆的离心率，考查了学生的计算能力和转化能力，是中档题．7.【答案】B【解析】解：因为f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f(x)， 因为f(x +1)为偶函数，所以f(−x +1)=f(x +1)，所以f(x +2)=f[(x +1)+1]=f[−(x +1)+1]=f(−x)=−f(x)， 所以f(x +4)=−f(x +2)=f(x)， 所以f(x)是周期为4的周期函数， 因为f(0)=0，所以f(2)=f(0)=0， 所以f(2)=4a +b =0①，又f(3)=f(−1)=−f(1)=−a −b =3②， 所以①②联立可解得a =1，b =−4， 所以当x ∈[1,2]时，f(x)=x 2−4， 所以f(172)=f(12)=f(32)=94−4=−74． 故选：B ．由奇函数与偶函数的定义，求出函数f(x)的周期，由f(2)=f(0)=4a +b =0，f(3)=f(−1)=−f(1)=−a −b =3联立可求得a ，b ，从而可得当x ∈[1,2]时，f(x)的解析式，然后由周期性进行求解即可．本题考查了函数性质的综合应用，主要考查了函数奇偶性与周期性的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．8.【答案】A【解析】解法一、设公切线与f(x)，g(x)图象分别切于点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， f(x)=1−ax 2(a >0)的导数为f′(x)=−2ax ，g(x)=1−lnx 的导数为g′(x)=−1x ，则f(x)图象在A 处的切线方程为：y −(1−ax 12)=−2ax 1(x −x 1)，即y =−2ax 1x +ax 12+1；同理可得g(x)图象在B 处的切线方程为：y −(1−lnx 2)=−1x 2(x −x 2),y =−1x2x +2−lnx 2．由上述两直线重合，可得{2ax 1=1x 2ax 12+1=2−lnx 2，消元x 1可得，14a =x 22(1−lnx 2)， 令ℎ(x)=x 2(1−lnx)(x >0)，则ℎ′(x)=(1−2lnx)， 得ℎ(x)在(0,√e)单调递增，在(√e,+∞)单调递减， 即有14a ≤ℎmax (x)=ℎ(√e)=e2，得a ≥12e ， 即a 的最小值为12e ． 故选A ．解法二、由图象易知：f(x)，g(x)分别为上凸和下凸函数，要使f(x)，g(x)存在公切线，只须f(x)≤g(x)在(0,+∞)上恒成立即可， 即a ≥lnx x 2恒成立，设ℎ(x)=lnx x 2，ℎ′(x)=1−2lnx x 3，当x >√e 时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)递减；当0<x <√e 时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)递增． 所以ℎ(x)的最大值为12e ． 则a ≥(lnxx 2)max =12e ． 即a 的最小值为12e ． 故选：A ．方法一、设出切点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，，求得导数和切线的斜率和方程，由两直线重合的条件，消元x 1可得，14a =x 22(1−lnx 2)，构造函数，求得导数和单调性、最值，可得所求范围；方法二、根据f(x)，g(x)的图象，要使f(x)，g(x)存在公切线，只须f(x)≤g(x)在(0,+∞)上恒成立即可，即a ≥lnx x 2恒成立，运用构造函数，求得导数和单调性、最值，可得所求范围．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、最值，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．9.【答案】BC【解析】解：由题意知，X ～N(70,100)，所以期望值为μ=70，标准差为σ=10，方差为100，选项A 错误，选项B 正确； 因为P(X >70)=0.5，P(60≤X ≤80)=P(μ−σ<μ+σ)=0.6826， 所以P(60≤X ≤70)=12×0.6826=0.3413，所以P(X ≥60)=P(60≤X ≤70)+P(X >70)=0.3413+0.5=0.8413<85%，选项C 正确；因为优秀的概率为：P(X ≥90)=P(X ≥70)−P(70≤X ≤90)=0.5−12×0.9544=0.0228<0.4，选项D 错误． 故选：BC ．由已知可得即可求出期望与标准差，方差，再根据公式即可求解本题考查了正态分布的性质与应用问题，与考查了分析与判断能力，是基础题．10.【答案】AC【解析】解：∵a ⃗ =(1,3),b ⃗ =(2,−4)，∴a ⃗ +b ⃗ =(3,−1)、2a ⃗ +b ⃗ =(4,2)， ∴(a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =1×3+3×(−1)=0，∴∴(a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗ ． |2a ⃗ +b⃗ |=√42+22=2√5.∴A 对B 错． 设向量a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为θ，则cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=√12+32×√22+(−4)2=−√22，∴θ=3π4，∴C 对；b ⃗ 在a ⃗ 方向上的投影为a ⃗ ⋅b ⃗|a ⃗ |=√12+32=−√10.∴D 错． 故选：AC ．由a ⃗ =(1,3),b ⃗ =(2,−4)，得a ⃗ +b ⃗ 、2a ⃗ +b ⃗ 坐标可判断AB ； 根据cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b⃗ |可判断C ；根据投影公式计算可判断D ． 本题考查平面向量数量积性质及运算、投影求法、垂直判定，考查数学运算能力，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】解：如图，当直线l 与x 轴垂直时，|AB|有最小值，且最小值为2√5，故A 正确； 当直线l 与PQ 垂直时，P 到l 的距离有最大值，且最大值为|PQ|=2√5，故B 正确；设R(6+3cosθ,3sinθ)，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PR ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−4)⋅(4+3cosθ,3sinθ−4)=6cosθ−12sinθ+24，∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PR ⃗⃗⃗⃗⃗ =6√5cos(θ+φ)+24，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PR ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为24−6√5，故C 错误； 当P ，C ，R 三点共线时，|PR|最大，且最大值为|PC|+r =4√2+3，所以D 正确． 故选：ABD ．由题意画出图形，分别求出|AB|的最小值及P 到l 的距离的最大值判断A 与B ；设R(6+3cosθ,3sinθ)，写出数量积，利用三角函数求最值判断C ；求出P 到圆心的距离，加上半径判断D ．本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查数形结合思想及运算求解能力，是中档题．12.【答案】ACD【解析】解：对于A ，∵A 1D 1⊥平面ABCD ，∴A 1D 1⊥MN ，又MN ⊥D 1M ，D 1M ∩A 1D 1=D 1，∴MN ⊥平面A 1D 1M ，∴MN ⊥A 1M ，所以A 正确；对于B ，∵MN ⊥A 1M ，∴MN 不与A 1B 垂直，∴MN 不与D 1C 垂直，∴MN ⊥平面D 1MC 不成立，所以B 错误；对于C ，∵MN ⊥A 1M ，∴△A 1AM∽△MBN ，∴A 1A ⋅BN =AM ⋅MB ≤(AM+MB 2)2=94，∴BN ≤34，所以C 正确；对于D ，显然M 到平面A 1C 1D 1的距离为3，∵V C 1−A 1D 1M =V M−A 1C 1D 1=13⋅S △A 1C 1D 1⋅3=92，所以D 正确． 故选：ACD ．对于A ，证明MN ⊥平面A 1D 1M 即可；对于B ，证明MN 不与D 1C 垂直；对于C ，利用△A 1AM∽△MBN 得到A 1A ⋅BN =AM ⋅MB 即可判断；对于D ，利用V C 1−A 1D 1M =V M−A 1C 1D 1即可判断．本题考查了空间中的垂直位置关系的判断和空间长度的最值问题，其中结合了等体积法进行考查，属于中档题．13.【答案】(1,2)【解析】解：由题意可得函数的定义域为(−1,+∞)， 又因为函数f(x)=log 2(x +1)在(−1,+∞)单调递增， ∴有{m 2+2>−13m >−1m 2+2<3m ，解得，1<m <2，所以实数m 的取值范围为(1,2)． 故答案为：(1,2)．根据对数函数的定义域和单调性列出不等式组{m 2+2>−13m >−1m 2+2<3m ，解出不等式即可．本题主要考查了对数函数的图象和性质，涉及函数的单调性和一元二次不等式的解法，属于基础题．14.【答案】0【解析】解：M 在圆上，故设M(2+cosθ,2+sinθ)， 可得N(2+cosθ,−2−sinθ)，将N 的坐标代入kx +y +3=0，可得sinθ−kcosθ=2k +1，|2k +1|≤√k 2+1，化为得3k 2+4k ≤0,−43≤k ≤0， k 的最大值为0． 故答案为：0．首先设出点M 的坐标，然后结合题意得到关于k 的不等式，求解不等式即可确定k 的最大值．本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的方程中的参数问题等知识，属于基础题．15.【答案】√13 2√3913【解析】解：在△ABM 中，由余弦定理得AM 2=AB 2+BM 2−2BM ⋅BA ⋅cosB ， 所以3=1+BM 2−2BM ⋅cos60°，即BM 2−BM −2=0， 解得BM =2或−1(舍负)， 所以BC =2BM =2CM =4，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cosB =1+16−2×1×4×12=13，所以AC=√13，在△AMC中，由余弦定理得cos∠MAC=AC2+AM2−MC22AM⋅AC =2√3913．故答案为：√13；2√3913．先在△ABM中，利用余弦定理求出BM的长，再△ABC中，由余弦定理求得AC的长，最后在△AMC中，由余弦定理，得解．本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16.【答案】[0,3]∪[4,12]【解析】解：作出f(x)的函数图象如图所示：①当x>0时，f(x)≤f(1)=4，存在唯一的整数x，使得x[f(x)−a]>0成立，则a<f(x)只有1个整数解，又f(2)=0，故0≤a<4；②当x<0时，则f(x)≥f(0)=0，存在唯一的整数x，使得x[f(x)−a]>0成立，则a>f(x)只有1个整数解，又f(−1)=3，f(−2)=12，∴3<a≤12，当0≤a≤3或4≤a≤12时，x[f(x)−a]>0只有1个整数解．故答案为：[0,3]∪[4,12]．作出f(x)的函数图象，对x的符号进行讨论，根据不等式只有唯一整数解得出a的范围．本题主要考查分段函数及其应用，由不等式求解参数取值范围的方法等知识，属于中等题．17.【答案】解：(1)由辅助角公式得f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，则y=[f(x+π4)]2=[√2sin(x+π2)]2=2cos2x−1+1=cos2x+1，所以该函数的最小正周期T=2π2=π；(2)由题意，y=f(x)f(x−π4)=√2sin(x+π4)⋅√2sinx=2sin(x+π4)sinx=2sinx⋅(√2 2sinx+√22cosx)=√2sin2x+√2sinxcosx，=√2⋅1−cos2x2+√22sin2x=√22sin2x−√22cos2x+√22=sin(2x−π4)+√22，由x∈[0,π4]可得2x−π4∈[−π4,π4]，所以当2x−π4=π4即x=π4时，函数取最大值√2．【解析】(1)由辅助角公式可得f(x)的解析式，进而求出函数y的解析式，可得函数的周期；(2)求出函数y的解析式，由函数的单调性求出函数的最大值．本题考查函数的辅助角公式的应用及函数的单调性求最值，属于中档题．18.【答案】解：(1)依题意，当n≥2时，由S n=a n+1−2，可得S n+1=a n+2−2，两式相减，得a n+1=2a n(n≥2)，又∵a2=a1+2=4=2a1≠0，∴a n+1a n=2，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n=2⋅2n−1=2n，n∈N∗．(2)由(1)，可得(2n+1)⋅a n=(2n+1)⋅2n，则T n=3×21+5×22+7×23+⋯+(2n+1)⋅2n，2T n=3×22+5×23+⋯+(2n−1)⋅2n+(2n+1)⋅2n+1，两式相减，得−T n=6+2×(22+23+⋯+2n)−(2n+1)⋅2n+1=6+2×22×(1−2n−1)1−2−(2n+1)⋅2n+1，∴T n=2+(2n−1)⋅2n+1．【解析】(1)根据题干并结合公式a n=S n−S n−1(n≥2)进行推导即可发现数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而可计算出数列{a n}的通项公式；(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{(2n+1)⋅a n}的通项公式，然后运用错位相减法即可计算出前n项和T n．本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前n项和．考查了转化与化归思想，整体思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．19.【答案】解：(1)完成2×2列联表如下：∴K2的观测值k=200(30×40−70×60)2100×100×90×110=20011≈18.18>10.828，∴有99.9%的把握认为能否管控手机与性别有关．(2)(i)从样本中的数据可知能管控手机的男、女生的比例为1：2，∴6人中有2名男生，4名女生，从这6人中选2人的所有情况为C62=15，恰有1名女生的情况为C21C41=8种，∴恰有一名女生的概率P=815．(ii)由题可知X的所有可能取值为2，3，4，P(X=2)=C22C42C64=615，P(X=3)=C21C43C64=815，P(X =4)=C 44C 64=115，∴X 的分布列为： X 2 3 4 P 615815115∴E(X)=2×615+3×815+4×115=83．【解析】(1)完成2×2列联表，求出K 2的观测值k =20011≈18.18>10.828，从而有99.9%的把握认为能否管控手机与性别有关．(2)(i)从样本中的数据可知能管控手机的男、女生的比例为1：2，从而6人中有2名男生，4名女生，从这6人中选2人，由古典概型、排列组合能求出恰有一名女生的概率． (ii)由题可知X 的所有可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E(X)．本题考查独立检验的应用，考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查统计与概率思想，导向对发展逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养的关注，是中档题．20.【答案】(1)证明：在四棱锥A −BCDE 中，因为平面ACD ⊥平面CDE ，平面ACD ∩平面CDE =CD ，AC ⊥CD ，AC ⊂平面ACD ， 所以AC ⊥平面CDE ．又CE ，CD ⊂平面CDE ，所以AC ⊥CE ，AC ⊥CD ．所以∠ECD 为二面角D −AC −E 的平面角，所以∠ECD =60°， 又∠BEC =60°，所以CD//BE ． 又BE ⊂平面ABE ，CD ⊄平面ABE ， 所以CD//平面ABE ．(2)解：取BE 的中点F ，连结CF.则CF ⊥BE ，又BE//CD ，所以CF ⊥CD ． 又AC ⊥平面CDE ，CF ⊂平面CDE ，所以AC ⊥CF ，所以AC ，CF ，CD 两两垂直． 以C 为坐标原点，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系C −xyz ，则A(0,0,2)，B(√3,−1,0)，C(0,0,0)，E(√3,1,0)， 则CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,−2)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,0)，设AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得G(√3λ,−λ,2−2λ)，所以CG⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3λ,−λ,2−2λ)， 设平面CEG 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{CG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，即{√3λx −λy +(2−2λ)z =0√3x +y =0，不妨令x =√3，可得n ⃗ =(√3,−3,3λλ−1)为平面CEG 的一个法向量， 设直线CB 与平面CEG 所成的角为α，则sinα=|cos〈n ⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|n ⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|CB⃗⃗⃗⃗⃗ ||=2√3+9+(3λλ−1)2=√217，解得λ=12， 所以AG 的长为√2．【解析】(1)证明AC ⊥CD ，推出AC ⊥平面CDE.说明∠ECD 为二面角D −AC −E 的平面角，推出CD//BE.然后证明CD//平面ABE ．(2)取BE 的中点F ，连结CF.说明AC ，CF ，CD 两两垂直．以C 为坐标原点，CF⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系C −xyz ，求出平面CEG 的法向量，利用空间向量的数量积求解直线CB 与平面CEG 所成的角为，解得λ=12，然后求解AG 的长． 本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：(1)设F 1(−c,0)，其中c =√a 2−3①当直线l 1经过点F 1时，直线l 1的斜率k PF 1=−2c，所以直线l 2的斜率为c2，方程为y =c2x −2，与椭圆C 的方程联立，消去y 得：3x 2+a 2(c2x −2)2=3a 2， 整理得：(a 2c 2+12)x 2−8a 2cx +4a 2=0．因为直线l 2与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ=64a 4c 2−16a 2(a 2c 2+12)=0， 即ac =2，②由①②得：a 2=4，解得：a =2，c =1，所以b =√a 2−c 2=√3， 所以C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)由题意知：直线l 1的斜率存在且不为零，设其方程为y =kx −2(k ≠0)， 与椭圆C 的方程联立，消去y 得：(3+4k 2)x 2−16kx +4=0， 则Δ=256k 2−16(3+4k 2)>0，解得：k 2>14．同理：当直线l 2与椭圆C 有两个交点时，k 2<4，所以14<k 2<4．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=16k3+4k2，x1x2=43+4k2，所以|AB|=√1+k2⋅|x1−x2|=√1+k2⋅4√3(4k2−1)3+4k2=2√3⋅√(4k2+4)(4k2−1)(3+4k2)2．设t=3+4k2，则t∈(4,19)，所以(4k 2+4)(4k2−1)(3+4k2)2=(t+1)(t−4)t2=t2−3t−4t2=−4(1t+38)2+2516，因为f(t)=−4(1t +38)2+2516在(4,19)上单调递增，所以f(t)∈(0,300192)，所以AB的取值范围是(0,6019)．【解析】(1)设F1(−c,0)，其中c=√a2−3①求解直线的斜率，结合椭圆方程，转化求解a，c，得到椭圆方程．(2)由题意知：直线l1的斜率存在且不为零，设其方程为y=kx−2(k≠0)，与椭圆C的方程联立，消去y得：(3+4k2)x2−16kx+4=0，推出k的范围，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用韦达定理弦长公式，转化求解即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．22.【答案】解：(1)由f(x)=xe x+12ax2+ax，得f′(x)=(x+1)e x+a(x+1)=(x+1)(e x+a)，因为x∈(0,+∞)，所以当a≥−1时，e x+a≥e x−1>0，所以f′(x)>0，f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，当a<−1时，x=ln(−a)>0，所以在(0,ln(−a))上，f′(x)<0，f(x)单调递减，在(ln(−a),+∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增．综上所述，a≥−1时，f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，当a<−1时，f(x)在(0,ln(−a))上单调递减，f(x)在(ln(−a),+∞)上，f(x)单调递增．(2)由题意知f(x)>g(x)等价于xe x+alnx+ax>0，记ℎ(x)=xe x+alnx+ax，所以函数ℎ(x)的定义域为(0,+∞)，且ℎ′(x)=(x+1)e x+ax +a=(x+1)(xe x+a)x，当a>0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，且当x趋近于0时，存在x1，使得ℎ(x1)<0，所以不满足题意，当a=0时，ℎ(x)=xe x>0恒成立，当a<0时，令φ(x)=xe x+a，则φ′(x)=(x+1)e x>0在区间(0,+∞)上恒成立，所以φ(x)单调递增，又φ(0)=a<0，当x趋近于+∞时，φ(x)趋近于+∞，所以关于x的方程xe x+a=0有唯一的根，该根记为x0，即由x0e x0+a=0，所以当x∈(0,x0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，当x∈(x0,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，从而ℎ(x)的最小值为ℎ(x0)，所以ℎ(x0)=x0e x0+alnx0+ax0=x0e x0+aln(x0e x0)=−a+aln(−a)=−a[1−ln(−a)]，要使得ℎ(x)≥0恒成立，只需1−ln(−a)>0恒成立，即a>−e，综上所述，a的取值范围为(−e,0]．【解析】(1)求导得f′(x)=(x+1)(e x+a)，分两种情况：当a≥−1时，当a<−1时，f′(x)的正负，f(x)的单调区间．(2)由题意知f(x)>g(x)等价于xe x+alnx+ax>0，记ℎ(x)=xe x+alnx+ax，只需ℎ(x)min>0，进而可得a的取值范围．本题考查导数的综合应用，解题中需要注意分类讨论，转化思想的应用，属于中档题．。
2021-2022学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高三(上)期初调研数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高三（上）期初调研数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−x −2≤0}，B ={x|2−x >0}，则A ∩B =( )A. [−1,2)B. (−1,2)C. (−1,2]D. (−∞,−1)2. 已知z =2+i ，则z(z −−i)=( )A. 6+2iB. 4−2iC. 6−2iD. 4+2i3. 已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则它的体积为( )A. 2√33π B. 4√33π C. 8√33π D. 2√3π4. 已知α∈(−π2,π2)，且3cos2α−8sinα=5，则cosα=( )A. 13B. 2√23C. 23D. 2√295. 2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(简称“强基计划”)，明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45，34，34，那么三人中恰有两人通过的概率为( )A. 2180B. 2780C. 3380D. 27406. 已知O 为椭圆C 的中心，F 为C 的一个焦点，点M 在C 外，MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，经过M 的直线l 与C 的一个交点为N ，△MNF 是有一个内角为120°的等腰三角形，则C 的离心率为( )A. √34B. √33C. √3−1D. √3+147. 设函数f(x)的定义域为R ，f(x)为奇函数，f(x +1)为偶函数，当x ∈[1,2]时，f(x)=ax 2+b.若f(3)=3，则f(172)=( )A. 94B. −74C. 32D. −1548. 若函数f(x)=1−ax 2(a >0)与g(x)=1−lnx 的图象存在公切线，则实数a 的最小值为( )A. 12eB. 1e 2C. 2eD. 1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 为了解目前全市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩X ～N(70,100)，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是( )附：若X ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X <μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ≤X <μ+2σ)=0.9544．A. 该校学生体育成绩的方差为10B. 该校学生体育成绩的期望为70C. 该校学生体育成绩的及格率不到85%D. 该校学生体育成绩的优秀率超过4%10. 已知向量a ⃗ =(1,3),b ⃗ =(2,−4)，则下列结论正确的是( )A. (a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗B. |2a ⃗ +b ⃗ |=√10C. 向量a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为3π4D. b ⃗ 在a⃗ 方向上的投影是√10 11. 已知点P(2,4)，若过点Q(4,0)的直线l 交圆C ：(x −6)2+y 2=9于A ，B 两点，R 是圆C 上动点，则( )A. |AB|的最小值为2√5B. P 到l 的距离的最大值为2√5C. PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PR⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为12−2√5 D. |PR|的最大值为4√2+312. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=3，点M ，N 分别在棱AB 和BB 1上运动(不含顶点)，若D 1M ⊥MN ，下列命题正确的是( )A. MN ⊥A 1MB. MN ⊥平面D 1MCC. 线段BN 长度的最大值为34D. 三棱锥C 1−A 1D 1M 体积不变三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=log 2(x +1)，若f(m 2+2)<f(3m)，则实数m 的取值范围是______． 14. 在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x −2)2+(y −2)2=1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx +y +3=0上，则实数k 的最大值为______． 15. 在△ABC 中，B =60°，AB =1，M 是BC 的中点，AM =√3，则AC =______，cos∠MAC =______．16.已知函数f(x)={3x 2,x≤0−4|x−1|+4,x>0.若存在唯一的整数x，使得x(f(x)−a)>0成立，则实数a的取值范围为______．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.设函数f(x)=sinx+cosx(x∈R)．(1)求函数y=[f(x+π4)]2的最小正周期；(2)求函数y=f(x)f(x−π4)在区间[0,π4]上的最大值．18.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，且S n=a n+1−2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{(2n+1)⋅a n}的前n项和T n．19.2021年2月1日教育部办公厅《关于加强中小学生手机管理工作的通知》中明确“中小学生原则上不得将个人手机带入校园”，为此某学校开展了一项“你能否有效管控手机”调查，并从调查表中随机抽取200名学生(其中男、女生各占一半)的样本数据，其2×2列联表如下：性别能管控不能管控总计男30女总计90200(1)完成上述2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为能否管控手机与性别有关？(2)若学生确因需要带手机进入校园需向学校有关部门报告，该校为做好这部分学生的手机管理工作，学校团委从能管控的学生中按样本中的比例抽取了6名学生组成一个团队．(ⅰ)从该团队中选取2名同学作个人经验介绍，求选取的2人中恰有一名女生的概率．(ⅱ)从这6人中随机抽取4人，设抽到的女生的人数为X，求X的分布列与数学期望．，其中n=a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.82820.如图，在四棱锥A−BCDE中，△BCE为等边三角形，平面ACD⊥平面CDE，AC⊥CD，二面角D−AC−E的大小为60°．(1)求证：CD//平面ABE；(2)若AC=BC=2，点G为线段AB上的点，若直线CB与平面CEG所成角的正弦值为√21，求线段AG的长度．721.已知F1是椭圆C：x2a2+y23=1(a>√3)的左焦点，经过点P(0,−2)作两条互相垂直的直线l1和l2，直线l1与C交于点A，B.当直线l1经过点F1时，直线l2与C有且只有一个公共点．(1)求C的标准方程；(2)若直线l2与椭圆C有两个公共点，求线段AB的取值范围．22.已知函数f(x)=xe x+12ax2+ax，g(x)=12ax2−alnx(a∈R)．(1)讨论f(x)在区间(0,+∞)上的单调性；(2)若关于x的不等式f(x)>g(x)在区间(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|x2−x−2≤0}={x|−1≤x≤2}，B={x|2−x>0}={x|x<2}，∴A∩B={x|−1≤x<2}=[−1,2)．故选：A．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵z=2+i，∴z(z−−i)=(2+i)(2−2i)=4−4i+2i+2=6−2i，故选：C．直接利用复数代数形式的四则运算即可求解．本题考查复数代数形式的四则运算，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵圆锥的轴截面是正三角形ABC，边长等于4，如图：∴圆锥的高AO=√32×4=2√3，圆锥的底面半径r=12×4=2，因此，该圆锥的体积V=13πr2⋅AO=13π×22×2√3=8√3π3．故选：C．根据圆角轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，则不难得到本题的答案．本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的体积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等知识，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：α∈(−π2,π2)，且3cos2α−8sinα=5，即3(1−2sin 2α)−8sinα=5，求得sinα=−1(舍去)，或sinα=−13， ∴cosα=√1−sin 2α=2√23， 故选：B ．由题意利用二倍角的余弦公式求得sinα的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得cosα的值．本题主要考查二倍角的余弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45，34，34， 则三人中恰有两人通过的概率为：P =45×34×(1−34)+45×(1−34)×34+(1−45)×34×34=3380． 故选：C ．利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出三人中恰有两人通过的概率．本题考查概率的运算，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．6.【答案】B【解析】解：不妨设F(c,0)，MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则M(−3c,0)， 易知△MNF 中只能∠MNF =120°，△MNF 是有一个内角为120°的等腰三角形，则N(−c,±2√33c)， 将N 代入椭圆方程得到c 2a 2+43c 2b 2=1，即e 2+4e 23(1−e 2)=1，解得e 2=13或e 2=3(舍去)， 故e =√33，故选：B ．不妨设F(c,0)，计算M 的坐标，根据等腰三角形得到N 点坐标，代入椭圆方程化简即可求出离心率．本题主要考查了椭圆的离心率，考查了学生的计算能力和转化能力，是中档题．7.【答案】B【解析】解：因为f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f(x)， 因为f(x +1)为偶函数，所以f(−x +1)=f(x +1)，所以f(x +2)=f[(x +1)+1]=f[−(x +1)+1]=f(−x)=−f(x)， 所以f(x +4)=−f(x +2)=f(x)， 所以f(x)是周期为4的周期函数， 因为f(0)=0，所以f(2)=f(0)=0， 所以f(2)=4a +b =0①，又f(3)=f(−1)=−f(1)=−a −b =3②， 所以①②联立可解得a =1，b =−4， 所以当x ∈[1,2]时，f(x)=x 2−4， 所以f(172)=f(12)=f(32)=94−4=−74． 故选：B ．由奇函数与偶函数的定义，求出函数f(x)的周期，由f(2)=f(0)=4a +b =0，f(3)=f(−1)=−f(1)=−a −b =3联立可求得a ，b ，从而可得当x ∈[1,2]时，f(x)的解析式，然后由周期性进行求解即可．本题考查了函数性质的综合应用，主要考查了函数奇偶性与周期性的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．8.【答案】A【解析】解法一、设公切线与f(x)，g(x)图象分别切于点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， f(x)=1−ax 2(a >0)的导数为f′(x)=−2ax ，g(x)=1−lnx 的导数为g′(x)=−1x ，则f(x)图象在A 处的切线方程为：y −(1−ax 12)=−2ax 1(x −x 1)，即y =−2ax 1x +ax 12+1；同理可得g(x)图象在B 处的切线方程为：y −(1−lnx 2)=−1x 2(x −x 2),y =−1x2x +2−lnx 2．由上述两直线重合，可得{2ax 1=1x 2ax 12+1=2−lnx 2，消元x 1可得，14a =x 22(1−lnx 2)， 令ℎ(x)=x 2(1−lnx)(x >0)，则ℎ′(x)=(1−2lnx)， 得ℎ(x)在(0,√e)单调递增，在(√e,+∞)单调递减， 即有14a ≤ℎmax (x)=ℎ(√e)=e2，得a ≥12e ， 即a 的最小值为12e ． 故选A ．解法二、由图象易知：f(x)，g(x)分别为上凸和下凸函数，要使f(x)，g(x)存在公切线，只须f(x)≤g(x)在(0,+∞)上恒成立即可， 即a ≥lnx x 2恒成立，设ℎ(x)=lnx x 2，ℎ′(x)=1−2lnx x 3，当x >√e 时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)递减；当0<x <√e 时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)递增． 所以ℎ(x)的最大值为12e ． 则a ≥(lnxx 2)max =12e ． 即a 的最小值为12e ． 故选：A ．方法一、设出切点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，，求得导数和切线的斜率和方程，由两直线重合的条件，消元x 1可得，14a =x 22(1−lnx 2)，构造函数，求得导数和单调性、最值，可得所求范围；方法二、根据f(x)，g(x)的图象，要使f(x)，g(x)存在公切线，只须f(x)≤g(x)在(0,+∞)上恒成立即可，即a ≥lnx x 2恒成立，运用构造函数，求得导数和单调性、最值，可得所求范围．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、最值，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．9.【答案】BC【解析】解：由题意知，X ～N(70,100)，所以期望值为μ=70，标准差为σ=10，方差为100，选项A 错误，选项B 正确； 因为P(X >70)=0.5，P(60≤X ≤80)=P(μ−σ<μ+σ)=0.6826， 所以P(60≤X ≤70)=12×0.6826=0.3413，所以P(X ≥60)=P(60≤X ≤70)+P(X >70)=0.3413+0.5=0.8413<85%，选项C 正确；因为优秀的概率为：P(X ≥90)=P(X ≥70)−P(70≤X ≤90)=0.5−12×0.9544=0.0228<0.4，选项D 错误． 故选：BC ．由已知可得即可求出期望与标准差，方差，再根据公式即可求解本题考查了正态分布的性质与应用问题，与考查了分析与判断能力，是基础题．10.【答案】AC【解析】解：∵a ⃗ =(1,3),b ⃗ =(2,−4)，∴a ⃗ +b ⃗ =(3,−1)、2a ⃗ +b ⃗ =(4,2)， ∴(a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =1×3+3×(−1)=0，∴∴(a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗ ． |2a ⃗ +b⃗ |=√42+22=2√5.∴A 对B 错． 设向量a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为θ，则cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=√12+32×√22+(−4)2=−√22，∴θ=3π4，∴C 对；b ⃗ 在a ⃗ 方向上的投影为a ⃗ ⋅b ⃗|a ⃗ |=√12+32=−√10.∴D 错． 故选：AC ．由a ⃗ =(1,3),b ⃗ =(2,−4)，得a ⃗ +b ⃗ 、2a ⃗ +b ⃗ 坐标可判断AB ； 根据cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b⃗ |可判断C ；根据投影公式计算可判断D ． 本题考查平面向量数量积性质及运算、投影求法、垂直判定，考查数学运算能力，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】解：如图，当直线l 与x 轴垂直时，|AB|有最小值，且最小值为2√5，故A 正确； 当直线l 与PQ 垂直时，P 到l 的距离有最大值，且最大值为|PQ|=2√5，故B 正确；设R(6+3cosθ,3sinθ)，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PR ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−4)⋅(4+3cosθ,3sinθ−4)=6cosθ−12sinθ+24，∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PR ⃗⃗⃗⃗⃗ =6√5cos(θ+φ)+24，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PR ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为24−6√5，故C 错误； 当P ，C ，R 三点共线时，|PR|最大，且最大值为|PC|+r =4√2+3，所以D 正确． 故选：ABD ．由题意画出图形，分别求出|AB|的最小值及P 到l 的距离的最大值判断A 与B ；设R(6+3cosθ,3sinθ)，写出数量积，利用三角函数求最值判断C ；求出P 到圆心的距离，加上半径判断D ．本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查数形结合思想及运算求解能力，是中档题．12.【答案】ACD【解析】解：对于A ，∵A 1D 1⊥平面ABCD ，∴A 1D 1⊥MN ，又MN ⊥D 1M ，D 1M ∩A 1D 1=D 1，∴MN ⊥平面A 1D 1M ，∴MN ⊥A 1M ，所以A 正确；对于B ，∵MN ⊥A 1M ，∴MN 不与A 1B 垂直，∴MN 不与D 1C 垂直，∴MN ⊥平面D 1MC 不成立，所以B 错误；对于C ，∵MN ⊥A 1M ，∴△A 1AM∽△MBN ，∴A 1A ⋅BN =AM ⋅MB ≤(AM+MB 2)2=94，∴BN ≤34，所以C 正确；对于D ，显然M 到平面A 1C 1D 1的距离为3，∵V C 1−A 1D 1M =V M−A 1C 1D 1=13⋅S △A 1C 1D 1⋅3=92，所以D 正确． 故选：ACD ．对于A ，证明MN ⊥平面A 1D 1M 即可；对于B ，证明MN 不与D 1C 垂直；对于C ，利用△A 1AM∽△MBN 得到A 1A ⋅BN =AM ⋅MB 即可判断；对于D ，利用V C 1−A 1D 1M =V M−A 1C 1D 1即可判断．本题考查了空间中的垂直位置关系的判断和空间长度的最值问题，其中结合了等体积法进行考查，属于中档题．13.【答案】(1,2)【解析】解：由题意可得函数的定义域为(−1,+∞)， 又因为函数f(x)=log 2(x +1)在(−1,+∞)单调递增， ∴有{m 2+2>−13m >−1m 2+2<3m ，解得，1<m <2，所以实数m 的取值范围为(1,2)． 故答案为：(1,2)．根据对数函数的定义域和单调性列出不等式组{m 2+2>−13m >−1m 2+2<3m ，解出不等式即可．本题主要考查了对数函数的图象和性质，涉及函数的单调性和一元二次不等式的解法，属于基础题．14.【答案】0【解析】解：M 在圆上，故设M(2+cosθ,2+sinθ)， 可得N(2+cosθ,−2−sinθ)，将N 的坐标代入kx +y +3=0，可得sinθ−kcosθ=2k +1，|2k +1|≤√k 2+1，化为得3k 2+4k ≤0,−43≤k ≤0， k 的最大值为0． 故答案为：0．首先设出点M 的坐标，然后结合题意得到关于k 的不等式，求解不等式即可确定k 的最大值．本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的方程中的参数问题等知识，属于基础题．15.【答案】√13 2√3913【解析】解：在△ABM 中，由余弦定理得AM 2=AB 2+BM 2−2BM ⋅BA ⋅cosB ， 所以3=1+BM 2−2BM ⋅cos60°，即BM 2−BM −2=0， 解得BM =2或−1(舍负)， 所以BC =2BM =2CM =4，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cosB =1+16−2×1×4×12=13，所以AC=√13，在△AMC中，由余弦定理得cos∠MAC=AC2+AM2−MC22AM⋅AC =2√3913．故答案为：√13；2√3913．先在△ABM中，利用余弦定理求出BM的长，再△ABC中，由余弦定理求得AC的长，最后在△AMC中，由余弦定理，得解．本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16.【答案】[0,3]∪[4,12]【解析】解：作出f(x)的函数图象如图所示：①当x>0时，f(x)≤f(1)=4，存在唯一的整数x，使得x[f(x)−a]>0成立，则a<f(x)只有1个整数解，又f(2)=0，故0≤a<4；②当x<0时，则f(x)≥f(0)=0，存在唯一的整数x，使得x[f(x)−a]>0成立，则a>f(x)只有1个整数解，又f(−1)=3，f(−2)=12，∴3<a≤12，当0≤a≤3或4≤a≤12时，x[f(x)−a]>0只有1个整数解．故答案为：[0,3]∪[4,12]．作出f(x)的函数图象，对x的符号进行讨论，根据不等式只有唯一整数解得出a的范围．本题主要考查分段函数及其应用，由不等式求解参数取值范围的方法等知识，属于中等题．17.【答案】解：(1)由辅助角公式得f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，则y=[f(x+π4)]2=[√2sin(x+π2)]2=2cos2x−1+1=cos2x+1，所以该函数的最小正周期T=2π2=π；(2)由题意，y=f(x)f(x−π4)=√2sin(x+π4)⋅√2sinx=2sin(x+π4)sinx=2sinx⋅(√2 2sinx+√22cosx)=√2sin2x+√2sinxcosx，=√2⋅1−cos2x2+√22sin2x=√22sin2x−√22cos2x+√22=sin(2x−π4)+√22，由x∈[0,π4]可得2x−π4∈[−π4,π4]，所以当2x−π4=π4即x=π4时，函数取最大值√2．【解析】(1)由辅助角公式可得f(x)的解析式，进而求出函数y的解析式，可得函数的周期；(2)求出函数y的解析式，由函数的单调性求出函数的最大值．本题考查函数的辅助角公式的应用及函数的单调性求最值，属于中档题．18.【答案】解：(1)依题意，当n≥2时，由S n=a n+1−2，可得S n+1=a n+2−2，两式相减，得a n+1=2a n(n≥2)，又∵a2=a1+2=4=2a1≠0，∴a n+1a n=2，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n=2⋅2n−1=2n，n∈N∗．(2)由(1)，可得(2n+1)⋅a n=(2n+1)⋅2n，则T n=3×21+5×22+7×23+⋯+(2n+1)⋅2n，2T n=3×22+5×23+⋯+(2n−1)⋅2n+(2n+1)⋅2n+1，两式相减，得−T n=6+2×(22+23+⋯+2n)−(2n+1)⋅2n+1=6+2×22×(1−2n−1)1−2−(2n+1)⋅2n+1，∴T n=2+(2n−1)⋅2n+1．【解析】(1)根据题干并结合公式a n=S n−S n−1(n≥2)进行推导即可发现数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而可计算出数列{a n}的通项公式；(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{(2n+1)⋅a n}的通项公式，然后运用错位相减法即可计算出前n项和T n．本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前n项和．考查了转化与化归思想，整体思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．19.【答案】解：(1)完成2×2列联表如下：∴K2的观测值k=200(30×40−70×60)2100×100×90×110=20011≈18.18>10.828，∴有99.9%的把握认为能否管控手机与性别有关．(2)(i)从样本中的数据可知能管控手机的男、女生的比例为1：2，∴6人中有2名男生，4名女生，从这6人中选2人的所有情况为C62=15，恰有1名女生的情况为C21C41=8种，∴恰有一名女生的概率P=815．(ii)由题可知X的所有可能取值为2，3，4，P(X=2)=C22C42C64=615，P(X=3)=C21C43C64=815，P(X =4)=C 44C 64=115，∴X 的分布列为： X 2 3 4 P 615815115∴E(X)=2×615+3×815+4×115=83．【解析】(1)完成2×2列联表，求出K 2的观测值k =20011≈18.18>10.828，从而有99.9%的把握认为能否管控手机与性别有关．(2)(i)从样本中的数据可知能管控手机的男、女生的比例为1：2，从而6人中有2名男生，4名女生，从这6人中选2人，由古典概型、排列组合能求出恰有一名女生的概率． (ii)由题可知X 的所有可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E(X)．本题考查独立检验的应用，考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查统计与概率思想，导向对发展逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养的关注，是中档题．20.【答案】(1)证明：在四棱锥A −BCDE 中，因为平面ACD ⊥平面CDE ，平面ACD ∩平面CDE =CD ，AC ⊥CD ，AC ⊂平面ACD ， 所以AC ⊥平面CDE ．又CE ，CD ⊂平面CDE ，所以AC ⊥CE ，AC ⊥CD ．所以∠ECD 为二面角D −AC −E 的平面角，所以∠ECD =60°， 又∠BEC =60°，所以CD//BE ． 又BE ⊂平面ABE ，CD ⊄平面ABE ， 所以CD//平面ABE ．(2)解：取BE 的中点F ，连结CF.则CF ⊥BE ，又BE//CD ，所以CF ⊥CD ． 又AC ⊥平面CDE ，CF ⊂平面CDE ，所以AC ⊥CF ，所以AC ，CF ，CD 两两垂直． 以C 为坐标原点，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系C −xyz ，则A(0,0,2)，B(√3,−1,0)，C(0,0,0)，E(√3,1,0)， 则CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,−2)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,0)，设AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得G(√3λ,−λ,2−2λ)，所以CG⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3λ,−λ,2−2λ)， 设平面CEG 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{CG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，即{√3λx −λy +(2−2λ)z =0√3x +y =0，不妨令x =√3，可得n ⃗ =(√3,−3,3λλ−1)为平面CEG 的一个法向量， 设直线CB 与平面CEG 所成的角为α，则sinα=|cos〈n ⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|n ⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|CB⃗⃗⃗⃗⃗ ||=2√3+9+(3λλ−1)2=√217，解得λ=12， 所以AG 的长为√2．【解析】(1)证明AC ⊥CD ，推出AC ⊥平面CDE.说明∠ECD 为二面角D −AC −E 的平面角，推出CD//BE.然后证明CD//平面ABE ．(2)取BE 的中点F ，连结CF.说明AC ，CF ，CD 两两垂直．以C 为坐标原点，CF⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系C −xyz ，求出平面CEG 的法向量，利用空间向量的数量积求解直线CB 与平面CEG 所成的角为，解得λ=12，然后求解AG 的长． 本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：(1)设F 1(−c,0)，其中c =√a 2−3①当直线l 1经过点F 1时，直线l 1的斜率k PF 1=−2c，所以直线l 2的斜率为c2，方程为y =c2x −2，与椭圆C 的方程联立，消去y 得：3x 2+a 2(c2x −2)2=3a 2， 整理得：(a 2c 2+12)x 2−8a 2cx +4a 2=0．因为直线l 2与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ=64a 4c 2−16a 2(a 2c 2+12)=0， 即ac =2，②由①②得：a 2=4，解得：a =2，c =1，所以b =√a 2−c 2=√3， 所以C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)由题意知：直线l 1的斜率存在且不为零，设其方程为y =kx −2(k ≠0)， 与椭圆C 的方程联立，消去y 得：(3+4k 2)x 2−16kx +4=0， 则Δ=256k 2−16(3+4k 2)>0，解得：k 2>14．同理：当直线l 2与椭圆C 有两个交点时，k 2<4，所以14<k 2<4．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=16k3+4k2，x1x2=43+4k2，所以|AB|=√1+k2⋅|x1−x2|=√1+k2⋅4√3(4k2−1)3+4k2=2√3⋅√(4k2+4)(4k2−1)(3+4k2)2．设t=3+4k2，则t∈(4,19)，所以(4k 2+4)(4k2−1)(3+4k2)2=(t+1)(t−4)t2=t2−3t−4t2=−4(1t+38)2+2516，因为f(t)=−4(1t +38)2+2516在(4,19)上单调递增，所以f(t)∈(0,300192)，所以AB的取值范围是(0,6019)．【解析】(1)设F1(−c,0)，其中c=√a2−3①求解直线的斜率，结合椭圆方程，转化求解a，c，得到椭圆方程．(2)由题意知：直线l1的斜率存在且不为零，设其方程为y=kx−2(k≠0)，与椭圆C的方程联立，消去y得：(3+4k2)x2−16kx+4=0，推出k的范围，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用韦达定理弦长公式，转化求解即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．22.【答案】解：(1)由f(x)=xe x+12ax2+ax，得f′(x)=(x+1)e x+a(x+1)=(x+1)(e x+a)，因为x∈(0,+∞)，所以当a≥−1时，e x+a≥e x−1>0，所以f′(x)>0，f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，当a<−1时，x=ln(−a)>0，所以在(0,ln(−a))上，f′(x)<0，f(x)单调递减，在(ln(−a),+∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增．综上所述，a≥−1时，f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，当a<−1时，f(x)在(0,ln(−a))上单调递减，f(x)在(ln(−a),+∞)上，f(x)单调递增．(2)由题意知f(x)>g(x)等价于xe x+alnx+ax>0，记ℎ(x)=xe x+alnx+ax，所以函数ℎ(x)的定义域为(0,+∞)，且ℎ′(x)=(x+1)e x+ax +a=(x+1)(xe x+a)x，当a>0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，且当x趋近于0时，存在x1，使得ℎ(x1)<0，所以不满足题意，当a=0时，ℎ(x)=xe x>0恒成立，当a<0时，令φ(x)=xe x+a，则φ′(x)=(x+1)e x>0在区间(0,+∞)上恒成立，所以φ(x)单调递增，又φ(0)=a<0，当x趋近于+∞时，φ(x)趋近于+∞，所以关于x的方程xe x+a=0有唯一的根，该根记为x0，即由x0e x0+a=0，所以当x∈(0,x0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，当x∈(x0,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，从而ℎ(x)的最小值为ℎ(x0)，所以ℎ(x0)=x0e x0+alnx0+ax0=x0e x0+aln(x0e x0)=−a+aln(−a)=−a[1−ln(−a)]，要使得ℎ(x)≥0恒成立，只需1−ln(−a)>0恒成立，即a>−e，综上所述，a的取值范围为(−e,0]．【解析】(1)求导得f′(x)=(x+1)(e x+a)，分两种情况：当a≥−1时，当a<−1时，f′(x)的正负，f(x)的单调区间．(2)由题意知f(x)>g(x)等价于xe x+alnx+ax>0，记ℎ(x)=xe x+alnx+ax，只需ℎ(x)min>0，进而可得a的取值范围．本题考查导数的综合应用，解题中需要注意分类讨论，转化思想的应用，属于中档题．。
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19.如图，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的{倍，p为侧棱SD上的点•
(L )求证：A C上SD;
(2)若SD 上平而PAC,求二而角P -AC -S 的大小；s
20.某公司开发了一种产品，有一项质蜇指标为＇长度”（记为I'单位:cm),先从中随机抽取100件，测噩发现全部介于?Scm和155c�之间，得到如下频数分布表·
分组
I (85.95)I [95. 105) I (105. 115) I (115. 125) I (125. 135) 频数 2 9 22 33 24
已知该批产品的该项质霆指标值服从正态分布N(µ,a 2), 其中µ近似为样本平均数了，a 2近似为样本方差s 2(同一组中的数据用该组区
间的中点值作代表）．
(l)求P (l 32.2<!< 144.4);
(2)公司规定：当l 匀15时，产品为正品；当/<115时，产品为次品．公
司每生产一
件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记:为生产一件这种产品的利润，求随机变痲:的分布列和数学期望．
参考数据：寸丽：：：：：：：：12.2.
若X -N(µ,a 2), 则P(µ一a<X::s;;µ+a)::::::::0.6827,P(µ 一2a<x::s;;µ+2a)：：：：：：：： 0.9545, P (µ-3a <X ::s;;µ+3a)::::::::0.9973.
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