大学物理课件-第13章电磁感应

dS
环路上各点的 E感 大小 相等,方向与路径方向 相同,且磁场均匀增加，
dB // dS , dt
R
o
r
B
cos 1
E感
dl
dB s dt
dS
E感
dl
dB dt
sdS
E感 2r
dB dt
r2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E感
r dB 2 dt
r
2. r > R 区域
作半径为 r 的环形路径;
E感
R
o
线圈 1 在线圈 2 中产生的互感系数：
M 21
21
I1
n1n2lS
设线圈 2 中的电流 为 I2
l
S
线圈 2 在线圈 1 中 I2 n1 n2
产生的磁链：
12 N1m12 ln1B2S ln1n2I2S
线圈 2 在线圈 1 中产生的互感系数：
M12
12
I2
n1n2lS
由此可看出，两线圈的互感系数相等。
质、线圈密度有关，而与线圈中电流无关。
由法拉第电磁感应定律可知：
i
N
dm
dt
d(Nm ) d
dt
dt
而
LI
当线圈自感系数不变时，
自感电动势
i
L dI dt
5.自感系数的计算 ①假设线圈中的电流 I ；
L
I
②求线圈中的磁通量 m ；
③由定义求出自感系数 L。
例：一长直螺线管， 线圈密度为 n，长度
1.磁链数
定义：线圈的匝数与线圈中的磁通量乘积。
Nm N B dS
2.自感系数 L 线圈的磁链与线圈中的电流 I 成正比。
I 写成等式： LI
3.定义：自感系数 L
I 自感系数为线圈中磁链与线圈中的电 流之比。
单位：亨利，H 毫亨， mH 1H=103mH
4.注意 自感系数与线圈的大小、形状、磁介
负载 Ek 电源
在电源内部存在一非静电力，该非静 电力将正电荷从电势低的电源负极移动到 电势高的正极，与静电力相反。因此在电 源内部存在一非静电场 Ek 。
1.电源电动势定义
i Ek dl
非静电场在电源内部从负极到正极移 动单位正电荷所做的功。
2.动生电动势定义
当导体在磁 场中运动时内部 的电荷所受的洛 仑兹力 fL 为非 静电力，它将电 荷从低电位移到
M 21 M12 M n1n2lS
Wm
B2
2
V体
（1）
截面积为 S 的长直
螺线管，插有磁导
率为 的磁介质，
l
绕两个线圈，两线 圈的线圈密度分别 为 n1 、n2，两线圈
S
n1
n2
完全耦合，求两线
圈的互感系数。
解：
l
设线圈 1 中的电流
为 I1，
I1 n1
n2
S
线圈 1 在线圈 2 中产生的磁链：
21 N 2 m21 ln2B1S ln2n1I1S
第13 章 电磁感应
13.1 法拉第电磁感应定律
13.2 电动势 13.3 动生电动势 13.4 感生电动势和感生电场 13.5 互感 13.6 自感 13.7 磁场的能量 13.8 麦克斯韦方程组
13.1 法拉第电磁感应定律
1.几个实验
B变 S变 θ变
m BdS cos
导致 m 变
回路内感应电流产生的磁场总是企图
i
dm
dt
d dt
0
LI0 cos
2
t
ln
b a
vt vt
0I0L [ sin(t) ln b vt
2
a vt
cos t b
v vt
a
v vt
13.2-13.3 电动势 动生电动势
感应电动势 磁通量φm变
①动生电动势 回路面积 S 变 ②感生电动势 磁感应强度 B 变
在磁场 B 中, 导体棒以 v 沿金
B(t)
o a
•重要结论 半径oa线上的感生电动势为零
证明：因为感生电场是圆周的切线方向，
所以必然有 E感生R
则有
感生 E dl 0 R
•应用上述结论 可方便计算某些情况下的
感生电动势
•应用上述结论方便计算电动势
方法：补上半径方向的线段构成回路 b
利用法拉第电磁感应定律
B(t)
o a
例： 求线段ab内的感生电动势
i vBdl sin1 cos2
1.确定导体处磁场 B
2.确定 v 和 B 的夹角1 3.确定 v×B 与 dl 的夹角 2 4.分割导体元dl，求导体元上的电动势 d i
5.由动生电动势定义求解
例1：在均匀磁 场 B 中，一长为 L 的导体棒绕一 端 o 点以角速度
转动，求导体
棒上的动生电动 势。
B感 I感
B , m
B感方向: I感方向:顺时针
i
N
dm
dt
说明：考虑到 i的方向，“”表示
阻止或补偿的作用。
法拉第电磁感应定律可以写为：
i
dNm
dt
d
dt
磁链: Nm
磁链单位：韦伯（Wb）
回路中的感应电流 I感
I感
i
R
1 dm
R dt
I感
1 dm
R dt
感应电流与m随时间变化率有关。
电 场
E dl 0
的
性
静电场为有源场
质
E
dS
q
0
i
E感
dl
dm
dt
感生电场为无源场 E感 dS 0
感生电场方向的判断与感生电流方 向的判断是类似的
回路中的感生电动势由电动势定义：
i E感 dl
由法拉第电磁感应定律回路中的感生电
动势为：
i
E感
dl
dm
dt
回路中的磁通量为： m B dS
r B
r
E感
dl
dB s dt
dS
同理
E感
dl
dB dt
sdS
∵积分面积为回路中
有磁场存在的面积，
∴
E感 2r
dB dt
R2
E感
R2 2r
dB dt
1 r
E感
R o r B
E感分布曲线
R
o
B
E感 R dB
2 dt
o
R
r
3）感生电动势的计算
感生 E dl l
N2 S2 B1 dS I1
21 M 21I1
I1 N1
I2 N2
定义：线圈 1 对线圈 2 的互感系数M21
M 21
21
I1
线圈 2 在线圈 1 中产生的磁链：
12 N1m12
1
2
N1 S1 B2 dS I2
12 M12I2
N1
N2
定义：线圈 2 对线圈 1 的互感系数M12
19世纪60年代，麦克斯韦提出：在变 化的磁场周围存在一个变化的电场，这个 电场就是感生电场。
起源
电 场 线 形 状
静电场 E 由静止电荷激发 电场线为非闭合曲线
静电场为散场
感生电场 E感 由变化的磁场激发 电场线为闭合曲线
dB 0 dt
E感 感生电场为有旋场
静电场E
感生电场E感
为保守场做功与路径无关 为非保守场做功与路径有关
M12
12
I2
两线圈的互感系数相等： M21 M12 M
注意： 互感系数与两线圈的大小、形状、 磁介质和相对位置有关。
线圈1电流变化在线圈2中产生的互感电动势
21
d 21
dt
M 21
dI1 dt
线圈2电流变化在线圈1中产生的互感电动势
12
d12
dt
M 12
dI 2 dt
例1： 长为 l、横
fL
v B
高电位。
由电场强度定义和洛仑兹力的定义, fL 所产生的非静电场 Ek 满足：
fL qEk qv B
动生电动势 i (v B ) dl
电动势方向从负极到正极。
i vBdl sin1 cos2
1 为v与 B 的夹角； 2 为 v×B ( 或 Ek ) 与 dl 的夹角。
l
为 l，横截面积为 S，
插有磁导率为 的磁
介质，求线圈的自感
n
S
系数 L 。
解： 设线圈中通
l
有电流 I ，线圈中
的磁通量为：
m BS nIS
n
线圈中的自感系数L为：
L Nm NnIS lnnIS
II
I
I
其中匝数 N ln
则自感系数 L n2lS
S I
当一个线
1
圈中电流发生 变化时在另一 S1
解： B 0I
2x
I
如图所示取一窄带dx，
x dx v
L
dm B dS
BdS cos
o
B∥n，cos 1
a b
x
dm BdS
0I 2x
Ldx
m d m
bvt
a vt
0 IL 2
dx x
0IL ln b vt 2 a vt
x dx
I
v
L
o
a b
x
m
0 IL 2
ln
b a
vt vt
阻止或补偿回路中磁通量的变化。
B
m >0
B B感
m>0
I感
dm 0 I感
B感 dt
dm 0
dt
1.感应电流方向的判断方法
①.回路中m 是增加还是减少；
②.由楞次定律确定 B感 方向；
③.由右手定则判定 I感 方向。
例：应用楞次定律判断 I感 方向。
①.
②.
I感
B感
S , m
B感方向: I感方向:顺时针
感应电流 感应电量
I感
dq dt
q
t2
t1
I
感dt
1 R
t2
t1
dm
dt
dt
1 R
d m2
m1
m
q
1 R
(m1
m2 )
感应电量只与回路中磁通量的变化量有关， 与磁通量变化的快慢无关。
1.确定回路中的磁感应强度 B ；
2.由 m sB dS 求回路中的磁通量m ；
3.由
i
N
dm
dt
求出 i
例1：长直螺线管绕有N匝线圈，通有电流
属导轨向右运动, 导体切割磁力线,
fL
回路面积发生变
化,导体内产生动
生电动势。
v B
动生电动势的产生是由于运动导体中 的电荷在磁场中受洛仑兹力 fL 的结果。
1.电源
将其它形式的 能量转变为电能的 装置。
2.电动势 描写电源将其
它形式能量转变成 电能的能力。
解：由动生电动 势定义计算
L o B
分割导体元dl,
l
v 和 B 的夹角
v
1 / 2
v×B与dl的夹角
2
dl
L
o
B
导体元上的电动势为:
di
vBdl sin
2
cos
vBdl
导体元的速度为:
v l
ω l
由于在导体棒
处的磁感应强度分
v
布是非均匀的，导 体上各导体元产生 的动生电动势也是 不一样的，分割导 体元 dx 。
I x dx
o aL
x
B
导体元处的磁场 B 为：
B
0I 2x
v和B的夹角
1 / 2
v
v×B与dx的夹角
2
导体元所产生的动 生电动势方向沿 x 轴负向，
I x dx
o aL
x
v
整个导体棒的 动生电动势为:
dl l
L
o
i di
L
L
B
vBdl lBdl
0
0
1 BL2
2
方向指向 o 点。
例2: 在通有电流 I 的无限长载流直导
线旁，距 a 垂直放 置一长为 L 以速度 v 向上运动的导体 棒，求导体棒中的
动生电动势。
v I
aL
解：由动生电动势定义计算
2 S2
个线圈中产生 互感电动势。
I1
N1
I2 N2
这是由于线圈1中电流变化，在线圈2 周围产生一个变化的磁场，变化的磁场周
围又产生一个感生电场，感生电场作用在
导体线圈2中的自由电荷上，在线圈2中产 生互感电动势，反之也一样。
线圈 1 在线圈 2 中 S1 1 产生的磁链：
2 S2
21 N 2 m21
B
大小为：
di
vBdx
sin
2
cos
vBdx
di vBdx
整个导体棒的动生电
动势为:
i di
aL
a
v
0I 2x
dx
0Iv ln a L
2
a
v
I
x
dx
o aL
x
B
导体所产生的动生电动势方向沿 x 轴负向。
在电磁感应
现象的实验中,
K
当电键 K 闭合
时,线圈1中要
产生感生电流
此电流产生的原因是什么呢？
则
i
E感
dl
d dt
sB
dS
如果回路面积不变则有：
i E感 dl
dB s dt
dS
1. 要求环路上各点的 E感大小相等，方向 与路径方向一致；
2.要求磁场均匀变化
dB dt
常量
,
且 dB // dS ; dt
则有
E感
dl
dB dt
sdS
可算出 E感。
3.积分面积为回路中有磁场存在的面积。
E感
dB dt
sdS dl
例1： 圆形均匀分布 的磁场半径为R，磁 场随时间均匀增加，
dB k ，求空间的 dt
感生电场的分布情 况。
R o
B
解： 由于磁场均匀增加，圆形磁场区域 内、外 E感 线为一系列同心圆；
1. r < R 区域
作半径为 r 的环形路径;
E感
dl
dB s dt
解：补上两个半径 ob和ao 与ba构成回路obao
由法拉第电磁感应定律，有
i
ob
ba
ao
d dt
由 ao 0 ob 0 得
ba
SΔ
dB dt
当线圈中电流发生 变化时，线圈中的磁通 量发生变化，在线圈中 产生自感电动势。
dI 0 dt
这是由于线圈中电流变化在线圈周 围产生一个变化的磁场，变化的磁场周围 又产生一个感生电场，感生电场作用在导 体线圈中的自由电荷上，在线圈中产生自 感电动势。
I且
dI C（常量> 0 ） ，求感应电动势。
dt
L
解： B 0nI m sB dS BS
i
N
dm
dt
N dB S dt
B
S
I
N0nS
dI dt
N 2 0S dI
L dt
例2： 在通有电流为 I = I0 cosωt 的长直 载流导线旁，放置一矩形回路，如图所示，
回路以速度v 水平向右运动，求回路中的 感应电动势。