近世代数学习系列-b3-2 群笔记

近世代数群（续一）
作用
设有集合G作用于集合A上。

如果G是一个群，并且群的乘法和作用的合成是一致的，我们就说群G作用于A上。

如果G是不可换的，那么“群的乘法和作用的合成是一致的”这话还会稍微有一点歧意。

对于G的两个元σ、τ，先把σ作用于A再把τ作用于A，这个合成是由στ来对应还是由τσ来对应呢？我们把前者称为G从右边作用于A，后者则称为G 从左边作用于A。

左和右的区别，来自于我们书写的时候，如果把映射写在左边，即对于A的元a，把先作用σ再作用τ写成τ ( σ ( a ) )，那么自然的这合成的样子就像是τσ；反之如果把映射写在右边，记为 ( aσ ) τ，这看起来的样子就像是στ了。

如果把群G本身看成一个集合，我们比如说可以这样定义群G在集合G 上的作用：对于群G的任意一个元σ，σ的作用定义为把集合G上的每个元都“左乘” σ。

即，对于集合G的任意元g，σ的作用把g映到σg。

这显然是从左边的作用。

这作用有时被称为“左移动”。

同样的我们也可以定义“右移动”。

一个左（右）移动显然是集合G的一个置换，并且对于不同的σ，其所对应的置换显然是不同的。

于是群G就可以看成是集合G上的置换群的一个子群。

于是我们得到，任何群都是某个置换群的子群。

G还可以像这样作用于G本身：对于群G的任意一个元σ，σ的作用把G的任意元g映到σgσ-1。

这作用的特点是它保持G的群结构不变。

也就是说，把G的任意元g映到σgσ-1是G的一个自同构。

这是因为对于G 的任意两元f、g，我们显然有 ( σfσ-1 )( σgσ-1 ) = σ ( fg ) σ-1。

这作用是从左边的，我们也可以同样地定义从右边的作用为，σ把G的任意元g映到σ-1gσ。

对于G的元g或G的子群U，我们通常把形如σgσ-1的元和形如σUσ-1的子群分别称为g和U的共轭。

于是U是正规子群的条件也可以陈述为，U在取共轭的作用下不变。

一般的如果X是具有某种结构的集合，则X的所有自同构关于映射的合成做成一个群。

这群一般写为 Aut ( X )。

由于我们通常是把映射写在左边，所以默认 Aut ( X ) 是从左边作用于X。

如果X仅仅是一个集合，那么 Aut ( X ) 当然就是X上的置换群。

在上一段中我们看到，取共轭的作用是G的自同构，因此把G的元σ映到“取关于σ的共轭”这也就给出了一个从G 到 Aut ( G ) 的同态映射。

这同态映射的核称为G的中心，记为 Z ( G )，显然 Z ( G ) 是由“与G中所有元都可换的元”所组成的。

同态映射的像记为 In ( G )，称为G的内部自同构群。

In ( G ) 是 Aut ( G ) 的正规子群，因为假如有一个 Aut ( G ) 的元也就是G的自同构γ，我们依次将：γ-1、关于G中某个元σ的共轭、γ，作用于G中某个元g，得到的也仍然是g的共轭（这也就是说γIn ( G) γ-1⊆In ( G)）：
Aut ( G ) / In ( G ) 记为 Out ( G )，称为G的外部自同构群。

直积，半直积
设群G有一个正规子群N和一个子群H。

我们已经知道NH = HN是G 的子群，现在假设NH = G并且N∩ H = { 1 }。

由NH = G我们知道G中的每个元都可以表示成nh（n∈N，h∈H）的样子，现在我们证明当N∩ H = { 1 } 时这表示是唯一的：如果n1h1 = n2h2，则n2-1n1 = h2h1-1，这等式的左边是N的元，右边是H的元，所以它们都等于 1。

于是n1 = n2，h1 = h2。

接下来我们考虑G中两个元n1h1和n2h2的积。

把n2关于h1的共轭记为
x，我们有( n
1h
1
)( n2h2) = n1( h1n2) h2= n1( xh1) h2=
( n1x )( h1h2 )。

N是正规子群，所以x也是N的元；于是取关于h1的共轭是N的一个自同构。

换句话说就是，H作用于N上，而n1h1和n2h2的积( n1h1 )( n2h2 ) = ( n1x )( h1h2 ) 描述为：h1和h2相乘，n1和n2在h1作用后的像x相乘。

这时如果进一步假定H是正规的，就有x = n2，这是因为
等式的左边括号中是h1-1的共轭，现在假设H是正规的所以这是H的元，于
是等号左边是H的元；而等式的右边，括号中为x是N的元，所以等号右边是N的元。

N∩ H = { 1 }，所以等号两边都等于 1，于是x = n2。

反过来，假设有群N和H，并且规定了H在N上的作用（也可以说成是，规定了H到 Aut ( N ) 的一个同态映射），我们给所有形如 ( n, h )（n∈N，h∈H）的有序对之间这样来规定乘法：规定 ( n1, h1 ) ∙ ( n2, h2 ) = ( n1x, h1h2 )，其中x是n2在h1作用后的像。

容易验证所有有序对关于这个乘法做成一个群G，并且G中所有形如 ( 1, h ) 的元组成一个和H同构的子群，所有形如 ( n, 1 ) 的元组成一个和N同构的正规子群。

（把这正规子群也记做N）容易看出这时G / N与H同构。

我们把像这样规定的群G 称为群H作用于群N上的半直积。

如果H在N上的作用都是恒等映射，则把G称为H和N的直积。

这时H和N的角色是对称的，因此 ( 1, h ) 们所组成的子群同样是正规的。

综合以上的讨论可知，对于群G和它的子群N、H，G分解为H作用于N上的半直积的充分必要条件是，N是正规的并且NH = G，N∩ H = { 1 }。

在这时我们有G / N与H同构。

半直积成为直积的充要条件是H也是正规子群。

当G是加群的时候这件事变得简单了：G分解为其子群N和H 的直和（因为是加群，直积变成了直和）的充要条件是，N + H = G并且N ∩ H = { 0 }。

半直积的例子，比如有平面的（不包括镜像的）全等变换群，这群有“平移”和“绕原点O旋转”两个子群，显然它们的交只有恒等变换，而它们的积是全体（平面的不包括镜像的全等变换总可以描述为“先旋转一个角度，再平移至适当位置”），并且平移群是正规的。

（注意旋转群不是正规的。

）旋转群在平移群上的作用描述为，如果有一个方向a、距离b的平移和一个x度的旋转，则这旋转作用于这平移后得到的像，是一个把方向a转过了x度而距离仍然保持b不变的平移。

我愿意趁此机会再举一个例子，那就是魔方。

而且贴张照片在下面。

我很
为这六九五十四个面块的置换。

？你说每面的中心那块总是不动
OK，那就六八四十八。

）但这只是初学者的浮面的理解。

我们现在就用直积的语言来更细致地描述这魔方群G的结构。

如果你碰过魔方或者稍具慧眼，一定会看出魔方的基本结构并不是面块，而是位于八个角上的“角块”和十二条棱上的“边块”。

会玩魔方的人都知道，如果把魔方拆开（拆成这八个角块和十二个棱块的一堆零碎）再随便装回去，只有十二分之一的概率可以复原。

但是这里我们先不考虑拧魔方的具体规则，而假设这些角块和边块是可以随便拆下和装上的，这样一个假想的魔方显然仍然是一个群，而真正的魔方群G是这个群的一个子群。

我们先来讨论这稍大一些的群H的结构。

每个角块固定在其还原位置上可以有三种状态（即这角块上的三个面块的不同配置，在这里我们将其称为角块的旋转），这是一个 3 阶循环群。

同样边块的旋转是一个 2 阶循环群。

各角块和边块的旋转显然是互不相关的（因为我们现在讨论的是每个角块和边块都可以随便拆下和装上的情形），这意味着H 有一个由八个 3 阶循环群和十二个 2 阶循环群的直积所构成的子群。

把这子群记为N。

而假如我们忽略角块和边块的旋转只注意它们的位置，这显然是一个 8 个元的置换群和一个 12 个元的置换群的直积。

所谓“忽略掉……”，用数学的语言来说我们实际上是在考虑N的旁系。

这旁系做成一个群，所以特别的我们得到N是H的正规子群。

接下来我们在每个角块的三个面块中选出一个作为“标准面块”，同时在正方体的每个角的三个位置（即与这角邻接的三个面）中选出一个作为“标准位置”，这选择要使得魔方在还原状态的时候标准面块都在标准位置上。

同样
地定义边块的标准面块和边的标准位置。

考虑角块和边块的所有满足条件“标
准面块在标准位置上”的配置，这显然是H的一个子群，并且这子群正是由一
个 8 个元的置换群和一个 12 个元的置换群的直积所构成的。

把这子群记为
S，不难确认S∩ N = { 1 } 和SN = H，因此H分解为S作用于N上的半
直积。

S在N上的作用是这样子的：S的元 ( σ, τ )（σ是一个 8 个
元的置换，τ是一个 12 个元的置换）作用于N的元 ( a1, a2, …, a8; b1, b
, …, b12 )（各a i是 3 阶循环群的元，而各b j是 2 阶循环群的元）后得2
到的像是 ( aσ ( 1 ), aσ ( 2 ), …, aσ ( 8 ); bτ ( 1 ), bτ ( 2 ), …, bτ ( 12 ))。

这样H 的结构就被完全记述出来了。

那么G是H中怎样的子群呢？我们考察拧魔方所允许的操作（即把某个
面转动90度），就会发现这些操作总是保持三个量不变。

即对于任何一个这样
的操作，如果把它所对应的H中的元写为 ( ( a1, a2, …, a8; b1, b2, …, b
), ( σ, τ ) )，则总是有∏ a i = 1、∏ b j = 1 和 sign ( σ ) sign 12
( τ ) = 1（ sign 表示置换的符号。

把这符号看成是 2 阶循环群的元。

于是
这式子的意思是σ和τ的符号总是相同的）。

反之，从任何一种魔方还原
法中都可以看出，H中满足这三个条件的元总是可以通过若干次允许的操作实
现的。

因此，G就是由H中所有满足条件∏ a i = 1、∏ b j = 1 和 sign
( σ ) sign ( τ ) = 1 的元 ( ( a1, a2, …, a8; b1, b2, …, b12 ), ( σ,
τ ) ) 所组成的子群。

由于这条件是关于N和S分别给出的，所以G也分解为G∩ S作用于G∩ N上的半直积。

并且G还是H的正规子群，因为它是把H映到C3× C2× C2（把元 ( ( a1, a2, …, a8; b1, b2, …, b12 ), ( σ, τ ) ) 映到元( ∏ a i, ∏ b j, sign ( σ ) sign ( τ ) )）的同态映射的核。

这同态映射显然是全射，而C3× C2× C2正好有 12 个元，这就解释了为什么把魔方拆开再随便装回去（即随便取出群H的一元），其复原（这元正好属于G）的概率是十二分之一。

（注意：以上的讨论是为了得到对于魔方群G的深入一些的理解，其本身
并不包含任何魔方还原法。

就像纽结理论研究扭结的不变量，其本身也并不包
含任何解开扭结的方法一样。

如果你是为了寻找一种魔方还原法而来到这里，
那么很抱歉，你来错了地方）。