概率chapter5习题(07fall)(1)

H (ω ) =
kΩ Ω + jω
第 一 个 滤 波 器 输 入 是 δ (t − τ 0 ) ， 则 经 过 两 个 相 同 的 滤 波 器 以 后 的 输 出
Y(ω) = e− jωτ0
kΩ kΩ ⋅ Ω + jω Ω + jω
y (t ) = k 2 Ω 2 ( t − τ 0 )e − Ω ( t −τ 0 ) u ( t − τ 0 )
解：
π 2
∆ω e = ∫
1000 sec θ dtgt = 1000 ∫ dθ = 1000 ∫ cos 2 θdθ = 250π 2 2 ω 2 0 0 (1 + tg θ ) 0 1+ ( ) 1000
π 2
π 2
N N −⎜ ⎟ R Y (τ ) = F −1 {G Y (ω )} = 0 δ (τ ) − 0 e ⎝ L ⎠ 2 4
5.13
τ
功率谱密度为 N0/2 的白噪声，输入到所示滤波器中，求输出的平均噪声功率。
解：
ψY =
2
1 2π
+∞
−∞
∫ | H (ω ) | G
2
X
(ω )dω
N N Ω 1 = Ω 0 ×2 = 0 2π 2 2π
5.16 见书
⎧ τ ⎪ 1− , τ ≤ T 5.17 设平稳随机过程 X (t ) 的自相关函数为 R X (τ ) = ⎨ T ⎪ 0 , τ >T ⎩
。 X (t ) 通过如下图所示的积分电路。求 Z (t ) = Y (t ) −
X (t ) 的功率谱密度 G Z (ω ) 。
R X (t )
证明： RY1Y2 = E[Y1 (t )Y2 (t + τ )]
Y1 (t ) = ∫ X (λ1 ) H 1 (t − λ1 )dλ1
−∞
∞
Y2 (t + τ ) = ∫ X (λ 2 ) H 2 (t − λ 2 + τ )dλ 2
−∞
∞
∴ RY1Y2 = E[ ∫ =∫
∞ − ∞ −∞
∞
−∞
τ
5.11
ppt
C
解：输入过程相关函数为：
X(t) R Y(t)
RX (τ ) = E[( X 0 + cos(2πt + Φ ) )( X 0 + cos(2π ( t + τ ) + Φ ) )]
= E[ X 0 ] + E[ X 0 ]E (cos(2πt + Φ) ) + E[ X 0 ]E (cos(2π ( t + τ ) + Φ) ) + + E [(cos(2πt + Φ) )(cos(2π ( t + τ ) + Φ ) )] 1 1 = + cos 2πτ 3 2
2
y (t ) 1 = 1 − e − jωT x(t ) jω 1 4 ωT = 2 1 − e − jωT 1 − e jωT = 2 sin 2 2 ω ω
[
]
[
][
]
所以，题目得证。
5.20 图为单个输入两个输出的线形系统， 输入 X (t ) 为平稳随机过程， 求证输出 y1 (t ) 和 y 2 (t ) 的 互谱密度为 GY1Y2 (ω ) = H 1* (ω ) H 2 (ω )G X (ω )
⎡ sin ω T / 2 ⎤ G X (ω ) = F [ R X (τ )] = T ⎢ ⎣ ωT / 2 ⎥ ⎦
−1 2 2
− jω RC ； 1 + jω RC
(ω RC ) 2 ⎡ sin ω T / 2 ⎤ ∴ G Z (ω ) =| H Z X (ω ) | G X (ω ) = ⋅T ⎢ 2 1 + (ω RC ) ⎣ ωT / 2 ⎥ ⎦
H (ω ) =
2
(ω cR )2 2 1 + (ω cR )
2
=1−
G Y (ω ) = H (ω ) G X (ω ) =
−1
N0 2
⎛ 1 ⎜1 − ⎜ 1 + (ω cR )2 ⎝
⎛ 1 ⎞
2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
N N −⎜ ⎟ R Y (τ ) = F {G Y (ω )} = 0 δ (τ ) − 0 e ⎝ Rc ⎠ 2 4
5.1 解:
y (t ) = δ (t − τ 0 ) ∗ KΩU (t )e − Ω ( t )
+∞
=
∫
−∞
δ (t − τ 0 ) ⋅ KΩU (t − τ )e − Ω ( t -τ ) dτ
= KΩU (t − τ 0 )e − Ω ( t -τ 0 )
5.4 对于题 5.2，若滤波器的输出，再加到第二个相同的滤波器中，仍用频域分析法求出第二个 滤波器的输出 y (t ) 。 解： h(t ) = kΩe − Ωt u (t )
5.14 假设一个零均值平稳随机过程 X (t ) 加到冲激响应为 h(t ) = αe −αt （t.>=0）的线形滤波
器中，证明 GY (ω ) =
α2 G X (ω ) α2 +ω2 证明： GY (ω ) = G X (ω ) | H (ω ) | 2 ∞ α H (ω ) = ∫ h(t )e − jωt dt = 0 α + jω 2 α | H (ω ) | 2 = 2 α +ω2 α2 GY (ω ) = 2 G X (ω ) α +ω 2
ω 2 + 8 2 2 + jω 2 2 − jω ∴| H (ω ) | = 2 = ⋅ ω +3 3 + jω 3 − jω 2 2 ± jω ∴ H (ω ) = 3 + jω
2
5.29 某个放大器，其功率增益随频率的变化为
10 ω 2 2 [1 + ( ) ] 1000
2
，求：该放大器的噪声带宽。
∫
∞
−∞
H 1 (λ1 ) X (t − λ1 ) H 2 (λ 2 ) X (t − λ 2 + τ )dλ1 dλ 2 ]
∫
∞
H 1 (λ1 ) H 2 (λ 2 ) R X (τ + λ 1−λ 2 )dλ1 dλ 2
∞ ∞ ∞
令 τ + λ1 − λ 2 = T ，则
GY1Y2 (ω ) =
输入过程功率谱密度
∞ ∞
2
X (ω ) =
−∞
∫
RX (τ )e − jωτ dτ = RX (τ ) =
−∞
∫
⎡1 1 ⎤ + cos 2πτ ⎥ e − jωτ dτ ⎢ ⎣3 2 ⎦
1 π = 2πδ (ω ) + [δ (ω − 2π ) + δ (ω + 2π )] 3 2
H (ω ) =
解：
sin 2 ω T / 2 ω /2
设：x(t ) = e jωt 代入题目给出的条件：
t t
y (t ) =
∴
t −T
∫
x(τ )dτ =
t −T
∫
e jωτ dτ =
1 j ωt e j ωt e − e jω (t −T ) = 1 − e − jωT jω jω
[
]
[
]
H (ω ) = H (ω )
⎧αe −αt， 0 ≤ t ≤ T 的线性 ⎩ 0， 其他
5.15 假设一个零均值平稳随机过程 X (t ) ，加到冲激响应为 h(t ) = ⎨ 滤波器中，证明输出功率谱密度为 GY (ω ) = 证明： H (ω ) =
2源自文库
α2 (1 − 2e −αT cos ω T + e − 2αT )G X (ω ) 。 2 2 α +ω
5.5 5.7 5.8 5.9 书后答案 书后答案 书后答案
5.10
设表 5.1 中系统一兰德第二行所示电路，输入 X(t)为白噪声，其功率谱密度为 N0/2, 求 输出 Y(t)的功率谱密度和自相关函数。
C
X(t)
R
Y(t)
解：
H (ω ) =
R R+
1 jω c
=
jω cR jω cR + 1
1 2 1 + (ω cR )
= H 1* (ω ) H 2 (ω )G X (ω )
5.26 若线性系统输入平稳过程 X (t ) 的功率谱密度为 G X (ω ) =
ω2 +3 ，现要求系统输出 Y (t ) ω2 +8
的功率谱密度为 GY (ω ) = 1 ，求：相应的稳定系统的传输系数。 解：∵ GY (ω ) =| H (ω ) | 2 G X (ω ) = 1
R
1 +R jω c
=
(ωcR ) ; jωcR ; G (ω ) = H (ω ) H ∗ (ω ) = 2 1 + jωcR 1 + (ωcR )
2
5.12 设表 5.1 中系统一兰德第四行所示电路，输入 X(t)为白噪声，其功率谱密度为 N0/2, 求 输出 Y(t)的自相关函数。 解：
H (ω ) =
∞
− ∞− ∞− ∞
∫ ∫ ∫ H (λ ) H
1 1 ∞
2
(λ 2 ) R X (T )e − jω (T −λ1 + λ2 ) dλ1 dλ 2 dT
∞ − jωλ 2
=
−∞
∫ H (λ )e
1 1
jωλ1
dλ1 ∫ H 2 (λ 2 )e
−∞
dλ 2 ∫ R X (T )e − jωT dT
−∞
5.18 假 设 随 机 过 程 X (t ) 通 过 一 个 微 分 器 ， 其 输 出 过 程
2
dX (t ) 存在，微分器的传密为 dt dX (t ) dX (t ) 的互功率谱密度。 （ 2） 的功率谱密度。 H (ω ) = jω ，求（1） X (t ) 与 dt dt dX (t ) 解： （1）∵ y (t ) = dt ∴ G XY (ω ) = G X (ω ) H (ω ) = G X (ω ) jω
∫ αe
0
T
−αt
e − jωt dt = −
α [e −(α + jω )T − 1] α + jω
α2 | H (ω ) | = 2 (e − 2αT − 2e −αT cos ω T + 1) 2 α +ω α2 所以， GY (ω ) = 2 (1 − 2e −αT cos ω T + e − 2αT )G X (ω ) α +ω 2
解：∵
C
Y (t )
Y (ω ) 1 / jω C 1 = H Y X (ω ) = = ， X (ω ) R + 1 / jω C 1 + jω RC
Z (ω ) = Y (ω ) − X (ω ) = X (ω )[ H Y X (ω ) − 1] = X (ω ) ⋅ Z (ω ) − jω RC = H Z X (ω ) = X (ω ) 1 + jω RC
jω L ; jω L + R (ω L / R )2 = 1 − 1 2 H (ω ) = 2 2 1 + (ω L / R ) 1 + (ω L / R ) N0 2
⎛ 1 ⎜1 − ⎜ 1 + (ω L / R )2 ⎝
⎛R⎞
2
G Y (ω ) = H (ω ) G X (ω ) =
2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
（2） GY (ω ) = G X (ω ) | H (ω ) |
2
= ω 2G X (ω )
t
5.19 假设某积分电路输入与输出之间的关系满足： Y ( t )
=
t −T
∫
X (τ ) d τ
，式中 T 为积分
时间，设输入输出都是平稳过程，求证输出功率谱密度为：
GY (ω ) = G X (ω )